Thu khê k thût ỉïng dủng Hunh Vàn Hong - i j k dx dy dz = vx v y vz hay dx dx dx = = vx vx vx (8.22) 8.3.2 Dng ngun täú Táûp håüp cạc âỉåìng dng tỉûa lãn mäüt vng kên vä cng nh tảo nãn mäüt äúng dng Dng cháút lng chy âáưy äúng goỹi laỡ doỡng nguyón tọỳ (hỗnh - 5b) dS v1 k a) b) Hỗnh - Vóử yù nghéa váút l ca dng ngun täú, biãøu diãùn phỉång chuøn âäüng ca cháút lng tải mäüt thåìi âiãøm v thãø hiãûn sỉû phán bäú cạc vẹctå váûn täúc mäüt khong khàõc Cạc cháút ca dng ngun täú: - Dng ngun täú ca chuøn âäüng khäng dỉìng coù hỗnh daỷng thay õọứi theo thồỡi gian - Chỏỳt lng dng ngun täú chè chuøn âäüng dc theo dng ngun täú khäng cọ hiãûn tỉåüng cháút lng chuøn âäüng xiãn qua doìng nguyãn täú - Trãn tiãút diãûn ca dng ngun täú sỉû phán bäú cạc thäng säú thu âäüng giäúng - Chè chuøn âäüng dỉìng thỗ quyợ õaỷo vaỡ õổồỡng doỡng truỡng ổồỡng doỡng chuøn âäüng phàóng âỉåüc biãøu diãùn båíi hm dng ψ (x,y) maì : vx = ∂ψ ∂y vy = − ∂ψ ∂x (8.23) Thay (8.23) vaìo (8.22) : - Thu khê k thût ỉïng dủng Hunh Vàn Hong - dy dx = ∂ψ ∂ψ − ∂y ∂x ∂ψ ∂ψ dx + dy = ∂x ∂y hay ; dψ = (8.24) Nghéa laì dc theo âỉåìng dng giạ trë ca hm säú khäng thay âäøi nghéa váût l ca hm dng (8.23) l lỉu lỉåüng cháút lng chy giỉỵa hai âỉåìng dng chênh bàịng hiãûu giạ trë ca hai âỉåìng dng ψB y B dy ds v ψA vx -dx A vy x Hỗnh - Thỏỷt vỏỷy lổu lổồỹng chaớy giỉỵa tiãút diãûn AB ca hai âỉåìng dng ψA , ψB laì : ΨB ΨB Ψ B ∂Ψ ∂Ψ Q = ∫ v x dy − v y dx = ∫ dy + dx = ∫ dΨ = Ψ B − Ψ A ∂x ∂y ΨA ΨA ΨA 8.4 Nhỉỵng khại niãûm dng thu lỉûc hỉỵu hản Dng chy bë giåïi hản båíi cạc thnh ràõn l dng hỉỵu hản, dng chy äúng trn, kãnh âãø cọ thãø ạp dủng cạc cäng thỉïc chụng ta âỉa cạc khại niãûm sau : - Tiãút diãûn ỉåït (k hiãûu l S) l màût càõt thàóng gọc våïi tỏỳt caớ caùc õổồỡng doỡng Nóỳu doỡng õóửu thỗ tióỳt dióỷn ổồùt truỡng vồùi tióỳt dióỷn cuớa doỡng chaớy (hỗnh - 7a) Nãúu dng khäng âãưu - dng thay õọứi dỏửn thỗ noù laỡ mỷt cong khọng gian (hỗnh - 7b) - Thu khê k thût ỉïng dủng Hunh Vàn Hong - S S Hỗnh - - Chu vi ổồùt (kyù hiãûu l ϑ ) : Âỉåìng giao tuún giỉỵa màût cừt ổồùt vaỡ thaỡnh rừn cuớa doỡng chaớy (hỗnh - 8) R R Hỗnh - - Bạn kênh thy lỉûc (k hiãûu l Rh) l t säú giỉỵa diãûn têch ỉåït v chu vi ỉåït: Rh = S ϑ (8.25) Cáưn chụ ràịng bạn kênh thy lỉûc khäng phi l bạn kênh ca äúng troìn Tháût váûy : Rh = π R R d = = 2.π R - Thu khê k thût ỉïng dủng Hunh Vàn Hong - Lỉu lỉåüng (k hiãûu l Q) l lỉåüng cháút lng chy qua tiãút diãûn ỉåït mäüt âån vë thåìi gian Âäúi våïi doìng nguyãn täú: dQ = v.dS (8.26) Cho toaìn doìng : Q = ∫ v.dS (8.27) S Muäún têch phán (8.27) phaíi biãút âæåüc quy luáût phán bäú váûn täúc trãn tiãút diãûn ỉåït Nãúu chụng ta dng khại niãûm váûn täúc trung bỗnh trón tióỳt dióỷn ổồùt thỗ lổu lổồỹng: Q = vtb S suy v tb = S (8.28) ∫ v.dS (S ) 8.5 - Khại niãûm vãư chuøn âäüng xoạy: Chuøn âäüng ca phán täú lng tha mn phổồng trỗnh (8.3) thỗ goỹi laỡ chuyóứn õọỹng xoaùy ổồỡng cong m tiãúp tuún tải mäøi âiãøm ca trng våïi vẹctå váûn täúc gọc ca phán täú lng åí tải âiãøm âọ gi l âỉåìng xoạy Váûy âỉåìng xoạy cng chênh l trủc xoạy tỉïc thåìi ca nhỉỵng phán tọỳ loớng nũm trón õoù (hỗnh - 9a) phổồng trỗnh õổồỡng xoaùy laỡ : i j k x ds = dx dy dz = ωx ωy ωz hay dx ωx = dy ωy = dz ωz (8.29) âọ ωx , ωy ,ωz l nhỉỵng thnh pháưn vẹctå váûn täúc gọc theo cạc trủc toả däü Chụng l hm ca khäng gian v thåìi gian Táûp håüp nhỉỵng âỉåìng xoạy tỉûa lãn mäüt âỉåìng cong khẹp kên vä cng nh mäi trỉåìng cháút lng tảo thnh äúng xoạy ngun täú Cháút lng chuøn âäüng äúng xoạy gi l såüi - Thu khê k thût ỉïng dủng Hunh Vàn Hoaìng xoạy (H 8.9b) Såüi xoạy cọ kêch thỉåïc nh nãn váûn täúc gọc trãn tiãút diãûn cọ giạ trë Âãø cỉåìng âäü såüi xoạy chụng ta phi xạc âënh xircula (cn gi l lỉu säú váûn täúc hay lỉåüng xoạy k hiãûu l Γ) Âọ l têch phán theo mäüt âỉåìng cong khẹp kên ca têch qung õổồỡng tờch phỏn vaỡ hỗnh chióỳu cuớa veùctồ vỏỷn tọỳc lãn hỉåïng ca qung âỉåìng âọ : Γ= ‚ ∫ v.ds = ∫ v.ds.coxα (k ) (8.30) (k ) dS dS n S ds v Hỗnh - Thay têch phán theo âỉåìng cong khẹp kên bàòng têch phán màût : Γ = ∫∫ 2.ω dS (8.31) (S ) Cäng thỉïc(8.31) l âënh l Stäúc Nóỳu mỷt S laỡ hỗnh troỡn thỗ vỏỷn tọỳc chuyóứn âäüng quay dc theo âỉåìng trn bạn kênh r s khäng thay âäøi v gọc α = Lỉu säú váûn täúc laì : Γ = 2.ω 2π R ∫ dϕ = 2.ω π R 2 - Thuyí khê k thût ỉïng dủng Hunh Vàn Hong Γ=2.ω.S (8.32) Trong chuyãøn õọỹng xoaùy khọng gian (hỗnh - 9d) thỗ : Γ= ‚ ∫ v.ds = 2∫∫ ω dS = 2∫∫ ω n.dS (k ) (S ) (8.33) (S ) ÅÍ âáy k l âỉåìng cong khäng gian khẹp kên giåïi haỷn mỷt S Trong tờch phỏn mỷt thỗ dS = n.dS ; n l vẹctå âån vë ca phạp tuún vồùi mỷt S taỷi õióứm xeùt Trón hỗnh - 9b) nãúu åí thåìi âiãøm xẹt trủc ca vẹctå ω thàóng gọc våïi n , nghéa l lỉu säú váûn täúc theo âỉåìng cong khẹp kên k s nũm trón bóử mỷt cuớa sồỹi xoaùy thỗ giaù trở ca s bàịng khäng ‚ Γ = ∫ v.ds = ∫∫ ω dS = ∫∫ ω dS cos α (8.34) (k ) (S ) (S ) Nãúu âỉåìng cong k bao gäưm cạc âỉåìng cong k1,k',k2,k" trón(hỗnh - 9a) hay trón (hỗnh - 9b) thỗ lổu sọỳ vỏỷn tọỳc cuợng bũng khọng Ta coù ‚Γ2,3 = Γ4,1 nãn ‚Γ1,2 = - Γ3,4 : ngæåüc hiãưu nãn chụng triãût tiãu Nãúu k1,k2 nàịm trãn cạc màût tiãút diãûn ca såüi xoạy v cạc âỉåìng cong cuỡng chióửu thỗ: 12 = 43 (8.35) Nghộa l lỉu säú váûn täúc åí táút c cạc tiãút diãûn ca såüi xoạy âãưu cọ giạ trë Kãút håüp våïi (8.32) ta coï : ‚ Γ=2.ω1.S1=2.ω2.S2= =2.ω.S (8.36) M = ω.S âọ M gi l mä men xoạy, S l tiãút diãûn ca såüi xoạy Tỉì (8.36) suy mämen xoạy cọ giạ trë khäng thay õọứi doỹc theo sồỹi xoaùy Caùc phổồng trỗnh (8.34) , (8.35) , (8.36) l näüi dung ca cạc âënh l Hemhän vãư chuøn âäüng xoạy ca cháút lng l tỉåíng Såüi xoạy ln ln gáy váûn täúc cm ỉïng tải cạc âiãøm cháút lng bao quanh Nọi cạch khạc cạc såüi xoạy läi cún mäüt mäi trỉåìng cháút lng quanh cng chuøn âäüng våïi váûn täúc caớm ổùng (hỗnh - 10) - Thu khê k thût ỉïng dủng Hunh Vàn Hoaìng Γ Såüi xoạy cọ vẹcto xoạy rot v ; mämen ca l M = Phán täú dl ca såüi xoạy cọ lỉu säú váûn täúc tỉång æïng laì : Γ.dl = 2.ω.S dl gáy xung quanh trãn mäüt màût cáưu S bạn kênh r vỏỷn tọỳc caớm ổùng dv Tổỡ phổồng trỗnh (8.31) ta co ï: ‚ Γ.dl = S dv = r2.dv Tải âiãøm M bạn kênh ca tảo våïi såüi xoaùy mọỹt goùc Tổỡ phổồng trỗnh trón ta cọ thnh pháưn sin ca phán täú såüi xoạy : dv = Γ.dl Γ sin ε = dε 4.π r 4.π r ω dl a=r.sinε ‚ S‚ dl.sinε=r.dε r d Hỗnh - 10 vỗ r.d = dl.sin ; maì r = a / sinε nãn : dv = Γ sin ε dε 4.π a Têch phán phæång trỗnh trón vồùi = õóỳn = ta s cọ váûn täúc cm ỉïng tải M såüi xoạy di vä cng gáy ra: π v= Γ Γ ∫ sin ε dε = 2.π a 4.π a (8.37) - Thuyí khê k thût ỉïng dủng Hunh Vàn Hong Trong âoï a l khong cạch tỉì âiãøm xẹt âãún såüi xoạy Tỉì (8.37) ta cng suy (8.32), âọ v l váûn täú chuyãøn âäüng cuía phán täú loíng doüc theo âỉåìng trn bạn kênh a Cäng thỉïc (8.37) cng l âënh l Biäsava âãø váûn täúc cm ỉïng chuøn âäüng xoạy 8.5 - Chuøn âäüng khäng xoạy ca chỏỳt loớng lyù tổồớng ióứn hỗnh loaỷi chuyóứn õọỹng naỡy l dng thãú váûn täúc Tỉì (8.4) suy : ∂v x ∂v y ∂v z ∂v x ∂v y ∂v z ; ; = = x = ∂x ∂z ∂x ∂y ∂y ∂z (8.38) Nãúu täưn tải mäüt hm φ(x,y,z) maì vx = ∂φ ∂φ ∂φ ; vy = ; vz = z x y (8.39) thỗ laỡ nghiãûm ca (8.38) φ gi l hm thãú váûn täúc Vi phán ton pháưn ca l : dφ = ∂φ ∂φ ∂φ dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z (8.40) (8.40) l cäng ca phán täú mäüt lỉûc gáy dëch chuøn phán täú ny trãn qung õổồỡng ds ọỳi vồùi doỡng thóỳ phúng thỗ haỡm thóỳ váûn täúc l φ(x, y) So sạnh (8.23) v (8.39) ta coï: vx = ∂φ ∂ψ = ∂x ∂y ; vy = ∂φ ∂ψ =− ∂x ∂y (8.41) Âáy chênh laỡ phổồng trỗnh Cọsi-Rióman Tổỡ phổồng trỗnh naỡy ta thỏỳy âỉåìng dng v âỉåìng thãú váûn täúc chuøn âäüng thóỳ phúng trổỷc giao vồùi (hỗnh - 11) dy dx φ ⋅ dy dx ψ = −1 (8.42) Báy giåì chụng ta chỉïng minh ràịng dng thãú váûn täúc l dng khäng xoạy Thay (8.39) vo (8.18 ) Ta coï rot v = Tháûy váûy : - Thu khê k thût ỉïng dủng Hunh Vàn Hong ⎛ ∂v y ∂v x ⎞ ⎛ ∂ 2φ ∂ 2φ ⎞ ⎟=⎜ ⎟=0 2ω z = ⎜ − − ⎜ ∂x ∂y ⎟ ⎜ ∂x.∂y ∂y.∂x ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ∂v y ⎞ ⎛ ∂ 2φ ⎛ ∂v ∂ 2φ ⎞ ⎟=⎜ ⎟=0 2ω x = ⎜ z − − ⎜ ∂y ∂z ⎟ ⎜ ∂y.∂z ∂z.∂y ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2 ∂v ⎞ ⎛ ∂ φ ∂ φ ⎞ ⎛ ∂v 2ω y = ⎜ x − z ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ∂z.∂x − ∂x.∂z ⎟ = ∂x z Hỗnh - 11 $9 - Caùc phổong trỗnh cồ baớn Caùc phổồng trỗnh naỡy chờnh laỡ sổỷ bióứu dióựn caùc õởnh luỏỷt cå bn ca cå hc ạp dủng cho cháút lng 9.1 - Phổong trỗnh quaù trỗnh ởnh luỏỷt thổù nhỏỳt ca nhiãût âäng k thût cho cháút khê l tỉåíng quaù trỗnh thuỏỷn nghởch õổồỹc bióứu dióựn bũng phổồng trỗnh (cho 1kg chỏỳt khờ) : dp dq = T ds = du + pdv = c v dT + p.d ⎜ ⎟ = di − ⎜ρ⎟ ρ ⎝ (9.1) õoù s laỡ entrọpi Phổong trỗnh traỷng thại viãút dỉåïi dảng vi phán : - Thu khê k thût ỉïng dủng Huyình Vàn Hoaìng - dp dρ dT = + ρ p T hay dT dp dρ = − T p ρ (9.2) Tổỡ phổồng trỗnh (9.1) suy : ds = c v Thay giaï trë dT p ⎛ ⎞ + d⎜ ⎟ T T ⎜ρ⎟ ⎝ ⎠ dT tỉì (9.2) phổồng trỗnh traỷng thaùi p=.r.T vaỡ r = cv (k-1) ta coï : T ⎡ dp dρ ⎛ ⎞⎤ ds = c v ⎢ − + (k − 1).ρ d ⎜ ⎟⎥ ⎜ρ⎟ ρ ⎝ ⎠⎦ ⎣ p (9.3) ds = cv [ d (ln p) - k d (ln ρ ) ] (9.4) hay: Têch phán (9.4) : ⎡ ⎛ p ds = c v d ⎢ln⎜ k ⎜ ⎢ ⎝ρ ⎣ ⎞⎤ ⎟⎥ ⎟ ⎠⎥ ⎦ ⎛ p ⎞ p s − s1 = c v ⎜ ln k − ln ⎟ ⎜ ρ ρ 1k ⎟ ⎝ ⎠ (9.5) Suy : k p ⎛ ρ ⎞ =⎜ ⎟ e p1 ⎜ ρ s s1 c (9.6) Phổồng trỗnh (9.2) âỉåüc viãút thnh : d (ln p) = d (ln T) + d (ln ρ) ; thay vaìo (9.4) vaì têch phán : ⎛ ⎞ k −1 ⎟ ⎜ T ⎤ ⎡ ds = c v [d(ln T) + d(ln ρ - k.d(lnρ )] = c v (k − 1)d ⎢ ln T − ln ρ ⎥ = r.d ⎜ ln ⎟ ρ ⎟ ⎦ ⎣ k −1 ⎜ ⎝ ⎠ Têch phán : - Thu khê k thût ỉïng dủng Huyình Vàn Hoaìng 1 ⎞ ⎛ ⎜ T k −1 T1 k −1 ⎟ (9.7) − ln s − s1 = r ⎜ ln ⎟ ρ ρ1 ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ hay : ρ T = ρ T1 k −1 e − s − s1 r (9.8) Trong caùc phổồng trỗnh trón chố sọỳ chố traỷng thaùi ban âáưu Trong hãû cä láûp hỉỵu hản báút k quaù trỗnh naỡo xaớy õóửu theo chióửu tng entrọpi Vờ duỷ p :trong quaù trỗnh õoaỷn nhióỷt lyù tổồớng k = const Thay vaỡo phổồng trỗnh (9.7) ta coï : ρ ⎡ T p ⎤ ⎡ T ρ ⎤ ⎡ T ρ ⎤ s − s1 = c v (k − 1) ⎢ln + ln ⎥ = c v (k − 1) ⎢ln ⎥ = c v (k − 1) ⎢ln ⎥ ρ2 ⎦ ⎣ T1 p ⎦ ⎣ T1 ρ ⎦ ⎣ T1 Nãúu hãû cä lỏỷp khọng trao õọứi nhióỷt vồùi bón ngoaỡi thỗ (T2=T1) : ⎡ p ⎤ s − s1 = r ln p2 Vỗ coù tọứn tháút nãn p2 < p1 suy s2 > s1, nghộa laỡ entrọpi luọn luọn tng quaù trỗnh thuỏỷn nghởch 9.2 - Phổồng trỗnh lión tuỷc Trong khọng gian bo lỉu (åí âọ khäng cọ âiãøm ngưm , âiãøm hụt v åí âo khäng thỉûc hiãûn cạc phn ỉïng hoạ hc tiãu hao hay cung cáúp cháút lng) chụng ta kho sạt chuøn âäüng ca cháút lng chy qua khäúi häüp cọ cạc cảnh cäú âënh dx,dy,dz hãû toaỷ õọỹ oxyz (hỗnh - 1) Sau thồỡi gian dt khäúi lỉåüng cháút lng chy vo khäúi häüp ny l m1 v chy l m2 , khäúi lỉåüng cháút lng cn lải khäúi häüp ny l : ∆m = m1- m2 Tênh theo phæong x , khäúi lỉåüng chy vo m1x = ρ.vx dy dz dt ; chaíy : ∂ ( ρv x ) ⎤ ⎡ m x = ⎢ ρ v x + dx ⎥ dy.dz.dt ∂x ⎣ ⎦ - ... - S S Hỗnh - - Chu vi ỉåït (k hiãûu l ϑ ) : Âỉåìng giao tuún giỉỵa màût càõt ỉåït v thnh ràõn ca doỡng chaớy (hỗnh - 8) R R Hỗnh - - Baùn kờnh thuớy lổỷc (k hiãûu... (hỗnh - 7a) Nóỳu doỡng khọng õóửu - doỡng thay õọứi dỏửn thỗ noù laỡ mỷt cong khọng gian (hỗnh - 7b) - Thu khê k thût ỉïng dủng Huyình... bao gäưm caùc õổồỡng cong k1,k'',k2,k" trón(hỗnh - 9a) hay trón (hỗnh - 9b) thỗ lổu sọỳ vỏỷn tọỳc cuợng bàịng khäng Ta cọ ‚Γ2,3 = Γ4,1 nãn ‚Γ1,2 = - Γ3,4 : ngỉåüc hiãưu nãn chụng triãût tiãu Nãúu