Định lý Weierstrass theo phương pháp xác suất

Định lý Weierstrass theo phương pháp xác suất

ụ ụ ờ ở ế tứ ị ề ồ tị ị ĩ ờ ò ò t trì r P P st ý tết ồ tị ổ ợ ý tết ố ổ ợ rờ ự tế tí ủ ỳ ọ sở ồ tị t ết q t ổ ề ị ổ ề í t t s ủ số tự ớ số s ột ết q ì ọ ố rrt tế tí ủ ồ tị ớ ể t í tt ứ ị ý rstrss t P st ột số ế tứ st sở ị ị ý ỉ rstrss ột ề tố ộ ộ tụ ủ tứ rst ết ệ t ờ ở P st t trể trở t ột tr ữ ụ ợ ù ữ ệ rộ r ể ứ ụ tổ ợ ột tr ữ ý í tr sự t trể trò q trọ ủ sự tr ý tết ọ tí ĩ ự ộ ự ủ ề t tổ ợ ự t ộ q ữ ờ r ọ tí ột tt tr tì tò ề P st tr ổ ợ ột số ề ớ ợ trì tr t ệ ệ ì ồ sự ứ ũ ệ ứ ụ tr ó t ột số ý tở ề tt ó r ú t sẽ ủ ế tì ể ề t P st ó tể ợ t s ứ sự tồ t ủ ữ trú tổ ợ ớ ữ tí t ó ú t ự ột st ợ ý trú ó ỉ r r ữ tí t ố tồ t ớ st P ợ ở ồ ở P rs ờ ó ó rt ề sự t trể ủ ó tr q ờ ợ ý ọ ó P rs ữ ó ó ủ ỉ số ết q s s tr ủ ề ò ở ề t ự tú ị ề ò ỏ ề t ết ứ tr ĩ ự ờ tể ết ột qể s ề st q ề ết q ữ st ú t ệt tt ú ề ủ ú t ề ú t ì ố t ữ ý tở r ữ ết q tốt t ó tể ế ệ qết q ò ỏ ề ĩ tt ữ ết q tr ét s ệ ề ề ết q tệ ú t ù ữ q ớ tệ s f g ú t ết f = O(g) ế f cg ọ trị ủ ớ ủ ế ủ ở c ột số ú t ết f = (g) ế g = O(f) ết f = (g) ế f = O(g) f = (g) ế tỷ số f/g tớ ế ủ tớ ù t ết f = o(g) ố ù f g í ệ f = (1 + o(1))g ĩ f/g tớ 1 ế tớ ù ồ t trì ữ ế tứ sở ề ồ tị ú t ù st ể ột số t q ế ồ tị s ữ t ụ tể trì ờ ột số t rõ st ụ ớ t ù ế ỳ ọ ủ ế ố trì ờ ột ớ t ù ổ ề ị ú t t ợ ề ết q rt tú ị ố ù trì ụ ĩ tt st ể ứ ị ý rstrss ệ ủ t ọ ể t ệ ủ ế tế tr qể s [1], [2] trì t tế ệt ù t ố t ò ế tr q trì tự ệ tr ỏ ữ tế sót ợ sự ó ó ý ế ủ t ứ ữ q t ế ố ù t tỏ ò ết t s s tớ ễ ế ề sự ớ ỉ ú ỡ t tì t ề ệ t t ũ t ệ rờ ọ ọ ự ọ ố ộ ủ ệ t ộ ủ trờ ệ rờ P ú ỡ t ề ệ t ợ tr sốt tờ ọ t q trì t ộ t ế tứ ị ề ồ tị ị ĩ ột ồ tị G ột ó tứ tự t ợ rờ (V, E) s E t ủ t ồ ó tứ tự ủ V rừ ó ợ tờ t ú t ỉ ét ữ ồ tị ữ ó V E ữ V t ỉ t E t ế G ột ồ tị tì V = V (G) t ỉ E = E(G) t ột {x, y} ợ ó ố ỉ x, y í ệ ở xy xy yx ể tị ù ột ỉ x y ọ ỉ ố ủ ế xy E(G) tì x y ỉ ề ớ ỉ x y tộ ớ xy ề ế ú ó ú ột ỉ ố ú t tờ ĩ ồ tị ột ó tứ tự ột t ỉ ột số ỉ ợ ố ớ ở ú t ó r G = (V , E ) ồ tị ủ G ế V V E E r trờ ợ t ết G G ế ọ ủ G ố ỉ ủ V ề ứ tr G tì t ó G ồ tị s ủ G ết G = G[V ] ột ồ tị ủ G ứ ọ ỉ ủ G ọ ồ tị t ủ G ột tử ủ G ú t ũ tờ t ữ ồ tị ớ từ ữ ồ tị ũ ó t ỉ ế W V (G) tì G W = G[V \ W ] ồ tị ủ ợ ó W tt tộ ớ ỉ ủ ó tự ế E E(G) tì G E = (V (G), E(G) \ E ) ế W = {w} E = {xy} tì í ệ ết G w G xy tự ế x y ỉ ề ủ G tì G + xy từ G ố x y ế x ột ỉ ủ ồ tị tì ú t ết x G t x V (G) ố tứ tự ủ G số ỉ ủ G í ệ ớ |G| í ệ ũ ù số tử ủ ột t ợ |X| ể tị số tử ủ t X |G| = |V (G)| ỡ ủ G số ủ G ó ợ í ệ ở e(G) ú t ết G n ột ồ tị tù ý ó tứ tự n tự G(n, m) í ệ ột ồ tị tù ý ó tứ tự n ỡ m t rờ U W ủ t ỉ ủ ột ồ tị ú t ết E(U, W ) t ủ U W ó t ố ỗ ỉ ủ U ớ ột ỉ ủ W ũ e(U, W ) = |E(U, W )| số ủ U W ế ú t ố ồ tị ủ ú t G tì t t E G (U, W ) e G (U, W ) ồ tị ế ó ột ữ t ỉ ủ ú t tí tộ G = (V, E) ọ ớ G = (V , E ) ế ó ột s : V V s ế xy ột ủ G tì (x)(y) ột ủ G õ r ồ tị tì ó ù tứ tự ỡ tờ ú t ệt ữ ồ tị trừ ú t ét ữ ồ tị ó t ỉ ợ í ụ ồ tị từ ột ồ tị q ớ ế G H ồ tị tì ú t ết G = H G = H ỡ ủ ột ồ tị tứ tự n ít t 0 ề t n 2 õ r ớ ỗ m 0 m n 2 ó ột ồ tị G(n, m) ột ồ tị ó tứ tự n ớ ỡ n 2 ợ ọ nồ tị ủ í ệ ở K n ột nồ tị rỗ E n ó tứ tự n r K n ọ ỉ ề ề tr ớ E n ó ỉ ề ồ tị K 1 = E 1 ọ t tờ ì E n ố ớ í ệ t ủ ồ tị ú t tờ ù í ệ K n t rỗ ớ tứ tự n ú ý r ó ù ủ ồ tị ủ ổ qt ớ ồ tị G = (V, E) ù ủ G ồ tị G = (V, V (2) E) ỉ ề tr G ế ỉ ế ó ề tr G ỉ ề ủ x G ủ x ợ ý ệ ở (x) ú t ó (x) ở ủ x (x) {x} ó ủ x ũ x y ế x ỉ ề ủ y y (x), x (y), x y, y x t ỗ ột tr ú ể tị xy ột ủ x d(x) = |(x)| ế ú t ố r ồ tị G tì ú t ết G (x) d G (x) q ớ t tự ù ột ụ tộ ồ tị G ế x H = G[W ] tì H (x) = {y H : xy E(H)} = G (x) W. ỏ t ủ ồ tị G ợ í ệ ở (G) ớ t ợ í ệ ở (G) ột ỉ 0 ợ ọ ỉ ế (G) = (G) = k ó ọ ỉ ủ G ó k tì G ợ ó kí q í q k ột ồ tị í q ế ó kí q ớ k ó ột ồ tị 3í q ợ ó ế ột tử ủ G ọ ỉ ủ ó ó r tì t ọ ó ột r tử ủ G 1 tử ột ồ tị t ủ G ọ ỉ ủ ó ó 1 ế V (G) = {x 1 , x 2 , . . . , x n } tì {d(x i )} n i=1 ủ G ờ ú t ế ỉ t ợ t ệ t ệ í ụ (G) = d(x 1 ) . . . d(x n ) = (G) ỗ ó ỉ ố tổ ủ í số n 1 d(x i ) = 2e(G). ệt tổ ủ n 1 d(x i ) 0 (mod 2). ét ố ợ ọ ổ ề r t ó ể tị r tổ số r t (2) t ể r tổ số ỉ ú t t từ (1) r (G) 2e(G)/n (G) 2e(G)/n ở x í ệ số ớ t ớ x x = x í ệ số ỏ t ỏ x ột ờ ột ồ tị P ó V (P ) = {x 0 , x 1 , . . . , x l }, E(P ) = {x 0 x 1 , x 1 x 2 , . . . , x l1 x l }. ờ P tờ ợ í ệ ở x 0 x 1 . . . x l ỉ ọ ỉ ố ủ P l ọ ộ ủ P ú t ó r P ột ờ từ x 0 tớ x l ột ờ x 0 x l ĩ P ũ ột ờ từ x l ế x 0 ờ x l x 0 ể r P ợ ét từ x 0 ú t ọ x 0 ỉ x l ỉ ố ủ P ột ờ ớ ỉ x ọ ột xờ t ữ ộ sẽ ợ ù tr ệ ớ ỉ ờ ủ ột ồ tị ột t ủ ỉ ọ ộ ế ó tử ủ ó ề ũ W V (G) ồ ỉ ộ ế G(W ) ột ồ tị rỗ ột t ờ ộ ế ờ tù ý ỗ ỉ tộ ờ ể ố ủ P 1 , P 2 , . . . , P k ờ x y ộ ế V (P i ) V (P j ) = {x, y} ớ i = j ờ P i ũ ợ ó tự rờ ó ệ q ế ờ ủ ột ồ tị ột ộ W ủ ột ồ tị ột ỉ x 0 , e 1 , x 1 , e 2 , . . . , e l , x l ở e i = x i1 x i , 0 < i l tt ữ tr W ột ộ x 0 x l ợ í ệ ở x 0 x 1 . . . x l ộ ủ W l W ợ ọ ột ệt ế ọ ủ ề ệt ú ý r ột ờ ột ộ ớ ỉ ệt ột ệt ỉ ố ủ ó trù ột ệt ó ợ ọ ột trì õ ột trì ột ệt ó ệt ỉ ố ớ í ụ t ớ ột ỉ t r trì ớ s ế ột ộ W = x 0 x 1 . . . x l ớ l 3, x 0 = x l x i 0 < i < l ệt x 0 tì W ợ ọ ột ò ể ò ợ í ệ x 1 x 2 . . . x l ú ý r í ệ ớ ột ờ ở ỗ x l x 1 ũ ột ủ ò ột ò ó ỉ t ũ ớ x 1 x 2 . . . x l x l x 1 . . . x l1 x 2 x 3 . . . x 1 ù í ệ ột ò ú t tờ ù P l ể í ệ ột ờ C l ể í ệ ột ò ú t ọ C 3 ột t C 4 ột tứ C 5 ột ũ C l ợ ọ ột lò ột ò ế ộ ủ ó ẽ ít r rố ế ù P l C l ữ ờ ò tổ qt ò ữ ờ ò ụ tể t ù P 1 , P 2 , . . . , C 1 , C 2 , . . . t t ù ỉ số ớ ợ rộ r ú t ũ ọ ỉ số ớ ọ r ữ q ớ sẽ ế ể rớ tế tụ ị ĩ ú t r ết q ố ớ ò t ở ị ý ỉ ủ ột ồ tị ó tể t ò ế ỉ ế ọ ỉ ó ứ ề ệ rõ r ế ột ồ tị ợ ủ ò ó ỉ tì ột ỉ ứ tr k ò ó 2k ò ỗ ỉ ó 0 sử r ỗ ỉ ủ ồ tị ề ó e(G) > 0 tế ú t ó tể tì ợ ột ò tr G x 0 x 1 . . . x l ột ờ ó ộ ớ t l tr G x 0 x 1 e(G) ú t ó d(x 0 ) 2 tế tì ó ột y x 1 t ữ ú t ó y = x i ớ x i ó 2 i l ế tì yx 0 x 1 . . . x l sẽ ột ờ ó ộ l + 1 ừ ó ú t tì ợ ột ò x 0 x 1 . . . x i ì t ột ò ọ C 1 ệ ú t tủ tụ tế tế ữ ể tết ề t G 1 = G tế C 1 ột ò tr G 1 ị G 2 = G 1 E(C 1 ) ỗ ỉ tộ G 2 ó E(G 2 ) = G 2 ứ ột ò C 2 ế tụ t ú t tì ợ ò ó C 1 , C 2 , . . . , C s tỏ E(G) = s i=1 E(C i ) ể ứ ết q tứ ột ị ý ẹ ủ t từ ú t sẽ ù ét t tứ ị ý ỗ ồ tị tứ tự n ớ ỡ ớ n 2 /4 ứ ột t ứ sử ứ r G ột ồ tị tứ tự n ứ ột t ế tì (x) (y) = ớ ỗ xy E(G) d(x) + d(y) n. ộ t tứ tt e(G) xy ủ G ú t ợ xG d(x) 2 ne(G). (1) t tứ (2e(G)) 2 = ( xG d(x)) 2 n( xG d(x) 2 ). t (3) (2e(G)) 2 n 2 e(G), ứ tỏ r e(G) n 2 /4. ủ ết q t ễ tốt t ó tể ợ ị ý ủ t ợ ở rộ ớ ở r ị ý ủ r ể t ủ ý tết ồ tị ự trị ỉ x, y ủ ú d(x, y) ộ t ủ ờ x y ế ó ờ x y tì d(x, y) = ột ồ tị ọ t ế ọ ỉ ệt {x, y} ề ó ột ờ từ x ế y ú ý r ột ồ tị t ủ ít t ỉ tể ứ ột ỉ ột ồ tị t ớ t tứ ó ột ồ tị t ứ ó tự sự ột t tố ủ ồ tị ột ỉ t ột ỉ sự ó ỏ ó t số t tố ủ ồ tị tự ột ột sự ó ỏ ó t số t tố ủ ồ tị ột ột ế sự ó ỏ ó t tí t ủ ồ tị ột ồ tị ứ ò ột rừ ột ồ tị ò ột ột rừ t ố q ệ ữ rừ ớt ợ ế t t r ột rừ ột t ồ rờ ó ột rừ ột ồ tị ỗ t tố ủ ó ột ột ồ tị G ột ồ tị ớ ớ ỉ V 1 V 2 ế V (G) = V 1 V 2 , V 1 V 2 = ọ ố ột ỉ ủ V 1 ớ ột ỉ ủ V 2 ũ ó r G ó (V 1 , V 2 ) tự t ó G r ớ ớ ỉ V 1 , V 2 , . . . , V r r (V 1 , V 2 , . . . , V r ) ế V (G) = V 1 V 2 . . .V r V i V j = 1 i < j r ó ố ỉ ủ ù ột ớ í ệ K(n 1 , . . . , n r )ù ột ồ tị r ủ ó ứ n i ỉ tr ớ tứ i ỉ t ì tr ớ ệt ề ợ ố ớ ể ú t tờ ết K p,q t tế K(p, q) K r (t) t tế K(t, . . . , t) ú t sẽ ết G H = (V (G) V (H), E(G) E(H)) kG ợ ủ k [...]... thì, theo phần đầu, G có một chu trình Euler C Rõ ràng, C u là một vệt Euler từ x đến y Bây giờ giả sử rằng 21 Chương 2 Phương pháp cơ bản 2.1 Phương pháp Xác suất Phương pháp xác suất là công cụ hữu hiệu để xử lý nhiều vấn đề trong toán rời rạc Nói nôm na, phương pháp tiến hành như sau: cố gắng chứng minh một cấu trúc có một tính chất mong muốn nào đó, người ta định nghĩa một không gian xác suất. .. những không gian xác suất trong việc tìm hiểu những bài toán tổ hợp xét trong không gian hữu hạn, cách liệt kê này áp dụng cho hầu hết những ứng dụng của phương pháp xác suất cho toán rời rạc Tuy nhiên, trong thực hành, xác suất là cốt lõi Phương pháp xác suất có một khía cạnh thuật toán thú vị Xét, ví dụ, chứng minh của Mệnh đề 2.1.1 chỉ ra rằng có một cách tô hai màu các cạch của không có đơn màu K2 log2... nên E[X] = 1/n + + 1/n = 1 Trong ứng dụng ta thường dùng rằng có một điểm của không gian xác suất mà tại đó X E[X] và một điểm tại đó X E[X] Ta nêu các kết quả với mục đích bày tỏ phương pháp cơ bản này Kết quả sau của Szele (1943) nhiều lần được xem là cách dùng đầu tiên của phương pháp xác suất Định lý 3.1.1 Hamilton Có một giải đấu T với n người chơi và ít nhất n! 2 1 đường n1 Chứng minh Trong... của phương pháp xác suất Để chứng minh sự tồn tại của một cách tô màu tốt chúng ta không giới thiệu một cách tô tường minh nhưng chỉ ra mà không dựng rằng nó tồn tại Ví dụ này xuất hiện trong tài liệu của P Erdos từ 1947 Mặc dù Szele có ứng dụng phương pháp xác suất trong một bài toán tổ hợp khác, đưa ra trong chương 3, đã có trong 1943, Erdos chắc chắn đã là người đầu tiên hiểu đầy đủ sức mạnh của phương. .. ra một giải thuật hiệu quả 23 Phương pháp xác suất là một công cụ mạnh và hiệu quả của lý thuyết Đồ thị và Tổ hợp Nó cũng là ứng dụng hàng đầu trong Lý thuyết Số và trong Hình học Tổ hợp Gần đây nó được ứng dụng nhiều hơn trong việc phát triển kĩ thuật giải thuật hiệu quả và trong việc tìm hiểu những bài toán máy tính khác nhau 2.2 Lý thuyết Đồ thị n người chơi là một sự định hướng T = (V, E) của các... không vòng lớn nhất của G, theo Định lý 1.2.4(c) thì T1 chính là một cây dẫn xuất của G không cạnh nào có thể thêm vào tập 16 (2) Phương pháp này dựa trên thực tế rằng ta sẽ không dùng một cạnh đắt đỏ trừ khi nó cần để đảm bảo tính liên thông của đồ thị con của G Như vậy chúng ta xóa từng cạnh đắt nhất mà sự xóa bỏ nó không làm mất tính liên thông của đồ thị còn lại Theo Định lý 1.2.4(b) quá trình kết... đó có nghĩa là, vì một lý do nào đó, chúng ta phải giới thiệu một cách tô hai màu cho các cạnh của K1024 mà không chứa đơn màu K20 nào, chúng ta có thể đơn giản tạo một cách tô màu ngẫu nhiên bằng cách tung 1024 đồng xu hai mặt lần Chúng ta sẽ nhận được một cách tô màu đáng tin: 2 211 xác suất để có một đơn màu K20 nhỏ hơn Do đó, trong một vài trường 20! hợp, phương pháp xác suất không xây dựng đưa... ống dẫn cuối cùng sẽ là một cây dẫn xuất Mỗi một trong bốn phương pháp trên sản xuất ra một cây dẫn xuất kinh tế Nếu không có hai cạnh nào cùng giá, thì có cây dẫn xuất kinh tế duy nhất Định lý 1.2.8 Chứng minh Chọn một cây dẫn xuất kinh tế nhiều nhất có thể với T của G mà có cùng số cạnh T1 , ở đây T1 là cây dẫn xuất được chọn theo phương pháp đầu tiên Giả sử rằng E(T1 ) = E(T ) Các cạnh của 17 T1... cách chọn là tương đương Giả sử rằng theo cách này, mỗi một trong các giải đấu trên V là bình đẳng, không gian xác suất được xét là đối xứng Rất đáng chú ý rằng chúng ta thường dùng trong ứng dụng những không gian xác suất đối xứng Trong trường hợp này, chúng ta đôi khi coi những phần tử của không gian như những phần tử ngẫu nhiên, mà không mô tả cụ thể phân phối xác suất Vì vậy, ví dụ, trong chứng minh... đồ thị đầy đủ K n/2 , n/2 Theo Định lý 1.2.2, n /4 cũng là cỡ lớn nhất của một đồ thị thứ tự n không chứa các vòng lẻ Thực tế, Một đồ thị hai nhánh như chúng ta thấy trong Định lý 1.1.2, đó là số cạnh tốt nhất có thể để đồ thị không chứa một tam giác Một đồ thị là một rừng nếu và chỉ nếu cho mỗi cặp {x, y} của hai đỉnh phân biệt, nó chứa nhiều nhất là một đường x y Định lý 1.2.3 G là đồ thị có nhiều 123doc.vn