Một họ các hình cầu đơn vị mở F trong không gian Euclide ba chiều R3 được gọi là một phủ cơ số k của R3 nếu một điểm tùy ý x ∈ R3 thuộc ít nhất k
hình cầu. Một phủ cơ số 1 được gọi đơn giản là một phủ. Một phủ cơ số k F được gọi là tách được nếu có một phân hoạch thành (các họ đôi một rời nhau) F1 và F2, mỗi họ là một phủ của R3. Mani-Levitska và Pach (1988) xây dựng một phủ cơ số k không tách được, cho số nguyên k ≥ 1 tùy ý, bởi các hình cầu đơn vị mở. Mặt khác chúng ta chứng minh được rằng một phủ cơ số k của
R3 trong đó không có điểm nào bị phủ bởi nhiều hơn c2k/3 hình cầu là tách được. Điều này tiết lộ một tính chất thú vị: khó tách các phủ mà phủ các điểm nào đó của R3 nhiều lần hơn là tách các phủ mà mỗi điểm bị phủ bởi cùng một số hình cầu. Phát biểu chính xác của Định lý Mani-Levitska và Pach là như sau. Định lý 4.4.1 ChoF = {Bi}i∈I là một phủ cơ sốkcủa một không gian Euclide ba chiều bởi các hình cầu đơn vị mở. Giả sử, thêm nữa, rằng không có điểm nào của R3 được chứa trong nhiều hơn t thành viên củaF. Nếu
e.t3218/2k−1 ≤ 1 thì F là tách được.
Chứng minh.Xác định một siêu đồ thị vô hạnH = (V(H), E(H))như sau. Tập các đỉnh của H, V(H), đơn giản là F = {Bi}i∈I. Cho mỗix ∈ R3 đặt
Ex là tập của các hình cầu Bi ∈ F mà chứa x. Tập các cạnh của H, E(H), đơn giản là tập các Ex, với cách hiểu rằng khi Ex = Ey cạnh chỉ lấy một lần. Chúng ta khẳng định rằng mỗi cạnh Ex giao với ít hơn t3218 cạnh Ey
khác của H. Nếu x ∈ Bi tâm của Bi là trong khoảng cách một từ x. Bây giờ nếu Bj ∩ Bi 6= ∅ tâm của Bj là trong khoảng cách ba từ x nên Bj nằm hoàn toàn trong hình cầu bán kính bốn tâm tại x. Một Bj như thế phủ đúng 4−3 = 2−6 thể tích của hình cầu đó. Vì không có đỉnh nào bị phủ nhiều hơnt
lần có thể có nhiều nhất 26t hình cầu như thế. Không khó để kiểm tra rằng m
hình cầu trong R3 cắt R3 thành ít hơn m3 thành tố liên thông do đó có nhiều nhất (26t)3 Ey phân biệt giao với Ex.
Bây giờ, xét, siêu đồ thị con hữu hạn L nào đó của H. Mỗi cạnh của L có ít nhất k đỉnh, và nó giao với nhiều nhất d < t3218 cạnh khác của L. Do, theo giả thiết, e(d + 1) ≤ 2k−1, Định lý 4.2.1 (cái mà là một hệ quả đơn giản của bổ đề địa phương), chứng tỏ rằng L là hai sắc. Điều này có nghĩa là ta có thể tô màu các đỉnh của L xanh và đỏ sao cho không có cạnh nào của
L là đơn màu. Do điều này đúng cho L hữu hạn nào đó, một lập luận về sự compact, lập luận như trong Định lý 4.2.2, chỉ ra rằng H là hai sắc. Cho một cách tô hai màu của H mà không có cạnh nào đơn màu, chúng ta đơn giản lấy F1 là tập tất cả các hình cầu màu xanh, và F2 là tập tất cả các hình cầu màu đỏ. Rõ ràng, mỗiFi là một phủ của R3, hoàn thành chứng minh định lý.