Cho F là họ các tập con rời nhau của X = {1,2, . . . , n}. Ký hiệu d(F) là số các cặp rời nhau, tức là
d(F) = |{(F, F0) : F, F0 ∈ F, F ∩ F0 = ∅}|.
Định lý 2.5.1 ChoFlà họm = 2(1/2+δ)ncác tập con củaX = {1,2, . . . , n}, vớiδ > 0. Thế thì
d(F) < m2−δ
2
Chứng minh. Giả sử (4) sai và lấy độc lập t thành viên A1, A2, . . . , At của F có lặp lại ngẫu nhiên, t là số dương lớn được chọn sau. Ta chỉ ra rằng với xác suất dương |A1 ∪ A2. . . ∪ At| > n/2 và vẫn hợp này là rời với nhiều hơn 2n/2 tập con phân biệt của X. Sự mâu thuẫn chứng tỏ (4).
Thực vậy, Pr(|A1 ∪ . . .∪ At| ≤ n/2) ≤ X S⊂X,|S|≥n/2 Pr(Ai ⊂ S, i = 1, . . . , t) ≤ 2n(2n/2/2(1/2+δ)n)t = 2n(1−δt). (5) Xác định v(B) = |{A ∈ F : B ∩ A = ∅}|. Rõ ràng X B∈F v(B) = 2d(F) ≥ 2m2−δ2/2.
Lấy Y là biến ngẫu nhiên giá trị của nó là số các thành viên B ∈ F mà rời với mọiAi(1 ≤ i ≤ t). Bởi tính lồi của zt kỳ vọng của Y thỏa mãn
E[Y] = X B∈F (v(B)/m)t = 1 mt.m( P v(B)t m ) ≥ 1 mt.m(2d(F) m ) t ≥ 2m1−tδ2/2. (6) Do Y ≤ m ta kết luận rằng Pr(Y ≥ m1−tδ2/2) ≥ m−tδ2/2. (7) Ta có thể kiểm tra rằng vớit = [1+1/δ], m1−tδ2/2 > 2n/2và vế phải của(7) lớn hơn vế phải của(5). Vì vậy, với xác suất dương, |A1∪A2. . .∪At| > n/2 và vẫn tổng này là rời với nhiều hơn 2n/2 thành viên của F. Mâu thuẫn này chứng tỏ bất đẳng thức (4) là đúng.
Chương 3
Sự tuyến tính của kỳ vọng
3.1 Cơ sở
Cho X1, . . . , Xn là các biến ngẫu nhiên, X = c1X1 + . . . + cnXn. Sự tuyến tính của kỳ vọng cho biết:
E[X] = c1E[X1] +. . . +cnE[Xn].
Sức mạnh của tính chất này đến từ chỗ không bị hạn chế bởi sự phụ thuộc hay độc lập của các Xi. Trong nhiều trường hợp E[X] có thể tính dễ dàng bởi sự phân tích thành các biến ngẫu nhiênXi (thường là chỉ số). Cho σ là một phép thế ngẫu nhiên của{1, . . . , n}, được chọn đều. GọiX(σ) là số các điểm bất động củaσ. Để tìm E[X]ta tách X = X1+. . .+Xn với Xi là biến ngẫu nhiên chỉ số của sự kiện σ(i) = i.
Thế thì
E[Xi] = Pr[σ(i) = i] = 1/n
nên
E[X] = 1/n +. . .+ 1/n = 1.
Trong ứng dụng ta thường dùng rằng có một điểm của không gian xác suất mà tại đó X ≥ E[X] và một điểm tại đó X ≤ E[X]. Ta nêu các kết quả với mục đích bày tỏ phương pháp cơ bản này. Kết quả sau của Szele (1943) nhiều lần được xem là cách dùng đầu tiên của phương pháp xác suất.
Định lý 3.1.1 Có một giải đấu T với n người chơi và ít nhất n!2n1−1 đường Hamilton.
Chứng minh. Trong một giải đấu ngẫu nhiên gọi X là số đường Hamilton. Với mỗi phép thế σ gọi Xσ là biến ngẫu nhiên chỉ số mà σ đưa đến một
đường Hamilton, tức là thoả mãn(σ(i), σ(i+ 1)) ∈ T với mọi 1 ≤ i < n. Thế thì X = P
Xσ và
E[X] = XE[Xσ] = n!2−(n−1).
Vì vậy, một giải đấu nào đó có ít nhất E[X] đường Hamilton.