Trong mục này chúng ta trình bày một áp dụng thú vị, theo Erdos và Spencer (1991). Gọi A = (aij) là một ma trận cấp n ì n với các phần tử nguyên.
Một phép thế π được gọi là một bước chuyển Latin của A nếu các phần tử
aiπ(i) (1 ≤ i ≤ n) đều phân biệt với nhau.
Định lý 4.6.1 Giả sửk ≤ (n−1)/(4e) và giả sử không có số nguyên nào xuất hiện trong nhiều hơnk phần tử của A, Thế thìA có một Bước chuyển Latin. Chứng minh. Gọi π là một phép thế ngẫu nhiên của {1,2, . . . , n}, được chọn theo phân phối đều trong số tất cả n! phép thế. Kí hiệu bởi T tập tất cả các bộ bốn có thứ tự (i, j, i0, j0) thỏa mãn i < i0, j =6 j0 và aij = ai0j0. Cho mỗi (i, j, i0, j0) ∈ T, kí hiệuAiji0j0 là sự kiện π(i) = j và π(i0) = j0. Sự tồn tại của Bước chuyển Latin tương đương với phát biểu rằng không có sự kiện nào trong số các sự kiện này là đúng với xác suất dương. Chúng ta xác định một đồ thị có hướng đối xứng G trên tập đỉnh T bằng cách tạo (i, j, i0, j0) kề với (p, q, p0, q0) nếu và chỉ nếu {i, i0} ∩ {p, p0} 6= ∅ hoặc
{j, j0} ∩ {q, q0} 6= ∅ hoặc aj = apq. Như vậy, hai bộ bốn mà không kề nhau nếu và chỉ nếu bốn ô {i, i0},{p, p0},{j, j0},{q, q0} nằm ở bốn hàng và bốn cột phân biệt của A và aj 6= apq. Bậc lớn nhất của G là nhỏ hơn 4nk; thực vậy, với một (i, j, i0, j0) ∈ T đã cho có nhiều nhất 4n cách chọn (s, t) với hoặc s ∈ {i, i0} hoặc t ∈ {j, j0}, và với mỗi cách chọn (s, t) này có ít hơn k cách chọn cho (s0, t0) 6= (s, t) với ast = as0t0. Mỗi bộ bốn (s, t, s0, t0) như thế có thể viết duy nhất dạng (p, q, p0, q0) với p < p0. Do
e.4nk.n(n1−1) ≤ 1, kết quả mong muốn suy ra từ chú ý đối với bản đối xứng của Bổ đề Địa phương, nếu chúng ta chỉ ra được
Pr(Aiji0j0|^
S
Apqp0q0) ≤ 1
n(n − 1) (16)
cho (i, j, i0, j0) ∈ T tùy ý và tập S tùy ý của các thành viên của T mà không kề với (i, j, i0, j0) trong G. Bởi đối xứng, chúng ta có thể giả sử rằng
i = j = 1, i0 = j0 = 2 và các giá trị của p và q không là 1 hoặc 2. Chúng ta gọi một phép thế π tốt nếu nó thỏa mãn V
S Apqp0q0, và gọi Sij là tập tất cả các phép thế tốt π thỏa mãn π(1) = i và π(2) = j. Chúng ta khẳng định rằng |S12| ≤ |Sij| cho tất cả i 6= j. Thực vậy, trước hết giả sử rằng
π∗(y) = 2 và π∗(t) = π(t) cho tất cả t 6= 1,2, x, y. Chúng ta có thể kiểm tra dễ dàng rằngπ∗là tốt, do các ô(1, i),(2, j),(x,1),(y,2)không là thành phần của (p, q, p0, q0) ∈ S. Như vậy π∗ ∈ Sij, và do ánh xạ π → π∗ là đơn ánh|S12| ≤ |Sij|, như đã khẳng định. Tương tự chúng ta có thể xác định một đơn ánh chỉ ra rằng |S12| ≤ |Sij| thậm chí khi {1,2} ∩ {i, j} 6= ∅ . Nó suy ra rằng Pr(A1122 ∧ V S Apqp0q0) ≤ Pr(A1i2j ∧ V S Apqp0q0) cho tất cả i 6= j và như thế Pr(A1122|^ S Apqp0q0) ≤ 1 n(n −1).
Bởi tính đối xứng, điều này chứng tỏ(16) và hoàn thành chứng minh.