Một kết quả hình học

Một họ các hình cầu đơn vị mở

F

hình cầu. Một phủ cơ số 1 được gọi đơn giản là một phủ. Một phủ cơ số k

F

F

F

R³ trong đó không có điểm nào bị phủ bởi nhiều hơn c2^k/3 hình cầu là tách được. Điều này tiết lộ một tính chất thú vị: khó tách các phủ mà phủ các điểm nào đó của R³ nhiều lần hơn là tách các phủ mà mỗi điểm bị phủ bởi cùng một số hình cầu. Phát biểu chính xác của Định lý Mani-Levitska và Pach là như sau. Định lý 4.4.1 Cho

F

F

e.t³2¹⁸/2^k−1 ≤ 1 thì

F

Chứng minh.Xác định một siêu đồ thị vô hạnH = (V(H), E(H))như sau. Tập các đỉnh của H, V(H), đơn giản là

F

E_x là tập của các hình cầu B_i ∈

F

khác của H. Nếu x ∈ B_i tâm của B_i là trong khoảng cách một từ x. Bây giờ nếu B_j ∩ B_i 6= ∅ tâm của B_j là trong khoảng cách ba từ x nên B_j nằm hoàn toàn trong hình cầu bán kính bốn tâm tại x. Một B_j như thế phủ đúng 4⁻³ = 2⁻⁶ thể tích của hình cầu đó. Vì không có đỉnh nào bị phủ nhiều hơnt

lần có thể có nhiều nhất 2⁶t hình cầu như thế. Không khó để kiểm tra rằng m

hình cầu trong R³ cắt R³ thành ít hơn m³ thành tố liên thông do đó có nhiều nhất (2⁶t)³ E_y phân biệt giao với E_x.

Bây giờ, xét, siêu đồ thị con hữu hạn L nào đó của H. Mỗi cạnh của L có ít nhất k đỉnh, và nó giao với nhiều nhất d < t³2¹⁸ cạnh khác của L. Do, theo giả thiết, e(d + 1) ≤ 2^k−1, Định lý 4.2.1 (cái mà là một hệ quả đơn giản của bổ đề địa phương), chứng tỏ rằng L là hai sắc. Điều này có nghĩa là ta có thể tô màu các đỉnh của L xanh và đỏ sao cho không có cạnh nào của

L là đơn màu. Do điều này đúng cho L hữu hạn nào đó, một lập luận về sự compact, lập luận như trong Định lý 4.2.2, chỉ ra rằng H là hai sắc. Cho một cách tô hai màu của H mà không có cạnh nào đơn màu, chúng ta đơn giản lấy

F

F

F