Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên phần 9 pot

Chương Tính tốn ngẫu nhiên Đặng Hùng Thắng Q trình ngẫu nhiên tính tốn ngẫu nhiên NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007 Tr 180-218 Từ khoá: Q trình ngẫu nhiên, Tính tốn ngẫu nhiên Q trình Wiener, Tích phân Wiener, Tích phân ngẫu nhiên Ito, Cơng thức Ito, Phương trình vi phân ngẫu nhiên Tài liệu Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên sử dụng cho mục đích học tập nghiên cứu cá nhân Nghiêm cấm hình thức chép, in ấn phục vụ mục đích khác không chấp thuận nhà xuất tác giả Chương Tính tốn ngẫu nhiên 4.1 Q trình Wiener tiếng ồn trắng 196 4.2 Tích phân Wiener 202 4.3 Tích phân ngẫu nhiên Ito 206 4.4 Công thức Ito 213 4.5 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 221 4.6 Bài tập 232 Tài liệu tham khảo 236 Năm 1908 nhà vật lý tiếng người Pháp Langevin nghiên cứu chuyển động hỗn loạn hạt chất lỏng đề cập tới phương trình sau X˙ t = −αXt + σξt X˙ t thành phần vận tốc hạt thời điểm t α, σ số dương Thành phần σξt thể tác động lực va chạm ngẫu nhiên với phân tử môi trường chất lỏng ξt nhà 196 Chương Tính tốn ngẫu nhiên vật lý gọi ồn trắng Tiếng ồn trắng nhà vật lý hiểu trình Gauss dừng với trung bình mật độ phổ số toàn đường thẳng Tuy nhiên mặt tốn học q trình dừng khơng tồn Phương trình Langevin trường hợp đặc biệt phương trình dạng sau xuất nhiều mơ hình mơ tả tượng tự nhiên kinh tế tài X˙ t = f (t, Xt ) + g(t, Xt)ξt Để xử lý cách chặt chẽ tốn học phương trình vi phân loại lý thuyết tốn học đời Đó tính tốn ngẫu nhiên Ito Mục đích chương trình bày nét sở lý thuyết quan trọng 4.1 Quá trình Wiener tiếng ồn trắng Trong mục ta điểm qua số tính chất q trình Wiener mà ta trình bày chương trước Nhớ lại trình Wiener (Wt ), t ≥ trình gia số độc lập với giá trị ban đầu W0 = gia số Wt − Ws có phân bố chuẩn với kỳ vọng phương sai t − s Hầu hết quỹ đạo Wt hàm liên tục Việc Wt trình gia số độc lập gia số Wt − Ws có phân bố dừng (tức phụ thuộc vào độ dài t − s) khiến cho ta áp dụng định giới hạn cho tổng đại luợng ngẫu nhiên độc lập phân bố vào việc nghiên cứu ddộ lớn thăng giáng quỹ đạo trình Wiener Luật mạnh số lớn khẳng định với xác suất Wt = t→∞ t lim Cấp xác thăng giáng quỹ đạo trình Wiener cho luật loga lặp Luật loga lặp khẳng định với hầu hết quỹ đạo ta có Wt lim sup √ =1 2t log log t t→∞ 4.1 Quá trình Wiener tiếng ồn trắng 197 Wt = −1 lim inf √ t→∞ 2t log log t Ta có bổ đề sau Bổ đề 4.1 Nếu (Wt) trình Wiener q trình sau đây: • −Wt • cWt/c2 c 6= • Wt+s − Ws s cố định t ≤ trình Wiener Sử dụng bổ đề trên, áp dụng luật loga lặp cho trình Wiener tW1/t ta thu với hầu hết quỹ đạo (Wt ) Wt lim sup p =1 2tlog log 1/t t→0+ Wt p lim inf = −1 t→0+ 2tlog log 1/t Hệ kiện khoảng [0, ) quỹ đạo q trình Wiener có vơ số khơng điểm, khơng điểm có điểm tụ t = Khẳng định với khoảng [s, s + ) Xt = Wt+s − Ws trình Wiener Mặc dù quỹ đạo trình Wiener hàm liên tục song theo định lý Wiener, quỹ đạo hàm không khả vi điểm Chứng minh điều phức tạp ta không nêu Tuy nhiên hình dung sau Vì (Wt+h − Wt )/h có phân bố chuẩn với phương sai 1/h nên với tập B P {(Wt+h − Wt )/h ∈ B} → 198 Chương Tính tốn ngẫu nhiên h → Vậy (Wt+h − Wt )/h khơng thể hội tụ với xác suất dương tới ĐLNN hữu hạn Nếu q trình Wiener mơ hình tốn học chuyển động Brown tính chất khơng đâu khả vi nói lên hạt phấn hoa thực chuyển động hỗn loạn khơng có vận tốc thời điểm Một tính chất bất bình thường khác q trình Wiener quỹ đạo hàm khơng có biến phân giới nội Bổ đề 4.2 Giả sử a = t0 < t1 < < tn phân hoạch đoạn [a, b] Ký hiệu δn = max(ti+1 − ti ) Khi tổng Sn = n−1 X (Wti+1 − Wti )2 = b − a (4.1) i=0 hội tụ bình phương trung bình tới b − a δ → P Nếu δn hội tụ tới đủ nhanh cho δn < ∞ tổng hội tụ b − a n với xác suất Chứng minh Ta tính kỳ vọng phương sai tổng (4.1) E(Sn ) = n−1 X E(Wti+1 − Wti )2 = i=0 n−1 X (ti+1 − ti ) = b − a i=0 E(Sn − (b − a)) = DSn = n−1 X D(Wti+1 − Wti )2 i=0 = n−1 X = i=0 n−1 X [E((Wti+1 − Wti )4 − (E(Wti+1 − Wti ))2 )] 2 [3(ti+1 − ti) − (ti+1 − ti) = i=0 ≤ 2δn n−1 X i=0 n−1 X i=0 ti+1 − ti = 2δn (b − a) → 2(ti+1 − ti)2 4.1 Quá trình Wiener tiếng ồn trắng 199 δn → P P Nếu n δn < ∞ n E(Sn − (b − a))2 < ∞ với xác suất P n (Sn − (b − a)) < ∞ Nói riêng hầu chắn Sn − (b − a) → Đặc biệt ta xét điểm chia ti = a + (b − a)i/2n , i = 0, 1, , 2n P δn = (b − a)/2n n δn < ∞ Vế trái bất đẳng thức n −1 2X (Wti+1 − Wti )2 ≤ sup |Wti+1 − Wti )| i i=0 n −1 2X |Wti+1 − Wti | i=0 hội tụ h.c.c tới b−a Vì quỹ đạo Wt (ω) liên tục nên supi |Wti+1 −Wti )| → n → ∞ Vậy với quỹ đạo n −1 2X |Wti+1 − Wti | → ∞ i=0 Vậy với xác suất quỹ đạo (hàm chọn) Wt có biến phân không bị chặn Bây ta định nghĩa tiếng ồn trắng Cho K không gian hàm φ(t) xác định R khả vi vô hạn lần có giá compac Tơpo xác định sau: Một dãy (φn ) ∈ K nói hội tụ tới φ = tất hàm triệt tiêu bên khoảng bị chặn đồng thời dãy hàm dãy đạo hàm cấp hội tụ tới Mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục K gọi hàm suy rộng Mỗi hàm thơng thường f hàm suy rộng đặt tương ứng với phiếm hàm Z ∞ Tf (φ) = f (t)φ(t)dt −∞ Từ cơng thức tích phân phần ta có f (t) khả vi Z ∞ ˙ ˙ Tf (φ) = − φ(t)f(t)dt = −Tf˙ (φ) −∞ Vì ta định nghĩa đạo hàm hàm suy rộng sau: Định nghĩa 4.1 Cho hàm suy rộng T Đạo hàm T ký hiệu T˙ hàm suy rộng xác định ˙ T˙ (φ) = −T (φ) 200 Chương Tính tốn ngẫu nhiên Như hàm suy rộng có đạo hàm cấp, đạo hàm lại hàm suy rộng Đó tính ưu việt khái niệm hàm suy rộng Quá trình ngẫu nhiên định nghĩa hàm ngẫu nhiên Vì ta có khái niệm hàm ngẫu nhiên suy rộng hay thường gọi trình ngẫu nhiên suy rộng sau: Định nghĩa 4.2 Một phiếm hàm ngẫu nhiên tuyến tính liên tục K gọi trình ngẫu nhiên suy rộng Một phiếm hàm ngẫu nhiên tuyến tính liên tục T K ánh xạ tuyến tính liên tục T : K → L2 Hay nói cách khác T trình ngẫu nhiên cấp với tập số K Hàm trung bình T m(φ) = ET φ hàm tự tương quan K(φ, ψ) = cov(T φ, T ψ) Cho trình ngẫu nhiên Xt có quỹ đạo liên tục với hàm trung bình m(t) hàm tự tương quan r(s, t) Khi đặt tương ứng với phiếm hàm ngẫu nhiên tuyến tính T cơng thức Z Tφ = φ(t)Xt dt R Khi m(φ) = R R φ(t)m(t)dt Z Z K(φ, ψ) = r(s, t)φ(t)ψ(s)dtds R2 Tương tự trường hợp hàm suy rộng, đạo hàm q trình ngẫu nhiên suy rộng ln tồn trình ngẫu nhiên suy rộng Đạo hàm T˙ trình ngẫu nhiên suy rộng T trình ngẫu nhiên suy rộng xác định ˙ T˙ φ = −T (φ) 4.1 Quá trình Wiener tiếng ồn trắng 201 Từ định nghĩa suy T có hàm trung bình m(φ) hàm tự tương ˙ ˙ = −m(φ) quan K(φ, ψ) đạo hàm T˙ có hàm trung bình m(φ) hàm tự tương quan ˙ ψ) ˙ ˙ K(φ, ψ) = K(φ, Xét trình Wiener Wt Nó tương ứng với q trình ngẫu nhiên suy rộng W cho Z ∞ Z φ(t)Wtdt = φ(t)Wt Wφ = R Wt = 0(t < 0) Gọi m(φ), K(φ, ψ) tương ứng hàm trung bình hàm tự tương quan W Vì Wt có hàm trung bình m(t) = hàm tự tương quan r(s, t) = min(s, t) nên m(φ) = Z ∞Z ∞ K(φ, ψ) = min(s, t)φ(t)ψ(s)dtds 0 Sau số tinh tốn sơ cấp tích phân phần ta có Z ∞ ˆ − φ(∞))( ˆ ˆ − ψ(∞)) ˆ (φ(t) ψ(t) K(φ, ψ) = ˆ = φ(t) Z t ˆ = φ(s)ds, ψ(t) Z t ψ(s)ds ˙ trình ngẫu nhiên suy rộng W Định nghĩa 4.3 Đạo hàm W gọi ồn trắng ˙ Gọi m(φ), ˙ K(φ, ψ) tương ứng hàm trung bình hàm tự tương quan ˙ Từ công thức ta suy m(φ) W ˙ = Z ∞ ˙ K(φ, ψ) = φ(t)ψ(t)dt Cơng thức viết dạng Z ∞Z ∞ ˙ δ(t − s)φ(t)ψ(t)dt K(φ, ψ) = 0 202 Chương Tính tốn ngẫu nhiên ˙ tương ứng với trình ngẫu nhiên ξt ξt có hàm tự Nghĩa W tương quan δ(t − s) ξt ξs độc lập t 6= s Nhưng không tồn q trình ngẫu nhiên Do tiếng ồn trắng trình ngẫu nhiên suy rộng Tuy nhiên nguời ta viết cách hình thức tài liệu kỹ thuật ξt = W˙ t 4.2 Tích phân Wiener Trong mục ta xây dựng tích phân Wiener dạng Z b f (t)dW (t) a f (t) ∈ L2 [a, b] Trước tiên ta định nghĩa tích phân cho hàm đơn giản Nếu f hàm đơn giản tức f coá dạng f= n−1 X ck IAk (4.2) k=0 a = t0 < t1 < < tn = b phân hoạch hữu hạn [a, b], (ck ) số thực Ak = [tk , tk+1 ) IA ký hiệu hàm tiêu tập A Trong truờng hợp f có dạng (4.2) Z b f (t)dW (t) = a n−1 X ck (Wtk+1 − Wtk ) k=0 Gọi S không gian hàm đơn giản [a, b] Ta biết S không gian tuyến tính L2 [a, b] trù mật L2 [a, b] Ký hiệu Z b I(f ) = f (t)dW (t) a Ta có Định lý 4.1 Với f ∈ S I(f ) ∈ L2 (Ω) ĐLNN Gauss có trung bình phương sai kf kL2 Hơn ánh xạ I : S → L2 (Ω) tuyến tính, đẳng 4.2 Tích phân Wiener 203 cự bảo tồn tích vơ hướng tức I(af + bg) = aI(f ) + bI(g) kI(f )k = kf k < I(f ), I(g) > =< f, g > Chứng minh Ta ý (Wtk+1 − Wtk ), (k = 0, 1, 2, , n − 1) dãy ĐLNN độc lập có kỳ vọng phương sai (tk+1 − tk ) Do I(f ) có kỳ vọng kI(f )k = n−1 X c2k (tk+1 − tk ) k=0 b = Z f (t)2dt = kf k2 a Tính chất tuyến tính hiển nhiên Tính chất bảo tồn tích vơ hướng suy từ tính chất đẳng cự đẳng thức hình bình hành < u, v >= ku + vk2 − ku − vk2 Vì S trù mật L2 [a, b] nên ánh xạ I : S → L2(Ω) thác triển thành ánh xạ I : L2 [a, b] → L2 (Ω) tuyến tính , đẳng cự bảo tồn tích vơ hướng Ta định nghĩa với f ∈ L2 [a, b] I(f ) = Z b f (t)dW (t) a Từ tính chất ánh xạ I(f ) ta suy tính chất sau tích 204 Chương Tính tốn ngẫu nhiên phân Wiener i hZ b f (t)dW (t) = , E a Z b i Z b hZ b f (t)dW (t) g(t)dW (t) = f (t)g(t)dt , E a a a hZ b i Z b Var f (t)dW (t) = f (t)dt , a a Z b hZ c i E f (t)dW (t) g(t)dW (t) = , với a ≤ c ≤ d ≤ b , a d Z c Z b hZ c i E f (t)dW (t) g(t)dW (t) = σ f (t)g(t)dt với a ≤ c ≤ b a a a Định lý 4.2 Nếu hàm f (t) liên tục [a, b] Z b n h i X f (t)dW (t) = lim f (si ) W (ti+1 ) − W (ti ) , a i=0 |∆| = max |ti+1 − ti| → ∆ phân hoạch tuỳ ý a = t0 < t1 < t2 < < tn+1 = b , si điểm tuỳ ý thuộc [ti, ti+1 ] Sự hội tụ L2 (Cơng thức tích phân phần) Nếu hàm f (t) khả vi liên tục [a, b] Z b Z b f (t)dW (t) = f (b)W (b) − f (a)W (a) − f (t)W (t)dt = a a b Z b = f (t)W (t) − f (t)W (t)dt a a Chứng minh Vì f (t) liên tục [a, b] nên liên tục [a, b] ∀ > 0∃δ > cho |t − s| < δ |f (t) − f (s)| <  Đặt P g∆ (t) = ni=0 f (si )I(ti,ti+1 ] , |∆| < δ , ta suy Z b |f (t) − g∆ (t)|2 dt ≤ 2(b − a) a 4.2 Tích phân Wiener 205 Mặt khác Z b n X E f (si )[W (ti+1) − W (ti )] − f (t)dW (t) = a i=0 Z b Z b = E [g∆ (t) − f (t)]dW (t) = |f (t) − g∆ (t)|2dt ≤ 2(b − a) a a Thành thử lim |∆→0 n X f (si )[W (ti+1) − W (ti)] = Z b f (t)dW (t) a i=0 hội tụ L2 Ta có Z b f (t)dW (t) = lim |∆|→0 a n X f (si )[W (ti+1) − W (ti)] = i=0 n h i X = lim f (b)W (b) − f (a)W (a) − W (ti+1 )[f (ti+1) − f (ti )] |∆|→0 i=0 Lại có n X n Z X W (ti+1 )[f (ti+1) − f (ti )] = i=0 i=0 ti+1 W (ti+1 )f (s)ds ti Do suy n Z Z b X W (s)f (s)ds − a ≤ i=0 n Z X i=0 ti+1 ti W (ti+1 )f (s)ds ≤ ti+1 |f (s)|.kW (s) − W (ti+1 )kds ≤ K(b − a) ti K = sups∈[a,b] |f (s)| cịn kW (u) − W (v)k <  |u − v| < δ ánh xạ W (t) : [a, b] → L2 (Ω) liên tục Vậy Z b n X W (ti+1 )[f (ti+1) − f (ti )] = W (t)f 0(t)ds lim |∆|→0 i=0 a Công thức tích phân phần chứng minh 206 Chương Tính tốn ngẫu nhiên Hệ 4.1 Ánh xạ I : K → L2 (Ω) cho I(φ) = Z ∞ φ(t)dW (t) −∞ tiếng ồn trắng Thật từ cơng thức tích phân phần suy ˙ =W ˙ (φ) I(φ) = −W (φ) ˙ Thành thử cách hình thức ta viết dWt = ξt dt ξt Vậy I = W trình (suy rộng) ứng với I 4.3 Tích phân ngẫu nhiên Ito Ta muốn mở rộng tích phân Wiener cho phép hàm dấu tích phân hàm ngẫu nhiên Chúng ta định nghĩa tích phân dạng I(f ) = Z T f (t, ω)dWt cho lớp hàm ngẫu nhiên Ký hiệu Ft σ-trường bé sinh ĐLNN {Ws , s ≤ t} Chúng ta quan niệm Ft thông tin lịch sử Ws thời điểm t Ta có Fs ⊂ Ft s < t tức họ (Ft) lọc Ta gọi lọc tự nhiên sinh từ trình (Wt ) Định nghĩa 4.4 Giả sử f (t, ω) hàm ngẫu nhiên xác định [0, ∞) × Ω Ta nói f (t, ω) phù hợp ( lọc (Ft) ) t ánh xạ ω → f (t, ω) Ft - đo 4.3 Tích phân ngẫu nhiên Ito 207 Định nghĩa 4.5 Ký hiệu N = N (0, T ) lớp hàm ngẫu nhiên f (t, ω) : [0, ∞) → R thoả mãn điều kiện (t, ω) 7→ f (t, ω) đo đồng thời theo hai biến nghĩa B × F -đo được, B σ- trường Borel [0, ∞) f (t, ω) phù hợp RT E[ f (t, ω)2 dt] < ∞ Tư tưởng việc xây dựng tích phân ngẫu nhiên Ito tương tự tư tưởng xây dựng tích phân Wiener Trước hết ta định nghĩa I(f ) cho hàm sơ cấp Một hàm f ∈ N gọi sơ cấp có dạng X f (t, ω) = ci (ω)IAi (t) (4.3) i Ai = (ti , ti+1] (Ai ) lập thành phân hoạch hữu hạn [0, T ] Chú ý f (t, ω) phù hợp nên ta ta có ci Fti -đo Bây hàm sơ cấp f (t, ω) có dạng (4.3) ta định nghĩa X I(f ) = ci (ω)[Wti+1 − Wti ] i Ta có nhận xét quan trọng sau Bổ đề 4.3 Ta có đẳng thức sau (gọi đẳng cấu Ito) E Z T f (t, ω)dWt 2 = E[ Z T f (t, ω)dt] Chứng minh Ký hiệu Zi = Wti+1 − Wti Khi với i < j E(ci cj Zi Zj ) = E[E(ci cj Zi Zj |Ftj )] = E[ci cj Zi EZj ] = 208 Chương Tính tốn ngẫu nhiên Nếu i = j E(c2i Zi2 ) = Ec2i EZi2 = E(c2i )(ti+1 − ti) Vậy X EI(f )2 = E(ci cj Zi Zj ) i,j X = E(c2i )(ti+1 − ti ) = E[ Z T f (t, ω)dt] i Bổ đề 4.4 Giả sử f ∈ N bị chặn f (., ω) liên tục với ω Khi có tồn dãy hàm sơ cấp (gn ) ∈ N cho E[ Z T (f − gn )2dt] → n → ∞ Chứng minh Định nghĩa gn (t, ω) = X (ti, ω)I(ti,ti+1 ] f Khi gn hàm sơ cấp , g ∈ N f (.ω) liên tục nên Z T (f − gn )2 dt → n → ∞ với ω Theo định lý hội tụ bị chặn E[ Z T (f − gn )2dt] → n → ∞ Bổ đề 4.5 Giả sử h ∈ N bị chặn Khi tơn dãy hàm bị chặn fn ∈ N có quỹ đạo liên tục E[ Z T (h − fn )2 dt] → n → ∞ 4.3 Tích phân ngẫu nhiên Ito 209 Chứng minh Giả sử |h(t, ω)| ≤ M với (t, ω) Với n gọi ψn hàm không âm liên tục R cho i) ψn (x) = với x ≤ −1/n x ≥ R∞ ii) −∞ ψn (x)dx = Ta định nghĩa hàm fn (t, ω) sau fn (t, ω) = Z t ψn (s − t)h(s, ω)ds Khi fn (., ω) liên tục với ω |fn (t, ω)| ≤ M Do h ∈ N nên fn (t, ) Ft-đo với t ( ta sử dụng tổng để xấp xỉ tích phân cơng thức xác định fn ) Hơn với ω Z T (fn (s, ω) − h(s, ω))2 ds → n → ∞ Áp dụng định lý hội tụ bị chặn ta thu E[ Z T (h − fn )2dt] → n → ∞ Bổ đề 4.6 Giả sử f ∈ N Khi có tồn dãy hn ∈ N bị chặn với n Z T (f − hn )2 dt] → n → ∞ E[ Chứng minh Đặt    −n   hn (t, ω) = f (t, ω)    n f (t, ω) < −n −n ≤ f (t, ω) ≤ n nêú f (t, ω) > n Khi kết luận suy từ định lý hội tụ bị chặn 210 Chương Tính tốn ngẫu nhiên Gọi S khơng gian tuyến tính hàm sơ cấp Theo bổ đề vừa chứng minh S trù mật N Ta định nghĩa ánh xạ ngẫu nhiên I từ S vào L2(Ω) X ci (ω)[Wti+1 − Wti ] I(f ) = i f (t, ω) có dạng (4.3) Từ đẳng cấu Ito suy f đẳng cự Từ I(f ) mở rộng thành đẳng cự tồn N Ký hiệu Z T I(f ) = f (t, ω)dWt (ω)dt Ta có đẳng cự Ito viết lại thành Z T 2 Z E f (t, ω)dWt = E[ T f (t, ω)dt] Định lý sau cho ta số tính chất tích phân Ito Định lý 4.3 Cho f, g ∈ N (0, T ) giả sử < a < c < b < T Ta định nghĩa Z T Z b f (t, ω)dWt = f (t, ω)I[a,b]dWt a Khi ta có Rc Rc Rb i) a f dWt = a fdWt + a fdWt Rb Rc Rb ii) a (αf + βg)dWt = a fdWt + β c fdWt hR i b iii) E a fdWt = Chứng minh Định lý hiển nhiên f, g hàm sơ cấp Bằng cách chuyển qua giới hạn ta thu khẳng định với f, g ∈ N (0, a) Giả sử f ∈ N (0, T ) Bây ta nghiên cứu tính chất q trình Xt , t ∈ [0, T ] xác định Z t f (s, ω)dWs Xt == 4.3 Tích phân ngẫu nhiên Ito 211 Định lý 4.4 Giả sử f ∈ N (0, T ) Khi Xt phù hợp họ Ft (Xt ) martingale họ Ft Xt có liên tục Nếu t1 < t2 EXt1 Xt2 = Z t (Ef (s, ω))ds P [ sup |Xt | ≥ c] ≤ E[ c t∈[0,T ] Z T f (s, ω)2 ds] Chứng minh Ta cần chứng minh 3) Giả sử gn hàm sơ cấp cho Z b E[ (f − gn )2dt] → n → ∞ a Đặt In (t, ω) = I(t, ω) = Z Z t gn (s, ω)dWs , t f (s, ω)dWs Khi In (t) = In (., ω) liên tục với n Hơn In (t) martingale Ft với n Thật Z t Z s gn dW |Ft ] E[In (s)|Ft] = E[ gn dW + t Z t = gn dW = In (t) t < s Do In (t) − Im (t) martingale Theo bất đẳng thức martingale ta có P { sup |In (t) − Im(t)| > ε} ≤ t∈[0,T ] = E| ε Z E|In (T ) − Im (T )|2 ε2 T (gn − gm )2ds] → 0 m, n → ∞ 212 Chương Tính tốn ngẫu nhiên Do ta chọn dãy nk tăng ∞ cho P [ sup |Ink+1 (t) − Ink (t)| > 2−k ] < 2−k t∈[0,T ] Theo bổ đề Borel Cattely với hầu hết ω có tồn k(ω) cho k > k1 (ω) sup |Ink+1 (t) − Ink (t)| < 2−k t∈[0,T ] Thành thử Ink (t) hội tụ tới hàm ngẫu nhiên Jt (ω) với quỹ đạo liên tục Lại có Ink (t) → I(t) L2 với t nên Jt (ω) = It (ω) hầu chắn Khẳng định 4) suy từ bất đẳng thức Doob martingale liên tục đẳng cấu Ito Hệ 4.2 Xt q trình gia số khơng tương quan Thật giả sử r < t < u < v Theo tính chất định lý ta có E(Xv − Xu )(Xt − Xr ) = EXv Xt − EXv Xr − EXu Xt + EXu Xr Z t Z r Z t 2 = (Ef (s)ds − (Ef (s)ds − (Ef (s)ds 0 Z r0 + (Ef (s)ds = 0 Chú ý: Mặc dù Xt trình gia số khơng tương quan nói chung khơng phải q trình gia số độc lập Tuy nhiên, f (s, ω) = f (s) hàm không ngẫu nhiên Xt q trình Gauss khơng tương quan q trình gia số độc lập R Tích phân Ito fdW định nghĩa cho lớp hàm rộng lớp N Cụ thể xét lớp M = M(0, T ) hàm ngẫu nhiên f thoả mãn điều kiện: (t, ω) 7→ f (t, ω) đo đồng thời theo hai biến nghĩa B ×F -đo được, B σ- trường Borel [0, ∞) 4.4 Công thức Ito 213 f (t, ω) phù hợp P [ RT f (t, ω)2 dt < ∞] = Nếu f ∈ M ta chứng minh với t có tồn dãy hàm sơ cấp R fn ∈ N (0, t) cho |fn − f |2 ds → theo xác suất Với dãy (fn ) ta Rt có fn (s, ω)dWs hội tụ theo xác suất tới ĐLNN giới hạn khơng phụ thuộc vào việc chọn dãy xấp xỉ (fn ) Khi ta định nghĩa Z t f (s, ω)dWs = lim n Z t fn (s, ω)dWs hội tụ hội tụ theo xác suất Ta chứng minh tồn Rt liên tục trình ngẫu nhiên Xt = f (s, ω)dWs Tuy nhiên Xt không thiết martingale 4.4 Công thức Ito Quan hệ Xt = Z t f (s, ω)dWs viết dạng vi phân sau dXt = f (t, ω)dWt Đẳng thức gọi vi phân ngẫu nhiên Ta định nghĩa vi phân ngẫu nhiên tổng quát sau Giả sử q trình Xt có dạng sau Z t Z t Xt = X + f (s, ω)ds + g(s, ω)dWs 0 Khi ta nói Xt q trình Ito có vi phân ngẫu nhiên sau dXt = f (t, ω)dt + g(t, ω)dWt ... ngẫu nhiên suy rộng hay thường gọi trình ngẫu nhiên suy rộng sau: Định nghĩa 4.2 Một phiếm hàm ngẫu nhiên tuyến tính liên tục K gọi trình ngẫu nhiên suy rộng Một phiếm hàm ngẫu nhiên tuyến tính. .. Chương Tính toán ngẫu nhiên Như hàm suy rộng có đạo hàm cấp, đạo hàm lại hàm suy rộng Đó tính ưu việt khái niệm hàm suy rộng Quá trình ngẫu nhiên định nghĩa hàm ngẫu nhiên Vì ta có khái niệm hàm ngẫu. .. Chương Tính tốn ngẫu nhiên ˙ tương ứng với trình ngẫu nhiên ξt ξt có hàm tự Nghĩa W tương quan δ(t − s) ξt ξs độc lập t 6= s Nhưng không tồn q trình ngẫu nhiên Do tiếng ồn trắng trình ngẫu nhiên