Tài liệu tham khảo: Đạo hàm và vi phân
Bài tiểu luận toán cao cấp C2 GVHD: Võ Thị Thanh Hà CHƯƠNG I : ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN A.LÝ THUYẾT: 1.1 Đạo hàm riêng: Định nghĩa:Cho hàm 2 biến f: ( ) ( ) yxfZyx RXRX ,, 22 =→ ⊆→ X: tập xác định Xét ( ) 0 0 ,f x y ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 / 0 0 0 0 0 / 0 , , lim , , lim x x y y f x x y f x y f x f x y y f x y f y → → + ∆ − = ∆ + ∆ − = ∆ V V 1.2 VI PHÂN: * Định nghĩa: Cho hàm số z = f (x,y) đạo hàm riêng của hàm số theo biến x, kí hiệu là: )(xfxZ x f x z ′ = ′ = ∂ ∂ = ∂ ∂ là giới hạn ),(),(lim 0 yxfyxxf x −∆+ →∆ * Vi phân hai biến: Định nghĩa: Cho hàm số z = f(x,y) thì / / 2 // 2 // // 2 2 x y xx xy yy dz z dx z dy d z z dx z dxdy z dy = + = + + Tổng quát: f yx zd n n ∂ ∂ + ∂ ∂ = B. BÀI TẬP: Câu 1 : Cho hàm số 2 3 ( , ) x y z f x y e + = = Tính ( ) ? n n x z = Giải: Ta có: / / 2 3 2 3 // / 2 3 2 3 // / / 2 3 2 3 (2 3 ) 2 2(2 3 ) 4 4(2 3 ) 8 x y x y x x x y x y xx x x y x y xxx x z x y e e z x y e e z x y e e + + + + + + = + = = + = = + = ⇒ yxnn x ez n 32)( .2 + = Câu 2: Cho hàm số ( , ) y z f x y xe= = Tính ( ) 4 4 ? y x z = Trang 1 Bài tiểu luận toán cao cấp C2 GVHD: Võ Thị Thanh Hà Giải: Ta có: ( ) 4 / / // / /// / 4 / ( ) ( ) ( ) ( ) y y y y y y yy y y y yyy y y y x y x z xe xe z xe xe z xe xe z xe e = = = = = = ⇒ = = Câu 3 : Cho hàm số ( , ) ln y z f x y e x= = Tính 2 (4) ? yxy z = Giải: Ta có: 2 / / // / / // / / (4) ( ln ) ln ( ln ) y y y y y y yx x y y yxy y y y yxy y z e x e x e z e x x e e z x x e e z x x = = = = = = ÷ = = ÷ Câu 4: Cho hàm số ( , ) xy z f x y e= = Tính 5 5 ? x z = Giải: Ta có: ( ) ( ) ( ) 5 / / / // 2 5 5 xy xy x x xy xy xx x xy x z e ye z ye y e z y e = = = = ⇒ = Câu 5: Cho hàm số ( ) ( , ) sinz f x y xy= = Tính ( ) ( ) ?; ? n n n n x y z z= = Giải: Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / / / // 2 / // 2 / / / // 2 sin os os sin sin os sin sin os os sin x x xx x xy y y y yy y z xy yc xy z yc xy y xy z y xy c xy xy xy z xy xc xy z xc xy x xy = = = = − = − = − = = = = − Câu 6: Cho hàm số ( ) ( , ) osz f x y c xy= = Tính // // // ?; ?; ? xx xy yy z z z= = = Trang 2 Bài tiểu luận toán cao cấp C2 GVHD: Võ Thị Thanh Hà ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / / / // 2 / /// 2 3 / / os sin sin cos os sin cos 2 os sin cos 2 n n x x xx x xxx x n n x y y n n y z c xy y xy z y xy y xy z y c xy y xy z y xy n z c xy x xy z x xy n π π = = − = − = − = − = ⇒ = + ÷ = = − ⇒ = + ÷ Câu 7: Tìm vi phân cấp một của hàm số: 2 4z x y = + Giải: Ta có: / / x y dz Z dx Z dy= + z = x 2 + 4 y z / x = (x 2 + 4 y ) / = 2x z / y = (x 2 + 4 y ) / = 4 y .ln4 ⇒ dz = 2xdx + 4 y ln4dy Câu 8: Tìm vi phân cấp một của hàm số: ( ) yxz −= ln Giải: Ta có: / / x y dz Z dx Z dy= + z = ( ) yx − ln z / x = ( ) / ln x x y− = yx yx − − / )( = ( ) 1 2 1 2( ) x y x y x y − = − − z / y = ( ) / ln x x y− = yx yx − − / )( = ( ) 1 2 1 2( ) x y x y x y − = − − − 1 2( ) dz dx x y ⇒ = − dy yx )(2 1 − − 2( ) dx dy x y − = − Câu 9: Tím vi phân cấp một của hàm số: ).( xyarcygz −= Giải: Ta có: / / x y dz Z dx Z dy= + z = ( )arcyg y x− Trang 3 Bài tiểu luận toán cao cấp C2 GVHD: Võ Thị Thanh Hà z / x ( ) / ( ) x arcyg y x= − 2 1 1 ( )y x = − + − z / y ( ) / ( ) y arcyg y x= − 2 1 1 ( )y x = + − ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 dx dy dy dx dz y x y x y x − − ⇒ = + = + − + − + − Câu 10: Tìm vi phân dz của hàm: 2 2 sin( )z x xy xy= − + Giải: / / x y dz Z dx Z dy= + ( ) / 2 2 .cos x Z x y y xy= − + ( ) / 2 .cos y Z x x xy= − + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 .cos 2 cosdz x y y xy dx x xy dy ⇒ = − + − − Câu 11: Tính vi phân cấp 2 của hàm: 2 2 sin y exz += Giải: 2 2 2 xx xy y 2 yy 2(sin ) .sin 2cos sin sin 2 2 . z 2cos2x z 0 z 2.e 4 .e x y y y z x x x x x z y e y ′ ′ = = = ′ = ′′ = ′′ = ′′ = + 2 2 2 2 2 2cos 2 2 (1 2 ) y d z xdx e y dy⇒ = + + Câu 12: Cho hàm hai biến yx ez 2 + = , tính // // // ?, ?, ? xx yy xy z z z= = = Giải: / / 2 2 ( 2 ) x y x y x z x y e e + + = + = // / 2 2 ( 2 ) x y x y xx z x y e e + + = + = / 2 ' ( 2 ) . 2. x y x y y z x y e e + + = + = / 2 2 '' 2.( 2 ) . 4. x y x y yy z x y e e + + = + = yxyx x eeyxz 22// )2( ++ =+= yxyx xy eeyxz 22/// .2)2( ++ =+= Câu 13: Tìm vi phân cấp hai 2 d z của hàm hai biến lnz y x= Trang 4 Bài tiểu luận toán cao cấp C2 GVHD: Võ Thị Thanh Hà Giải: Ta có: 2 // 2 // // 2 2 xx xy yy d z Z dx Z dxdy Z dy= + + / // 2 / // // 2 2 2 ln 0 1 2 . . x xx y yy xy y Z x y Z x Z x Z Z x y d z dx dxdy x x = = − = = = ⇒ = − + Câu 14: Tìm vi phân cấp hai 2 d z của hàm hai biến 2 2 sinz x x y= + Giải: Ta có: 2 // 2 // // 2 2 xx xy yy d z Z dx Z dxdy Z dy= + + / 2 // / 2 // // 2 2 2 2 sin 2 sin 2 sin 2 2 os2 2sin cos 2sin 2 2 2sin 2 2 os2 x xx y yy xy Z x y Z Z y x y Z xc y Z y y y d z dx ydxdy xc ydy = + = = + = − = = − ⇒ = − − Câu 15: Tìm vi phân cấp hai zd 2 của hàm hai biến .cos 22 yxxz += Giải: 2 // 2 // // 2 2 xx xy yy d z Z dx Z dxdy Z dy= + + / 2 // / 2 // // 2 2 2 2 sin 2 sin 2 sin 2 2 os2 2sin cos 2sin 2 2 2sin 2 2 os2 x xx y yy xy Z x y Z Z y x y Z xc y Z y y y d z dx ydxdy xc ydy = + = = + = − = = − ⇒ = − − Câu 16: Tìm vi phân cấp hai của hàm hai biếnn . 32 yxz = Trang 5 Bài tiểu luận toán cao cấp C2 GVHD: Võ Thị Thanh Hà Giải: Ta có: 2 // 2 // // 2 2 xx xy yy d z Z dx Z dxdy Z dy= + + ( ) ( ) ( ) // // 2 3 3 // // 2 3 2 // // 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 6 6 2 12 6 xx xx xy xy yy yy z x y y z x y xy z x y x y d z y dx xy dxdy x ydy = = = = = = ⇒ = + + CHƯƠNG II: CỰC TRỊ A. LÝ THUYẾT: 1.1 CỰC TRỊ TỰ DO: Cho hàm số z = f(x,y) xác định trên miền D ⊆ R 2 Điểm P(a,b) được gọi là cực trị địa phương của hàm z =f(x,y) nếu: giả thiết: ( ) ( ) ( ) ; , , , ( )f a b f x y x y Q P≥ ∀ ∈ lân cận điểm P Cực tiểu địa phương ( ) ( ) ; ,f a b f x y< Cực trị = cực đại + cực tiểu Điểm dừng: ( ) ;P a b ( ) ( ) ; 0; ; 0 f f a b a b x y ∂ ∂ = = ∂ ∂ Nếu f tồn tại cực trị địa phương thì nó đạt cực trị địa phương tại các điểm dừng *Phương pháp tìm cực trị tự do: Z = f(x,y), D Tìm cực đại: Bước 1: // , yx zz ),( 0 / / oo y x yxI z oz ⇒ = = ( , ) o o I x y được gọi là điểm dừng. Bước 2: Tính ////// ,, yyxyxx zzz Trang 6 Bài tiểu luận toán cao cấp C2 GVHD: Võ Thị Thanh Hà Bước 3: Đặt ( ) ( ) ooyy ooxy ooxx yxzC yxzB yxzA , , ),( ′′ = ′′ = ′′ = Xét 2 BAC −=∆ Nếu ∆ <0 → điểm (x o ,y o ) không phải là cực trị Nếu ( ) oo yx ,0 →〉∆ là cực trị Với A>0 ⇒ (x o ,y o ) là điểm cực tiểu Với A<0 ⇒ (x o ,y o ) là điểm cực đại 0 =∆ dùng phương pháp khác hoặc chưa thể kết luận 1.2 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN: Cho hàm số z = f(x,y) và hàm số ( ) yx, ϕ Điểm (x o ,y o ) được gọi là điểm cực trị của hàn số f(x,y) với điều kiện ( ) 0, = oo yx ϕ nếu nó là cực trị của z = f(x,y) và thoả mãn ( ) 0, = oo yx ϕ * Điều kiện cần: Giả sử (x o ,y o ) là cực trị của hàm z = f(x,y) với điều kiện 0),( = yx ϕ . Ta giả thiết thêm các hàm f(x,y) ; ( ) yx, ϕ có các đạo hàm riêng liên tục trong lân cận của điểm (x o, y o ). Khi đó sẽ tồn tại một số λ thoả: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ 0; 0;; 0;; oo oooo oooo yx yx y yx y f yx x yx x f ϕ ϕ λ ϕ λ (I) Khi đó (x o, y o ) gọi là điểm dừng λ : nhân tử Lagreange * Phương pháp tìm cực trị có điều kiện : Cách 1: Từ ( ) 0, = yx ϕ ta tính ( ) y y x= . Thay ( ) y y x= vào ( ) ( ) , x f x y ta được hàm một biến theo x Cách 2: * Giải hệ (I) để tìm điểm dừng ( ) 0 0 ,x y và o λ Trang 7 Bài tiểu luận toán cao cấp C2 GVHD: Võ Thị Thanh Hà * ( ) ( ) ( ) ′′ = ′′ = ′′ = oooyy oooxy oooxx yxLC yxLB yxLA λ λ λ ;; ;; ;; Xét 2 BAC −=∆ Nếu 0 ∆ < hàm f không có cực trị tại ( ) 0 0 ,x y Nếu 0∆ > hàm f có cực trị + ( ) 0 0 0 ,A x y> ⇒ là điểm cực tiểu + ( ) 0 0 0 ,A x y> ⇒ là điểm cực đại B. BÀI TẬP: Câu 17: Cho hàm 2 2 2z x x y= − + Tìm cực trị? Giải: Ta có : ( ) ( ) / / 2 2 / / 2 2 2 2 2 2 2 x x y y z x x y x z x x y y = − + = − = − + = Giải hệ phương trình: { { 1 0 022 02 = = =− = ⇔ x y x y ⇒ điểm M(1,0) là điểm dừng Đặt: ( ) ( ) ( ) / // / // / // 2 2 2 2 2 2 2 0 xx x yy y xy y A z x C z y B z x = = − = = = = = = − = Ta có: 2 2*2 0 4 0AC B∆ = − = − = > Hàm có cực trị. Và A = 2 > 0 Hàm đạt cực tiểu tại điểm M(1,0) Câu 18: Cho hàm 4 2 2 8 5z x x y= − + + Tìm cực trị? Giải: Trang 8 Bài tiểu luận toán cao cấp C2 GVHD: Võ Thị Thanh Hà 3 3 2 1 2 3 2 4 16 2 0 2 4 16 0 4 ( 4) 0 (0;0); (2;0); ( 2;0) 2 2 0 0 0 12 16 0 2 x y xx xy yy z x x z y x x x x x x M M M x y y y z x z z ′ = − ′ = = = − = − = ⇔ ⇔ ⇒ − = − = = = ′′ = − ′′ = ′′ = Có 3 điểm dừng 1 2 3 (0;0); (2;0); ( 2;0)M M M − 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 (0;0) 12 16 16 0 2 16*2 0 32 0 xx xy yy M A z x B z C z AC B + ′′ = = − = − ′′ = = ′′ = = ∆ = − = − − = − < Vậy M 1 (0;0) không phải là cực trị của hàm số 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (2;0) 12 16 32 0 2 32*2 0 64 0, 0 xx xy yy M A z x B z C z A C B A + ′′ = = − = ′′ = = ′′ = = ∆ = − = − = > > Vậy M 2 (2;0) là điểm cực tiểu của hàm 3 2 3 3 3 2 2 3 3 3 3 3 ( 2;0) 12 16 64 0 2 64*2 0 128 0, 0 xx xy yy M A z x B z C z A C B A + − ′′ = = − = ′′ = = ′′ = = ∆ = − = − = > > Vậy M 3 (-2;0) là điểm cực tiểu của hàm Câu 19: Cho hàm 2 2 1z x xy= − + Tìm cực trị? Giải: Ta có : Trang 9 Bài tiểu luận toán cao cấp C2 GVHD: Võ Thị Thanh Hà / 2 / / 2 / ( 2 1) 2 2 ( 2 1) 2 x x y y z x xy x y z x xy x = − + = − = − + = − Giải hệ phương trình: { { 0 0 022 02 = = =− = ⇔ x y yx x ⇒ điểm M(0,0) là điểm dừng. // / // / // / (2 2 ) 2 (2 2 ) 2 ( 2 ) 0 xx x xy y yy y z x y z x y z x = − = = − = − = − = Đặt: // // // 2 2 2 2 0 2*0 ( 2) 4 0 xx xy yy A z B z C z AC B = = = = − = = ∆ = − = − − = − < Hàm z không có cực trị tại M(0;0) Câu 20: Cho hàm 2 2 z x xy y= + + Tìm cực trị? 2 2 0 2 0 2 0 3 0 0 (0;0) 0 2 0 2 4 0 2 0 0 2 1 2 x y x y xx xy yy z x y z x y z x y x y y y M z x y x y x y x A z B z C z ′ = + ′ = + ′ = + = + = = = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ ′ = + = + = + = = ′′ = = ′′ = = ′′ = = Có 1 điểm dừng (0;0)M 2 2 2*2 1 3 0 (0;0)AC B M∆ = − = − = > ⇒ là cực trị Và )0;0(02 MA ⇒>= là cực tiểu của hàm z Câu 21: Cho hàm 2 2 2 1z x y x y= − + − + Tìm cực trị? Giải: Ta có : / 2 2 / / 2 2 / ( 2 1) 2 2 ( 2 1) 2 1 x x y y z x y x y x z x y x y y = − + − + = + = − + − + = − − Giải hệ phương trình: { ⇔ −= −= =+ ==− 1 2 1 022 012 x y x y Trang 10 [...]... = 2 > 0 Và A = 2 > 0 ⇒ M (0;0) là điểm cực tiểu của hàm z Câu 28 : Cho hàm z = x 6 − y 5 − cos2 x − 32 y Tìm cực trị? Giải: 2 2 z′ = ( x 6 − y 5 − cos 2 x − 32 y ) x / z′ = ( x 6 − y 5 − cos 2 x − 32 y ) y / x y = 6 x 5 + sin 2 x = −5 y 4 − 32 5 z′ = 0 x 6 x + sin 2 x = 0 ⇔ ′ 4 zy = 0 −5 y − 32 = 0 ⇒ hệ vô nghiệm Không có điểm dừng Vậy hàm z không có cực trị Câu 29 : Cho hàm z =... > 0 Và A = −1 < 0 ⇒ M 1 (1;1) là điểm cực đại của hàm z Có 2 điểm dừng M 1 ( 1;1) ; M 2 ( 1; −1) 2 2 * Xét điểm M 2 ( 1; −1) : / 1 1 1 A = z ′′ = − 1÷ = − 2 = − 2 = −1 xx x 1 x x / 1 B = z ′′ = − 1÷ = 0 xy x y / 1 1 1 C = z ′′ = − y ÷ = − 2 − 1 = − − 1 = −2 yy 2 y ( −1) y y Đặt : ⇒ ∆ = AC − B = ( −1) * ( −2 ) − 0 = 2 > 0 Và A = −1 < 0 ⇒ M 2 (1; −1) là điểm cực đại của hàm z... − 2.8 + + +∞ Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm M 1 ( 0; −3) và M 2 ( 2; −1) Câu 33 : Cho hàm z = x3 − 3x + y với điều kiện − x 2 + y = 1 3 Giải: −x + y = 1 ⇒ y = x +1 2 2 x3 z = − 3x + x 2 + 1 3 / z = x2 + 2x − 3 x = 1 y = 2 / 2 z = 0 ⇔ x + 2x − 3 = 0 ⇒ x = −3 y = 10 Trang 17 Bài tiểu luận toán cao cấp C2 x −∞ z/ + −3 0 CĐ GVHD: Võ Thị Thanh Hà − 1 0 + +∞ CT Vậy hàm số đạt cực đại... của hàm z 2 2 2 Câu 32 : Cho hàm z = ln ( x − 2 y ) với điều kiện x − y − 2 = 0 Giải: x− y−2 =0⇒ y = x−2 z = ln ( x 2 − 2 x + 4 ) 2x − 2 x − 2x + 4 x = 1 2x − 2 z/ = 0 ⇔ 2 = 0, x 2 − 2 x + 4 > 0 ⇒ x − 2x + 4 y = −1 Đặt z / = 2 x−∞ z/ − 1 0 + +∞ CT Vậy hàm số đạt cực tiểu tại điểm M ( 1; −1) Trang 16 Bài tiểu luận toán cao cấp C2 GVHD: Võ Thị Thanh Hà 2 Câu 33 : Cho hàm z = ln 1 + x y với điều... = (−2 y − 1) / y = −2 ∆ = AC − B 2 = 2*(−2) − 02 = −4 < 0 1 Hàm z có một điểm dừng M −1; − ÷ nhưng không có cực trị 2 Câu 22: Cho hàm z = x + 27 x + y + 2 y + 1 Tìm cực trị? Giải: 3 z ′ = 3x 2 + 27 x z ′y = 2 y + 2 ; 2 z′x = 0 3x2 + 27 = 0 ′ ⇒ ⇒ z y = 0 2y + 2 = 0 hệ vô nghiệm, không có điểm dừng Câu 23 : Cho hàm z = 2 x 2 − 6 xy + 5 y 2 + 4 Tìm cực trị? Giải: z′ = 4 x − 6... ′′ = ( 4 x − 4 ) xy / x =4 y =0 / 1 π 3 C = z ′′ = cos y − ÷ = − sin y = − sin = − yy 2 y 3 2 3 2 ⇒ ∆ = AC − B 2 = 4* − 2 ÷− 0 = −2 3 < 0 ÷ Đặt : π Vậy hàm z không có cực trị tại M 1; ÷ 3 Câu 31 : Cho hàm z = ln x − x + ln y − y2 Tìm cực trị? 2 Giải: / y 1 z′ = ln x − x + ln y − ÷ = − 1 x 2 x x 2 / y2 1 z′ = ln x − x + ln y − ÷ = − y y 2 y y 1 −1 = 0... điểm dừng M (0;0) A = z ′′ = ( −6 x ) xx / B = z ′′ = ( −6 x ) xy / x = −6 y =0 C = z ′′ = ( 2e y − 2 ) yy / y = 2e y = 2* e0 = 2 Đặt : ⇒ ∆ = AC − B = −6* 2 − 0 = −12 < 0 Vậy hàm Z không có cực trị tại M (0;0) 2 Câu 27 : Cho hàm z = x − y − ln y − 2 Tìm cực trị? Giải: 2 z′ = ( x 2 − y − ln y − 2 ) x / z′ = ( x 2 − y − ln y − 2 ) y / x y 2 = 2x = −1 − 1 y 2 x = 0 z′ = 0 x = 0 x ⇔ ⇔ ⇒ M (0;... ( 4 x 3 − 4 ) xx B = z ′′ = ( 4 x3 − 4 ) xy Đặt : / / x y = 12 x 2 = 12 =0 C = z ′′ = ( −4 y 3 + 32 ) yy / y = −12 y 2 = −48 ⇒ ∆ = AC − B 2 = 12*(−48) − 02 = −576 < 0 Vậy hàm Z không có cực trị tại M (1; 2) Câu 25: Tìm cực trị của hàm số: Z = 2x 2 + y 2 − 2 y − 2 ϕ ( x , y ) = −x + y + 1 = 0 với điều kiện Giải: L ( x, y , λ) = 2 x 2 + y 2 −2 + λ( −x + y +1) L/x = 4 x −λ L/y = 2 y − 2 + λ 4 x −λ =... ) y / x y = e y + 3x 2 = xe y + 4 y − 4 2 y z′ = 0 ey x e + 3 x = 0 ⇔ y ⇔ x2 = − ′ 3 zy = 0 xe + 4 y − 4 = 0 ⇒ điều này vô lý ⇒ hệ vô nghiệm Không có điểm dừng Vậy hàm z không có cực trị y 2 Câu 30 : Cho hàm z = 2 x 2 − 4 x + sin y − , ( −π < y < π ) Tìm cực trị? Giải Trang 14 Bài tiểu luận toán cao cấp C2 GVHD: Võ Thị Thanh Hà / y z′ = 2 x 2 − 4 x + sin y − ÷ = 4 x − 4 x 2 x... Thanh Hà 2 1 8 ⇒M ( ; − ; ) 3 3 3 2 2 d L = 4dx + 0dxdy + 2dy 2 dϕ =ϕ/ xdx +ϕ/ ydy = −dx + dy = 0 ⇔dy = dx 2 1 8 d 2 L( ;− ; ) = 4dx 2 + 2dx 2 = 6dx 2 > 0 3 3 3 2 1 ⇒( ;− 3 3) là cực tiểu Câu 26 : Cho hàm z = −3x 2 + 2e y − 2 y + 3 Tìm cực trị? Giải: z′ = ( −3 x 2 + 2e y − 2 y + 3 ) x / z′ = ( −3 x 2 + 2e y − 2 y + 3) y / x y = −6 x = 2e y − 2 z′ = 0 −6 x = 0 x = 0 x ⇔ y ⇔ ⇒ M (0;0) ′ zy . C2 GVHD: Võ Thị Thanh Hà CHƯƠNG I : ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN A.LÝ THUYẾT: 1.1 Đạo hàm riêng: Định nghĩa:Cho hàm 2 biến f: . o ,y o ) là cực trị của hàm z = f(x,y) với điều kiện 0),( = yx ϕ . Ta giả thiết thêm các hàm f(x,y) ; ( ) yx, ϕ có các đạo hàm riêng liên tục trong