PT Mặt Phẳng

LƯU TẤN PHÁT TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Ñaëng Höõu Hoaøng HÌNH HỌC 12 nc GV: Lê Huy Đức ∆ u r p r Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ ? Vì sao ? Vectơ là vectơ pháp tuyến vì giá của vuông góc ∆ n r n r n r Trong MẶT PHẲNG cho đường thẳng ∆ và 3 vectơ n , r u , r p r Trong MẶT PHẲNG phương trình tổng qt của đường thẳng ∆ là ax + by + c = 0 ?gì α n r u r p r VECTƠ PHÁP TUYẾN I. VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG Trong KHÔNG GIAN cho mặt phẳng (α) và 3 vectơ n , r u , r p r Không phải là vectơ pháp tuyến Em hãy định nghĩa vectơ pháp tuyến của mặt phẳng? b. Nếu (α) qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng thì là (một) vectơ pháp tuyến của (α) n [AB,AC]= r uuuruuur Vectơ gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) nếu giá của vuông góc với mặt phẳng (α) n 0≠ r r n r I. VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG 1. Định nghĩa: 2. Ví dụ 1: a. Nếu (α) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB thì là (một) vectơ pháp tuyến của (α) AB uuur A α B • • α n r B A C * Lưu ý : Nếu là vectơ pháp tuyến của (α) thì k (k ≠ 0) cũng là vectơ pháp tuyến của (α) n r n r α Mặt phẳng (α) có bao nhiêu VTPT? Vectơ gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) nếu giá của vuông góc với mặt phẳng (α) n 0≠ r r n r n r 'n ur Mp(α) có vô số VTPT, Các VTPT của mp(α) thì cùng phương với nhau Cho (α) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Hãy xác định VTPT củamp(α)? Cho mp(α) qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng. Hãy xác định vectơ pháp tuyến của mp(α)? M(x ; y ; z) ∈ (α) ⇔ ⇔ A(x – x o ) + B(y – y o ) + C(z – z o ) = 0 hay : Ax + By + Cz + D = 0 với D = – Ax o – By o – Cz o o M M n⊥ uuuur r Giả sử mặt phẳng (α) qua điểm M o (x o ; y o ; z o ) và có vectơ pháp tuyến .Tìm điều kiện cần và đủ để điểm M(x ; y ; z) thuộc (α) ? n (A;B;C)= r II. PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG α n (A;B;C)= r o o o o M (x ;y ;z )g M(x;y;z)g Khi M thuộc mp(α), nhận xét gì về mối quan hệ giữa hai vectơ 0 ,M M n uuuuuur r II. PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG 1. Định lý 1: Nếu (α) qua điểm M o (x o ; y o ; z o ) và có vectơ pháp tuyến thì phương trình của (α) là : n (A;B;C)= r A(x – x o ) + B(y – y o ) + C(z – z o ) = 0 hay : Ax + By + Cz + D = 0 α n (A;B;C)= r o o o o M (x ;y ;z )g II. PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG 2. Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1 ; -2 ; 3), B(-5; 0 ; 1). Hãy viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB. Giải Mặt phẳng (P) đi qua trung điểm I(-2; -1; 2) của đoạn thẳng AB và có vectơ pháp tuyến là ( 6;2; 2)AB = − − uuur Phương trình của mp(P) là: -6(x + 2) + 2(y + 1) -2(z – 2) = 0 Hay: 3x – y + z + 3 = 0 Theo tính chất mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng suy ra: - mp(P) đi qua điểm nào? - Vectơ pháp tuyến của mp(P) là vectơ nào? - Từ đó suy ra phương trình của mp(P) là: PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1 A α B • • PHT1 I 3. Định lý 2: II. PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG Trong không gian Oxyz, mỗi phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0 với A 2 + B 2 + C 2 > 0 (2) đều là phương trình của một mặt phẳng xác định 4. Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (α) qua 3 điểm A(1 ; 2 ; - 3), B(0 ; 1 ; 4), C(3 ; - 3 ; 4) Giả sử là một nghiệm của phương trình: Ax + By + Cz + D = 0 (2) Tức là ta có: hay Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm và có VTPT thì phương trình của (P) là: Hay Ax + By + Cz + D = 0, đây chính là phương trình (2) 0 0 0 ( ; ; )x y z 0 0 0 0 ( ; ; )M x y z ( ; ; )n A B C= r 0 0 0 0Ax By Cz D+ + + = 0 0 0 ( )D Ax By Cz= − + + 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 A x x B y y C z z Ax By Cz Ax By Cz − + − + − = ⇔ + + − + + = CHỨNG MINH Giả sử là một nghiệm của phương trình: Ax + By + Cz + D = 0 (2) Tức là ta có: hay D= Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm và có VTPT thì phương trình của (P) là: Pt của (P) có giống pt (2) không? PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2 0 0 0 ( ; ; )x y z 0 0 0 0 ( ; ; )M x y z ( ; ; )n A B C= r (α) Vectơ pháp tuyến của mp (α) là vectơ nào? ,n AB AC   =   r uuur uuur mp(α) đi qua điểm nào? A(1 ; 2 ; - 3) Vậy phương trình mp(α) là gì? Lời giải 1. (α) đi qua gốc O ⇔ D = 0 2. (α) song song hoặc chứa Ox ⇔ A = 0 3. (α) song song hoặc trùng (Oxy) ⇔ A = B = 0 4. (α) cắt Ox, Oy, Oz tại M(a ; 0 ; 0), N(0 ; b ; 0), P(0 ; 0 ; c) ⇔ (α) : (1) : gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn III. CÁC TRƯỜNG HỢP RIÊNG : x y z 1 (1) a b c + + = Xét mặt phẳng (α) có phương trình: Ax + By + Cz + D = 0 (α) đi qua gốc O(0; 0; 0) khi và chỉ khi A.0 + B.0 + C.0 + D = 0 ⇔ D = 0 Khi (α) song song hoặc chứa Ox, có nhận xét gì về mối quan hệ giữa hai vectơ ? ,n i r r n i⊥ r r Từ đó suy ra: . . . . . 0n i = r r Do đó: A = 0 [...]... m = − 8 VI KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG : 1 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: g o (x o ;yo ;z o ) M g o (x o ;yo ) M OÂn Lôùp 10 ? α (α) : Ax + By + Cz + D = 0 ∆ : ax + by + c = 0 d(Mo , ∆ ) = d[Mo ,(α)] = | Ax o + Byo + Cz o + D | A 2 + B2 + C2 | ax o + byo + c | a 2 + b2 VI KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG : 2 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: Nếu (α) // (β) thì : Nếu... hai mặt phẳng (P): 2x – my + 3z – 6 + m =0 Và (Q): (m+3)x – 2y + (5m+1)z – 10 =0 Với giá trị nào của m thì: b/ Hai mặt phẳng đó trùng nhau? Giải Hai mp(P), (Q) trùng a/ Hai mp(P), mp(Q) trùng nhau khi và chỉ khi nhau khi nào? 2 m 3 -6 + m = = = m+3 2 5m + 1 -10 m(m + 3) = 4  ⇔ m(5m + 1) = 6 ⇔ -10m = 2(m - 6)  Vậy: m = 1 m 2 + 3m - 4 = 0  5m 2 + m - 6 = 0  m = 1  BÀI TẬP SỐ 18 Cho hai mặt phẳng. .. = 1 1 1 b2c2 + c2 a2 + a2b2 + 2+ 2 2 a b c g H B y II PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG 4 Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (α) qua 3 điểm A(1 ; 2 ; - 3), B(0 ; 1 ; 4), C(3 ; 3 ; 4) Giải ur uu ur Ta có : u u AB = ( −1; − 1;7) , AC = (2; − 5;7) r uu uu ur ur n = [AB , AC] = (28;21;7) là vectơ pháp tuyến của (α) Mặt khác (α) qua A nên có phương trình : 28(x – 1) + 21(y – 2) + 7(z +... không? Có IV HAI BỘ SỐ TỈ LỆ : Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng : (α) : Ax + By + Cz + D = 0 (α’) : A’x + B’y + C’z + D’ = 0 Về vị và (α’) cắt nhau, nhận xét phẳng, TH: (α) trí tương đối giữa hai mặt gì về mối quan (α) có baohai và (α’)của nhau ⇔ A : B : C ≠ A’ : B’ ba trường hợpcắt chúng? Không cùng phương hệ giữa nhiêu trường hợp?A VTPT B C D : C’ = = ≠ (α) và (α’) song song ⇔ A : gì B’ B' Từ... :A ' : C’ C' D' A B C D (α) và (α’) song song khinhau ⇔ nào? = = = (α) và (α’) trùng A ' B' C' D' khi (α)⊥ (α’) ⇔ AA’ + BB’ +CC’ = 0 và hpt vô nghiệm và chỉ khi hai VTPT cùng phương Từ đó suy ra: IV HAI BỘ SỐ TỈ LỆ : 3 Ví dụ 5 : Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng : (α) : 2x - my + 10z + m + 1 = 0 (α’) : x - 2y + (3m + 1)z - 10 = 0 Tìm giá trị m để : a) (α) cắt (α’) d) (α) ⊥ (α’) b) (α) // (α’)... mp(P) là: x – 5y + z + 8 = 0 Q) Em có nhận xét gì về mối quan hệ giữa hai VTPT của hai mp(P) và mp(Q)? BÀI TẬP SỐ 15 Viết phương trình mp(P) trong các trường hợp sau: d/ (P) đi qua hai điểm A(0 ; 1 ;1); B(-1; 0; 2) và vuông góc với mặt r P phẳng (Q): x – y + z +1 = 0 n Giải Vì mp(P) đir A, B và vuông góc với mp(Q) qua nên VTPT n của mp(P) vuông góc với vectơ uu ur AB = (−1; −1;1) và vuông góc với vectơ... nhau BÀI TẬP SỐ 17 Xác định giá trị của m và n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây song song: a/ (P): 2x + ny +2z +3 = 0 và (Q): mx + 2y – 4z + 7 = 0 Giải a/ Hai mp(P), mp(Q) song song với nhau (Q) và chỉ khi Hai mp(P), khi song song 2 n 2 3 với nhau khi nào? = = ≠ m 2 -4 7 Vậy: n = -1, m = -4 BÀI TẬP SỐ 17 Xác định giá trị của m và n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây song song: b/ (P): 2x + y +mz - 2 = 0 và (Q):... song song với nhau (Q) song song Hai mp(P), khi và chỉ khi 2 1 m -2 với nhau khi nào? = = ≠ 1 n 2 8 Vậy: 1 m = 4, n = 2 BÀI TẬP SỐ 18 Cho hai mặt phẳng (P): 2x – my + 3z – 6 + m =0 Và (Q): (m+3)x – 2y + (5m+1)z – 10 =0 Với giá trị nào của m thì: a/ Hai mặt phẳng đó song song? Giải Hai mp(P), (Q) song a/ Hai mp(P), mp(Q) song song với nhau khi và chỉ khi song với nhau khi nào? 2 m 3 -6 + m = = ≠ m+3... kỳ trên (α) VI KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG : 3 Ví dụ 6 : Cho tứ diện OABC có 3 cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc, OA = a, OB = b, OC = c Tính độ dài z đường cao tứ diện OABC kẻ từ O Giải C Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ Khi đó : A (a ; 0 ; 0) , B (0 ; b ; 0) C (0 ; 0 ; c) x y z + + − 1= 0 (ABC) : a b c O x A g H B y VI KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG : 3 Ví dụ 6 : Cho tứ diện OABC có 3... (Q): (m+3)x – 2y + (5m+1)z – 10 =0 Với giá trị nào của m thì: c/ Hai mặt phẳng đó cắt nhau? Giải Hai mp(P), (Q) cắt c/ Hai mp(P), mp(Q) cắt nhau khi và chỉ khi nhau khi nào? 2 m 3 -6 + m = = = m+3 2 5m + 1 -10 m(m + 3) = 4  ⇔ m(5m + 1) = 6 ⇔ -10m = 2(m - 6)  Vậy: m = 1 m 2 + 3m - 4 = 0  5m 2 + m - 6 = 0  m = 1  Cho 4 mặt phẳng : (P) : x + 2y – z + 3 = 0 (R) : 3x + y + 5z + 1 = 0 (Q) : 2x + . n r n r α Mặt phẳng (α) có bao nhiêu VTPT? Vectơ gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) nếu giá của vuông góc với mặt phẳng (α) n 0≠ r r n r n r 'n ur Mp(α) có vô số VTPT, Các VTPT của. là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) nếu giá của vuông góc với mặt phẳng (α) n 0≠ r r n r I. VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG 1. Định nghĩa: 2. Ví dụ 1: a. Nếu (α) là mặt phẳng trung trực của. VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG Trong KHÔNG GIAN cho mặt phẳng (α) và 3 vectơ n , r u , r p r Không phải là vectơ pháp tuyến Em hãy định nghĩa vectơ pháp tuyến của mặt phẳng? b. Nếu (α)