[Cơ Học Chất Lỏng] Thủy Khí Kỹ Thuật Úng Dụng - Huỳnh Văn Hoàng phần 7 pps

Thu khê k thût ỉïng dủng Hunh Vàn Hong - ρ ⋅vx ρ ⋅vx + ∂(ρ ⋅ v x ) ⋅ dx x Hỗnh - dm x = m x − m1x = − vaì ∂ ( ρ v x ) dx.dy.dz.dt ∂x Tỉång tỉû âäúi våïi trủc y,truûc z : dm y = − ∂ (ρ v y ) ∂y dx.dy.dz.dt ; dm z = − ∂ ( ρ v z ) dx.dy.dz.dt ∂z Khäúi læåüng cháút lng cn lải khäúi häüp l : dm = dmx + dmy + dmz ⎡ ∂ ( ρv x ) ∂ (ρv y ) ∂ ( ρv z ) ⎤ dm = − ⎢ + + ⎥ dx.dy.dz.dt ∂z ⎦ ∂x ∂y ⎣ Sæû thay âäøi thãø têch cháút lng khäúi häüp l sỉû thay âäøi khäúi lổồỹng rióng cuớa chỏỳt loớng theo thồỡi gian bồới vỗ cạc cảnh ca khäúi häüp cäú âënh (theo âënh lût bo ton khäúi lỉåüng) Khäúi lỉåüng cháút lng häüp : m=ρ.V=ρ.dx.dy.dz Sau thåìi gian dt s cọ sỉû thay âäøi : dm = ∂ ( ρV ) ∂ρ dt = dx.dy.dz.dt ∂t ∂t Sau âån gin cạc säú haỷng giọỳng chuùng ta coù phổồng trỗnh lión tuỷc: - Thu khê k thût ỉïng dủng Hunh Vàn Hong ∂ρ ∂ ( ρv x ) ∂ (ρv y ) ∂ ( ρv z ) + + =0 + ∂x ∂y ∂z ∂t (9.9) ∂ρ + div ρ v = ∂t ∂ρ Nãúu cháút loớng chuyóứn õọỹng dổỡng ( = ) thỗ : ∂t ( ) ∂ (ρv x ) ∂ (ρv y ) ∂ ( ρv z ) + + =0 ∂x ∂y ∂z (9.11) ( ) div ρ v = Nãúu cháút lng khäng nẹn âỉåüc (ρ = const) v chuyãøn âäüng äøn âënh : ∂v x ∂v y ∂v z + + =0 ∂x ∂y ∂z (9.12) divv = Phổồng trỗng lión tuỷc vióỳt hóỷ toaỷ õọỹ truû (r, ,z) : ∂ρ ∂ ( ρ v r ) ∂ ( ρ v r ) ∂ ( ρ v r ) + =0 + + ∂r ∂r ∂r ∂t (9.13) âoï : vz = dz dt ; vr = dr dt ; vε = dε r.dt Phæång trỗnh lión tuỷc cho doỡng nguyón tọỳ chuyóứn õọỹng khọng dỉìng chát lng nẹn âỉåüc : ∂ (ρ S ) ∂ ( ρ v.S ) + =0 ∂t ∂l - Nãúu chuøn âäüng dỉìng : (9.14) ∂ (ρ v.S ) hay ρ v.S = const (9.15) =0 ∂l - Nãúu chuøn âäüng dỉìng v chát lng khäng nẹn âỉåüc - Thu khê k thût ỉïng dủng Hunh Vàn Hong - ∂ (.v.S ) hay ρv.S = const (9.16) =0 ∂l Nãúu cháút lng l cháút loớng thổỷc thỗ vỏỷn tọỳc doỡng mọỹt chióửu hổợu haỷn seợ laỡ vỏỷn tọỳc trung bỗnh trón tióỳt dióỷn ổồùt 9.3 - Phổồng trỗnh le thuyớ õọỹng Trong chỏỳt lng l tỉåíng chuøn âäüng chụng ta trêch mäüt phán täú lng cọ dảng khäúi häüp våïi cạc cảnh l dx , dy , dz (hỗnh - 2).Caùc lổỷc tạc dủng lãn phán täú lng chuøn âäüng gäưm cọ lỉûc ạp, lỉûc khäúi v lỉûc quạn a R p+ dz p p dx x A dx dy Hỗnh Ạp sút tạc dủng lãn cạc màt khäúi häüp tải âiãøm A l : px = py = pz = p ; åí cạc màût âäúi diãûn ạp sút thay âäøi mäüt âải lỉåüng bàịng : p+ ∂p dx ∂x ; p+ ∂p dy ∂y ; p+ ∂p dz ∂z Thnh pháưn lỉûc ạp theo cạc trủc toả âäü laì : - Thu khê k thût ỉïng dủng Hunh Vàn Hong ∂p ⎞ ⎛ dF px = p.dy.dz − ⎜ p + dx ⎟dy.dz ∂x ⎠ ⎝ ⎛ ∂p ⎞ dF py = p.dz.dx − ⎜ p + dy ⎟dz.dx ⎜ ∂y ⎟ ⎠ ⎝ ∂p ⎞ ⎛ dF pz = p.dx.dy − ⎜ p + dz ⎟dx.dy ∂z ⎠ ⎝ Cạc thnh pháưn lỉûc khäúi ca gia täúc khäúi R l : dFRx = R x ρ dx.dy.dz ; dFRy = R y ρ dx.dy.dz ; dFRz = R z ρ dx.dy.dz Lỉûc quạn : dFax = a x ρ dx.dy.dz ; dFay = a y ρ dx.dy.dz ; dFRa = a z ρ dx.dy.dz Phán täú lng cán bàịng theo nguyón lyù almbe Phổồng trỗnh cỏn bũng phỏn tọỳ lng viãút theo cạc trủc toả âäü l: ∂p ⎞ ⎛ p.dy.dz − ⎜ p + dx ⎟dy.dz + R x ρ dx.dy.dz − a x ρ dx.dy.dz = ∂x ⎠ ⎝ ⎛ ∂p ⎞ p.dz.dx − ⎜ p + dy ⎟dz.dx + R y ρ dx.dy.dz − a y ρ dx.dy.dz = ⎜ ∂y ⎟ ⎠ ⎝ ∂p ⎞ ⎛ p.dx.dy − ⎜ p + dz ⎟dx.dy + R z ρ dx.dy.dz − a z ρ dx.dy.dz = ∂z ⎠ ⎝ hay : ∂p + Rx = a x ρ ∂x ∂p − + Ry = ay ρ ∂y ∂p − + Rz = a z ρ ∂x − Cạc gia täúc ax , ay , az âỉåüc nhæ sau : - Thu khê k thût ỉïng dủng Hunh Vàn Hong ∂v ∂v ∂v dx ∂v x dy ∂v x dz ∂v x dt ∂v x ∂v dv + + = + vx x + v y x + vz x + ax = x = x ∂t ∂z ∂x dt ∂y dt ∂z dt ∂t dt ∂y ∂x dt dv y ∂v y dx ∂v y dy ∂v y dz ∂v y dt ∂v y ∂v y ∂v y ∂v y ay = = + + + = + vx + vy + vz dt ∂x dt ∂y dt ∂z dt ∂t dt ∂t ∂x ∂y ∂z dv ∂v dx ∂v z dy ∂v z dz ∂v z dt ∂v z ∂v ∂v ∂v az = z = z + + + = + vx z + vy z + vz z dt ∂x dt ∂y dt ∂z dt ∂t dt ∂t ∂x ∂y ∂z Cúi cng chụng ta cọ minh nàm 1775: ∂v x + vx ∂t ∂v y + vx t v z + vx t phổồng trỗnh vi phỏn chuøn âäüng ca cháút lng l tỉåíng Åle chỉïng ∂v x + vy ∂x ∂v y + vy ∂x ∂v z + vy ∂x ∂v ∂v x ∂p + vz x = Rx − ρ ∂x ∂y ∂z ∂v y ∂v y ∂p + vz = Ry − ρ ∂y ∂y ∂z ∂v ∂v z ∂p + vz z = Rz − ∂z ρ ∂z ∂y (9.16) hay viãút dỉåïi dảng vẹctå: ∂v + vgrad v = R − grapp ρ ∂t (9.17) Nãúu chuyãøn õọỹng dổỡng thỗ ta coù phổồng trỗnh : v + vgrad v = R − grapp ρ ∂t (9.18) Nóỳu chỏỳt loớng chuyóứn õọỹng õóửu thỗ chuùng ta coù phổồng trỗnh le thuớy tộnh Trong trổồỡng hồỹp naỡy aùp sút cng phán bäú theo theo qui lût thu ténh Phổồng trỗnh (9.16) coù thóứ aùp duỷng cho baỡi toạn chuøn âäüng tỉång âäúi Chè cáưn lỉu ràịng gia täúc khäúi lục ny gäưm cọ gia täúc khäúi cọ thãú , gia täúc quạn ca chuøn âäüng theo, gia täúc Cäriälêt (9.18) s l : vgrad v = R + a w + a cor − grapp (9.19) Phổồng trỗnh le thuớy õọỹng vióỳt hãû toả âäü trủ : - Thu khê k thût ỉïng dủng Hunh Vàn Hoaìng v ∂v r ∂v r ∂v ∂v ∂p + vr r + ε + v z r = Rr − r ∂ε ∂t ∂r ∂z ρ ∂r ∂v ε ∂v ∂v v ∂v ε v v ∂p + vr ε + ε + v z ε + r ε = Rε − (9.20) ρ r.∂ε ∂t ∂r ∂z r ∂ε r v ∂v z ∂v z ∂v ∂v ∂p + vr z + ε + v z z = Rr − ∂t ∂r r ∂ε ∂z ρ ∂z âọ Rz , Rε , Rr l hỗnh chióỳu cuớa gia tọỳc khọỳi lón caùc truỷc toaỷ âäü Gia täúc hỉåïng kênh gäưm cọ v ε2 dv r v gia täúc quạn ly tám − : gia täúc quạn ca chuøn âäüng dt r dv v2 ar = r − dt r Gia täúc theo phỉång thàóng gọc våïi bạn kênh gäưm gia täúc chuøn âäüng theo vaì gia täúc Cäriälêt : dvε d 2ε dr dε d (r.ε ) v r v ε dvε aε = = r + = = + dt dt dt r dt r dt dt åí âáy váûn täúc hỉåïng tám vr = dr dε váûn täúc voìng v ε = r dt dt 9.4 - Phổồng trỗnh Navió - Stọỳc Trong chuyóứn âäüng ca cháút lng thỉûc xút hiãûn ỉïng xút tiãúp giỉỵa cạc cháút lng Âäúi våïi dng mäüt chiãưu chy táưng ỉïng sút tiãúp âỉåüc theo cäng thỉïc Niutån Trong dng khäng gian váûn täúc phán täú theo cạc phỉång khạc s cọ giạ trë khạc nhau, nãn ỉïng sút tiãúp tỉång âỉång s âỉåüc : - Thu khê k thût ỉïng dủng Hunh Vàn Hong ⎛ ∂v y ∂v x ⎞ xy = yợ = ∂x + ∂y ⎟ ⎝ ⎠ ∂v y ⎞ ⎛ ∂v ⎟ τ yz = τ zy = µ ⎜ z + (9.21) ⎜ ∂y ∂z ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ∂v y ∂v x ⎞ ⎟ τ xy = τ yợ = x + y ⎝ Do xuáút hiãûn æïng xuáút tiãúp nãn cháút lng thỉûc ạp sút thy âäüng chè hỉåïng vo màût tạc dủng nhỉng khäng thàóng gọc våïi Thnh pháưn phạp tuún ca ạp sút thy âäüng âỉåüc theo cäng thỉïc (8.5) Trong âọ ạp sút thnh pháưn theo ba phỉång thàóng gọc våïi l px , py , pz âæåüc theo cäng thæïc : px = p + σ x ; p y = p + σ y ; p z = p + σ z (9.22) âọ σx , σy , σz l thnh pháưn bäø sung , p l "ạp sút thy âäüng quy ỉåïc" Xẹt phán täú lng cọ cảnh l dx , dy , ds v chiãưu cao l dz åí traỷng thaùi cỏn bũng (hỗnh 9.3) v p y v vy dy τ τyx α α dx vx τxy x v Hỗnh - Vỗ phỏn tọỳ ráút nh, lỉûc khäúi l têch báûc ba ca âải lỉåüng vä cng nh nãn chụng ta cọ thãø b qua Lỉûc màût tạc dủng lãn phán täú âỉåüc theo cạc ỉïng sút tỉì (9.21 v 9.22) Chụng ta v thãm hãû - Thu khê k thût ỉïng dủng Hunh Vàn Hong toüa âäü (ξ , η) Trong âọ trủc song song våïi cảnh ds truỷc thúng goùc vồùi ds Phổồng trỗnh cỏn bũng lổỷc theo phổồng (hỗnh - 3) : τ.ds dz = τxy (dx dz cos α - dy dz sin α) + py dy dz sin α - px dy dz cos Tổỡ (hỗnh 9.3a) ta coù dx = ds.cos , dy = ds.sin thỗ phổồng trỗnh trón õổồỹc vióỳt thaỡnh : = xy (cos2α - sin2 α ) + ( py - px ).sin α cosα (9.23) τxy âỉåüc theo (9.21) v τ cng âỉåüc theo grâient váûn täúc : ⎛ ∂vξ ∂vη ⎞ ⎟ τ = µ⎜ ⎜ ∂η + ∂ξ ⎟ ⎝ ⎠ (9.24) Âãø τ theo vy ,vy ta cáưn xạc âënh dvξ = ∂vξ ∂ξ dξ + ∂vξ ∂η ∂vξ ∂vη ; theo x , y , vx ,vy Trỉåïc hãút ta xạc âënh dvξ ∂η ∂ξ dη = ∂vξ ∂x dx + ∂vξ y (9.25) dy tổỡ (hỗnh 9-3b) ta coù quan hóỷ giỉỵa cạc váûn täúc : vξ = vx cosα + vy sin α ; v = vx sinα - vy cosα v quan hãû cạc ta âäü : x = ξ cosα + η.sinα ; y = η cosα - ξ sin α (9.26) Tênh dx , dy tỉì (9.26) räưi thay vo (9.25) v thỉûc hiãûn phẹp biãún âäøi âån gin ta cọ ∂vξ ∂vξ ⎛ ∂vξ ⎛ ∂vξ ⎞ ⎞ dvξ = ⎜ cos α + sin α ⎟dξ + ⎜ sin α + cos α ⎟dη ⎜ ∂x ⎜ ∂x ⎟ ⎟ ∂y ∂y ⎝ ⎝ ⎠ So saùnh phổồng trỗnh naỡy vồùi (9.25) ta coù : - Thuyí khê k thût ỉïng dủng Hunh Vàn Hong - ∂vξ ∂η láúy âảo hm ∂vξ ∂x = ∂vξ ∂x ∂vξ ; sin + y v y cos tổỡ phổồng trỗnh váûn täúc v : ∂v y ∂v y ⎞ ⎛ ∂v ⎞ ⎛ ∂v sin α ⎟ sin α + ⎜ x cos α − sin α ⎟ cos α = ⎜ x cos α − ⎟ ⎜ ∂y ⎟ ⎜ ∂x ∂y ∂η ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ⎠ ∂v y ⎞ ∂v y ⎛ ∂v x ⎞ ⎛ ∂v ⎟ sin α cos α ⎜ cos α − sin α ⎟ + ⎜ x − ⎜ ∂y ⎟ ⎜ ∂x ∂y ⎟ ∂x ⎠ ⎝ v Thổỷc hióỷn theo trỗnh tổỷ trón õóứ dvη = ∂vη ∂ξ dξ + ∂vη ∂η ∂vη Âảo hm ton pháưn dvη : ∂ξ dη = (9.27) ∂vη ∂x dx + ∂vη ∂y dy (9.28) Tênh dx, dy tỉì (9.26) räưi thay vo (9.28) v thỉûc hiãûn biãún âäøi.Ta coï : dvη = ∂vη ∂x (cos α dξ + sin α dη ) + ∂vη ∂η (cos α dη − sin α dξ ) ∂vη ∂vη ⎛ ∂vη ⎞ ⎛ ∂vη ⎞ =⎜ cos α − sin α ⎟dξ + ⎜ sin α + cos α ⎟dη ⎜ ∂x ⎟ ⎜ ∂x ⎟ ∂y ∂y ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (9.29) So sạnh (9.28) v (9.29) ta cọ : ∂vη ∂ξ Láúy âảo hm ∂vη ∂x ; = ∂vη ∂y ∂vη ∂x cos α − ∂vη ∂y sin tổỡ phổồng trỗnh vỏỷn tọỳc v vaỡ thóỳ vaỡo phổồng trỗnh trón : - Thu khê k thût ỉïng dủng Hunh Vàn Hoaìng ∂v y ⎞ ∂vη ∂v y ⎛ ∂v ∂v ⎟ sin α cos α (9.30) cos α − x sin α ) − ⎜ x − =( ⎜ ∂x ∂y ⎟ ∂y ∂ξ ∂x ⎝ ⎠ Thay (9.27), (9.30) vaìo (9.24) : ⎡ ∂v y τ = µ⎢ ⎢ ∂x ⎣ (cos α − sin α ) + ⎤ ∂v y ⎞ ⎛ ∂v ∂v x ⎟ sin α cos α ⎥ cos α − sin α + 2⎜ x − ⎜ ∂x ∂y ⎟ ∂y ⎥ ⎝ ⎠ ⎦ ( ) Kãút håüp våïi (9.21) ta coï : ∂v y ⎞ ⎟ sin α cos α (9.31) ∂x ∂y ⎟ ⎝ ⎠ Thay (9.31) vo (9.23) sau âån gin v chỉïng minh tỉång tỉû cho cạc hã toả âäü khạc Ta cọ : ⎛ ∂v x τ = τ xy (cos α − sin α ) + 2µ ⎜ ⎜ ∂v y ⎞ ⎛ ∂v ⎟ p y − p x = 2µ ⎜ x − ⎜ ∂x ∂y ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ∂v y ∂v z ⎞ ⎟ p z − p y = 2µ ⎜ ⎜ ∂y − ∂z ⎟ ⎝ ⎠ ∂v ⎞ ⎛ ∂v p x − p z = 2µ ⎜ z − x ⎟ ∂x ⎠ ⎝ ∂z − (9.32) Tỉì (9.32) suy ạp sút thy âäüng quy ỉåïc (8.7) Tỉì âọ suy cäng thỉïc cạc ạp sút theo cạc trủc toả âäü : ∂v µ divv − 2µ x ∂x ∂v y p y = p + µ divv − 2µ ∂y ∂v p z = p + µ divv − 2µ z ∂z px = p + (9.34) Tỉì (9.34) ta cọ cạc giạ trë bäø sung ca ạp sút thu âäüng theo phỉång phạp tuún cháút lng thỉûc Trong cháút lng thỉûc ta trêch mäüt phán täú lng cọ dảng khäúi häüp våïi cạc cảnh - Thuyí khê k thût ỉïng dủng Hunh Vàn Hong dx,dy,dz v âỉåüc âàût hãû toüa âäü Oxyz (H 9.4) Phán täú lng ny chëu tạc dủng båíi lỉûc khäúi lỉûc ạp sút theo phỉång phạp tuún, lỉûc ma sạt l lỉûc quạn chuøn âäüng Cạc lỉûc ny âỉåüc láưn lỉåüt sau Thnh pháưn ca lỉûc khäúi : dFRx = Rx ρ dx dy dz ; dFRy = Ry ρ dx dy dz ; dFRz = Rz ρ dx dy dz Thnh pháưn ca lỉûc quạn : dFax = − a x ρ dx.dy.dz ; dFay = − a y ρ dx.dy.dz ; dFRa = − a z ρ dx.dy.dz Lỉûc ạp ï: ∂p ∂p ⎛ ⎞ dF px = p x dy.dz − ⎜ p x + x dx ⎟dy.dz = − x dx.dy.dz ∂x ∂x ⎝ ⎠ ∂p y ∂p y ⎞ ⎛ dy.dx.dz dy ⎟dz.dx = − dF py = p y dz.dx − ⎜ p y + ⎟ ⎜ ∂y ∂y ⎠ ⎝ ∂p ∂p ⎛ ⎞ dF pz = p z dx.dy − ⎜ p z + z dz ⎟dx.dy = − x dz.dx.dy ∂z ∂z ⎝ ⎠ Lỉûc ma sạt : ∂τ ⎞ ⎛ ∂τ ⎛ ⎞ dFτx = −τ dx.dz + ⎜τ + dy ⎟.dx.dz − τ zỵ dy.dx + ⎜τ zỵ + zỵ dz ⎟.dy.dx ⎟ ⎜ ∂z ∂y ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎛ ∂τ ∂τ zỵ ⎞ ⎟ =⎜ ⎜ ∂y + ∂z ⎟dx.dy.dz ⎠ ⎝ ⎛ ∂τ xy ∂τ zy ⎞ ⎟ dFτy = ⎜ ⎜ ∂x + ∂z ⎟dx.dy.dz ⎠ ⎝ ⎛ ∂τ yz ∂τ yz ⎞ ⎟ dFτz = ⎜ ⎜ ∂x + ∂y ⎟dx.dy.dz ⎠ ⎝ - ... ∂l - Nãúu chuøn âäüng dỉìng : (9.14) ∂ (ρ v.S ) hay ρ v.S = const (9.15) =0 ∂l - Nãúu chuøn âäüng dỉìng v chát lng khäng nẹn âỉåüc - Thuyí... thàóng gọc våïi ds Phổồng trỗnh cỏn bũng lổỷc theo phổồng (hỗnh - 3) : τ.ds dz = τxy (dx dz cos α - dy dz sin α) + py dy dz sin - px dy dz cos Tổỡ (hỗnh 9.3a) ta coï dx = ds.cos α , dy = ds.sin... y (9.25) dy tổỡ (hỗnh 9-3 b) ta cọ quan hãû giỉỵa cạc váûn täúc : vξ = vx cosα + vy sin α ; v = vx sinα - vy cosα v quan hãû cạc ta âäü : x = ξ cosα + η.sinα ; y = η cosα - ξ sin α (9.26) Tênh