BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES docx

Khái niệm : Trong nhiều bài toán kỹ thuật, vật thể chịu lực chỉ gây nên biến dạng hay ứng suất trong 1 mặt phẳng Mặt phẳng này được qui ước là mặt phẳng oxy.. Bài toán ứng suất phẳng : X

y

x

z y

CHƯƠNG 6 : BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES

6.1 HAI TRƯỜNG HỢP CỦA BÀI TOÁN PHẲNG

I Khái niệm :

Trong nhiều bài toán kỹ thuật, vật thể chịu lực chỉ gây nên biến dạng hay ứng suất trong 1 mặt phẳng (Mặt phẳng này được qui ước là mặt phẳng oxy) Các bài toán này được gọi là các bài toán phẳng

Bài toán phẳng chia ra 2 loại :

1 Bài toán ứng suất phẳng : Nếu chỉ tồn tại ứng suất trong mặt phẳng xoy

2.Bài toán biến dạng phẳng : Nếu chỉ tồn tại biến dạng trong mặt phẳng xoy

Hai bài toán này khác nhau về mặt vật lý song rất giống nhau về mặt toán học

Giải bài toán phẳng về mặt toán học được đơn giản rất nhiều so với bài toán không gian

II Bài toán ứng suất phẳng :

Xét những mặt phẳng, ví dụ tấm tường, đĩa mỏng chịu lực phân bố đều trên bề dày tấm và song song với mặt trung bình như hình vẽ

Ta nhận thấy mặt bên của tấm không có tải trọng, ứng suất là hằng theo bề dày Do đó điều kiện của bài toán sẽ là :

σz = Txz = Tyz = 0 (a) Mặt khác, biến dạng dài theo phương bề dày là tự do nên :

εz ≠ 0 (b) Các điều kiện (a), (b) là định nghĩa của bài toán ứng suất phẳng

Ân số của bài toán gồm có:

Các ứng suất : σx, σy, Txy Các biến dạng : εx, εy, γxy, εz≠ 0

Theo định luật Hooke, từ (a) ta có :

1

y

z

x

1

γxz =γyz = 0 ; εy = E

1

(σy - µσx)

εx =E

1

(σx - µσy) ; εz

=-E

µ

(σx + σy) (c)

γxy =

G

T xy

=

E

) 1 (

2 + µ

Txy

Từ biểu thức (c) ta có các biến dạng đều tính theo 3 ẩn số ứng suất là σx,

σy, Txy với E, µ là 2 hằng số đàn hồi của vật liệu

III Bài toán biến dạng phẳng :

Khi tính những vật thể hình lăng trụ, có chiều dài lớn chịu tải trọng không đổi theo chiều dài, ví dụ đập chắn, tường chịu áp lực, đường ống dẫn, vỏ hầm ta thường xét 1 đoạn vật thể có chiều dài bằng 1 đơn vị

Như thế, bài toán đối với vật thể lăng trụ trở thành bài toán tấm phẳng như biểu diễn trên hình vẽ sau :

Nhận xét tấm bị kẹp giữa chiều dài của vật thể nên không thể có biến dạng dài theo phương bề dày z, và mặt bên của tấm sẽ chịu những áp lực pháp tuyến theo phương z Do đó, điều kiện của bài toán đối với tấm trong trường hợp đang xét sẽ là :

εz = γxz = γyz = 0 (d)

Các điều kiện (d), (e) là định nghĩa của bài toán biến dạng phẳng

Ẩn số của bài toán gồm có:

Các ứng suất : σx, σy, Txy, σz≠0

Các biến dạng : εx, εy, γxy

Theo định luật Hooke, từ (d) ta có :

- Các ứng suất tiếp Txz = Tyz = 0

- Còn ứng suất pháp σz sẽ được tìm từ biểu thức εz = 0

εz = 1[ x ( x y )]

E σ − µσ +σ = 0

Vậy σy = µ(σx + σy)

Quan hệ giữa các ứng suất và các biến dạng còn sẽ là :

εx = 1[ x ( y z )]

E σ − µσ +σ = 1[ y ( x y )]

E σ − µσ +σ











−

−

1

E µ σ µµσ











−

−

1

E µ σ µµσ

(*)

γxy =

E

) 1 (

2 + µ

Txy

Đặt E1 = 2

1 − µ

E

; µ1 = µ

µ

−

(*)⇔ εx =

1

1

E (σx - µ1σy) ;

εy =

1

1

E (σy - µ1σx) ; (f)

γxy =

E

) 1 (

2 + µ

Txy =

1

1 ) 1 ( 2 E

µ +

Txy

IV So sánh và kết luận chung :

1 Trong cả 2 bài toán phẳng, các ẩn số chính về ứng suất và về biến dạng là như nhau : σx, σy, Txy, εx, εy, γxy

→ Những ứng suất hay biến dạng còn lại đều có thể biểu diễn qua các ẩn số chính

2 Quan hệ giữa các ứng suất hay biến dạng theo (c) hay (f) là hoàn toàn tương tự như nhau, sự khác nhau chỉ thể hiện ở chỗ :

- Trong bài toán ứng suất phẳng ta dùng các hằng số đàn hồi E, µ còn trong bài toán biến dạng phẳng ta dùng các hằng số đàn hồi E1, µ1 theo cách đặt (g)

3 Do sự giống nhau về mặt toán học như vậy nên phép giải của 2 bài toán hoàn toàn như nhau

6.2 CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN TRONG BÀI TOÁN PHẲNG

1 Về mặt tĩnh học : Phương trình cân bằng Cauchy :

y

Tyx x

x

∂

∂ +

∂

∂σ + f

x = 0

y

y x

Txy

∂

∂ +

∂

2 Về mặt hình học : Phương trình biến dạng Cauchy :

εx =

x

u

∂

∂

;

εy = y

v

∂

∂

γxy = x

u

∂

∂

+ y

v

∂

∂

Các biến dạng phải thỏa mãn điều kiện liên tục của biến dạng, trong bài toán phẳng điều kiện này chỉ còn 1 phương trình :

y x

xy x

y y

x

∂

∂

∂

=

∂

∂ +

∂

∂ ε ε 2γ

2

2 2

2

(6.3)

3 Về mặt vật lý : Phương trình định luật Hooke

a Biểu thức biến dạng qua ứng suất :

εx = E

1

(σx - µσy)

εy =

E

1

γxy =

E

) 1 (

2 + µ

Txy

b Biểu thức ứng suất qua biến dạng :

σx = 2

1 − µ

E

(εx+ µεy)

σy = 2

1 − µ

E

Txy = 2(1+ µ)

E

γxy

Nếu giải bài toán biến dạng phẳng, chỉ cần thay E, µ bằng E1, µ1

Hệ tám phương trình độc lập trên, chứa 8 ẩn số là ba ứng suất, ba biến dạng và hai chuyển vị là một hệ khép kín, cho phép ta giải được bài toán

4 Các điều kiện biên :

a Điều kiện biên tĩnh học :

σxl + Tyxm = fx∗

Txyl + σym = f y∗ (6.6)

b Điều kiện biên động học :

Trên bề mặt S của vật thể cho trước các chuyển vị uo , vo hay các đạo hàm của các chuyển vị theo các biến số tọa độ Nghiệm chuyển vị của bài toán phải thỏa mãn điều kiện : us = uo ; vs= vo

6.3 PHÉP GIẢI BÀI TOÁN PHẲNG THEO ỨNG SUẤT - HÀM ỨNG SUẤT AIRY

I Phép giải theo ứng suất :

- Chọn ẩn số chính là các ứng suất : σx, σy, Txy

Các ứng suất này phải thỏa mãn phương trình cân bằng (6.1)

y

Tyx x

x

∂

∂ +

∂

∂σ = - f

x

y x

Txy

∂

∂ +

∂

= - fy

Nghiệm của (6.1) sẽ là tổng của nghiệm tổng quát phương trình thuần nhất (6.8)

y

Tyx x

x

∂

∂ +

∂

∂σ = 0

y

y x

Txy

∂

∂ +

∂

và nghiệm riêng của phương trình (6.9)

y

Tyx x

x

∂

∂ +

∂

∂σ = - f

x

y

y x

Txy

∂

∂ +

∂

- Nghiệm riêng của phương trình (6.8) tìm được không khó khăn, nó phụ thuộc vào dạng cụ thể của các lực thể tích

Ví dụ nghiệm riêng có thể lấy là :

* σx = 0 ; σy = 0 ; Txy = -Px khi fx = 0 ; fy = P = hằng số

* σx =

2

2

ax + bx ; σy = Txy = 0 khi fx = ax + b ; fy = 0

* σx = 0 ; σy = -a

6

3

y ; T

xy =

2

2 axy khi f

x = axy , fy = 0

II Hàm ứng suất Airy :

Để giải hệ (6.1) ta đưa ra một hàm ẩn mới gọi là hàm ứng suất Airy Xét hệ phương trình phương trình vi phân thuần nhất (6.8):

0

) 8 6 ( 0

=

∂

∂ +

∂

∂

=

∂

∂ +

∂

∂

y

y x

Txy

y

Tyx x

x

σ σ

Điều kiện cần và đủ cho biểu thức p(x,y)dx + q(x,y)dy = du(x,y)

tức p(x,y)dx + q(x,y)dy là vi phân toàn phần của 1 hàm u(x,y) nào đó thì giữa p và q phải có quan hệ : x

q y

p

∂

∂

=

∂

∂

- Phương trình thứ (1) của hệ (6.8) ⇔ xx= −∂Tyx∂y

∂

∂σ

Tức (σx.dy - Txy.dx) là vi phân toàn phần của 1 hàm A(x,y) nào đó Nên ta có quan hệ σx = y

A

∂

∂

; Tyx = - x

A

∂

∂

(a) Tương tự, phương trình thứ 2 : x

Txy y

y

∂

∂

−

=

∂

∂σ

⇒ (σy.dx - Txy.dy) là vi phân toàn phần của1 hàm B(x,y) nào đó :

→ Ta có quan hệ : σy = x

B

∂

∂

; Txy = - y

B

∂

∂

(b)

So sánh (a) và (b) ta có :

x

A

∂

∂

= y

B

∂

∂

(c)

⇒ (A.dy + B.dx) là vi phân toàn phần của 1 hàm ϕ(x,y) nào đó :

→ Ta có quan hệ : A = ∂ϕ∂y ; B = ∂ x

∂ϕ

(d) Thay (d) vào (a) và (b) ta có:

σx = 2

2 y

∂

∂ ϕ

; σy = 2

2 x

∂

∂ ϕ ; T

xy = -

y

x ∂

∂

∂ 2 ϕ

(6.10) Hàm ϕ(x,y) : Gọi là làm ứng suất Airy, là hàm để giải bài toán phẳng theo ứng suất

III Phương trình hàm ứng suất Airy :

- Trong chương 5 ta có hệ phương trình (5.5) Beltrmi là hệ phương

trình giải bài toán đàn hồi theo ứng suất đã tổng hợp các điều kiện về mặt tĩnh học, hình học, và vật lý của môi trường

Sử dụng (5.5) để tính cho biểu thức ứng suất phẳng

(1 + µ)∇2σx + 2

2 x

S

∂

∂

= 0 + (1 + µ)∇2σy + 2

2 y

S

∂

∂

= 0 (1 + µ)∇2σz + 2

2 z

S

∂

∂

= 0 (1+µ)∇2S +∇2S = 0

⇔∇2S = 0 Với S = σx+ σy+ σz

Vì trong bài toán ứng suất phẳng σz=0 nên S= σx + σy

Trong bài toán biến dạng phẳng :

S= σx + σy + σz = σx + σy +µ(σx + σy) =(1+µ)(σx + σy)

Nên trong bài toán đàn hồi phẳng ta đều có :

∇2S = ∇2(σx + σy) = 0 (6.11) (6.11) : Phương trình LêVy

Thay các ứng suất bởi hàm ϕ thay (6.10) vào (6.11) ta có :

0

2

2 2

2 2

2 2

2

=









∂

∂ +

∂

∂









∂

∂ +

∂

∂

x y

y x

ϕ ϕ

y y

x

2

4

2 2 4

4

4

=

∂

ϕ

∂ +

∂

∂

ϕ

∂ +

∂

ϕ

∂

(6.12)

Phương trình (6.13) : phương trình trùng điều hòa.

Hăm ϕ = ϕ(x,y) : lă hăm trùng điều hòa

Kết luận :

- Băi toân đăn hồi phẳng giải theo ứng suất dẫn đến việc giải phương trình (6.12) sau đó tìm câc ứng suất theo (6.10)

+ Nếu fx, fy ≠ 0 ⇒ Cộng thím câc nghiệm riíng

- Theo (6.10) : Việc thím hay bớt hăm ϕ một lượng A+ Bx+Cy thì câc ứng suất không thay đổi

- Câc hệ số tích phđn được xâc định theo điều kiện biín tĩnh học :

∗

=

∂

∂

∂

−

∂

∂

x f m y x

l

2 2

2

ϕ ϕ

∗

=

∂

∂

−

∂

∂

∂

x

l y

2 2

ϕ

Nếu (6.13) đủ để xâc định câc hằng số tích phđn thì câc ứng suất theo (6.10); (6.12) & (6.14) hoăn toăn không liín quan đến câc hệ số đăn hồi của vật liệu Những băi toân như thế lă băi toân có liín kết bín ngoăi tĩnh định

⇒ Định lý LeVy-Michell : Trong biểu thức đăn hồi phẳng tĩnh định, chịu câc ngoại lực tâc động trín biín thì sự phđn bố ứng suất không phụ thuộc văo câc hằng số đăn hồi vă như nhau đối với tổng cả câc vật liệu

+ ịnh lý được sử dụng làm cơ sở cho 1 phương phápĐ thực nghiệm có tên là phương pháp đàn hồi

6.4 ĐIỀU KIỆN BIÍN CỦA HĂM ỨNG SUẤT AIRY.

Việc giải băi toân phẳng theo ứng suất rút lại thănh việc giải phường trình trùng điều hòa (6.12)

Nghiệm của phương trình năy lă hăm ứng suất ϕ phải thỏa mên điều kiện biín





 +

=

+

=

σ

σ

∗

∗

ym Txyl

f

Txym l.

x f

y

x

(6.15)

Xĩt trường hợp fx = fy = 0

Thay (6.10) văo (6.11) ta có

m y x

l y

fx

∂

∂

∂

−

∂

∂

=

2

2

m x

l y x

2 2

.

∂

∂

−

∂

∂

∂

−

=

Theo (H.6.3) ta có :

l = cos(n, x) = cos(900 + α) = - sinα = - dyds

m = cos(n, y) = cosβ = dxds

(6.15) ⇔ ds

dy y

fx 2 .

2

∂

∂

−

=

-

ds

dx y

x .

2

∂

∂

∂ ϕ

dy y

y ∂ .

∂

∂

∂ ϕ

dx y

x ∂ .

∂

∂

∂ ϕ

= - ∂ 

∂ y ds

ds

dy y x

2

∂

∂

∂ +

=

∗

+

ds

dx

x2 .

2

∂

∂ ϕ = 











∂

∂ x ds

Lấy điểm so bất kỳ trên chu tuyến làm gốc :

(6.17) ⇔ A S f x ds X ( )S

∂

∂

0 ϕ

( ) S S

y ds Y f

B

∂

∂

0

ϕ

(6.18) Trong đó :

A&B : Các hệ số tùy ý, biểu diễn giá trị của đạo hàm

0 0

, S

S x

∂

∂

∂ ϕ ϕ

của chu vi

X(S) , Y(S) : Ký hiệu mang ý nghĩa tĩnh học sẽ nói đến dưới đây

Để rõ ràng ta đưa ra sự tương tự

như sau :

Thay chu vi vật thể khảo sát

bằng thanh có cùng dạng và cắt tại

điểm S0 (H.6.4)

Tại đó ta đặt các lực : A // S0x

B // S0y

Và ngẫu lực C như hình vẽ

Như vậy : X(S) & Y(S) : Chính là tổng hình chiếu của các ngoại lực tác dụng lên đoạn S0S chiếu lên trục x & y

+ Nếu chúng ta lấy trục t ≡ trục tiếp tuyến ngoài tại điểm S

n ≡ pháp tuyến ngoại tại điểm S

Thì : =

∂

∂ n

ϕ

N(S) (6.19)

s

t ∂

∂

=

∂

∂ ϕ ϕ

= Q(S) (6.20)

N(S) : Lực dọc cũng tại điểm S của thanh,

được xem là dương → nếu là lực kéo

Q(S) : Lực cắt tại điểm s của thanh

So sánh quan hệ giữa nội lực là moment uốn và lực cắt trong sức bằng vật liệu:

y y

P

x

L

2

t

+ 2

t

−

=

ds

dM Q(s)

=

ds

d

Q(s) ⇒ ϕ = M (6.21)

M(s) : Moment của lực đặt trên đoạn S0S của thanh đối với điểm s Vậy tại điểm trên chu tuyến của vật thể ta có thể xác định giá trị của hàm ứng suất ϕ(x,y) và các đạo hàm theo phương pháp tuyến ∂ n

∂ϕ

tại các điểm ở trên chu vi theo trọng đã cho dựa vào công thức (6.21) và (6.19) , quá trình ///đó giống như tìm moment uốn S lực dọc gây ra bởi tải trọng cho trước trên chu vi nếu tưởng tượng chu vi đó là ////mà cắt ra tại 1 tải diện bất kỳ

ϕ có dạng bất kỳ : Chuỗ Taylor, Furiê, hàm phức, chuổi đặc biệt

⇒ ϕ có dạng đa thức

6.5 HÀM ỨNG SUẤT DƯỚI DẠNG ĐA THỨC

Việc giải bài toán phẳng theo ứng suất là tìm một hàm ứng suất ϕ thỏa mãn 2 yêu cầu :

- Phương trình trùng điều hòa

- Điều kiện biên + Tính ứng suất trên tấm công chịu lực tập trung đặt tại đầu tự do như hình vẽ

1 Dạng hàm ϕ

+ Theo kết quả ở sức bền vật liệu: σx = y

J

M Z

Z

theo hàm ϕ : σx = 2

2 y

∂

∂ ϕ

ϕ(x,y) = ax2 + bxy + cy2 + dx3 + cx2y + fxy2 + gy3 + hx4 + ix3y + ix2y2

+ kxy3 + ly4 (a)

ϕ phải thỏa mãn phương trình trùng điều hòa :

4

4 x

∂

∂ ϕ +

2 2

4 y

x ∂

∂

∂ ϕ

+ 4

4 y

∂

∂ ϕ

= 0

4

4 x

∂

∂ ϕ = h ;

2 2

4 y

x ∂

∂

∂ ϕ

= j ; 4

4 y

∂

∂ ϕ

= l

→ h + 2j + l = 0

⇒ϕ là hàm đa thức bậc 4 đối với x, y

→ h = j =l = 0 (1)

σx = 2

2 x

∂

∂ ϕ = 2c + 2fx + 6gy + 6kxy.

σy = 22

x

∂

∂ ϕ

= 2c + 6dx + 6ey + 6ixy (b)

Txy = -

y

x ∂

∂

∂2ϕ =-(b + 2ex+ 2fy + 3ix2 + 3ky2

2 Các điều kiện : Xét điều kiện biên theo ứng suất :

* Biên trên (y = t ; x[ ]0 , L

σy = 0 (d)

* Biên dưới (y =- t ; x[ ]0 , L

σy = 0 (f)

Từ (c) & (e) ta có :

2a +6dx +2e(2t

)+6ix(2t

) = 0 2a + 6dx - 2e

2

t - 6ix

2

t = 0 ⇒ e = i = 0 e = i=f=0 (2)

Từ (d) & (f) ta có : a=d=0 (3)

0 0

2 3 3 2 2 2

0 2

3 3 2 2 2

2 2

2 2

=

⇒

















=























−

+ +

− +

−

=























 + +

+ +

−

f t

k ix

t f ex b

t k ix

t f ex b

* Biên trái (x = 0, ∀y−2,+2 

t t

) ta có :

p dF Txy t

t

=

∫

+

− 2

2

Từ (g) ⇒ c = g = 0 (5)

⇒ Txy = - (-43kt2 + 3ky2) = 34kt2 - 3ky2

⇒

2

2

2

2

2

2

3 2

2 2

3

3 4

3 )

3 4

3 (

t

t

t

t

t

t

ky y

kt dy

ky kt

TxydF

−

+

⇒ b + 3

4

2

kt =0

⇒ b = -43 kt2(4)

=



































−

−











−

−













−

3 2

2 2

2 2

4

3 2

2

4

δ

=

















−

=

















− +

−

4 4

3 8

2

4

3 8 2

4

3 kt3 kt3 kt3 kt3 δ kt3 kt3 δ

= kt = p 2

3

δ ⇒ k = 3

2 t

p

δ (6)

⇒ Txy = 34kt2 −3ky2

σx = 6kxy

σy = 0

σx = 6

12

) ( 6

2

3 3

t

Px xy t

p

δ

=

.y

J3 =

12

3 t

Jz

Mz.

(6.22)