Một rừng tuyến tính là một rừng (tức là một đồ thị không có vòng) trong đó mỗi thành phần liên thông là một đường. Số arboricity tuyến tính la(G) của đồ thị G là số nhỏ nhất các rừng tuyến tính trongG, mà hợp của chúng là tập của tất cả các cạnh của G. Khái niệm này được giới thiệu bởi Harary. Giả thuyết sau, biết đến như là Giả thuyết số arboricity tuyến tính, được nảy sinh trong Akiyama, Exoo và Harary (1981).
của mọi đồ thịd-chính quy là d(d+ 1)/2e.
Chú ý rằng mỗi đồ thị đầy đủd-chính quy cónd/2 cạnh, và mỗi rừng tuyến tính trong nó có nhiều nhất n −1 cạnh, có ngay bất đẳng thức
la(G) ≥ nd
2(n − 1) >
d
2.
Do la(G) là một số nguyên nó đưa đến la(G) ≥ d(d+ 1)/2e. Điều khó của Giả thuyết 4.5.1 nằm ở bất đẳng thức ngược lại: la(G) ≤ d(d+ 1)/2e. Cũng chú ý rằng mỗi đồ thị G với bậc lớn nhất ∆ là một đồ thị con của một đồ thị ∆-chính quy (cái mà có thể có nhiều đỉnh cũng như cạnh hơn G), Giả thuyết số arboricity tuyến tính tương đương với phát biểu rằng số arboricity tuyến tính của mọi đồ thị bậc lớn nhất ∆ nhiều nhất là d(∆ + 1)/2e.
Mặc dù Giả thuyết này nhận được sự quan tâm lớn, kết quả tổng quát tốt nhất liên quan đến nó, được chứng minh mà không dùng lập luận xác suất, là la(G) ≤ d3∆/5e cho ∆ chẵn và la(G) ≤ d(3∆ + 2)/5e cho ∆ lẻ. Trong phần này chúng ta chứng minh rằng cho mỗi > 0 có một ∆0 = ∆0() sao cho cho mọi ∆ ≥ ∆0(), số arboricity tuyến tính của mọi đồ thị với bậc lớn nhất ∆ nhỏ hơn là (12 + )∆. Kết quả này xuất hiện trong Alon (1988) và chứng minh của nó liên quan mật thiết đến Bổ đề Địa phương.
Từ kết quả cho đồ thị có hướng chuyển sang đồ thị vô hướng là rất tiện lợi. Một đồ thị có hướngd-chính quy là một đồ thị có hướng trong đó bậc trong và bậc ngoài của mọi đỉnh đúng là d. Một rừng có hướng tuyến tính là một rừng trong đó mọi thành tố liên thông là một đường có hướng. Số arboricity tuyến tính có hướng dla(G) của một đồ thị có hướng G là số nhỏ nhất các rừng có hướng tuyến tính củaG. Bản có hướng của Giả thuyết số arboricity tuyến tính, được phát biểu đầu tiên trong Nakayama và Peroche (1987) là:
Giả thuyết 4.5.2 Cho mọi đồ thị có hướngd-chính quy D, dla(D) = d + 1.
Chú ý rằng do các cạnh của một đồ thị vô hướng 2d-chính quy (liên thông) tùy ýG có thể được định hướng dọc theo một vòng Euler, sao cho đồ thị định
hướng kết quả làd-chính quy, sự đúng đắn của Giả thuyết 4.5.2 chodsẽ chuyển sang Giả thuyết 4.5.1 cho 2d.
Dễ dàng chứng minh được một đồ thị tùy ý với n đỉnh và bậc lớn nhất d
chứa một tập độc lập với cỡ ít nhất là n/(d + 1). Chúng ta có Mệnh đề sau. Mệnh đề 4.5.3 Cho H = (V, E) là một đồ thị với bậc lớn nhất d, và cho
V = V1 ∪ V2 ∪ . . . ∪ Vr là một phân hoạch của V thành r các tập đôi một rời nhau. Giả sử mỗi tập Vi có lực lượng |Vi| ≥ 2ed, ở đây e là cơ số của logarithm tự nhiên. Thế thì có một tập các đỉnh độc lập W ⊆ V (tức là dồ thị cảm sinh của V trênW không có cạnh nào), mà chứa một đỉnh từ mỗi Vi. Chứng minh. Rõ ràng ta có thể giả sử rằng mỗi tập Vi có lực lượng là đúng
g = d2ede (nếu khác, đơn giản thay mỗi Vi bởi tập con có lực lượng g của nó, và thayH bởi đồ thị con cảm sinh của nó trên hợp của r các tập mới này). Chúng ta lấy độc lập và ngẫu nhiên từ mỗi Vi một đỉnh đơn theo phân phối đều. Lấy W là tập ngẫu nhiên của các đỉnh được lấy. Để hoàn thành chứng minh chúng ta chỉ ra rằng với xác suất dương W là một tập các đỉnh độc lập trong H.
Cho mỗi cạnhf củaH, đặtAf là sự kiện rằngW chứa cả hai đỉnh cuối củaf. Rõ ràng,Pr(Af) ≤ 1/g2. Hơn nữa, nếu các đỉnh cuối củaf nằm trongVi và trongVj, thì sự kiệnAf là độc lập với tất cả các sự kiện tương ứng với các cạnh mà các đỉnh cuối của chúng không nằm trongVi∪Vj. Từ đó, có một đồ thị có hướng phụ thuộc vào các sự kiện trên trong đó bậc lớn nhất là ít hơn 2gd, và do e.2gd.(1/g2) = 2ed/g < 1, theo Hệ quả 4.1.2, chúng ta kết luận rằng với xác suất dương không có sự kiện Af nào đúng. Nhưng điều này chứng tỏ rằngW là một tập độc lập chứa một đỉnh từ mỗiVi, hoàn thành chứng minh.
Định lý 4.5.4 Cho G = (U, F) là một đồ thị có hướng d-chính quy, chu vi có hướng g ≥ 8ed. Thế thì
dla(G) = d + 1.
của Định lý Hall-Konig; cho H là một đồ thị hai nhánh mà hai lớp đỉnh của nóA, B là hai bản sao của U, trong đóu ∈ Anối với v ∈ B nếu và chỉ nếu (u, v) ∈ F. Do H là d-chính quy các cạnh của nó có thể phân chia thành d
các tương xứng hoàn hảo, cái mà tương ứng với d đồ thị con dẫn xuất 1-chính quy của G.] Mỗi Fi là một hợp của các vòng có hướng các đỉnh rời nhau
Ci1, Ci2, . . . , Ciri. Gọi V1, V2, . . . , Vr là các tập của các cạnh của tất cả các vòng {Cij : 1 ≤ i ≤ d,1 ≤ j ≤ ri}. Rõ ràng các tập V1, V2, . . . , Vr là một phân hoạch của tập F chứa tất cả các cạnh của G, và do điều kiện chu vi,
|Vi| ≥ g ≥ 8ed cho mọi 1 ≤ i ≤ r. Gọi H là đồ thị đường của G, nghĩa là, đồ thị mà tập đỉnh của nó là tập F gồm các cạnh của G, trong đó hai cạnh là kề nhau nếu và chỉ nếu chúng có chung một đỉnh trong G. Rõ ràng H là (4d − 2)-chính quy. Vì lực lượng của mỗi Vi ít nhất là 8ed ≥ 2e(4d− 2), nên có, theo Mệnh đề 4.5.3, một tập độc lập của H mà chứa một thành viên từ mỗi Vi. Nhưng điều này có nghĩa là có một tương xứng M trong G, chứa ít nhất một cạnh từ mỗi vòng Cij của các 1-nhân tố F1, F2, . . . , Fd. Do đó
M, F1\M, F2\M, . . . , Fd\M làd+ 1 các rừng có hướng trong G(mỗi một trong đó là một tương xứng) mà phủ tất cả các cạnh của nó. Vậy
dla(G) ≤ d + 1.
Vì G có |U|.d cạnh và mỗi rừng tuyến tính có hướng có thể có nhiều nhất là
|U| −1 cạnh,
dla(G) ≥ |U|d/(|U| −1) > d.
Vì vậy dla(G) = d + 1, hoàn thành chứng minh.
Bổ đề 4.5.5 Cho G = (V, E) là một đồ thị có hướng d-chính quy, và p là một số nguyên thỏa mãn 10√ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
d ≤ p ≤ 20√
d. Thế thì, có một cách tô p
màu các đỉnh của G bởi các màu 0,1, . . . , p − 1 với tính chất sau; cho mỗi cạnh v ∈ V và mỗi màu i, số Nv,i+ = |{(v, u) ∈ E : ucó màu i}| và
Nv,i− = |{(u, v) ∈ E : u có màu i}| thỏa mãn:
|N+(v, i) − d p| ≤ 3 s d p p logd, |N−(v, i) − d p| ≤ 3 s d p p logd. (15)
Chứng minh. Gọi f : V → {0,1, . . . , p − 1} là một cách tô p màu ngẫu nhiên các đỉnh của V bởi p màu, ở đây cho mỗi v ∈ V, f(v) ∈ {0,1, . . . , p − 1} được chọn theo phân phối đều. Cho mỗi đỉnh v ∈ V và mỗi màui,0 ≤ i < p, gọiA+v,i là sự kiện rằng sốNv,i+ của các lân cận của v
trong G mà màu của nó là i sẽ không thỏa mãn bất đẳng thức (15). Rõ ràng,
Nv,i+ là một biến ngẫu nhiên Nhị thức với kỳ vọng d/p và phương sai chuẩn
q
d
p(1− dp) < qdp. Vậy, theo ước lượng chuẩn cho phân phối Nhị thức, cho mọiv ∈ V và 0 ≤ i < p,
Pr(A+v,i) < 1/d4.
Tương tự, nếu gọi A−v,i là sự kiện số Nv,i− vi phạm (15) thì Pr(A−v,i) < 1/d4.
Rõ ràng, mỗi sự kiệnA+v,ihoặc A−v,i là độc lập với tất cả các sự kiệnA+u,j hoặc
A−u,j cho mọi đỉnh u ∈ V mà không có lân cận chung với v trong G. Do đó, có một đồ thị có hướng phụ thuộc vào tất cả các sự kiện của chúng ta ở trên với bậc lớn nhất ≤ (2d)2.p. Do ed14((2d)2p + 1) < 1, Hệ quả 4.1.2 (dạng đối xứng của Bổ đề Địa phương) chứng tỏ rằng với xác suất dương không sự kiện A+v,i hoặc A−v,i nào đúng, nghĩa là có một cách tô p màu thỏa mãn (15) cho mọi v ∈ V và 0 ≤ i < p, hoàn thành chứng minh.
Bây giờ chúng ta đã sẵn sàng để đối phó với đồ thị có hướng chính quy tổng quát. Gọi G = (V, E) là một đồ thị có hướng d-chính quy tùy ý. Trong suốt các lập luận chúng ta giả sử, mỗi khi cần đến, rằng d là đủ lớn. Lấy p
là một số nguyên tố thỏa mãn 10√
d ≤ p ≤ 20√
d (đã biết luôn có một số nguyên tố nằm giữa n và 2n với mọi n). Theo Bổ đề 4.5.5 có một cách tô màu các đỉnh f : V → {0,1, . . . , p − 1} thỏa mãn (15). Cho mỗi
i,0 ≤ i < p, gọi Gi = (V, Ei) là đồ thị con có hướng dẫn xuất của G
xác định bởi Ei = {(u, v) ∈ E : f(v) ≡ f(u) +i (mod p)}. Theo bất đẳng thức (15) bậc trong lớn nhất ∆−i và bậc ngoài lớn nhất ∆+i trong mỗi
Gi nhiều nhất là d
p + 3qdp√
logd. Hơn nữa, cho mỗi i > 0, độ dài của mọi vòng có hướng trongGi chia hết cho p. Như vậy, chu vi có hướnggi của Gi ít nhất là . Do mỗi có thể trở thành, do thêm vào các đỉnh và cạnh, đồ thị có
hướng ∆i-chính quy với cùng chu vi gi và bậc ∆i = max(∆+i ,∆−i ), và do
gi > 8e∆i (cho tất cả d đủ lớn), chúng ta kết luận, theo Định lý 4.5.4, rằng dlaGi ≤ ∆i + 1 ≤ dp + 3qdp√
logd + 1 cho mọi 1 ≤ i < p. Cho G0, chúng ta chỉ cần áp dụng bất đẳng thức tầm thường dlaG0 ≤ 2∆0 ≤ 2d p + 6 s d p p logd
nhận bằng cách, chẳng hạn, nhúngG0 như một đồ thị con của đồ thị∆0-chính quy, tách các cạnh của đồ thị này vào ∆0 các đồ thị con 1-chính quy, và phá mỗi đồ thị con dẫn xuất 1-chính quy này thành hai rừng có hướng liên thông. Hai bất đẳng thức cuối, kết hợp với giả thiết rằng10√
d ≤ p ≤ 20√ d, chứng tỏ dla(G) ≤ d + 2d p + 3 p pdplogd + 3 s d p p logd +p − 1 ≤ d +c.d3/4(logd)1/2.
Như vậy chúng ta vừa chứng minh: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Định lý 4.5.6 Có một hằng số tuyệt đối c > 0 sao cho với mọi đồ thị có hướng
d-chính quyG,
dla(G) ≤ d +c.d3/4(logd)1/2.
Định lý 4.5.7 Có một hằng số tuyệt đối c > 0 sao cho với mọi đồ thị vô hướng
d-chính quyG,
dla(G) ≤ d
2 + c.d 3/4
(logd)1/2.