- đồ thị cắt ox tại 3 điểm phân biệt thì hai giá trị cực trị trái dấu... Các phương pháp tính tích phân:Tích phân của tích, thương phải đưa về tích phân của một tổng hoặc hiệu bằng cách
Trang 1GIẢI TÍCH 12
@ Bổ túc về đại số:
1 phương trình bậc 2: ax2+bx+c=0 với x1,
x2 là nghiệm thì
ax2+bx+c = a(x-x1)(x-x2); =b2-4ac (’=b’2
-ac với b’=b/2)
a
b x
a
b
x
2
' '
2 1,2
2
,
1
nếu a+b+c=0 thì x1=1; x2=c/a; nếu a-b+c=0
thì x1=1; x2= -c/a;
S=x1+x2= - b/a; P=x1.x2= c/a (đl Vieet)
2 tam thức bậc hai f(x)= ax2+bx+c
+ <0 thì f(x) cùng dấu a +
0 ) ( 2
1 x af
x
+
0
0 0
)
0
0 0
)
f
+
0 2
0 ) (
0 2
1
S
af x
0 2
0 ) (
0 2
1
S
af x
x
3 phương trình bậc ba: ax3+bx2+cx+d=0
nếu a+b+c+d=0 thì x1=1;
nếu a-b+c-d=0 thì x1= -1; dùng Hoocner
ax3+bx2+cx+d=(x-1)(ax2 + x + ) = 0
với =a+b; =+c
4 các công thức về lượng giác, cấp số và
lôgarit:
);
2 cos 1
(
2
1
cos
);
2 cos(
sin );
2 sin(
cos
x x
x
x
) 2 cos 1
(
2
1
sin2x x ; 1+tg2x=
x
2 cos 1
x
2
sin
1 cotg
cấp số cộng: a,b,c,… d = c – b = b – a
cấp số nhân: a,b,c,…
a
b b
c
I ĐẠO HÀM:
1 Qui Tắc:
1 (u v)’ = u’ v’
2 (u.v)’ = u’v + v’u
' v
u ' v v ' u v
4 (ku)’ = ku’ (k:const)
2 Công thức:
(xn)’ = nxn-1 (un)’ = nun-1u’
2
' x
1 x
1
2
' u
'
u u
1
x 2
1
u 2
' u
u ' (sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’cosu (cosx)’ = - sinx (cosu)’ = - u’sinu (tgx)’ =
x cos
1
2 (tgu)’ =
u cos
' u 2 (cotgx)’ =
x sin
1 2
(cotgu)’ =
u sin
'
u 2
(ex)’ = ex (eu)’ = u’eu (ax)’ = ax.lna (au)’ = u’au.lna (lnx)’ =
x
1
(lnu)’ =
u
' u
(logax)’ =
a ln x
1
(logau)’ =
a ln u
' u
II KHẢO SÁT HÀM SỐ:
1 Hàm bậc ba y = ax 3 +bx +cx+d: 2
Miền xác định D=R
Tính y’= 3ax2+2bx+c
y' = 0 tìm 2 cực trị hoặc không (nếu có)
tính y’’ tìm 1 điểm uốn
bảng biến thiên
điểm đặc biệt (2điểm)
đồ thị (đt)
* Các vấn đề đặc biệt cho hàm bậc 3:
- để hs tăng trên D
0
0 0
'
'
y
a y
- để hs giảm trên D
0
0 0
'
'
y
a y
- để hs có cực trị trên D y’=0 có 2 n0 pb
- để hs không có cực trị y’=0 VN hoặc có nghiệm kép
- hs nhận điểm uốn làm tâm đối xứng và tiếp tuyến tại đây qua đthị
- chia y cho y’ dư mx+n thì đthẳng y=mx+n
là đthẳng qua 2 điểm cực trị, nếu xi là cực trị thì giá trị cực trị là: yi=mxi+n
Trang 2- đồ thị cắt ox tại 3 điểm phân biệt thì hai
giá trị cực trị trái dấu
- đồ thị cắt ox tại 3 điểm pb cách đều nhau
ax3+bx2+cx+d=0 có 3 nghiệm lập thành
csc y’=0 có 2 nghiệm pb và điểm uốn
thuộc ox
2 Hàm trùng phương y = ax 4 +bx +c: 2
Miền xác định D=R
Tính y’
y' = 0 tìm 3cực trị hoặc 1 cực trị
bảng biến thiên
điểm đặc biệt (2điểm)
đồ thị
* Các vấn đề đặc biệt cho hàm t phương:
- đt nhận oy làm trục đối xứng
- để hs có 3 (hoặc 1) cực trị trên D y’=0
có 3 n0 pb (hoặc 1 n0)
- để hs có điểm uốn y’’=0 có 2 n0 pb
- đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb >0; P>0;
S>0
- đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb lập thành csc
>0; P>0; S>0; x2 = 9x1 và sử dụng đlý
Vieet
3 Hàm nhất biến
d cx
b ax y
Miền xác định D=R\ c
Tính
2
'
d cx
bc ad y
(>0, <0)
TCĐ x d c vì xlimd c y0
TCN y a c vì y a c
lim
bảng biến thiên
điểm đặc biệt (4điểm)
đồ thị
- đthị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm
đối xứng
4 Hàm hữu tỷ
e dx
x e
dx
c bx
ax
y
2
chia bằng Hoocner
Miền xác định D=R\ d
Tính y’=
2 2
e dx
p nx mx e
dx
d
y' = 0 tìm 2cực trị hoặc không có
TCĐ
d
e
x vì xlime d y0
TCX y x vì lim 0
dx e
x
bảng biến thiên
điểm đặc biệt (4điểm)
đồ thị
* Một số kết quả quan trọng:
- đthị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm đối xứng
- có 2 cực trị hoặc không y’= 0 có 2 nghiệm pb khác nghiệm của mẫu hoặc VN
- nếu xi là cực trị thì giá trị cực trị là
d
b ax
và đó cũng là đt qua 2 điểm cực trị
- đthị cắt ox tại 2 điểm pb ax2+bx+c=0
có 2 nghiệm pb
* CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KSHS: 1/ Phương trình tiếp tuyến: (pttt)
@ Loại 1: pttt tại M(x0,y0) y=f(x) tính: y’=
y’(x0)=
pttt: y = f’(x0)(x-x0)+y0
@ Loại 2: pttt có hệ số góc k cho trước
ta có: f’(x)=k giải pt này tìm x0 thay vào y=f(x) tìm được y0 từ đó ta có pttt là:
y = k(x-x0)+y0
pttt // y=ax+b có hệ số góc k = a
pttt y=ax+b có hệ số góc k = -1/a
@ Loại 3: pttt qua M(x0,y0) của y=f(x) ptđt d qua M có hệ số góc k là:
y = k(x-x0)+y0
để d là tt thì hệ sau có nghiệm:
(2)
(1)
k x f
y x x k x f
) ( '
) (
)
thay (2) vào (1) giải pt này tìm được x thay vào (2) ta được k thế vào pttt d ở trên
2/ Giao điểm của 2 đường: Cho y=f(x) và
y= g(x) + ptrình hoành độ giao điểm là: f(x) = g(x) giải pt này được mấy nghiệm là có mấy giao điểm
+ bài toán ứng dụng cho việc biện luận nghiệm f(x,m)=0 biến đổi về dạng f(x)=g(m)
đặt y=f(x) là đồ thị đã vẽ; y=g(m) là đt //ox
Từ đó biện luận số nghiệm pt dựa vào đồ thị
+ để f(x) tiếp xúc g(x) ta có:
(x) ' ) ( '
) ( ) (
g x f
x g x f
từ đó tìm điểm tiếp xúc x
3/ đơn điệu: cho y=f(x)
đặt g(x)=y’
Trang 3a/ g(x) = ax2+bx+c 0 trong (,+)
a>0;
a
b
2 ; g()0.
b/ g(x) = ax2+bx+c 0 trong (,+)
a<0;
a
b
2 ; g()0.
c/ g(x) = ax2+bx+c 0 trong (,)
ag()0; ag()0
{áp dụng cho dạng có m2}
d/ trong g(x) có chứa m biến đổi về dạng
m > h(x) (hoặc m<h(x)) điều này m > giá trị
lớn nhất của h(x) (m<minh(x))
e/ đối với hàm có mxđ D=R\{x0} thì
tăng trên (,+) y’0; x0
giảm trên (,+) y’0; x0
4 Cực trị:
* y = f(x) có cực trị y’= 0 có nghiệm và
đổi dấu qua điểm đó.(y’=0;y”0)
* y=f(x) có cực đại tại x0
0 ''
0 '
0
0
x y
x y
* y=f(x) có cực tiểu tại x0
0 ''
0 '
0
0
x y
x y
1 T.Hợp 1: Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d
P.Pháp: Tập xác định D = R
Tính y/
Để hàm số có cực trị thì y/ = 0 có hai n0 pb
0
0
a
2
b x a
c bx ax y
P.Pháp: Tập xác định
/
\
a
b R D
Tính
/ /2
b x a
x g y
Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì y/ = 0
có hai nghiệm pb thuộc D
0 )
(
0
/
/
/
a
b
g
g
5 GTLN, GTNN:
a Trên (a,b)
Tính y’
Lập bảng biến thiên trên (a ; b )
KL: maxa b; yy CD, min ; CT
a b yy
b Trên [a;b]
Tính y’
Giải pt y’ = 0 tìm nghiệm x0a b;
Tính y (x0 ) , y(a) , y (b) Chọn số lớn nhất M KL:maxa b; y M Chọn số nhỏ nhất m , KL:mina b; y m
III Hàm số mũ và logarit:
1 Công thức lũy thừa : Với a>0, b>0; m, nR ta có:
m
n
a a
; ( n
a
1
=am ;
a0=1; a1=
a
1
); (a n)m =a nm ; (ab) n =a n b n;
m
n n b
a b
a
m
a
2 Công thức logarit : loga b = ca c =b ( 0< a1; b>0) Với 0< a1, 0<b1; x, x1, x2>0; R
ta có: loga (x1x2)=loga x1+loga x2 ;
loga 2
1
x
x
= loga x1loga x2;
aloga x x; loga x= log a x;
loga x 1 loga x
; (loga a x =x);
loga x=
a
x
b
b
log
log
; (loga b= a
b
log
1
) logb a.log a x=log b x; alog
b =xlog
b
3 Phương trình mũ- lôgarít
* Dạng ax= b ( a> 0 , a 0 )
b0 : pt vô nghiệm b>0 : x log
a
* Đưa về cùng cơ số:
Af(x) = Bg(x) f(x) = g(x)
* Đặt ẩn phụ; logarit hóa…
* Dạng loga x b ( a> 0 , a 0 ) Điều kiện : x > 0
a x b x a
logaf(x) = logag(x) f(x) = g(x)
Đặt ẩn phụ; mũ hóa…
4 Bất PT mũ – logarit:
* Dạng a x > b ( a> 0 , a 0 )
b0 : Bpt có tập nghiệm R b>0 : x log
a
a b x b , khi a>1
x log
a
a b x b, khi 0 < a < 1
* Đặt ẩn phụ; logarit hóa…
* Dạng loga x b ( a> 0 , a 0, x>0 )
a x b x a , khi a >1
a x b x a , khi 0 < x < 1
Trang 4 Đặt ẩn phụ; mũ hóa…
VI NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN:
Định nghĩa: F(x) đgl nguyên hàm
của hàm số y=f(x) trên khoảng (a;b)
F/ x f x
, xa;b
Nguyên hàm của hàm số sơ cấp
1. 1.dxxc
1
x
3. dx x c
x. ln
1
4. Cosx dxSinxc
5. Sinx dxCosxc
6. dxtgxc
x Cos .
1
2
7. dx Cotgxc
x Sin2
1
8. e x.dxe x c
a
a dx
a x x
ln
Nguyên hàm các hàm số thường gặp:
c b
ax a dx b ax
1
1
1
a
dx b
ax .ln
1 1
3. Sinaxbc
a dx b ax Cos 1
4. Cosaxbc
a dx b ax Sin 1
5.
a
dx b ax
1
1
2
6.
a
dx b ax
1
1
2
a dx
e ax b 1 ax b
a
a m dx
a mx n mx n
ln
1
Các phương pháp tính tích phân:Tích phân
của tích, thương phải đưa về tích phân của
một tổng hoặc hiệu bằng cách nhân phân phối
hoặc chia đa thức
Phương pháp đổi biến số :
b
a
x d x x
f
A /
P.Pháp:
Đặt : t = x dt / x d x
Đổi cận:
a t a x
b t b x
Do đó:
b
a
b a t F dt t f
Các dạng đặc biệt cơ bản:
a x a
dx I
0 2 2
P.Pháp:
Đặt: xa.tgt
2
2 t
dt a tg tdt
t Cos
a
dx 1 2
Đổi cận:
2.Tính J a a x dx
0
2 2
P.Pháp:
2 2
int
a x
dxa.Cost.dt
Đổi cận
Phương pháp tính tích phân từng phần
Loại 1: Có dạng:
A= dx
Cosx Sinx
e x P
b
a
x
)
(
Trong đó P(x)là hàm đa thức Phương pháp:
Đặt u = P(x) du = P(x).dx
dv =
Cosx Sinx
e x
.dx v =
Áp dụng công thức tích phân từng phần
A =
b
a
b
v
u
b
a
dx b ax Ln x
P( ) ( )
Phương pháp:
Trang 5Đặt u = Ln(ax+b) dx
b ax
a
du
dv = P(x).dx v =
Áp dụng: B =
b
a
b
v
u
-Dạng :
Sin x dx
A n Hay BCos n x.dx
1 Nếu n chẵn:
Áp dụng công thức
2
2 1
2a Cos a
2
2 1
2a Cos a Cos
2 Nếu n lẻ:
ASin n1x.Sinx.dx
Đặt t Cosx (Đổi sinn 1 x thành Cosx )
-Dạng :
Atg m x.dx Hay BCotg m x.dx
PP:Đặt tg2 làm thừa số
Thay 2 12 1
x Cos
tg
IV Diện tích hình phẳng:
1 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
(c): y = f(x) và hai đường x = a; x = b:
P.Pháp: DTHP cần tìm là:
S b f x dx
a
) (
(a < b)
Hoành độ giao điểm của (c) và tục
ox là nghiệm của phương trình:
f(x) = 0
Nếu p.trình f(x) = 0 vô nghiệm Hoặc có
nghiệm không thuộc đoạn a; b thì:
b
a dx x f
S ( )
Nếu p.trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc đoạn
a; b Giả sử x = , x = thì
S f x dx f x dx b f x dx
a
) (
) (
)
a
dx
x
f
S ( ) +
dx x
f ).( +
b
dx x
f ).(
2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (c): y
=f(x) và trục hoành:
P.Pháp:
HĐGĐ của (c) và trục hoành là nghiệm của phương trình: f(x) = 0
b x
a x
b
a
b
a
dx x f dx x f
S ( ) ( )
3 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường
(c1): y = f(x) và(c2): y = g(x) và hai đường
x = a; x = b:
P.Pháp
DTHP cần tìm là:
dx x g x f
S b a
) ( ) (
HĐGĐ của hai đường (c1) và (c2)
là nghiệm của p.trình: f(x) – g(x)
= 0 Lập luận giống phần số 1
V Thể tích vật thể:
1 Hình phẳng (H) giới hạn bởi: x= a; x = b; trục ox và y = f(x) liên tục trên đoạn
a; b Khi (H) quay quanh trục ox tạo ra vật thể có thể tích:
f x dx
V b a
) (
2
2 Hình phẳng (H) giới hạn bởi: y = a; y = b; trục oy và x = g(x) liên tục trên đoạn
a; b Khi (H) quay quanh trục oy tạo ra vật thể có thể tích:
g y dy
V b a
) (
2
IV SỐ PHỨC:
Số i : i2 = -1
Số phức dạng : z = a + bi ; a,bR
Modun của số phức : z a2 b2
Số phức liên hợp của z = a + bi là
z a bi
' '
; ' '
; z z z z z z z z z
z z
z z
Trang 6z với mọi z ,
z z ; zz z z ; z z
z z z z
z là số thực z z ; z là số ảo
z
z
a+ bi = c + di a c
b d
(a + bi) + (c + di) = (a +c) + (b + d)i
(a + bi) - (c + di) = (a -c) + (b - d)i
(a + bi)(c + di) = (ac-bd) + (ad + bc)i
2 2
a bi c di
a bi
Ta có: i1 i i , 2 1, i3 i i , 4 1
4n 1, 4n 1 , 4n 2 1, 4n 3
1 i 2 2 i; 1 i 2 2 i
Các căn bậc hai của số thực a < 0 là : i a
Xét phương trình bậc hai :
ax2 + bx + c = 0 ( a khác 0 ;a b c R, , )
Đặt b2 4ac
o Nếu = 0 thì phương trình
có một nghiệm kép(thực) : x
= 2
b a
o Nếu > 0 thì phương trình
có hai nghiệm thực :
1,2
2
b x
a
o Nếu < 0 thì phương trình
có hai nghiệm phức :
1,2
2
b i x
a
Định lý Viet :
Nếu phương trình bậc hai
hai nghiệm z z1, 2 thì :
1 2
b
a
và 1 2 c
z z
a
Định lý đảo của định lý Viet :
Nếu hai số z z1, 2 có tổng
1 2
z z S và z z1 2 P thì z z1, 2 là
nghiệm của phương trình :
