Bài giảng nguyên lý máy - Chương 2 pps

Cụ thể ta phải giải 3 bài toán sau: „ Bài toán vị trí: Xác định vị trí các điểm trên cơ cấu tại từng vị trí nhất định của khâu dẫn và quĩ đạo các điểm trên cơ cấu trong quá trình cơ cấ

Chương 2

PHÂN TÍCH ĐỘNG HỌC CƠ CẤU

2.1 NỘI DUNG, Ý NGHĨA VÀ PHƯƠNG PHÁP

1 NỘI DUNG

Phân tích động học cơ cấu là nghiên cứu qui luật chuyển động của cơ cấu khi cho trước lược đồ động của cơ cấu và qui luật chuyển động của khâu dẫn

Cụ thể ta phải giải 3 bài toán sau:

„ Bài toán vị trí: Xác định vị trí các điểm trên cơ cấu tại từng vị trí nhất định của khâu

dẫn và quĩ đạo các điểm trên cơ cấu trong quá trình cơ cấu chuyển động

„ Bài toán vận tốc: Xác định vận tốc các điểm trên khâu, vận tốc góc các khâu tại

từng vị trí và qui luật vận tốc các điểm trên khâu, vận tốc góc các khâu khi cơ cấu chuyển động

„ Bài toán gia tốc: Xác định gia tốc các điểm trên khâu, gia tốc góc các khâu tại từng

vị trí và qui luật gia tốc các điểm trên khâu, gia tốc góc các khâu khi cơ cấu chuyển động

Khi nghiên cứu động học cơ cấu ta không đế ý đến nguyên nhân của chuyển động và giả thiết khâu dẫn chuyển động đều Trong 3 bài toán động học trên thì bài toán trước là cơ sở để giải bài toán sau

2 Ý NGHĨA

Phân tích động học có nhiều ý nghĩa trong việc thiết kế máy:

„ Xác định vị trí, quĩ tích các điểm giúp cho việc thiết kế máy như: sử dụng quĩ tích các điểm, phối hợp chuyển động của các bộ phận với nhau để hoàn thành yêu cầu, nhiệm vụ của máy đặt ra; thiết kế vỏ máy, các bộ phận che chắn cho máy, bố trí không gian lắp đặt máy, …

„ Vận tốc, gia tốc là những thông số cần thiết phản ánh chất lượng làm việc của máy như năng suất, tốc độ, tính không đều, …

¾ Vận tốc dùng xác định các đại lượng động lực học như động năng, công suất, … để tính toán năng lượng, làm đều chuyển động máy

¾ Gia tốc dùng tính lực quán tính để giải quyết bài toán áp lực khớp động

3 PHƯƠNG PHÁP

Tùy theo nội dung, yêu cầu của từng bài toán, ta có thể sử dụng các phương pháp khác nhau để phân tích động học cơ cấu: phương pháp giải tích, phương pháp đồ thị và phương pháp họa đồ vector Mỗi phương pháp có những ưu và nhược điểm riêng như sau:

„ Phương pháp giải tích

* Ưu điểm:

- Cho mối quan hệ giữa các đại lượng bằng biểu thức giải tích nên dễ dàng cho việc khảo sát bằng máy tính

- Độ chính xác cao

* Nhược điểm: với một số cơ cấu, biểu thức giải tích rất phức tạp và khó kiểm tra

„ Phương pháp đồ thị

* Ưu điểm: đơn giản, cụ thể, dễ nhận biết và dễ kiểm tra

* Nhược điểm:

- Thiếu tính chính xác do sai số của phương pháp dựng hình

- Kết quả cho bằng đồ thị biểu diễn quan hệ giữa một đại lượng động học theo một thông số nhất định (thường là vị trí khâu dẫn)

„ Phương pháp họa đồ vector

* Ưu điểm: đơn giản, cụ thể, dễ nhận biết và dễ kiểm tra

* Nhược điểm:

- Thiếu tính chính xác do sai số của phương pháp dựng hình

- Kết quả không liên tục, chỉ cho kết quả bằng số ở những vị trí rời rạc

2.2 PHÂN TÍCH ĐỘNG HỌC CƠ CẤU PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH

1 TỔNG QUÁT

- Khi cho trước lược đồ cơ cấu, kích thước động các khâu và qui luật chuyển động của khâu dẫn thì tại một vị trí của cơ cấu ta có thể xác định hàm số biểu diễn vị trí hình học của bất kỳ một điểm nào trên cơ cấu Hàm số này cho ta quĩ tích của điểm đang xét khi cơ cấu chuyển động Khảo sát hàm số này ta có được vận tốc, gia tốc của điểm đang xét

- Khảo sát hai điểm trên một khâu ta có được vận tốc, gia tốc tương đối giữa hai điểm đó; từ đó ta xác định được vận tốc góc, gia tốc góc của khâu mang hai điểm trên

- Tùy theo công cụ toán học khi xác dịnh vị trí các điểm trên cơ cấu, ta chia phương pháp giải tích thành phương pháp lượng giác, giải tích vector, ma trận, tenxơ, … Ở đây ta dùng phương pháp lượng giác

2 VÍ DỤ

Cho cơ cấu tay quay-con trượt lệch tâm như hình 2.1 với kích thước tay quay 1, thanh truyền 2, độ lệch tâm lần lượt là l1,l2, e Tay quay 1 quay đều với vận tốc góc ω1 Xác định chuyển vị góc, vận tốc góc, gia tốc góc của thanh truyền 2 và chuyển vị, vận tốc, gia tốc của con trượt 3

B

C

1

ϕ

3

y

e

1

l

2

l

C x

1

ω

3

Hình 2.1

a) Chuyển vị góc, vận tốc góc, gia tốc góc của thanh truyền

- Từ hình vẽ ta có:

3 2 1

1sinϕ e l sinϕ

l + = (2.1)

⇒

2 1 2

1

3 sin sin

l

e l

ϕ (2.2)

Đặt

1

2

l

l

=

λ là tỉ số thanh truyền và

1

l

e

=

μ là hệ số lệch tâm, (2.2) trở thành:

( ϕ μ)

λ

ϕ3= 1 sin 1+ sin (2.3)

Vậy, chuyển vị góc của thanh truyền là:

( ϕ μ)

λ

ϕ3=arcsin1 sin 1+ (2.4)

- Đạo hàm hai vế biểu thức (2.3) theo thời gian t , ta được:

dt

d dt

1 3

3 1cos

λ

ϕ

ϕ = (2.5)

Vì ϕ3 =ω3

dt

d là vận tốc góc thanh truyền và ϕ1 =ω1

dt

d là vận tốc góc tay quay nên vận tốc góc của thanh truyền là:

3

1 1 3

cos

cos 1

ϕ

ϕ ω λ

ω = (2.6)

- Vì tay quay quay đều nên ω1=const , đạo hàm hai vế biểu thức (2.6) theo thời gian t , ta

nhận được gia tốc góc của thanh truyền:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

=

=

3 3

3 1 3 3 1 1 1 3 3

cos

sin cos cos

sin

ϕ

ϕ ϕ ω ϕ ϕ ω λ

ω ω ε

dt d

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

1

3 1 2

3 3 1 2 1

sin

sin cos 1 cos

sin

ϕ

ϕ ϕ λ ϕ

ϕ ω λ

Thay (2.3) và (2.5) vào (2.7) ta có:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

1 1

2 3 3 1 2 1 3

1 1 sin

1 sin

1 cos

sin 1

λ ϕ

ϕ μ μ λ ϕ

ϕ ω λ

* Với cơ cấu tay quay-con trượt chính tâm (e=0), các công thức (2.4), (2.6), (2.8) trở thành:

1

3 arcsin1sinϕ

λ

ϕ = (2.9)

3

1 1 3

cos

cos 1

ϕ

ϕ ω λ

ω = (2.10)

3 3 1 2

2 1 3

cos

sin 1 1 1

ϕ

ϕ λ

ω λ

⎠

⎞

⎜

⎝

= (2.11)

b) Chuyển vị, vận tốc, gia tốc của con trượt

- Theo hình vẽ, vị trí của con trượt được tính như sau:

3 2 1

1cosϕ l cosϕ

l

x C= +

Hay x C = l1(cosϕ1+λcosϕ3) (2.12)

- Ở các vị trí biên (khi tay quay và thanh truyền duỗi thẳng ra hay chập lại) của con trượt, ta

có:

( )2 2 1 2 max l l e

x C = + − (2.13)

( )2 2 1 2 min l l e

x C = − − (2.14)

- Hành trình của con trượt:

( ) ( )2 2

1 2 2 2 1 2 min

x

Đối với tay quay-con trượt chính tâm, ta có:

1

2l

H = (2.16)

- Đạo hàm hai vế biểu thức (2.12) theo thời gian t, ta được:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

−

=

=

dt

d dt

d l

dt

dx

C

3 3 1

1

1 sinϕ ϕ λsinϕ ϕ

(2.17)

Thay (2.6) vào (2.17) ta tính được vận tốc của con trượt:

( 1 1 3)

1

1ω sinϕ +cosϕ tgϕ

−

= l

v C (2.18)

- Đạo hàm hai vế biểu thức (2.18) theo thời gian t , ta được gia tốc của con trượt:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

−

=

=

dt

d dt

d dt

d l

dt

dv

C

1 1 3 3 3 2 1 1

1 2 1

cos

cos

ϕ

ϕ ϕ

ϕ

Thay (2.6) vào (2.19) ta có:

( )

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

+

−

=

3 3 1 2

3

3 1 2

1 1

cos

cos cos

cos

ϕ λ

ϕ ϕ

ϕ ϕ ω

l

2.3 PHÂN TÍCH ĐỘNG HỌC CƠ CẤU PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ

Ví dụ: Cho cơ cấu 4 khâu bản lề như hình 2.2 Xác định đồ thị vị trí, vận tốc góc và gia

tốc góc của khâu CD khi khâu dẫn AB quay đều với vận tốc góc ω1

B

2

B

T

B

3

B

4

B

5

B

6

B

7

B

8

B

C C

T C

2

C

3

C

1

C

4

C

8

C

7

C

5

C

6

C

A

D

C

B

2

ψ

3

ω

1

ω

2

ϕ

Hình 2.2

1 Đồ thị vị trí

Trên hình 2.2 ta vẽ các vị trí cơ cấu AB i C i D (i=1,2,3, ,n) trong quá trình cơ cấu chuyển động Chọn AD làm gốc, mọi vị trí của tay quay AB được xác định bằng góc

i

i=DAB

ϕ , mọi vị trí của khâu CD được xác định bằng góc ψi = ADC i Đo và lập bảng 2.1 Từ số liệu của bảng ta dựng được đồ thị vị trí ψ(ϕ)

Bảng 2.1

2 Đồ thị vận tốc

- Vận tốc góc là đạo hàm của chuyển vị góc theo thời gian nên ta có vận tốc góc ω3 của

khâu CD là:

1

ϕ

ψ

ϕ ϕ

ψ ψ

d

d dt

d d

d dt

d (2.21)

- Bằng phương pháp vi phân đồ thị ta xác định được đồ thị

ϕ

ψ

d

d Như vậy, đồ thị vận tốc góc

dt

dψ nhận được bằng cách nhân đồ thị

ϕ

ψ

d

d với hằng số ω1

3 Đồ thị gia tốc

- Gia tốc góc là đạo hàm của vận tốc góc theo thời gian nên ta có gia tốc góc ε3 của khâu

CD là:

2

2 2 1 1

2

2 1 1

1 3

ψ ω ϕ

ψ ε

ϕ ϕ

ψ ω ϕ

ψ

ω ϕ

ψ ω ω

ε

d

d d

d dt

d d

d d

d dt

d d

d dt

d dt

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

Vì khâu dẫn quay đều nên 1= 1 =0

dt

dω

2

2 2 1

ψ ω

ε

d

d

= (2.23)

- Bằng phương pháp vi phân đồ thị ta xác định được đồ thị 2 2

ϕ

ψ

d

d Như vậy, đồ thị gia tốc góc

dt

dω3 nhận được bằng cách nhân đồ thị

2

2

ϕ

ψ

d

d với hằng số 2

1

ω

2.4 PHÂN TÍCH ĐỘNG HỌC CƠ CẤU PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP HỌA ĐỒ VECTOR

1 Bài toán vị trí

Ví dụ: Xét cơ cấu bốn khâu bản lề ABCD như hình 2.3 với chiều dài các khâu cho

trước Vẽ họa đồ cơ cấu để xác định quĩ đạo điểm B, C khi cơ cấu chuyển động

1

B

2

B T B

3

B

4

B

5

B

6

B

7

B

8

B

1

K

2

K

3

K

4

K

5

K

6

K

7

K

8

K

C C

T C

2

C

3

C

1

C

4

C

8

C

7

C

5

C

6

C

C B

Hình 2.3

- Khi cơ cấu chuyển động, ta dựng được nhiều vị trí của cơ cấu ứng với nhiều thời điểm khác nhau AB i C i D (i=1,2,3, ,n):

• Quĩ đạo điểm B là vòng tròn tâm A , bán kính l AB

• Quĩ đạo điểm C là cung tròn tâm D, bán kính l CD Quĩ đạo này giới hạn ở hai điểm

C

C và C T là hai vị trí của cơ cấu ứng với khi AB, BC chập lại và khi AB, BC

duỗi thẳng ra

- Giả sử cần tìm quĩ đạo của điểm K ở giữa BC , ta tiến hành như sau: tại nhiều vị trí cơ

cấu AB i C i D (i=1,2,3, ,n) ta có nhiều điểm K i ở giữa B i C i Nối các điểm

) ., ,

3

,

2

,

1

K i = ta nhận được quĩ đạo điểm K là một đường cong kín như hình vẽ

2 Bài toán vận tốc, gia tốc

a) Ôn lại cách giải một phương trình vector bằng phương pháp họa đồ vector

Vector mr được biểu thị bằng hai tổng vector:

n

n m m

m m

m m

m m

′ + +

′ +

′

=

+ + +

=

r L r r r

r L r r r

2 1

2

1 (2.24)

1

mr 2

mr

1

−

n

mr

n

mr

1

m′r

2

m′r

n m′r

mr

p

Δ′

Δ

1

−

′

n

mr

Hình 2.5

Để giải (2.24) bằng phương pháp họa đồ vector, ta vẽ đa giác vector như H 2.5 với lưu ý:

• Mỗi đại lượng vector chứa hai ẩn: phương và suất

• Các vector mr ,mr ,1 m′r cùng gốc 1

• Các vector mr ,mr ,n m′r cùng mút n

• Các vector m m mrn

K r

2

1 nối tiếp nhau Các vector mr1′,mr′2,K,mrn′ nối tiếp nhau

Nếu vector mr chưa biết thì khi vế phải của mỗi phương trình (2.24) có một vector (giả sử

n

mr và m′r ) chưa biết suất hoặc phương thì hệ (2.24) hoàn toàn giải được n

Nếu mr và n m′r chưa biết suất (đã biết phương) thì cách giải như sau: n

• Từ điểm p chọn trước, lần lượt vẽ các vector m1,m2, ,mrn−1

K r

• Từ mút của mr vẽ đường thẳng Δ biểu diễn cho phương của n−1 mr n

• Từ p lần lượt vẽ các vector mr1′,mr′2,K,mrn′ nối tiếp nhau

• Từ mút của mr vẽ đường thẳng Δ′ biểu diễn cho phương của ′n−1 m′r n

• Giao điểm của Δ và Δ′ cho ta điểm mút của các vector mr ,mr ,n m′r n

Độ lớn của mr , mr ,n m′r hoàn toàn chính xác n

Nếu mr và n m′r chưa biết phương (đã biết suất) thì cách giải như sau: n

• Từ mút của vector mr vẽ cung tròn bán kính bằng độ lớn của n−1 mr n

• Từ mút của vector mr vẽ cung tròn bán kính bằng độ lớn của ′n−1 m′r n

• Giao điểm của 2 cung tròn cho ta điểm mút của các vector mr ,mr ,n m′r n

b) Vẽ họa đồ vận tốc, gia tốc

Ví dụ 1: Cho cơ cấu 4 khâu bản lề ở vị trí cơ cấu như hình 2.6a Tay quay 1 quay đều với vận tốc góc ω1 Xác định vận tốc, gia tốc các điểm C, E trên khâu 2 và vận tốc góc, gia tốc góc các khâu 2, 3

™ Bài toán vận tốc:

A

B

C

D

E

3

2

2

1

2

3

p

b

c

e

p

b c

e CB n

EB n

CD n

EC n

1

x

1

y

2

y

2

x

1

Δ

2

Δ

2

δ

1

δ

)

(a

b) c)

Hình 2.6

ƒ Xác định vận tốc điểm C :

- Ta có: v rC = v rB + v rCB (2.25) trong đó:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧⊥

biết chưa suất

biết chưa chiều

CD

vrC: (vrC là vận tốc của điểm C so với điểm D )

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧⊥

AB

B

l

AB v

1

1

:

ω

ω

với hợp phù chiều r

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧⊥

biết chưa suất

biết chưa chiều

CB

vrCB: (vrCB là vận tốc của điểm C so với điểm B )

- Vận tốc điểm C được tính bỡi (2.25) Phương trình này chứa 2 ẩn số là suất của hai

vector vr và C vr nên có thể giải bằng phương pháp họa đồ vector như sau (hình 2.6b): CB

• Chọn p làm gốc họa đồ vận tốc và ⎢⎣⎡mm s⎥⎦⎤

m v

μ là tỷ lệ xích

• Từ p vẽ pb→ biểu diễn cho vrB đã biết

• Từ b vẽ đường thẳng Δ1⊥CB biểu diễn cho phương của vr CB

• Từ p vẽ đường thẳng Δ2 ⊥CD biểu diễn cho phương của vr C

• Giao điểm c của Δ1 và Δ2 chính là mút của vr và C vr , tức là: CB

ƒ Xác định vận tốc điểm E :

- Ta có:

v rE = v rB+ v rEB

và v rE = v rC+ v rEC

⇒ v rB+ v rEB = v rC + v rEC (2.26)

trong đó:

v rB,

C

v r hoàn toàn xác định,

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧⊥

biết chưa suất

biết chưa chiều

EB

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧⊥

biết chưa suất

biết chưa chiều

EC

- Phương trình (2.26) chứa 2 ẩn số là suất của hai vector vr và EB vr nên hoàn toàn giải EC được bằng phương pháp họa đồ vector như sau:

• Từ b vẽ đường thẳng δ1⊥EB biểu diễn cho phương của vr EB

• Từ c vẽ đường thẳng δ2 ⊥EC biểu diễn cho phương của vr EC

• Giao điểm e của δ1 và δ2 chính là mút của vr , tức là: E

→

vrE μv

ƒ Xác định vận tốc góc các khâu 2, 3:

- Chiều của vận tốc góc khâu 2 là chiều ngược chiều kim đồng hồ (tưởng tượng đặt vr CB

vào điểm C sẽ thấy điểm C quay quanh B ngược chiều kim đồng hồ) và bằng:

CB

CB l

v

=

2

ω (2.27)

- Chiều của vận tốc góc khâu 3 là chiều cùng chiều kim đồng hồ và bằng:

CD

C l

v

=

3

ω (2.28)

Nhận xét:

• Các vector có gốc tại p và mút tại các điểm b,c,e biểu diễn cho các vector vận tốc tuyệt đối của các điểm tương ứng B,C, E

• Các vector không có gốc tại p như bc, be biểu diễn cho các vector vận tốc tương

đối của điểm C so với điểm B, của điểm E so với điểm B

• Họa đồ vận tốc có sự liên hệ với họa đồ cơ cấu: BE⊥be, EC⊥ec, CB⊥cb; đồng thời chiều đi theo thứ tự các điểm B, E,C (cùng một khâu trên họa đồ cơ cấu) phù hợp với chiều đi theo thứ tự các điểm b,e,c (trên họa đồ vận tốc) Do đó BECΔ

đồng dạng thuận với becΔ Từ đây ta có thể phát biểu định lý đồng dạng thuận như sau:

Hình nối các điểm cùng thuộc một khâu (trên họa đồ cơ cấu) đồng dạng thuận với hình nối mút các vector vận tốc tuyệt đối của các điểm đó (trên họa đồ vận tốc)

Như vậy, khi biết vận tốc của hai điểm trên cùng một khâu thì vận tốc của điểm thứ ba bất kỳ trên khâu đó hoàn toàn xác định một cách dễ dàng theo định lý đồng dạng thuận

™ Bài toán gia tốc:

ƒ Xác định gia tốc điểm C :

- Ta có:

CB B

C a a

ar = r + r (2.29) với a r là gia tốc của điểm C trong chuyển động quay quanh điểm CB B:

τ

CB n

CB

a r = r + r (2.30)

- Điểm C cũng thuộc khâu 3 quay quanh D:

τ

CD n

CD

a r = r + r (2.31)

- Suy ra:

τ τ

CD n

CD CB n

CB

a r + r + r = r + r (2.32) trong đó:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

AB

B

l

A B

AB a

2 1

//

:

ω

về từ hướng chiều r

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

CB

n

CB

l

B C

CB a

2 2

//

:

ω

về từ hướng chiều

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧⊥

biết chưa suất

biết chưa chiều

CB

arCBτ :

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

CD

n

CD

l

D C

CD a

2 3

//

:

ω

về từ hướng chiều

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧⊥

biết chưa suất

biết chưa chiều

CD

arCDτ :

- Gia tốc điểm C được tính bỡi (2.32) Phương trình này chứa 2 ẩn số là suất của hai vector

τ

CD

ar và τ

CB

ar nên có thể giải bằng phương pháp họa đồ vector như sau (hình 2.6c):

• Chọn 'p làm gốc họa đồ gia tốc và ⎢⎣⎡mm s2⎥⎦⎤

m a

μ là tỷ lệ xích

• Từ 'p vẽ p 'b' biểu diễn cho a B đã biết

• Từ b′ vẽ b' n CB biểu diễn n

CB

ar đã biết

• Từ n CB vẽ đường thẳng x1⊥CB biểu diễn cho phương của τ

CB

ar

• Từ p′ vẽ p' n CD biểu diễn n

CD

ar đã biết

• Từ n CD vẽ đường thẳng x2⊥CD biểu diễn cho phương của τ

CD

ar

• Giao điểm c′ của x1 và x2 chính là mút của arC, τ

CB

ar và τ

CD

ar , tức là:

' ' p c

arC=μa

' n c

arCBτ =μa CB

' n c

arCDτ =μa CD

ƒ Xác định gia tốc điểm E :

- Ta có:

τ

EB n

EB B

a r = r + r + r

và τEC

n EC C

a r = r + r + r

EC C EB n

EB

a r + r + r = r + r + r (2.33) trong đó:

ar , B ar hoàn toàn xác định, C

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

EB

n

EB

l

B E

EB a

2 2

//

:

ω

về từ hướng chiều

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧⊥

biết chưa suất

biết chưa chiều

EB

arEBτ :

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

EC

n

EC

l

C E

EC a

2 2

//

:

ω

về từ hướng chiều

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧⊥

biết chưa suất

biết chưa chiều

EC

arECτ :

- Phương trình (2.33) chứa 2 ẩn số là suất của hai vector τ

EB

ar và τ

EC

ar nên hoàn toàn giải được bằng phương pháp họa đồ vector như sau (hình 2.6c):