Chương 1 - giải tích 12

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG THPT ĐƠNG DƯƠNG GIẢI TÍCH 12 PHẦN 1: Năm học: 2010 - 2011 CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM Đạo hàm hàm sơ cấp Đạo hàm hàm hợp ’ (C ) = (x)’ =1 , ( uα ) ' = α.uα−1.u'; α ∈ R ( xα ) = α.xα−1; α ∈ R   −1  x ÷' = x   ( x)' = x (sinx)’ = cosx (cosx)’ = - sinx = 1+tan2x (tanx)’ = cos x (cotx)’ = − = -(1+cot2x) sin x   − u'  u ÷' = u2   u' ( u)' = u (sinu)’ = u’.cosu (cosu)’ = -u’.sinu u' = u’(1+tan2u) (tanu)’ = cos u u (cotu)’ = − = -u’(1+cot2u) sin u *)Caùc quy tắc tính đạo hàm Quy tắc cộng: (u ± v)’ = u’ ± v’ Quy tắc nhân: (k.u)’ = k u’, k số (u.v)’ = u’v +uv’; (u.v.w)’= u’.v.w+ u.v’.w+ u.v.w’  u  u' v − uv' Quy tắc chia:  ÷' = v2 v DẤU NHỊ THỨC BẬC NHẤT 1.Nhị thức bậc : có dạng f(x)= ax+b ( a ≠ ) 2.Xét dấu nhị thức bậc : −b + Tìm nghiệm nhị thức: ax+b=0 ⇒ x = a + Lập BXD x −b −∞ a Trái dấu với a Cùng dấu với a −∞ f(x) +Dựa vào BXD kết luận Chú ý: Phải ,trái trái DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 1.Tam thức bậc hai : Biểu thức có dạng ax + bx + c (a ≠ 0) 2.Xét dấu tam thức bậc hai : + Tìm nghiệm tam thức: ax + bx + = c tính ∆ = b − 4ac *Nếu ∆ < tam thức vơ nghiệm (af(x)>0, −∞ −∞ x ∀x ∈ R ) f(x) Cùng dấu với a * Nếu ∆ = tam thức có nghiệm kép x = (af(x)>0, x −b ∀x ≠ ) 2a (x) −∞ −b 2a −b 2a −∞ Cùng dấu với a Cùng dấu với a * Nếu ∆ > tam thức có nghiệm x1 = −b + ∆ −b − ∆ x ( 1< , x2 = 2a 2a x2 ) x f(x) −∞ x1 x2 −∞ Cùng dấu với a Trái dấu với a Cùng dấu với a (Trong trái , ngồi cùng) + Dựa vào BXD kết luận SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ Bài 1: Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Hàm số y = f(x) có đạo hàm (a; b) a) Nếu f’(x) > , ∀ x ∈ (a; b) f(x) đồng biến (a; b) b) Nếu f’(x) < , ∀ x ∈ (a; b) f(x) nghịch biến (a; b) c) Nếu f’(x) = , ∀ x ∈ (a; b) f(x) khơng đổi dấu (a; b) Định lý (Mở rộng): Hàm số y = f(x) đồng biến (a; b) ⇔ y’ ≥ 0, ∀ x ∈ (a; b) ( dấu xảy vài điểm hữu hạn) Hàm số y = f(x) nghịch biến (a; b) ⇔ y’ ≤ 0, ∀ x ∈ (a; b) ( dấu xảy vài điểm hữu hạn) Bài tập: Dạng 1: Xét chiều biến thiên hàm số: Phương pháp tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số B1: Tìm tập xác định B2: Tìm y', Giải phương trình y' = (nếu có), xét dấu y' Chú ý đến phương pháp xét dấu nhị thức bậc tam thức bậc hai B3: Laäp BBT suy khoảng đồng biến, nghịch biến ( áp dụng định lý) Bài tập: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số sau: a) y = −2 x + b ) y = x3 − 3x + c) y = −2 x3 + 3x + d) y = x − x + x − 12 e) y = x − x + f) y = − x + x − g) y = x + x + x − h) y = Xét tính đơn điệu hàm số: a) y = x +1 x−2 b) y = 2x −1 x +1 x + 3x + x +1 b) y = x + Khảo sát biến thiên hàm số: a) y = x − x − x3 + x + x − x c) y = 1− x 3x − c) y = x − − x +1 Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số sau: a) y = x − x + b) y = − x + x c) y = x +  Làm tập 1, 2, 3, sgk/10 Dạng 2: Tìm điều kiện tham số m để hàm số đồng biến (nghịch biến) R Chuù ý: Hàm số đồng biến R y’ ≥ 0, với x a > ∆ ≤ a > Tam thức ax + bx + c > 0, ∀x ∈ R ⇔  ∆ < Hàm số nghịch biến biến R y’ ≤ 0, với x a < Tam thức ax + bx + c ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔  ∆ ≤ a < Tam thức ax + bx + c < 0, ∀x ∈ R ⇔  ∆ < Tam thức ax + bx + c ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔  Hàm số phân thức đồng biến tập xác định y’ > với x thuộc D BÀI TẬP x3 − x + ( m − 1) x + m đồng biến R (Đs: m ≥ ) Tìm m để hàm số y = x − 3mx + ( 2m − 1) x + đồng biến R (Đs: m = ) Tìm m để hàm số y = − x + mx + ( 3m − ) x + nghịch biến R 3 x Tìm m để hàm số y = + ( m − 1) x + ( 2m − 3) x + đồng biến 3 R (Đs: m = ) 2 Tìm m để hàm số y = − m + 5m x + 6mx + x + − m đồng biến Tìm m để hàm số y = ( R ) (Đs: − ≤m≤0) 10 Tìm m để hàm số y = ( m − 1) x 3 + mx + ( 3m − ) x + đồng biến R (Đs: m ≥ ) 11 Tìm m để hàm số y = x + x + mx + − 2m nghịch biến đoạn có (Đs: m = độ dài ) Dạng 3: (Lớp C1) Sử dụng biến thiên để chứng minh Bất đẳng thức  π ÷  2 12 Chứng minh: tanx > x, ∀x ∈  0;  π ÷  2 13 Chứng minh: 2sinx + tanx > 3x , ∀x ∈  0;  Bài 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Dấu hiệu xác định cực đại, cực tiểu: Hàm số đạt cực tiểu x dương qua x0 Hàm số đạt cực ñaïi taïi x qua x0 ⇔ y '( x0 ) = y’ đổi dấu từ âm sang ⇔ y '( x0 ) = y’ đổi dấu từ dương sang âm , *) Hàm số có cực trị ⇔ y’ = có nghiệm y’ đổi dấu qua nghiệm ⇔ y’ = có nghiệm phân biệt Dấu hiệu xác định cực đại, cực tiểu y '(x ) = y ''(x ) > Hàm số đạt cực tiểu x0 ⇔   y '(x ) =  y ''(x ) < Hàm số đạt cực đại x0 ⇔  Chú yù: Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) x0 x0 gọi điểm cực đại (điểm cực tiểu) hàm số; f(x0) gọi giá trị cực đại ( giá trị cực tiểu) hàm số, ký hiệu : fCĐ (fCT) M(x0; f(x0)): điểm cực đại ( điểm cực tiểu) đồ thị hàm số Các điểm cực đại, cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại ( giá trị cực tiểu) hàm số gọi cực đại (cực tiểu) gọi chung cực trị Nếu hàm số có đạo hàm khoảng (a; b) đạt cực đại hay cực tiểu x0 f’(x0) = ( Điều ngược lại chưa đúng) DẠNG 1: Sử dụng dấu hiệu để tìm cực trị hàm số Phương pháp: Bước 1: Tìm tập xác định Bước 2: Tìm f’(x) Giải phương trình f’(x) = 0, tìm nghiệm Bước 3: Lập bảng biến thiên Bước 4: Từ BBT, suy điểm cực trị hàm số BÀI TẬP 14 Tìm cực trị hàm số sau: a) y = 2x3 + 3x2 – 36x -10 b) y= -x3 + 6x2 + 15x + 10 c) y = x3 – 3x2 – 24x + d) y = -5x3 + 3x2 – 4x + e) y = x4 + 2x2 – f) y = x2( – x2) Dạng 2: Tìm điều kiện tham số để hàm số đạt cực đại(cực tiểu) x0 Phương pháp: Bước 1: Tìm tập xác định Bước 2: Tìm y’, y’’ Tính y’(x0), y’’(x0) Bước 3: Sử dụng dấu hiệu để giải toán: y '(x ) = y ''(x ) > Hàm số đạt cực tiểu x0 ⇔   y '(x ) =  y ''(x ) < Haøm số đạt cực đại x0 ⇔  BÀI TẬP 15 Cho hàm số y = x − 2mx + m x − Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x = 16 Cho hàm số y = mx − mx + Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x = 17 Cho hàm số y = ( m + 1) x3 − ( m + ) x + ( m + 3) x, ( m ≠ −1) Tìm m để đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ làm điểm cực tiểu 18 Cho hàm số y = x3 + (m+3)x2 + – m tìm m để hàm số đạt cực đại x = -1 19 Cho y = - (m2 + 5m)x3 + 6mx2+ 6x – Tìm m để hàm số đạt cực đại x=1 20 Cho y = mx3 + m2x2 – x + tìm m để hàm số đạt cực đại x = -1 Dạng 3: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị Sử dụng tính chất: Hàm số có cực trị y’ đổi dấu Phương pháp: Bước 1: Tìm tập xác định Bước 2: Tìm y’, Cho y’ = Bước 3: Hàm số có cực trị y’ đổi dấu ⇔ y ' = có nghiệm phân biệt  Chú ý: Cách tính tung độ cực trị hàm số y = f(x) x0 - Hàm số : thục phép y0 = f(x0) - Hàm đa thức: chia đạo hàm ( lấy y chia cho y’ thương q(x) dư r(x)) Khi đó, y = q(x).y’ + r(x) Vì hàm số đạt cực trị x0 nên y’(x0) = Do đó, giá trị cực trị y0 = r(x0) ( tức x0 vào phần dư r(x) để tính tung độ cực trị) - Hàm hữu tỉ: y = u ( x) v ( x) ( lấy đạo hàm tử chia đạo hàm mẫu, x vào để tính tung độ cực trị) hàm số đạt cực trị x0 y = u ' ( x0 ) v ' ( x0 ) Khoảng cách hai điểm: A ( x1 ; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) ⇒ AB = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) a ≠ ∆ > Phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm phân biệt ⇔  Định lý Vi –et: x1 + x2 = −b c ; x1.x2 = a a Phương trình ax2 + bx + c = có trái dấu ⇔ ac < a ≠ ∆ >  Phương trình ax + bx + c = có nghiệm dương phân biệt ⇔  P > S >  a ≠ ∆ >  Phương trình ax + bx + c = có nghiệm âm phân biệt ⇔  P > S <  A(x; y) thuộc trục hoành y = 0, B(x;y) thuộc trục tung x = Bài tập: 21 Cho hàm số y = x − x + 4m Chứng minh hàm số ln có cực trị Khi xác định m để hai điểm cực trị thuộc trục hồnh ( Đs: m = 0; m = 1) 22 Cho hàm số y = x − ( 2m + 1) x + 6m ( m + 1) x + Chứng minh hàm số có cực đại, cực tiểu x 1, x2 x1 – x2 không phụ thuộc vào m ( ) ( ) 2 23 Cho hàm số y = x + 2(m − 1) x + m − 4m + x + m + Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu x 1, x2 1 x1 + x2 + = ( Đs: m = 5; x1 x2 m=1 24 Cho hàm số y = x − ( m + 1) x + 3m ( m + ) x + Chứng minh hàm số ln có cực đại, cực tiểu Xác định m để hồnh độ cực trị dương 25 Cho hàm số y = x + (1 − 2m) x + ( − m ) x + m + Tìm m để hàm số có điểm cực đại, cực tiểu đồng thời hồnh độ điểm cực tiểu nhỏ 5 7 4 5 (Đs: m ∈ ( −∞; −1) ∪  ; ÷ ) 26 ( B – 2007) Cho hàm số y = - x + 3x2 + 3(m2 -1) – 3m2 - (1), m tham số.Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số (1) cách gốc toạ độ O (Đáp số : m = ½ ; m = - 1/ 2) 27 (CĐ 2009) Cho hàm số y = x3 – (2m – 1)x2 + (2 – m)x + (1) Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số (1) có hồnh độ dương 28 (B – 2002) Cho hàm số y = mx + (m − 9) x + 10 Tìm m để hàm số có cực trị 29 Cho hàm số y = x − mx + có đồ thị (C) Tìm m để đồ thị hàm số 2 có cực tiểu mà khơng có cực đại 30 Cho hàm số y = x + 4mx3 + 3( m + 1) x + Tìm m để đồ thị hàm số có cực tiểu mà khơng có cực đại 31 Cho hàm số y = x − 2m x + Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực trị đỉnh tam giác vuông cân x + mx 32 Cho hàm số y = Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu 1− x Với giá trị m để khoảng cách hai điểm cực trị 10 (Đs: m = 4) 33 Cho hàm số y = x + ( 2m + 1) x + m + m + ( x + m) Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu Tính khoảng cách hai điểm cực trị 34 (B- 2005) Cho hàm số y = x2 + ( + m ) x + + m x +1 Chứng minh với m bất kỳ, hàm số có cực đại, cực tiểu khoảng cách hai điểm cực trị 20 35 Cho hàm số y = x2 + x + m Xác định tất giá trị m để đồ thị x +1 hàm số có điểm cực trị nằm phía trục tung ( Đs: m >1) 10 Có cực trị  +∞ (a > 0) + Giới hạn : xlim (ax + bx + c) =  →±∞  −∞ (a < 0) + Bảng biến thiên : Th1 : y’= có nghiệm a>0 x y’ y -∞ +∞ x1 + - -∞ - + 0 -∞ Th2: y’ = có nghiệm a>0 x -∞ y’ ∞ + y a0 a0 x a -3) cắt đồ thị (C) điểm I, A, B cho I trung điểm AB 111 ( Tuyển sinh đại học khối B – 09) Tìm m để đường thẳng y = -x + m cắt đồ thị hàm số y = x2 −1 điểm x phân biệt A, B cho AB = (Đs: m = ±2 ) 112 ( Tuyển sinh đại học khối D – 09) Tìm m để đường thẳng y = - 2x + m cắt đồ thị hàm số y = x2 + x −1 x điểm phân biệt A, B cho trung điểm AB thuộc trục tung ( Đs: m = 1) VẤN ĐỀ 4: ĐỐI XỨNG I Đối xứng qua trục Hai điểm A ( x A ; y A ) ; B ( xB ; yB ) đối xứng qua trục tung  x = − xB ⇔ A  y A = yB Hai điểm A ( x A ; y A ) ; B ( xB ; yB ) đối xứng qua trục hoành  x = xB ⇔ A  y A = − yB 30 Hai điểm A ( x A ; y A ) ; B ( xB ; y B ) đối xứng qua đường y = x  x = yB ⇔ A  y A = xB Hai điểm A ( x A ; y A ) ; B ( xB ; y B ) đối xứng qua đường y = -x  x = − yB ⇔ A  y A = − xB Hai điểm A ( x A ; y A ) ; B ( xB ; yB ) đối xứng qua đường thẳng d  AB ⊥ d ⇔ trung diêm I cua AB thuôc d II Đối xứng qua điểm Hai điểm A ( x A ; y A ) ; B ( xB ; y B ) đối xứng qua gốc tọa độ  x = − xB ⇔ A  y A = − yB Hai điểm A ( x A ; y A ) ; B ( xB ; yB ) đối xứng qua điểm I  x + x = xI ⇔ A B  y A + y B = yI III Chứng minh đồ thị hàm số y = f(x) nhận điểm I( x 0; y0) làm tâm đối xứng Chuyển hệ trục tọa độ Oxy sang IXY theo công thức biến đổi  x = X + x0   y = Y + y0 Biến đổi hàm số y = f(x) thành Y = F(X) Chứng minh Y = F(X) hàm số lẻ Chú ý: Hàm bậc ba có tâm đối xứng điểm uốn Hàm biến có tâm đối xứng giao điểm hai tiệm cận Bài tập: 31 113 Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 3(m2 -1)x +1 – m2 có đồ thị (C) Xác định m để đồ thị có cặp điểm đối xứng qua gốc tọa độ ( đs: 0