phuong phap giai mạch cầu điện trở

vì nếu cóthì ta coi đờng chéo đó mắc song song với mạch cầu.Mạch cầu có thể phân làm hai loại: * Mạch cầu cân bằng Dùng trong phép đo lờng điện.. 2 .2 - Ph ơng pháp tính điện trở t ơng đ

Một số phơng pháp giải bài toán mạch cầu

1.1 - Kỹ năng phân tích mạch điện

1.2 - Định luật ôm cho động mạch có điện trở R: I=

R U

1.3 - Các tính chất của mạch điện có các điện trở mác nối tiếp, mắc song song

1.4 - Các công thức biến đổi hiệu điện thế ( nh công thức cộng thế, phép chia thế tỷ lệthuận)

1.5 - Các công thức biến đổi cờng độ dòng điện (nh công thức cộng dòng điện, phép chiadòng ỷ lệ nghịch)

1.6 - Công thức chuyển mạch từ mạch sao thành mạch tam giác và ngợc lại

1.7 - Cách mắc và vai trò của các dụng cụ đo vôn kế va am pe kế trong mạch

1.8 - Định luật kiếc Sốp

áp dụng vào việc giải bài tập về mạch cầu điện trở trong đề tài này, tôi sẽ trình bày các vấn đề sau:

a- Khái quát về mạch cầu điện trở, mạch cầu cân bằng và mạch cầu không cân bằng

b- Phơng pháp tích điện trở của mạch cầu tổng quát

c-Phơng pháp xác định các đại lợng hiệu điện thế và cờng độ dòng điện trong mạch cầu

d - Bài toán về mạch cầu dây:

* Phơng pháp đo điện trở băng mạch cầu dây

* Các loại bài toán thờng gặp về mạch cầu dây

- Các điện trở R1, R2, R3, R4 gọi là các cạnh của mạch cầu điện trở R5 có vai trò khác biệtgọi là đờng chéo của mạch cầu (ngời ta không tính thêm đờng chéo nối giữa A - B vì nếu cóthì ta coi đờng chéo đó mắc song song với mạch cầu).

Mạch cầu có thể phân làm hai loại:

* Mạch cầu cân bằng (Dùng trong phép đo lờng điện)

* Mạch cầu không cân bằng

Trong đó mạch cầu không cân bằng đợc phân làm 2 loại:

- Loại có một trong 5 điện trở bằng không (ví dụ một trong 5 điện trở đó bị nối tắt, hoặcthay vào đó là một ampe kế có điện trở ằng không ) Khi gặp loại bài tập này ta có thể chuyểnmạch về dạng quen thuộc, rồi áp dụng định luật ôm để giải

- Loại mạch cần tổng quát không cân bằng có đủ cả 5 điện trở, thì không thể giải đợc nếu

ta chỉ áp dụng định luật Ôm, loại bài tập này đợc giải bằng phơng pháp đặc biệt (đợc trình bày

ở mục 2.3)

- Vậy điều kiện để cân bằng là gì?

Bài toán 1;

Cho mạch cầu điện trở nh (H - 1.1)

1 - Chứng minh rằng, nếu qua R5 có dòng

I5 = 0 và U5 = 0 thì các điện trở nhánh lập

thành tỷ lệ thức :

(H : 1-1)4

2 3

1

R

R R

Lời giải

1- Gọi I1; I2; I3; I4; I5 lần lợt là cờng độ dòng điện qua các điện trở R1; R2; R3; R4; R5

Và U1; U2; U3; UBND; U5 lần lợt là hiệu điện thế ở hai đầu các điện trở R1; R2; R3; R4;

R5

Theo đầu bài:

R

R R

R = hay

4

2 2

1

R

R R

R =

=

= n = const2- Dùng định lý Kennơli, biến đổi mach tam giác thành mạch sao: -Ta có mạch điện tơng đơng nh hình vẽ : (H: 1 -2)

5 3 1

'

R R R

R R R

+ +

=

5 3 1

5 1 3

'

R R R

R R R

+ +

=

5 3 1

3 1 5

'

R R R

R R R

+ +

= (H:1.2)

- Xét đoạn mạch MB có:

5 1 5 3 1 2

3 2 1 2 3

2

2 2

) (

) (

R R R R R R

R R R R U

R R

R U

+ + +

+ +

= +

5 3 5 3 1 2

5 3 1 4 1

4

4 4

) (

) (

R R R R R R

R R R R U

R R

R U

+ + +

+ +

= +

Chia (5) cho (6) vế với vế ta đợc :

5 1 5 3 1 2 4

5 1 5 3 1 4 2 2

1

) (

.

) (

R R R R R R R

R R R R R R R U

U

+ + +

− + + +

Hay : U2 = U4 Suy ra UCD = U5 = 0 => I5 = 0

Nghĩa là mạch cầu cân bằng

3- Giả sử qua R5 có dòng điện I5 đi từ C đến D , (H: 1-3)

Ta có: I2 = I1 = I5 và I4 = I 3 + I5

- Biểu diễn hiệu điện thế U theo hai đờng ACB và ADB ta có:

UACB = U = I1R1 + I2R2 = I1R1 + I1R2 - I5R 2 (8)

UADB = U = I3R3 + I4R4 = I3R3 + I3R4 - I5R 4 (9)Nhân hai vế của biểu thức (9) với n ta đợc :

n U = I3R3 n + I3R4 n + I5R4 nKết hợp điều kiện đầu bài :

R1 = n.R3 và R2 = n R4

Ta có:

n.U = I3R1 + I3R3 +: I5R5 (10)Cộng (8) với (10) vế với vế ta đợc:

(n +1) U = R1 (I1 + I3) + R2 (I1 + I3)

= (R1 + R2) (I1 + I2)

Với I1 + I3 = I

=> (n +1) U = (R1 + R2) Theo định nghĩa, điện trở tơng đơng

đợc tính bằng:

1

2 1

U

Biểu thức (11) cho thấy khi có tỷ lệ thức :

n R

R R

R = =

4

2 3 1

Thì điện trở tơng đơng của mạch cầu không phụ thuộc vào điện trở R5

* Trờng hợp R 5 = 0 (nối dây dẫn hay ampekế có điện trở không đáng kể, hay một khoá

điện đang đóng giữa hai điểm C, D)

- Khi đó mạch điện (R1 // R 3), nối tiếp R2 // R4

-> ta luôn có hiệu điện thế UCD = 0

+ Điện trở tơng đơng:

4 4

4 4 3 1

3

R R

R R R R

R R

R t

+

+ +

) ( 3 4 1 2

+

+ + +

+

=

R R n

R R n

R t

Do R1 // R3 nên:

1 3

3

3 3

1

3

I R nR

R I R R

R I I

4 4

4 4

2

4

I R nR

R I R

R

R I I I

) (

) )(

(

4 3 2 1

4 3 2 1

R R R R

R R R R

R t

+ + +

) ( 3 4 1 2

+

+

= +

+



n

R R n

R R n

R t

+ Do R1 nối tiếp R2 nên :

4 3

3 4

3

2 2

1

1 1

.

.

.

R R

R U nR R n

R n U R R

R U U

+

=

= +

Do R3 nối tiếp R4 nên :

4 3 3

R R

R U U

n

R

R R

R = =

4

2 3 1

Thì với mọi giá trị của R5 từ o đến ∞, điện trở tơng đơng chỉ có một giá trị

1

) (

1

4 3 2

1

+

+

= +

R R

(Với bất kỳ giá trị nào của R5.)

Khi đó nếu biết ba trong bốn điện trở nhánh ta sẽ xác định đợc điện trở còn lại

* Ngợc lại: Nếu các điện trở nhánh của mạch cầu lập thành tỷ lệ thức tên, ta có mạch cầucân bằng và do đó I5 = 0 và U5 = 0

+ Khi mạch cầu cân bằng thì điện trở tơng đơng của mạch luôn đợc xác định và khôngphụ thuộc vào giá trị của điện trở R5 Đồng thời các đại lợng hiệu điện thế và không phụ thuộcvào điện trở R5 Lúc đó có thể coi mạch điện không có điện trở R5 và bài toán đợc giải bìnhthờng theo định luật ôm

+ Biểu thức (*) chính là điều kiện để mạch cầu cân bằng

L

u ý : Học sinh lớp 9 có thể áp dụng công thức của mạch cầu cân bằng mà không cần

phải chứng minh (mặc dù SGK không trình bày).

+ Tuy nhiên khi bồi dỡng học sinh giỏi ở phần này, giáo viên cần phải chứng minh bàitoán trên để học sinh thấy rõ các tính chất của mạch cầu cân bằng

+ Mạch cầu cân bằng đợc dùng để đo giá trị điện trở của vật dẫn (sẽ trình bày cụ thể ởphần sau)

2 2 - Ph ơng pháp tính điện trở t ơng đ ơng của mạch cầu:

- Tính điện trở tơng đơng của một mạch điện là một việc làm cơ bản và rất quan trọng,cho dù đầu bài có yêu cầu hay không yêu cầu, thì trong quá trình giải các bài tập điện ta vẫnthờng phải tiến hành công việc này

Với các mạch điện thông thờng, thì đều có thể tính điện trở tơng đơng bằng một trong haicách sau.

+ Nếu biết trớc các giá trị điện trở trong mạch và phân tích đợc sơ đồ mạch điện (thànhcác đoạn mắc nối tiếp, các đoạn mắc song song) thì áp dụng công thức tính điện trở của các

đoạn mắc nối tiếp hay các đoạn mắc song song

+ Nếu cha biết hết các giá trị của điện trở trong mạch, nhng biết đợc Hiệu điện thế ở 2

đầu đoạn mạch và cờng độ dòng điện qua đoạn mạch đó, thì có thể tính điện trở tơng đơng củamạch bằng công thức định luật Ôm

( )

I

U R R

U

I = => =

- Tuy nhiên với các mạch điện phức tạp nh mạch cầu, thì việc phân tích đoạn mạch này vềdạng các đoạn mạch mới nối tiếp và song song là không thể đợc Điều đó cũng có nghĩa làkhông thể tính điện trở tơng đơng của mạch cầu bằng cách áp dụng, các công thức tính điệntrở của đoạn mạch mắc nối tiếp hay đoạn mạch mắc song song

Vậy ta phải tính điện trở tơng đơng của mạch cầu bằng cách nào?

* Với mạch cầu cân bằng thì ta bỏ qua điện trở R5 để tính điện trở tơng đơng của mạchcầu

* Với loại mạch cầu có một trong 5 điện trở bằng 0, ta luôn đa đợc về dạng mạch điện cócác đoạn mắc nối tiếp, mắc song song để giải

* Loại mạch cầu tổng quát không cân bằng thì điện trở tơng đơng đợc tính bằng các

ph-ơng pháp sau:

1 - Phơng pháp chuyển mạch:

Thực chấtl à chuyển mạch cầu tổng quát về mạch điện tơng đơng (điện trở tơng đơng củamạch không thay đổi) Mà với mạch điện mới này ta có thể áp dụng các công thức tính điện trởcủa đoạn mạch nối tiếp, đoạn mạch song song để tính điện trở tơng đơng

- Muốn sử dụng phơng pháp này trớc hết ta phải nắm đợc công thức chuyển mạch(chuyển từ mạch sao thành mạch tam giác và ngợc lại từ mạch tam giác thành mạch sao)

Công thức chuyển mạch - Định lý Kennơli

+ Cho hai sơ đồ mạch điện, mỗi mạch điện đợc tạo thành từ ba điện trở (H21-a mạch

3 2 1

'

R R R

R R R

+ +

3 2 1

3 1 2

'

R R R

R R R

+ +

3 2 1

2 1 3

'

R R R

R R R

+ +

(ở đây R’1, R’2, R’3 lần lợt ở vị trí đối diện với R1,R2, R3)

* Biến đổi từ mạch sao R’1, R’2, R’3 thành mạch tam giác R1, R2, R3

1

3 1 3 2 2 1 1

'

.

.

R

R R R R R R

(4)

2

3 1 3 2 2 1 2

'

.

.

R

R R R R R R

(5)

3

3 1 3 2 2 1 3

'

.

.

R

R R R R R R

ta chuyểnmạch tam giác R1, R3, R5

thànhm ạch sao :R’1; R’3; R’5 (H- 22a)

Trong đó các điện trở R13, R15, R35

đợc xác định theo công thức: (1); (2) và (3)(H: 2.2a)

từ sơ đồ mạch điện mới (H - 22a) ta có thể áp

dụng công thức tính điện trở của đoạn mạch mắc nối tiếp, đoạn mạch mắc song song đểtính điện trở tơng đơng của mạch AB, kết quả là:

) ' ( ) ' (

) ' )(

' ( '

4 1 2

3

4 1 2 3 5

3

R R R R

R R R R R

R

+ + +

+ +

4 1 2 3

2 3 5

4 1

4 1 2 3

2 3 5

'

' '

' ( '

'

' '

' ( '

R R

R R R R

R R R

R R

R R R R

R R R

R AB

+

+ + +

+

+ +

I là cờng độ dòng điện qua mạch chính

Vậy theo công thức (*) nếu muốn tính điện trở tơng đơng (R) của mạch thì trớc hết ta phải tính I theo U, rồi sau đó thay vào công thức (*) sẽ đợc kết quả

(có nhiều phơng pháp tính I theo U sẽ đợc trình bày chi tiết ở mục sau)

*Xét ví dụ cụ thể:

Cho mạch điện nh hình vẽ:

(H 2.3a) Biết R1 = R3 = R5 = 3 Ω

R2 = 2 Ω; R4 = 5 Ω

a- Tính điện trở tơng đơng

của đoạn mạch AB (H 2.3a)

b- Đặt vào hai đầu đoạn AB một hiệu điện thế không đổi U = 3 (V) Hãy tính cờng độ dòng điện qua các điện trở và hiệu điện thế ở hai đầu mỗi điện trở

3 3

3 2 1

3 1 '

+ +

= + +

=

R R R

R R R

) ( 1

5 3 1

5 1 '

+ +

=

R R R

R R R

) ( 1

5 3 1

5 3 '

+ +

=

R R R

R R R

Suy ra điện trở tơng đơng của đoạn

mạch AB là : (H 2.3b)

) 5 1 ( ) 2 1 (

) 5 1 )(

2 1 ( 1 ) (

) (

) )(

(

4

' 1 2

' 1

4

' 1 2

' 3 '

+ + +

= + + +

+ +

+

=

R R R R

R R R R R

'

1 ;R ;R R

(H 2.3c)

Ta có:

1

5 1 5 2 2 1

R

Ω

= + +

3

3 3 3 2 2

.

3

) ( 5 , 10

.

2

5 1 5 2 1

'

R

R R R R R R

R (H 2.3c)

) ( 7

5

5 1 5 2 1

'

R

R R R R R R

R

Suy ra:

* Ph ơng pháp 2: . 3( )

) 3

(

4

' 1 4

' 1 3

' 2 3

' 2 ' 5

4

' 1 4

' 1 3

' 2

' 2 ' 5

Ω

= +

+ + +

+

+ +

=

R R

R R R R

R R R

R R

R R R R

R R R

AB AB

I

U R R

U

- Gọi U là hiệu điện thế ở hai đầu đoạn mạch AB

I là cờng độ dòng điện qua đoạn mạch AB

Biểu diễn I theo U

Đặt I1 là ẩn số, giả sử dòng điện trong mạch có chiều nh hình vẽ (H 2.3d)

2 2

I U R

U

I = = − (3)

2

5 15 5 5

U I I I

T = − = − (4)

2

3 15 1 5 5

U I R

1 3

U I U

3

U I R

4

I U U U

10

21

5 14

4 4

I U R

3 21 10

Suy ra cờng độ dòng điện mạch chính.

U U U I I I

3

1 27

4 27

5 3

Thay (12) vào (*) ta đợc kết quả:

RAB = 3 (Ω)b- Thay U = 3 V vào phơng trình (11) ta đợc :

) ( 9

−

=

I có chiều từ C đến D)

) (

+ Nếu bài toán chỉ yêu cầu tính điện trở tơng đơng của mạch cầu (chỉ câu hỏi a) thì ápdụng phơng pháp chuyển mạch để giải, bài toán sẽ ngắn gọn hơn

+ Nếu bài toán yêu cầu tính cả các giá trị dòng điện và hiệu điện thế (hỏi thêm câu b) thì

áp dụng phuơng pháp thứ hai để giải bài toán, bao giờ cũng ngắn gọn, dễ hiểu và lô gic hơn.+ Trong phơng pháp thứ 2, việc biểu diễn I theo U liên quan trực tiếp đến việc tính toáncác đại lợng cờng độ dòng điện và hiệu điện thế trong mạch cầu Đây là một bài toán không hề

đơn giản mà ta rất hay gặp trong khi giải các đề thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh Vậy có nhữngphơng pháp nào để giải bài toán tính cờng độ dòng điện và hiệu điện thế trong mạch cầu

2.3/ Ph ơng pháo giải bài toán tính c ờng độ dòng điện và hiệu điện thế trong mạch cầu.

a- Với mạch cầu cân bằng hoặc mạch cầu không cân bằng mà có 1 trong 5 điện trở bằng

0 (hoặc lớn vô cùng) thì đều có thể chuyển mạch cầu đó về mạch điện quen thuộc (gồm các

đoạn mắc nối tiếp và mắc song song) Khi đó ta áp dụng định luật Ôm để giải bài toán này mộtcách đơn giản

Ví dụ:

Cho các sơ đồ các mạch điện nh hình vẽ: (H.3.1a); (H 3.1b); (H3.1c); (H3.1d) biết cácvôn kế và các am pe kế là lý tởng

A

b- Với mạch cầu tổng quát không cân bằng có đủ cả 5 điện trở, ta không thể đa về dạng

mạch điện gồm các đoạn mắc nối tiếp và mắc song song.Do đó các bài tập loại này phải có

ph-ơng pháp giải đặc biệt - Sau đây là một số phph-ơng pháp giải cụ thể:

Bài toán 3:

Cho mạch điện nh hình vẽ (H3.2a) Biết U = 45V

R1 = 20Ω, R2 = 24Ω

R3 = 50Ω ; R4 = 45Ω

R5 là một biến trở

1 - Tính cờng độ dòng điện và hiệu điện

thế của mỗiđiện trở và tính điện trở tơng đơng

2 - Khi R5 thay đổi trong khoảng từ 0 đến vô cùng, thì đienẹ trở tơng đơng của mạch

điện thay đổi nh thế nào?

Bớc 3: Giải hệ các phơng trình vừa lập để tìm các đại lợng của đầu bài yêu cầu.

Bớc 4: Từ các kết quả vừa tìm đợc, kiểm tra lại chiều dòng điện đã chọn ở bớc 1

+ Nếu tìm đợc I>0, giữ nguyên chiều đã chọn

+ Nếu tìm đợc I< 0, đảo ngợc chiều đã chọn

2 2

I R

1 5

5 5

1 3

−

= +

3 3

−

=

R U

300

405 13

4

I U

4 4

I R

9 12 12

20

27 − 1 = 1− + 1−

(10)Suy ra I1= 1,05 (A)

- Thay biểu thức (10) các biểu thức từ (1) đến (9) ta đợc các kết quả:

= +

=

45 , 0 05 , 1

45 3

1 I I

U I

=> áp dụng: (Giải cụ thể)

- Chọn chiều dòng điện trong mạch nh hình vẽ (H 3.2b)

Chọn U1 làm ẩn số ta lần lợt có:

20

1 1

1 1

U R

2 2

U R

1 5

U I I

I

4

225 11

5 5 5

1 3

−

= +

300

405 13

4

U U

3 3

4 4

U R

40

45 3

12

27 − 1 = 1− + 1−

(10)Suy ra: U 1 = 21 (V)

Thay U1 = 21 (V) vào các phơng trình từ (1) đến (9) ta đợc kết quả giống hệt phơng pháp1

Bớc 5: Giải hệ phơng trình để tìm VC, VDtheo VA rồi suy ra U1; U2, U3, U4, U5

Bớc 6: Tính các đại lợng dòng điện rồi so sánh với chiều dòng điện đã chọn ở bớc 1.

V V R

V V R

V V R

V V R

20

45 −Vc =Vc +Vc−V D (3)

30 50

45 45

D

D Vc V V

Vd = − + − (4)

- Giải hệ 2 phơng trình (3) và (4) ta đợc:

Bớc 4:Tính cờng độ dòng điện mạch chính (I)

Bớc 5: Tính I2, I4 rồi suy ra các giá trị U2, U4.

Ta có

3 3 4 1

4 1 2

' R

R R R

R R I

I

+ + +

30 50

'

5 3 1

5 3

+ +

= + +

=

R R R

R R R

) ( 6 30 50 20

30 20

'

5 3 1

5 1

+ +

= + +

=

R R R

R R R

) ( 10 30 50 20

50 20

'

5 3 1

3 1

+ +

= + +

=

R R R

R R R

- Điện trở tơng đơng của mạch

) ( 30 ) ' ' ( ) ' ' (

) ' ' ).(

' ' ( '

4 1 2

3

4 1 2 3

+ + +

+ +

+

=

R R R

R

R R R R R

R AB

- Cờng độ dòng điện trong mạch chính:

) ( 5 , 1 30

45

A R

U I

) ' (

) ' (

2 3 4

1

4 1

R R R

R

R R I

+ + +

( 05 , 1

3

3 3 1

1

R

U I A R

U

I5 = I1 - I3 = 0,05 (A)

* Ph ơng pháp 5: áp dụng định luật kiếc sốp

- Do các khái niệm: Suất điện động của nguồn, điện trở trong của nguồn, hay các bài tập

về mạch điện có mắc nhiều nguồn,… học sinh lớp 9 cha đợc học Nên việc giảng day cho các

em hiểu đày đủ về định luật Kiếc sốp là không thể đợc Tuy nhiên ta vẫn có thể hớng dẫn học sinh lớp 9 áp dụng định luật này để giải bài tập mạch cầu dựa vào cách phát biểu sau:

a/ Định luật về nút mạng

- Từ công thức: I= I1+ I2+ … +In(đối với mạch mắc song song), ta có thể phát biểu tổng quát: “ ở mỗi nút, tổng các dòng điện đi đến điểm nút bằng tổng các dòng điện đi ra khỏi nút”

b/ Trong mỗi mạch vòng (hay mắt mạng):

- Công thức: U= U1+ U2+ …+ Un (đối với các điện trở mắc nối tiếp) đợc hiểu là đúngkhông những đối với các điện trở mắc nối tiếp mà có thể mở rộng ra: “ Hiệu điện thế UAB giữahai điểm A và B bằng tổng đại số tất cả các hiệu điện thế U1, U2,… của các đoạn kế tiếp nhautính từ A đến B theo bất kỳ đờng đi nào từ A đến B trong mạch điện”

Vậy có thể nói: “Hiệu điện thế trong mỗi mạch vòng (mắt mạng) bằng tổng đại số độ giảm thế trên mạch vòng đó“

Trong đó độ giảm thế: UK= IK.RK ( với K = 1, 2, 3, …)

Chú ý: +) Dòng điện IK mang dấu (+) nếu cùng chiều đi trên mạch

+) Dòng IK mang dấu (-) nếu ngợc chiều đi trên mạch

I1 = 1,05(A); I2 = 1(A); I3 = 0,45(A); I4 = 0,5(A) và I5 = 0,05(A)

- Các kết quả dòng điện đều dơng do đó chiều dòng điện đã chọn là đúng