các bài toán bất phương trình, phương trình chứa tham số

1 MỘT VÀI DẠNG TOÁN CHỨA THAM SỐ TRONG CÁC KÌ THI ðẠI HỌC, CAO ðẲNG Cao Minh Quang, THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long.. E-mail: kt13quang@yahoo.com ***** Bài toán tìm tham số, t

1

MỘT VÀI DẠNG TOÁN CHỨA THAM SỐ TRONG CÁC KÌ THI ðẠI HỌC, CAO ðẲNG

Cao Minh Quang, THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long E-mail: kt13quang@yahoo.com

*****

Bài toán tìm tham số, thường là m , ñể phương trình, hệ phương trình, bất phương trình (ñại số) có

nghiệm, vô nghiệm hoặc nghiệm ñúng trong một ñoạn, khoảng, nửa khoảng nào ñó trong cấu trúc của ñề thi tuyển sinh ñại học, cao ñẳng thường ở mức ñộ khó, ñể giải ñược những dạng toán này, học sinh cần nắm vững

cơ sở lý thuyết liên quan

Cho tập D≠ ∅ Khi ñó

a) Dạng 1 Phương trình m= f x( ) có nghiệm trên D ⇔min f x( )≤m≤max f x( )

b) Dạng 2 Bất phương trình m> f x( ) có nghiệm trên D ⇔m>min f x( )

c) Dạng 3 Bất phương trình m≥ f x( ) có nghiệm trên D ⇔m≥min f x( )

d) Dạng 4. Bất phương trình m< f x( ) có nghiệm trên D ⇔m<max f x( )

e) Dạng 5. Bất phương trình m≤ f x( ) có nghiệm trên D ⇔m≤max f x( )

f) Dạng 6. Bất phương trình m> f x( ) nghiệm ñúng với mọi x∈D ⇔m>max f x( )

g) Dạng 7. Bất phương trình m≥ f x( ) nghiệm ñúng với mọi x∈D ⇔m≥max f x( )

h) Dạng 8. Bất phương trình m< f x( ) nghiệm ñúng với mọi x∈D ⇔m<min f x( )

i) Dạng 9. Bất phương trình m≤ f x( ) nghiệm ñúng với mọi x∈D ⇔m≤min f x( )

j) Dạng 10. Bất phương trình m> f x( ) vô nghiệm ⇔Bất phương trình m≤ f x( ) có nghiệm

Lưu ý: Giả sử f x( ) là một hàm ñơn ñiệu trên D

Nếu D=[a b, ] thì hàm số f x( ) luôn tồn tại giá trị l n nhất, giá trị nhỏ nhất

Nếu D=[a b, ) hoặc (a b, ] hoặc (a b, ), a có thể là −∞, b có thể là +∞, thì hàm số có thể không

tồn tại giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Trong trường hợp này thì ta cần lập bảng biến thiên của hàm số ñể

khảo sát

Từ những lưu ý này, ta nhận thấy rằng, việc xác ñịnh chính xác tập D là rất quan trọng, ta cần có các

kỉ năng ñánh giá ñể tìm tập D ở mỗi bài toán cụ thể

Sau ñây là một số ví dụ minh họa cho dạng toán này

Bài toán 1. Xác ñịnh m ñể phương trình 2 ( )( )

Lời giải ðặt t= (1−x)(3+x)= −(x+1)2+ Do ñó 04 ≤ ≤ Phương trình trên trở thành t 2

2

2

t

t +mt+ m+ = ⇔m= − ++ (2)

Phương trình (1) có nghiệm nếu phương trình (2) có nghiệm t∈[0, 2] hay

[ ] ( )

[ ] ( )

min f t ≤m≤max f t , trong ñó ( ) 2 4

2

t t

+

= −

Xét hàm số ( ) 2 4

2

t t

f t = − ++ , t∈[0, 2] ðạo hàm của hàm này là ( ) ( ( ) ()2 ) (2 )

Ta có f '( )t = ⇔ =0 t 2 2− ∨ = −2 t 2 2−2( )l

2

Giá trị của hàm số tại ñiểm tới hạn và ñiểm biên: f( )0 = −2,f(2 2−2)= −4 4 2, f( )2 = − 2

Do ñó

[ ] ( )

[ ] ( )

min f t = −2, max f t = −4 4 2 Suy ra 2− ≤m≤ −4 4 2

Bài toán 2 Xác ñịnh m ñể phương trình cos4x−sin2x=cos 2x+m có nghiệm

cos 2x=cos x−sin x Do ñó nếu ñặt t=cos2x, phương trình ñã cho ñược viết lại dưới dạng 2

m=t − hay t m= f t( ) (3), trong ñó ( ) 2 [ ]

, 0,1

ðiều kiện ñể phương trình (3) có nghiệm là

min f t ≤m≤max f t Xét hàm số ( ) 2 [ ]

, 0,1

2

f t = t− f t = ⇔ = ∈t Giá trị của hàm số tại các ñiểm biên và ñiểm tới hạn là ( ) ( ) ( )1 1

Do ñó

1 4

min f t = − , max f t = Suy ra 0 1

Bài toán 3. Xác ñịnh m ñể phương trình sin2 1 cos2 sin2

3

2 x+ 3 x =m.12 x có nghiệm thuộc ñoạn [0,π 4]

Lời giải Phương trình ñã cho tương ñương với sin2 sin2 sin2 ( )1 sin2 ( )1 sin2

2 x+3− x =m.12 x ⇔ x+ x=m

ðặt ( )1 sin2

6

x

t= , phương trình ñược viết lại dưới dạng 2

t + =t m (4)

Vì 0 x π4

2

0≤sin x≤ , suy ra 1

6≤ ≤ t 1 Phương trình (4) có nghiệm khi và chỉ khi

min f t m min f t

≤ ≤ , trong ñó ( ) 2

f t =t +t

Vì f t( ) là hàm ñồng biến trên ñoạn [1, 2 nên ] ( )1 ( ) 1 6

6

Vậy 1 6

Bài toán 4 Xác ñịnh m ñể bất phương trình ( )1 x 2 3( )1 x 1 0

+ + + + − > (5) thỏa mãn với mọi x> 0

Lời giải ðặt 1 x

x

t= + , với x> ta có 0 2 x 2

x

t≥ = Bất phương trình (5) ñược viết lại dưới dạng t2+3t+ >1 m

f t =t + t+ , t∈[2,+∞) Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng bất phương trình có nghiệm khi

[ ) ( )

2,

min

+∞

< hay m<11

Bài toán 5 Xác ñịnh m ñể bất phương trình 1( )

2

log x −2x+m > − (6) ñúng với mọi x thuộc 3 [0, 2 ]

Lời giải Ta cần xác ñịnh m sao cho với mọi x∈[0, 2], ta phải có

t 2 +∞

( )

'

f t +

( )

f t +∞

11

3

( )

2 3

2 (6.1)

8 2 (6.2)

−  > − +

< − + < ⇔ 

 − <− +



ðiều kiện ñể (6.1) xảy ra là

0,2

max

m> f x , ñiều kiện ñể (6.2) xảy ra là

0,2

8 min

m− < f x , trong ñó

2

f x = −x + x

Xét hàm số ( ) 2

2

f x = −x + x, x∈[0, 2] Ta có f '( )x = −2x+2,f '( )x = ⇔ = 0 x 1 Giá trị của hàm số tại các ñiểm biên và ñiểm tới hạn là f( )0 =0, f( )1 =1, f( )2 = 0

Do ñó

0,2 0,2

max f x =1, min f x = Suy ra 0 1<m<8

Bài toán 6 [Khối A_2002] Cho phương trình 2 2

log x+ log x+ −1 2m− =1 0 (7) ðịnh m ñể phương trình trên có ít nhất một nghiệm thuộc 3

1,3

 

Lời giải ðặt 2

3

t= x+ , phương trình (7) ñược viết lại dưới dạng 2

t + =t m+ (8)

Với x∈ 1, 3 3 thì t∈[1, 2] Phương trình (7) có nghiệm x∈ 1, 3 3 khi và chỉ khi phương trình (8) có nghiệm t∈[1, 2] hay

[ ] ( )

[ ] ( )

min f t ≤2m+ ≤2 max f t , trong ñó ( ) 2

f t =t + t

Vì f t( ) là hàm ñồng biến trên ñoạn [1, 2 nên ] f( )1 ≤2m+ ≤2 f( )2 ⇔ ≤2 2m+ ≤ ⇔ ≤2 6 0 m≤ 2

Vậy 0≤m≤ 2

Bài toán 7 [Khối D_2004] Tìm m ñể hệ phương trình 1

1 3







có nghiệm

Lời giải ðặt a= x b, = y a, ≥0,b≥ Hệ ñã cho trở thành 0 3 3 1 1

1 3

Như vậy ,a b là hai nghiệm của phương trình t2− +t m= (9) Vì ,0 a b≥ và 0 a+ = nên b 1 t∈[0,1] Phương trình (9) có nghiệm t∈[0,1] khi và chỉ khi

[ ] ( )

[ ] ( )

min f t ≤ − ≤m max f t , với ( ) 2

f t =t − t

2

f t = t− f t = ⇔ = t

Giá trị của f t( ) tại ñiểm tới hạn và ñiểm biên là ( ) ( ) ( )1 1

Do ñó

[ ] ( )

[ ] ( )

1

4

f t = − f t = Suy ra 1

4

Bài toán 8 [Khối A_2007] Tìm m ñể phương trình 3 x− +1 m x+ =1 24 x2− (10) có nghi1 ệm

Lời giải ðiều kiện x≥ Ph1 ương trình (10) tương ñương vớ

2

ðặt 4 1 4 2

x

= = − , vì x≥ nên 01 ≤ < Pht 1 ương trình (11) trở thành −3t2+2t=m (12)

Như vậy phương trình (10) có nghiệm khi và chỉ khi (12) có nghiệm t∈[0,1)

3

4

Hàm số f t( )ñồng biến trong ( 1)

3

0, , nghịch biến trong ( )1

t

→

3

Một số bài tập tự luyện

1 Xác ñịnh m ñể phương trình x+ +3 6− −x (x+3 6)( −x)=m có nghiệm ðS 6 2 9

2 Xác ñịnh m ñể phương trình 3cos 26 x+sin4x+cos4x−m=2 cos2x 1+3cos 22 x có nghiệm ðS

3 Xác ñịnh m ñể bất phương trình x2−2x+ ≥3 m x − thỏa mãn với mọi x ∈ ℝ ðS 1 m≤2 2

4 Xác ñịnh m ñể bất phương trình 2x+ 5−x2 <m có nghiệm ðS m>2 5

5 Xác ñịnh m ñể phương trình cos 4x=cos 32 x+msin2x có nghiệm trong (0,2 π)

ðS 3− ≤m< 1

6 Xác ñịnh m ñể bất phương trình ( ) 2

m + m− + + − > ñúng với mọi x ∈ ℝ ðS 1 m m ≤

7 Xác ñịnh m ñể phương trình 9− −x 2−4.3− −x 2−m= có nghi0 ệm ðS − ≤3 m<0

2 4

log x+ +1 2 logm x+ + + >1 m 2 0ñúng với mọi x≥1 ðS m<2

x + x− = m x− có hai nghiệm thực phân biệt với mọi giá trị dương của tham số m

10 [Khối D_2007] Tìm giá trị của tham số m ñể hệ phương trình sau có nghiệm thực

5

 + + + =





