Chứng minh định lí Welerstrass theo phương pháp xác xuất

Chứng minh định lí Welerstrass theo phương pháp xác xuất

ụ ụ ờ ở ế tứ ị ề ồ tị ị ĩ ờ ò ò t trì r P P st ý tết ồ tị ổ ợ ý tết ố ổ ợ rờ ự tế tí ủ ỳ ọ sở ồ tị t ết q t ổ ề ị ổ ề í t t s ủ số tự ớ số s ột ết q ì ọ ố rrt tế tí ủ ồ tị ớ ể t í tt ứ ị ý rstrss t P st ột số ế tứ st sở ị ị ý ỉ rstrss ột ề tố ộ ộ tụ ủ tứ rst ết ệ t ờ ở P st t trể trở t ột tr ữ ụ ợ ù ữ ệ rộ r ể ứ ụ tổ ợ ột tr ữ ý í tr sự t trể trò q trọ ủ sự tr ý tết ọ tí ĩ ự ộ ự ủ ề t tổ ợ ự t ộ q ữ ờ r ọ tí ột tt tr tì tò ề P st tr ổ ợ ột số ề ớ ợ trì tr t ệ ệ ì ồ sự ứ ũ ệ ứ ụ tr ó t ột số ý tở ề tt ó r ú t sẽ ủ ế tì ể ề t P st ó tể ợ t s ứ sự tồ t ủ ữ trú tổ ợ ớ ữ tí t ó ú t ự ột st ợ ý trú ó ỉ r r ữ tí t ố tồ t ớ st P ợ ở ồ ở P rs ờ ó ó rt ề sự t trể ủ ó tr q ờ ợ ý ọ ó P rs ữ ó ó ủ ỉ số ết q s s tr ủ ề ò ở ề t ự tú ị ề ò ỏ ề t ết ứ tr ĩ ự ờ tể ết ột qể s ề st q ề ết q ữ st ú t ệt tt ú ề ủ ú t ề ú t ì ố t ữ ý tở r ữ ết q tốt t ó tể ế ệ qết q ò ỏ ề ĩ tt ữ ết q tr ét s ệ ề ề ết q tệ ú t ù ữ q ớ tệ s f g ú t ết f = O(g) ế f cg ọ trị ủ ớ ủ ế ủ ở c ột số ú t ết f = (g) ế g = O(f) ết f = (g) ế f = O(g) f = (g) ế tỷ số f/g tớ ế ủ tớ ù t ết f = o(g) ố ù f g í ệ f = (1 + o(1))g ĩ f/g tớ 1 ế tớ ù ồ t trì ữ ế tứ sở ề ồ tị ú t ù st ể ột số t q ế ồ tị s ữ t ụ tể trì ờ ột số t rõ st ụ ớ t ù ế ỳ ọ ủ ế ố trì ờ ột ớ t ù ổ ề ị ú t t ợ ề ết q rt tú ị ố ù trì ụ ĩ tt st ể ứ ị ý rstrss ệ ủ t ọ ể t ệ ủ ế tế tr qể s [1], [2] trì t tế ệt ù t ố t ò ế tr q trì tự ệ tr ỏ ữ tế sót ợ sự ó ó ý ế ủ t ứ ữ q t ế ố ù t tỏ ò ết t s s tớ ễ ế ề sự ớ ỉ ú ỡ t tì t ề ệ t t ũ t ệ rờ ọ ọ ự ọ ố ộ ủ ệ t ộ ủ trờ ệ rờ P ú ỡ t ề ệ t ợ tr sốt tờ ọ t q trì t ộ t ế tứ ị ề ồ tị ị ĩ ột ồ tị G ột ó tứ tự t ợ rờ (V, E) s E t ủ t ồ ó tứ tự ủ V rừ ó ợ tờ t ú t ỉ ét ữ ồ tị ữ ó V E ữ V t ỉ t E t ế G ột ồ tị tì V = V (G) t ỉ E = E(G) t ột {x, y} ợ ó ố ỉ x, y í ệ ở xy xy yx ể tị ù ột ỉ x y ọ ỉ ố ủ ế xy E(G) tì x y ỉ ề ớ ỉ x y tộ ớ xy ề ế ú ó ú ột ỉ ố ú t tờ ĩ ồ tị ột ó tứ tự ột t ỉ ột số ỉ ợ ố ớ ở ú t ó r G = (V , E ) ồ tị ủ G ế V V E E r trờ ợ t ết G G ế ọ ủ G ố ỉ ủ V ề ứ tr G tì t ó G ồ tị s ủ G ết G = G[V ] ột ồ tị ủ G ứ ọ ỉ ủ G ọ ồ tị t ủ G ột tử ủ G ú t ũ tờ t ữ ồ tị ớ từ ữ ồ tị ũ ó t ỉ ế W V (G) tì G W = G[V \ W ] ồ tị ủ ợ ó W tt tộ ớ ỉ ủ ó tự ế E E(G) tì G E = (V (G), E(G) \ E ) ế W = {w} E = {xy} tì í ệ ết G w G xy tự ế x y ỉ ề ủ G tì G + xy từ G ố x y ế x ột ỉ ủ ồ tị tì ú t ết x G t x V (G) ố tứ tự ủ G số ỉ ủ G í ệ ớ |G| í ệ ũ ù số tử ủ ột t ợ |X| ể tị số tử ủ t X |G| = |V (G)| ỡ ủ G số ủ G ó ợ í ệ ở e(G) ú t ết G n ột ồ tị tù ý ó tứ tự n tự G(n, m) í ệ ột ồ tị tù ý ó tứ tự n ỡ m t rờ U W ủ t ỉ ủ ột ồ tị ú t ết E(U, W ) t ủ U W ó t ố ỗ ỉ ủ U ớ ột ỉ ủ W ũ e(U, W ) = |E(U, W )| số ủ U W ế ú t ố ồ tị ủ ú t G tì t t E G (U, W ) e G (U, W ) ồ tị ế ó ột ữ t ỉ ủ ú t tí tộ G = (V, E) ọ ớ G = (V , E ) ế ó ột s : V V s ế xy ột ủ G tì (x)(y) ột ủ G õ r ồ tị tì ó ù tứ tự ỡ tờ ú t ệt ữ ồ tị trừ ú t ét ữ ồ tị ó t ỉ ợ í ụ ồ tị từ ột ồ tị q ớ ế G H ồ tị tì ú t ết G = H G = H ỡ ủ ột ồ tị tứ tự n ít t 0 ề t n 2 õ r ớ ỗ m 0 m n 2 ó ột ồ tị G(n, m) ột ồ tị ó tứ tự n ớ ỡ n 2 ợ ọ nồ tị ủ í ệ ở K n ột nồ tị rỗ E n ó tứ tự n r K n ọ ỉ ề ề tr ớ E n ó ỉ ề ồ tị K 1 = E 1 ọ t tờ ì E n ố ớ í ệ t ủ ồ tị ú t tờ ù í ệ K n t rỗ ớ tứ tự n ú ý r ó ù ủ ồ tị ủ ổ qt ớ ồ tị G = (V, E) ù ủ G ồ tị G = (V, V (2) E) ỉ ề tr G ế ỉ ế ó ề tr G ỉ ề ủ x G ủ x ợ ý ệ ở (x) ú t ó (x) ở ủ x (x) {x} ó ủ x ũ x y ế x ỉ ề ủ y y (x), x (y), x y, y x t ỗ ột tr ú ể tị xy ột ủ x d(x) = |(x)| ế ú t ố r ồ tị G tì ú t ết G (x) d G (x) q ớ t tự ù ột ụ tộ ồ tị G ế x H = G[W ] tì H (x) = {y H : xy E(H)} = G (x) W. ỏ t ủ ồ tị G ợ í ệ ở (G) ớ t ợ í ệ ở (G) ột ỉ 0 ợ ọ ỉ ế (G) = (G) = k ó ọ ỉ ủ G ó k tì G ợ ó kí q í q k ột ồ tị í q ế ó kí q ớ k ó ột ồ tị 3í q ợ ó ế ột tử ủ G ọ ỉ ủ ó ó r tì t ọ ó ột r tử ủ G 1 tử ột ồ tị t ủ G ọ ỉ ủ ó ó 1 ế V (G) = {x 1 , x 2 , . . . , x n } tì {d(x i )} n i=1 ủ G ờ ú t ế ỉ t ợ t ệ t ệ í ụ (G) = d(x 1 ) . . . d(x n ) = (G) ỗ ó ỉ ố tổ ủ í số n 1 d(x i ) = 2e(G). ệt tổ ủ n 1 d(x i ) 0 (mod 2). ét ố ợ ọ ổ ề r t ó ể tị r tổ số r t (2) t ể r tổ số ỉ ú t t từ (1) r (G) 2e(G)/n (G) 2e(G)/n ở x í ệ số ớ t ớ x x = x í ệ số ỏ t ỏ x ột ờ ột ồ tị P ó V (P ) = {x 0 , x 1 , . . . , x l }, E(P ) = {x 0 x 1 , x 1 x 2 , . . . , x l1 x l }. ờ P tờ ợ í ệ ở x 0 x 1 . . . x l ỉ ọ ỉ ố ủ P l ọ ộ ủ P ú t ó r P ột ờ từ x 0 tớ x l ột ờ x 0 x l ĩ P ũ ột ờ từ x l ế x 0 ờ x l x 0 ể r P ợ ét từ x 0 ú t ọ x 0 ỉ x l ỉ ố ủ P ột ờ ớ ỉ x ọ ột xờ t ữ ộ sẽ ợ ù tr ệ ớ ỉ ờ ủ ột ồ tị ột t ủ ỉ ọ ộ ế ó tử ủ ó ề ũ W V (G) ồ ỉ ộ ế G(W ) ột ồ tị rỗ ột t ờ ộ ế ờ tù ý ỗ ỉ tộ ờ ể ố ủ P 1 , P 2 , . . . , P k ờ x y ộ ế V (P i ) V (P j ) = {x, y} ớ i = j ờ P i ũ ợ ó tự rờ ó ệ q ế ờ ủ ột ồ tị ột ộ W ủ ột ồ tị ột ỉ x 0 , e 1 , x 1 , e 2 , . . . , e l , x l ở e i = x i1 x i , 0 < i l tt ữ tr W ột ộ x 0 x l ợ í ệ ở x 0 x 1 . . . x l ộ ủ W l W ợ ọ ột ệt ế ọ ủ ề ệt ú ý r ột ờ ột ộ ớ ỉ ệt ột ệt ỉ ố ủ ó trù ột ệt ó ợ ọ ột trì õ ột trì ột ệt ó ệt ỉ ố ớ í ụ t ớ ột ỉ t r trì ớ s ế ột ộ W = x 0 x 1 . . . x l ớ l 3, x 0 = x l x i 0 < i < l ệt x 0 tì W ợ ọ ột ò ể ò ợ í ệ x 1 x 2 . . . x l ú ý r í ệ ớ ột ờ ở ỗ x l x 1 ũ ột ủ ò ột ò ó ỉ t ũ ớ x 1 x 2 . . . x l x l x 1 . . . x l1 x 2 x 3 . . . x 1 ù í ệ ột ò ú t tờ ù P l ể í ệ ột ờ C l ể í ệ ột ò ú t ọ C 3 ột t C 4 ột tứ C 5 ột ũ C l ợ ọ ột lò ột ò ế ộ ủ ó ẽ ít r rố ế ù P l C l ữ ờ ò tổ qt ò ữ ờ ò ụ tể t ù P 1 , P 2 , . . . , C 1 , C 2 , . . . t t ù ỉ số ớ ợ rộ r ú t ũ ọ ỉ số ớ ọ r ữ q ớ sẽ ế ể rớ tế tụ ị ĩ ú t r ết q ố ớ ò t ở ị ý ỉ ủ ột ồ tị ó tể t ò ế ỉ ế ọ ỉ ó ứ ề ệ rõ r ế ột ồ tị ợ ủ ò ó ỉ tì ột ỉ ứ tr k ò ó 2k ò ỗ ỉ ó 0 sử r ỗ ỉ ủ ồ tị ề ó e(G) > 0 tế ú t ó tể tì ợ ột ò tr G x 0 x 1 . . . x l ột ờ ó ộ ớ t l tr G x 0 x 1 e(G) ú t ó d(x 0 ) 2 tế tì ó ột y x 1 t ữ ú t ó y = x i ớ x i ó 2 i l ế tì yx 0 x 1 . . . x l sẽ ột ờ ó ộ l + 1 ừ ó ú t tì ợ ột ò x 0 x 1 . . . x i ì t ột ò ọ C 1 ệ ú t tủ tụ tế tế ữ ể tết ề t G 1 = G tế C 1 ột ò tr G 1 ị G 2 = G 1 E(C 1 ) ỗ ỉ tộ G 2 ó E(G 2 ) = G 2 ứ ột ò C 2 ế tụ t ú t tì ợ ò ó C 1 , C 2 , . . . , C s tỏ E(G) = s i=1 E(C i ) ể ứ ết q tứ ột ị ý ẹ ủ t từ ú t sẽ ù ét t tứ ị ý ỗ ồ tị tứ tự n ớ ỡ ớ n 2 /4 ứ ột t ứ sử ứ r G ột ồ tị tứ tự n ứ ột t ế tì (x) (y) = ớ ỗ xy E(G) d(x) + d(y) n. ộ t tứ tt e(G) xy ủ G ú t ợ xG d(x) 2 ne(G). (1) t tứ (2e(G)) 2 = ( xG d(x)) 2 n( xG d(x) 2 ). t (3) (2e(G)) 2 n 2 e(G), ứ tỏ r e(G) n 2 /4. ủ ết q t ễ tốt t ó tể ợ ị ý ủ t ợ ở rộ ớ ở r ị ý ủ r ể t ủ ý tết ồ tị ự trị ỉ x, y ủ ú d(x, y) ộ t ủ ờ x y ế ó ờ x y tì d(x, y) = ột ồ tị ọ t ế ọ ỉ ệt {x, y} ề ó ột ờ từ x ế y ú ý r ột ồ tị t ủ ít t ỉ tể ứ ột ỉ ột ồ tị t ớ t tứ ó ột ồ tị t ứ ó tự sự ột t tố ủ ồ tị ột ỉ t ột ỉ sự ó ỏ ó t số t tố ủ ồ tị tự ột ột sự ó ỏ ó t số t tố ủ ồ tị ột ột ế sự ó ỏ ó t tí t ủ ồ tị ột ồ tị ứ ò ột rừ ột ồ tị ò ột ột rừ t ố q ệ ữ rừ ớt ợ ế t t r ột rừ ột t ồ rờ ó ột rừ ột ồ tị ỗ t tố ủ ó ột ột ồ tị G ột ồ tị ớ ớ ỉ V 1 V 2 ế V (G) = V 1 V 2 , V 1 V 2 = ọ ố ột ỉ ủ V 1 ớ ột ỉ ủ V 2 ũ ó r G ó (V 1 , V 2 ) tự t ó G r ớ ớ ỉ V 1 , V 2 , . . . , V r r (V 1 , V 2 , . . . , V r ) ế V (G) = V 1 V 2 . . .V r V i V j = 1 i < j r ó ố ỉ ủ ù ột ớ í ệ K(n 1 , . . . , n r )ù ột ồ tị r ủ ó ứ n i ỉ tr ớ tứ i ỉ t ì tr ớ ệt ề ợ ố ớ ể ú t tờ ết K p,q t tế K(p, q) K r (t) t tế K(t, . . . , t) ú t sẽ ết G H = (V (G) V (H), E(G) E(H)) kG ợ ủ k [...]... Thế thì, theo phần đầu, G có một chu trình Euler C Rõ ràng, C u là một vệt Euler từ x đến y Bây giờ giả sử rằng 21 Chương 2 Phương pháp cơ bản 2.1 Phương pháp Xác suất Phương pháp xác suất là công cụ hữu hiệu để xử lý nhiều vấn đề trong toán rời rạc Nói nôm na, phương pháp tiến hành như sau: cố gắng chứng minh một cấu trúc có một tính chất mong muốn nào đó, người ta định nghĩa một không gian xác suất... nên hệ thống ống dẫn cuối cùng sẽ là một cây dẫn xuất Mỗi một trong bốn phương pháp trên sản xuất ra một cây dẫn xuất kinh tế Nếu không có hai cạnh nào cùng giá, thì có cây dẫn xuất kinh tế duy nhất Định lý 1.2.8 Chứng minh Chọn một cây dẫn xuất kinh tế nhiều nhất có thể với T của G mà có cùng số cạnh T1 , ở đây T1 là cây dẫn xuất được chọn theo phương pháp đầu tiên Giả sử rằng E(T1 ) = E(T ) Các cạnh... của phương pháp xác suất Để chứng minh sự tồn tại của một cách tô màu tốt chúng ta không giới thiệu một cách tô tường minh nhưng chỉ ra mà không dựng rằng nó tồn tại Ví dụ này xuất hiện trong tài liệu của P Erdos từ 1947 Mặc dù Szele có ứng dụng phương pháp xác suất trong một bài toán tổ hợp khác, đưa ra trong chương 3, đã có trong 1943, Erdos chắc chắn đã là người đầu tiên hiểu đầy đủ sức mạnh của phương. .. d(x) = 2k Chứng minh Các điều kiện cần là rõ ràng Nếu đồ thị 20 chu trình Chúng ta chứng minh điều kiện đủ của mệnh đề thứ nhất bằng cách quy nạp theo số các cạnh Nếu không có cạnh nào, thì không có gì phải chứng minh, như vậy chúng ta thực hiện bước quy nạp tiếp theo G là một đồ thị liên thông không tầm thường trong đó mọi đỉnh đều có bậc chẵn Do e(G) 1, chúng ta thấy rằng (G) 2, nên theo Hệ quả... việc tìm hiểu những bài toán tổ hợp xét trong không gian hữu hạn, cách liệt kê này áp dụng cho hầu hết những ứng dụng của phương pháp xác suất cho toán rời rạc Tuy nhiên, trong thực hành, xác suất là cốt lõi Phương pháp xác suất có một khía cạnh thuật toán thú vị Xét, ví dụ, chứng minh của Mệnh đề 2.1.1 chỉ ra rằng có một cách tô hai màu các cạch của không có đơn màu K2 log2 n Kn Chúng ta có thể tìm... dụng ta thường dùng rằng có một điểm của không gian xác suất mà tại đó X E[X] và một điểm tại đó X E[X] Ta nêu các kết quả với mục đích bày tỏ phương pháp cơ bản này Kết quả sau của Szele (1943) nhiều lần được xem là cách dùng đầu tiên của phương pháp xác suất Định lý 3.1.1 Hamilton Có một giải đấu T với n người chơi và ít nhất n! 2 1 đường n1 Chứng minh Trong một giải đấu ngẫu nhiên gọi X là số đường... tế chúng ta xác định lát cắt theo các cạnh này Số cạnh-kết nối và 26 của G là số nhỏ nhất các cỡ của các lát cắt Bổ đề sau là theo Podderyugin và Matula (một cách độc lập) Cho G = (V, E) là đồ thị bậc nhỏ nhất và cho V = V1 V2 là lát cắt có cỡ nhỏ hơn Thế thì mỗi tập trội U của G có đỉnh trong V1 và V2 Bổ đề 2.2.3 U V1 Chứng minh Giả sử điều này sai và đỉnh kề của nó Với mỗi i, xác định cạnh ei... như một cạnh của Sự biến đổi nhẹ nhàng chứng minh trên sẽ chỉ ra rằng các cây dẫn xuất và T2 T3 , xây dựng theo phương pháp thứ hai và thứ ba, cũng là kinh tế Giả sử rằng không có hai cạnh nào có cùng giá; đó là, f (xy) = f (uv) xy = uv Lấy T4 là một cây dẫn xuất xây dựng bởi phương pháp thứ tư và lấy T là một cây dẫn xuất kinh tế Giả sử rằng, T = T4 , và lấy xy là cạnh đầu tiên không thuộc T mà ta... mạnh của phương pháp này và ứng dụng nó thành công trong nhiều năm vào các bài toán số Ta có thể, dĩ nhiên, phát biểu rằng xác suất là công cụ thiết yếu của chứng minh ở trên Một chứng minh đơn giản tương đương có thể bày tỏ bằng cách đếm: Chúng ta kiểm tra rằng tổng số cách tô màu hai màu của tô hai màu mà có một đơn màu Kn lớn hơn số cách Kk Hơn nữa, do phần lớn những không gian xác suất trong việc... có một đỉnh bậc 1, theo (1) và Hệ quả 1.2.6 ta sẽ có Chứng minh Đặt n 2n 2 = 2e(T ) = di 1 + 2(n 1) 1 15 cây T thứ nhiều nhất Một bài toán cơ bản trong lý thuyết tối ưu yêu cầu một cách tìm dễ dàng một cây dẫn xuất của một đồ thị với một tính chất đặc biệt nào đó Cho một G = (V, E) và một hàm giá trị dương f xác định trên các cạnh, f : E(G) R+ , tìm một đồ thị con liên thông dẫn xuất T = (V, E )