TỈ SỐ GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG 1.. Đường cao: Giao điểm của của 3 đường cao của tam giác gọi là trực tâm 3.. Đường trung trực: Giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác là tâ
Trang 1HÌNH HỌC 12 CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC 12
I TỈ SỐ GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG
1 sinα = AB
BC (ĐỐI chia HUYỀN) 2 cosα = AC
BC (KỀ chia HUYỀN)
3 tanα = AB
AC (ĐỐI chia KỀ) 4 cotα = AC
AB (KỀ chia ĐỐI)
II HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
1 BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pitago)=>AB2 = BC2 - AC2
2 AB2 = BH.BC 3 AC2 = CH.BC
4 AH2 = BH.CH 5 AB.AC = BC.AH 6 1 2 12 1 2
III ĐỊNH LÍ CÔSIN
1 a2 = b2 + c2 – 2bccosA 2 b2 = a2 + c2 – 2accosB 3 c2 = a2 + b2 – 2abcosC
IV ĐỊNH LÍ SIN a b c
2R sin A = sin B sin C = =
V ĐỊNH LÍ TALET MN // BC
AB = AC = BC ; b) AM AN
VI DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG
1 Tam giác thường:
a) S = 1
ah
2 b) S = p(p a)(p b)(p c) − − − (Công thức Hê-rông)
c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp tam giác)
2 Tam giác đều cạnh a: a) Đường cao: h = a 3
2 ; b) S =
2
a 3 4 c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực
3 Tam giác vuông: a) S = 1
2ab (a, b là 2 cạnh góc vuông)
b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền
4 Tam giác vuông cân (nửa hình vuông):
a) S = 1
2a
2 (2 cạnh góc vuông bằng nhau) b) Cạnh huyền bằng a 2
5 Nửa tam giác đều:
a) Là tam giác vuông có một góc bằng 30o hoặc 60o
b) BC = 2AB c) AC = a 3
2 d) S =
2
a 3 8
6 Tam giác cân: a) S = 1
ah
2 (h: đường cao; a: cạnh đáy) b) Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực
7 Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước)
8 Hình thoi: S = 1
d d (d , d là 2 đường chéo)
α
B
A
N M
C B
A
60 o 30 o
C B
A
Trang 29 Hình vuông: a) S = a2 b) Đường chéo bằng a 2
10 Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)
11 Đường tròn: a) C = 2πR (R: bán kính đường tròn)
b) S = πR2 (R: bán kính đường tròn)
VII CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC
1 Đường trung tuyến: G: là trọng tâm của tam giác
a) Giao điểm của 3 đường trung tuyến của tam giác gọi là trọng tâm
b) * BG = 2
3BN; * BG = 2GN; * GN =
1
3BN
2 Đường cao: Giao điểm của của 3 đường cao của tam giác gọi là trực tâm
3 Đường trung trực: Giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
4 Đường phân giác: Giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
VIII HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1 Hình tứ diện đều: Có 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau
Chân đường cao trùng với tâm của đáy (hay trùng với trọng tâm của tam giác đáy)
Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau
2 Hình chóp đều: Có đáy là đa giác đều Có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau Chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau
3 Đường thẳng d vuông góc với mp(α):
a) Đt d vuông góc với 2 đt cắt nhau cùng nằm trên mp(α) Tức là:
a b a,b
∩
b)
( ) ( )
( ) ( ) a
α ⊥ β
α ∩ β =
⊥ ⊂ β
c) Đt d vuông góc với mp(α) thì d vuông góc với mọi đt nằm trong mp(α)
4 Góc ϕ giữa đt d và mp(α): d cắt (α) tại O và A∈d
Nếu AH ( )
H ( )
⊥ α
∈ α
thì góc giữa d và (α) là ϕ hay AOH ˆ = ϕ
5 Góc giữa 2 mp(α) và mp(β):
Nếu
( ) ( ) AB
α ∩ β =
thì góc giữa (α) và (β) là ϕ hay EMF ˆ = ϕ
6 Khoảng cách từ điểm A đến mp(α):
Nếu AH ⊥(α) thì d(A, (α)) = AH (với H ∈(α))
IX KHỐI ĐA DIỆN:
1 Thể tích khối lăng trụ: V = Bh (B: diện tích đáy; h: chiều cao)
1
G P
N M
C B
A
α
β
ϕ
F
E
M B
A
ϕ O H
A
d' d
α
Trang 33 Tỉ số thể tích của khối chóp: S.A B C
S.ABC
′ ′ ′ ′ ′ ′
=
4 Diện tích xq của hình nón tròn xoay: Sxq = π Rl (R: bk đường tròn; l: đường sinh)
5 Thể tích của khối nón tròn xoay: V = 1
Bh
3 (diện tích đáy là đường tròn)
6 Diện tích xq của hình trụ tròn xoay: Sxq = 2π Rl (R: bk đường tròn; l: đường sinh)
7 Thể tích của khối trụ tròn xoay: V = Bh = π R2h ( h: chiều cao khối trụ)
8 Diện tích của mặt cầu: S = 4π R2 (R: bk mặt cầu )
9 Thể tích của khối nón tròn xoay: V = 4 3
R
3 π (R: bán kính mặt cầu)
Trang 4PHẦN II: HÌNH HỌC TRONG KHƠNG GIAN
I CƠNG THỨC VECTƠ:
ℵ Trong khơng gian với hệ trục Oxyz cho
a=(a1;a2;a3)
b=(b1;b2;b3) và k∈R
Ta cĩ:
1) a±b=(a1 ±b1;a2 ±b2;a3 ±b3)
2) k a=(ka1;ka2;ka3)
3) a.b=a1b1 +a2b2 +a3b3
4) a = a12 +a22 +a32
5) Tích cĩ hướng của hai vectơ a và b là
=
2 1
2 1
1 3
1 3
3 2
3
,
b b
a a b b
a a b b
a a b
a
6) [ ]a,b = a.b.Sin( )a,b
7)
=
=
=
⇔
=
3 3
2 2
1 1
b a
b a
b
a b
a
8) a cùng phương b ⇔[ ]a,b =0
9) a⊥[ ]a,b hay b⊥[ ]a,b
10) a, b, c đồng phẳng ⇔ [ ]a,b.c=0
11) a⊥b⇔ a1b1 +a2b2 +a3b3 =0
↑ Ứng dụng của vectơ:
2
1
=
∆
V HộpABCD A B C D =
• V TứdiệnAB CD [AB,AC].AD
6
1
=
II TOẠ ĐỘ ĐIỂM:
Trog khơng gian Oxyz cho A(x A;y A;z A)
B(x B;y B;z B)
1) AB=(x B − x A;y B − y A;z B − z A)
2)
A B A
B A
x
AB= − + − + −
3) G là trọng tâm ∆ABC, ta cĩ:
+ +
=
+ +
=
+ +
=
3 3 3
C B A G
C B A G
C B A G
z z z z
y y y y
x x x x
4) G là trọng tâm tứ diện ABCD
0
= + + +
⇔
+ + +
=
+ + +
=
+ + +
=
4 4 4
D C B A G
D C B A G
D C
B A G
z z z z z
y y y y y
X x
x x x
5) Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k Ta cĩ:
−
−
=
−
−
=
−
−
=
k
kz z
z
k
ky y
y
k
kx x
x
B A
M
B A
M
B A
M
1 1
1
, k ≠1
6) I là trung điểm của đoạn AB thì:
+
=
+
=
+
=
2 2 2
2
z z z
y y y
x x x
A I
B A I
B A I
III MẶT PHẲNG:
1) Giả sử mp ( )α cĩ cặp VTCP là :
a=(a1;a2;a3)
b=(b1;b2;b3)
Nên cĩ VTPT là:
=
2 1
2 1
1 3
1 3
3 2
3
,
b b
a
a b b
a
a b b
a a b
a
2) Phương trình tổng quát của mp ( )α cĩ dạng:
Ax + By + Cz + D = 0 Với A2 +B2 +C2 ≠ 0 ; trong đĩ
Trang 5♦ (Oxy) : z = 0 ; (Ozy) : x = 0
♦ (Oxz) : y = 0
4) Chùm mặt phẳng:Cho hai mặt phẳng cắt
nhau: ( )α1 : A1x+B1y+C1z+D1 =0
( )α2 :A2x+B2y+C2z+D2 =0
P.tr của chùm mp xác định bởi ( )α1 và ( )α2
là:
( 1 + 1 + 1 + 1) (+µ 2 + 2 + 2 + 2) = 0
λ A x B y C z D A x B y C z D
với λ2 +µ2 ≠0
5) Các vấn đề viết phương trình mặt
phẳng:
Vấn Đề 1: Viết phương trình mặt phẳng
P.Pháp:
• Tìm VTPT n=(A;B;C) và điểm đi
quaM0(x0;y0;z0)
• dạng:
(x−x0) (+B y−y0) (+C z−z0) =0
A
Vấn Đề 2: Viết phương trình mặt phẳng qua
ba điểm A, B, C
P.Pháp:
• Tính AB, AC
• Mp (ABC) có VTPT là n=[AB,AC]
và qua A
• Kết luận
Vấn Đề 3: Viết phương trình mp ( )α đi qua
điểm A và vuông góc BC
P.Pháp:
Mp ( )α ⊥ BC Nên có VTPT là BC qua A
Chú ý:
• Trục Ox chứa i=(1;0;0)
• Trục Oy chứa j =(0;1;0)
• Trục Oz chứa k=(0;0;1)
Vấn Đề 4: Viết phương tình mp ( )β là mặt
phẳng trung trực của AB.
P.Pháp:
• Mp ( )β ⊥ AB Nên có VTPT là AB đi qua I là trung điểm của AB
• Kết luận
Vấn Đề 5: Viết phương tình mp ( )β đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và song song với mặt
phẳng ( )α : Ax+By+Cz+D=0
P.pháp:
• ( ) ( )β // α Nên phương trình ( )β có
dạng:
Ax + By + Cz + D/= 0
M ∈ β ⇒
• Kết luận
Vấn Đề 6: Viết phương trình mp (P) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mp (Q) P.Pháp:
• Mp (P) có cặp VTCP là: AB và VTPT của (Q) là n Q
• Mp (P) có VTPT là n=[AB,nQ]và qua A
• Kết luận
Vấn Đề 7: Viết phương trình mp ( )α đi qua các điểm là hình chiếu của điểm
(x0;y0;z0)
M trên các trục toạ độ.
P.Pháp:* Gọi M1, M2, M3 lần lượt là hình chiếu của điểm M trên Ox, Oy, Oz Thì
M1(x0;0;0) , M2(0;y0;0) , M3(0;0;x0)
* Phương trình mp ( )α là: 1
0 0
= + +
z
z y
y x x
Vấn Đề 8: Viết phương trình mp ( )α đi qua điểm M 0 và vuông góc với hai mặt phẳng (P)
và (Q).
P.Pháp:
• (P) có VTPT là n P
• (Q) có VTPT là n Q
• Mp ( )α có VTPT là [n ,P n Q] và qua M o
• Kết luận
•
ϑ Vấn Đề 9: Viết phương trình mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu (S) tại tiếp điểm A.
P.Pháp:
• Xác định tâm I của mặt cầu (S)
• Mặt phẳng ( )α : Mp tiếp diện có VTPT : IA
• Viết phương trình tổng quát
Trang 6IV ĐƯỜNG THẲNG:
ϑ Phương trình đường thẳng:
1) Phương trình tổng quát của đường thẳng:
= + + +
= + +
+
0
0
2 2 2 2
1 1 1 1
D z C y B x
A
D z C y B x
A
với A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2
2) Phương trình tham số của đường thẳng đi
qua điểm M0(x0;y0;z0) có VTCP
(a1;a2;a3)
a là:
+
=
+
=
+
=
t a z
z
t a y y
t a x x
3 0
2 0
1 0
(t∈R)
3) Phương trình chính tắc của đường thẳng đi
qua điểm M0 có VTCP: a(a1;a2;a3) là
3
0
2
0
1
0
a
z z a
y y a
x
=
−
=
−
Với
0
2 3
2 2
2
a
Σ Qui ước: Nếu ai = 0 thì x – x0 = 0
ϑ Vấn Đề 1: Tìm VTCP của đường thẳng tổng
quát.
∆:
= + + +
= + +
+
0
0
2 2 2 2
1 1 1 1
D z C y B x A
D z C y B x A
P.Pháp:
∆ có VTCP là :
=
2 1
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
;
;
B A
B A A C
A C C B
C B
a
ϑ Vấn Đề 2: Viết phương trình đường thẳng ∆
:
P.Pháp:
• Cần biết VTCP a=(a1;a2;a3) và
điểm M0(x0;y0;z0)∈∆
• Viết phương trình tham số theo công
thức (2)
• Viết phương trình chính tắc theo công
thức (3)
• Viết phương trình tổng quát thì từ
phương trình chính tắc , ta có phương trình
tổng quát:
−
=
−
−
=
−
0 0
2
0
1 0
a
z
z a
x x
a
y
y a
x x
Viết phương trình tổng quát về phương trình tham
số Hoặc chính tắc Ta tìm:
- VTCP u=(a1;a2;a3) bằng vấn đề 11
- Cho một ẩn bằng 0 Hoặc bằng một giá trị nào
đó Giải hệ tìm x, y => z
- Có điểm thuộc đường thẳng
- Kết luận
ϑ Vấn Đề 3: Viết ptr đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và vuông góc với mặt phẳng ( )α : Ax+By+Cz+D=0
P.Pháp:
Mp ( )α có VTPT là n=(A;B;C)
Đường thẳng ∆ đi qua điểm M0 và có VTCP là
n
• Viết phương trình chính tắc => Ptr tổng quát
ϑ Vấn Đề 4: Viết phương trình hình chiếu của
d trên mp ( )α
P.Pháp:
• Gọi d/ là hình chiếu của d trê mp ( )α
• Gọi ( )β là mặt phẳng chứa d và ( ) ( )β⊥ α
• Nên ( )β có cặp VTCP là
• VTCP của d là u d và nα là VTPT của mặt
phẳng ( )α
• Mp ( )β có VTPT nβ =[ud,nα]
• Mp ( )β đi qua điểm M0 ∈d
• Viết phương trình tổng quát của Mp
( )β
• Phương trình đường thẳng d/: ( )
( )
β
α
: :
ϑ Vấn Đề 5: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M0(x0;y0;z0) và vuông góc với hai
đường ∆1 và ∆2
P.Pháp:
• ∆1 có VTCP u1
• ∆2 có VTCP u2
• d vuông góc với ∆1 và ∆2 Nên d có VTCP
làud =[u1,u2]
ϑ Vấn Đề 6: Viết phương trình đường thẳng d
đi qua điểm A và cắt cả hai đường ∆1 và ∆2 P.Pháp:
• Thay toạ độ A vào phương trình ∆1 và ∆2
Trang 7• Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua điểm A và chứa
2
∆
• P.tr đường thẳng d: ( )
( )
:
:
Q P
ϑ Vấn Đề 7: Viết phương trình đường thẳng d
( )P
⊂ cắt cả hai đường ∆1 và ∆2.
P.Pháp:
• Gọi A=∆1 ∩( )P
• Gọi B=∆2 ∩( )P
• Đường thẳng chính là đường thẳng AB
ϑ Vấn Đề 8: Viết phương trình đường thẳng
d // d 1 và cắt cả hai đường ∆1 và ∆2.
P.Pháp
• Gọi (P) là mặt phẳng chứa ∆1 và (P) // d1
•Gọi (Q) là mặt phẳng chứa ∆2 và (Q) // d1
• d =( ) ( )P ∩ Q
• Phương trình đường thẳng d ( )
( )
:
:
Q
P
ϑ Vấn Đề 9: Viết phương trình đường vuông
góc chung của hai đường thẳng chéo nhau ∆1
và ∆2.
P.Pháp:
• Gọi u1 và u2lần lượt là VTCP của ∆1 và ∆2
• Gọi v=[u1,u2]
• Gọi (P) là mặt phẳng chứa ∆1 và có một
VTCP là v Nên có VTPT là nP =[u1,v] ⇒
phương trình mặt phẳng (P)
• Gọi (Q) là mặt phẳng chứa ∆2 và có một
VTCP là v Nên có VTPT là nQ =[u2,v]
⇒ phương trình mặt phẳng (Q)
• Phương trình đường vuông góc chung
của ∆1 và ∆2 : ( )
( )
:
:
Q
P
ϑ Vấn Đề 10: Viết phương trình đường thẳng d
vuông góc (P) và cắt hai đường thẳng ∆1 và
2
∆
P.Pháp:
• Gọi ( )α là mặt phẳng chứa
1
∆ và có một VTCP là n P ( VTPT của (P) )
• Gọi ( )β là mặt phẳng chứa
2
∆ và có một VTCP là n P ( VTPT của (P) )
( ) ( )
ϑ Vấn Đề 11: Viết phương trình đường thẳng d
đi qua điểm M 0 vuông góc với đường thẳng ∆1
và cắt đường thẳng ∆2
P.Pháp:
• Gọi ( )α là mặt phẳng đi qua M0 và vuông góc ∆1
• Gọi ( )β là mặt phẳng đi qua điểm M0 và chứa
2
∆
• Đường thẳng d =( ) ( )α ∩ β
ϑ Vấn Đề 12: Viết phương trình đường thẳng d
đi qua giao điểm của đường thẳng ∆ và mặt phẳng ( )α và d⊂( )α ,d⊥∆
P.Pháp:
Gọi { }A =∆∩( )α
Gọi ( )β là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với ∆ Nên ( )β có VTPT
là VTCP của ∆
Đường thẳng d =( ) ( )α ∩ β
V MẶT CẦU:
1 Phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a;b;c) bán
kính R là: (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2
2 Mặt cầu (S) có phươngtrình : x2 + y2 + z2 - 2ax
- 2by -2cz + d = 0 với đk a2 + b2 + c2 –d > 0 thì (S) có : Tâm I(a ; b ; c)
Bán kính R= a2 +b2 +c2 −d
ϑ Vấn Đề 1: Viết phương trình mặt cầu P.Pháp: Cần:
• Xác định tâm I(a ; b ; c) của mặt cầu
• Bán kính R
• Viết phương trình mặt cầu (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2
ϑ Vấn Đề 2: Viết phương trình mặt cầu đường kính AB
P.Pháp:
• Gọi I là trung điểm của AB Tính toạ
độ I => I là tâm mặt cầu
• Bán kính R AB
2
1
=
• Viết phương trình mặt cầu
ϑ Vấn Đề 3: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a ; b ; c) và tiếp xúc với ( )α : Ax + By +
Cz + D = 0 P.Pháp:
• Mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với
( )α Nên có bán kính
Trang 8• R=d(I,( )α )
2 2
A
D Cz By
Ax I I I
+ +
+ + +
=
• Viết phương trình mặt cầu
ϑ Vấn Đề 4: Viết phương trình mặt cầu (S)
ngoại tiếp tứ diện ABCD
P.Pháp:
• Phương trình mặt cầu (S) có dạng
x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By +2Cz + D = 0
• A, B, C, D thuộc (S) Ta có hệ phương
trình
• Giải hệ phương trình tìm A, B, C, D
• Kết luận
ϑ Vấn Đề 5: Lập phương trình mặt cầu đi qua
ba điểm A, B, C có tâm nằm trên mặt phẳng
Oxy
P.Pháp:
• Gọi I(xI ; yI ; 0) là tâm của mặt cầu,
(Oxy)
I∈
• Ta có AI2 = BI2 = CI2
• Ta có Hpt
=
= 2 2
2 2
CI AI
BI AI
• Giải Hpt ⇒ I ⇒IA = R
• Kết luận
VI KHOẢNG CÁCH:
1) Khoảng cách giữa hai điểm AB
A B A
B A
x
AB= − + − + −
2) Khoảng cách từ điểm M0(x0 ; y0 ; z0) đến mặt
phẳng ( )α : Ax + By + Cz + D = 0
( )
0,
C B A
D Cz By Ax M
d
+ +
+ + +
=
α
3) Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng d
• Lấy M0∈d
• Tìm VTCP của đường thẳng d là u
( ) [ ]
u
u M
M d
M
, , 0 1
4) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
∆ và ∆/
• Gọi u và u/ lần lượt là VTCP của ∆
và ∆/
• ∆ đi qua điểm M0 , M0/ ∈∆/
( ) [ ]
[ ]/
/ 0 0 / /
,
, ,
u u
M M u
u
=
∆
∆
VII.GÓC:
1 Góc giữa hai vectơ a và b
Gọi ϕ là góc giữa hai vectơ a và b
2 3
2 2
2 1
2 3
2 2
2 1
3 3 2 2 1 1
b b b a a a
b a b a b a b
a
b a Cos
+ + +
+
+ +
=
=
2 Góc giữa hai đường thẳng (a) và (b) Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng (a) và (b)
(0≤ϕ≤900) Đường thẳng (a) và (b) có VTCP lần lượt là :
a=(a1,a2,a3)
b=(b1,b2,b3)
2 3
2 2
2 1
2 3
2 2
2 1
3 3 2 2 1 1
b b b a a a
b a b a b a b
a
b a Cos
+ + +
+
+ +
=
=
Đặc biệt: a⊥b⇔ a.b=0
3 Góc giữa hai mặt phẳng ( )α và ( )α/ ( )α : Ax + By + Cz + D = 0
( )α/ : A/x + B/y + C/z + D/ = 0 Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng ( )α và ( )α/
2 / 2 / 2 / 2 2 2
/ /
/
A B C C
B A
CC BB
AA Cos
+ + +
+
+ +
= ϕ
4 Góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng ( )α
(d): có VTCP là u= (a, b, c)
( )α : Ax + By + Cz + D = 0 Gọi ϕ là góc nhọn giữa (d) và ( )α
2 2 2 2 2
A
Cc Bb Aa Sin
+ + +
+
+ +
= ϕ
5 Vị trí tương đối giữa mp ( )α và mặt cầu (S)
có tâm I, bán kính R P.Pháp:
• Tính d(I, ( )α )
• Nếu d(I, ( )α ) > R => ( )α không cắt (S)
• Nếu d(I, ( )α ) = R => ( )α tiếp xúc (S)
• Nếu d(I, ( )α ) < R => ( )α cắt (S) theo một đường tròn giao tuyến có bán kính
Trang 9Gọi { }H =d/ ∩( )α ⇒H
là tâm đường tròn giao tuyến
5 Tọa độ giao điểm của đường thẳng ∆ và mặt cầu (S)
P.Pháp:
* Viết phương trình đường ∆ về dạng phương trình tham số
* Thay vào phương trình mặt cầu (S) ta được phương trình () theo t
♦ Nếu ptr () vô nghiệm => ∆ không cắt mặt cầu (S)
♦ Nếu ptr () có nghiệm kép => ∆ cắt (S) tại một điểm
Nếu ptr () có hai nghiệm => ∆ cắt (S) tại hai điểm Thế t = vào phương trình tham số của ∆ => Tọa độ giao điểm
ϑ Vấn Đề 1: Tọa độ điểm M / đối xứng của M qua mặt phẳng ( )α
P.Pháp:
•Gọi M/ (x/ ; y/ ; z/ ) là điểm đối xứng của M qua ( )α
•Gọi d là đường thẳng đi qua M và d⊥( )α Nên d có VTCP là n
•Viết phương trình tham số của d
•Gọi{ }H =d∩( )α
•Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình ( )
( )
α :
:
d
=> Tọa độ điểm H
•Vì H là trung điểm của MM/ => Tọa độ điểm M/
ϑ Vấn Đề 2: Tìm tọa độ điểm M / đối xứng của M 0 qua đường thẳng d
P.Pháp:
Gọi M/ (x/ ; y/ ; z/ )
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm M0 và ( )P ⊥d Nên (P) nhận VTCP của d làm VTPT
Gọi{ }H =d∩( )P
M/ là điểm đối xứng của M0 qua đường thẳng d Nên H là trung điểm của đoạn M0M/
Ta có:
+
=
+
=
+
=
2 2
2
/ 0
/ 0
/ 0
z z z
y y y
x x x
H H H
=> M /
