rút gọn biểu thức chứa biến ===@@@===GV biên soạn: Nguyễn Bá Phúc Tr phòng GD & ĐT huyện yên thành trờng THCS Mà Thành tài liệu ôn tập thi vào líp 10 PTTH (Lu hµnh néi bé) Rút gọn biểu thửực chửựa bieỏn Giáo viên biên soạn: Nguyễn Bá Phúc trờng THCS Mà Thành yên thành nghệ an rút gọn biểu thức chứa biến ===@@@===GV biên soạn: Ngun B¸ Phóc Rút gọn biểu thức chứa biến NGun bá phúc - GV: Trờng THCS Mà thành Trong chơng trình Toán lớp 9, việc rút gọn biểu thức vấn đề vô quan trọng (chiếm khoảng từ 1,5 đến 3,5 điểm kì thi), thế, mà muốn giới thiệu Toán tới bạn đọc Mong bạn hiểu sâu nắm vửng cách làm dạng Toán A Lí thuyết 1) Bài Toán quy đồng mẩu thức phân thức Trong chơng trình lớp 8, SGK đà giới thiệu cho phơng pháp quy đồng mẩu thức phân thức nh sau Bíc T×m mÈu thøc chung (MTC) Trong bớc em cần làm việc sau: 1) Phân tích mẩu thức thành nhân tử 2) Lập tích gồm NTC có số mủ cao NT riêng để có MTC Bớc Tìm NTP phân thức (để tìm NTP em cần lấy MTC vừa tìm đợc chia cho MT riêng phân thức) Bớc Quy đồng (Nhân tử mẩu phân thức với NTP tơng ứng) Ví dụ 1: Quy đồng mẩu thức phân thức sau: a) 1 vµ x −1 x − 2x + b) 1 vµ x−4 x−4 x +4 c) x+2 x x4 Giải: a) Đầu tiên ta phải tìm MTC: Ta có: x2 – = (x – 1)(x + vµ: x2 – 2x + = (x – 1)2 ph©n tích xong, ta thấy Nhân tử chung (x 1), nhân tử riêng (x + 1) MTC là: (x 1)2 (x + 1) Tìm đợc MTC rồi, ta tiến hành tìm nhân tử phụ (NTP) phân thức: Để tìm NTP phân thức 1) , ta lÊy MTC lµ (x – 1)2 (x + 1) chia cho MÈu thøc riªng cđa nã lµ (x2 – 1) hay (x – 1)(x + x −1 V× (x – 1)2 (x + 1) : (x – 1)(x + 1) = x – 1 là: (x 1) x 1 Tơng tự, để tìm NTP phân thức , ta lấy MTC lµ (x – 1)2 (x + 1) chia cho MÈu thức riêng x2 2x + x − 2x + ⇒ NTP cđa ph©n thøc hay (x – 1)2 V× (x – 1)2 (x + 1):(x – 1)2 = x + ⇒ NTP phân thức là: (x + 1) x 2x + Công việc lại quy đồng phân thức đà cho Để quy đồng mẩu phân thức ta lấy tử mẩucùng nhân với nhân tử phụ (x – 1) Tøc lµ: 1 x −1 = = x − ( x − 1)( x + 1) ( x − 1) ( x + 1) 1 x +1 = = T¬ng tù: 2 x − x + ( x − 1) ( x − 1) ( x + 1) ( x ) − = ( x − 2)( x + 2) vµ: x − x + = ( x ) − 2.( x ).2 + = ( x − ) ⇒ MTC lµ: ( x − ) ( x + ) b) Ta cã: x−4= 2 2 +) NTP phân thức +) NTP phân thức là: x−4 x −2 x−4 x +4 lµ: x +2 trờng THCS Mà Thành yên thành nghệ an rút gọn biểu thức chứa biến ===@@@===GV biên soạn: Nguyễn Bá Phúc Và = x4 x4 x +4 ( = x −2 ( )( x +2 x −2 ) ( = ) ( = x −2 x −2 )( x +2 x +2 x −2 )( x +2 ) ) c) Tơng tự Lu ý: Trớc quy đồng phân thức cha tối giản, ta nên tối giản quy đồng 2) Các phép toán phân thức a) PhÐp céng vµ phÐp trõ: A B A± B ± = m m m A B A.n B.m An ± Bm +) Cộng trừ hai phân thức khác mẩu: = ± = m n m.n m.n m.n A B A.B b) PhÐp nh©n: = m n m.n +) Céng trõ hai ph©n thøc cïng mÈu: c) PhÐp chia: A B A n A.n : = = m n m B m.B 3) Bài TOáN rút gọn biểu thức a) Cách giải: Bớc Tìm ĐKXĐ biểu thức đà cho Bớc Quy đồng mẩu thức phân thức, thực phép toán cộng, trừ, nhân, chia phân thức để đa biểu thức đà cho dạng đơn giản x 2 − x −1 x +1 x −1 x ≥ x ≥ x ≥ x −1 ≠ x ≠1 ⇔ ⇔ §KX§ cđa biĨu thøc lµ: x ≠ x +1 ≠ ∀x x − ≠ x ≠ ĐKXĐ biểu thức x ≥ vµ x ≠ b) VÝ dơ: Rút gọn biểu thức: A = Giải: Khi ta cã: A = = = = = = = x − x −1 2 − x +1 x −1 x ( x + 1) ( x − 1)( x + 1) − 2( x − 1) ( x + 1)( x − 1) − ( x − 1)( x + 1) x ( x + 1) − 2( x − 1) − ( x − 1)( x + 1) x+ x −2 x +2−2 ( x − 1)( x + 1) x− x ( x − 1)( x + 1) x ( x − 1) ( x − 1)( x + 1) x x +1 trêng THCS Mà Thành yên thành nghệ an rút gọn biểu thức chứa biến ===@@@===GV biên soạn: Nguyễn Bá Phúc B Các dạng toán liên quan Dạng Bài toán tìm x để biểu thức P = m (m lµ h»ng sè) Bíc Sư dơng tÝnh chÊt a c = a.d = b.c để làm mẩu phơng trình b d Bớc Giải phơng trình vừa thu đợc để tìm đợc x Bớc Đối chiếu điều kiện chọn nghiệm hợp lí x Ví dơ 1: Cho A = x −1 (víi x a) A = x 1) Tìm giá trị x để: b) A = Giải: Ta cã: a) A = ⇔ c) A = ( x ) = ⇔ x = x −1 ⇔ x −1 ⇔ x = (TM§K) − x =2 −2⇔ 2= x − x ⇔ x =2 VËy víi x = th× A =2 ⇔ x ( ) ⇔ x = x − ⇔ x = x − ⇔ x = −2 (V« nghiƯm) x −1 VËy kh«ng cã giá trị x để A = 1 x 1 c) A = − ⇔ = − ⇔ x = − x − ⇔ x = − x ⇔ x = ⇔ x = ⇔ x = (TM§K) 2 x −1 1 VËy víi x = th× A = − b) A = = ( ) Chó ý: Trong trêng hỵp nÕu toán cha cho giá trị P em cần dựa vào yêu cầu để tìm P tiến hành giải nh bình thờng P = m P = m (m ≥ 0) ⇔ P = −m P = k 2 +) P = k ⇔ P = −k VÝ dơ 2: Cho P = (víi x ≥ vµ x 4) Tìm giá trị x để: 2− x a) P = b) P = c) P = 3P +) Gi¶i: a) Ta cã: P = P =1⇔ P = −1 P =1⇔ = ⇔ = − x ⇔ = − x ⇔ x = −1 (V« nghiƯm) 2− x = −1 ⇔ = −(2 − x ) ⇔ = x − ⇔ x = ⇔ x = 25 (TM) Trêng hỵp Víi P = −1 ⇔ 2− x VËy víi x = 25 th× P = Trêng hỵp Víi P = 2 b) Ta cã: P = ⇔ P = − trờng THCS Mà Thành yên thành nghệ an rút gọn biểu thức chứa biến ===@@@===GV biên soạn: Ngun B¸ Phóc ⇔ = ⇔ = − x ⇔ = − x ⇔ x = −4 (V« nghiƯm) 2− x = − ⇔ = −(2 − x ) ⇔ = x − ⇔ x = ⇔ x = 64 (TM) Trêng hỵp Víi P = − ⇔ 2 2− x VËy víi x = 64 th× P = P = 2 b) Ta cã: P = 3P ⇔ P − 3P = ⇔ P ( P − 3) = ⇔ P = 3 = ⇔ = (V« nghiƯm) Trêng hỵp Víi P = ⇔ 2− x = ⇔ = 3(2 − x ) ⇔ = − x ⇔ x = ⇔ x = Trêng hỵp Víi P = ⇔ 2− x ⇔ x = (TM) VËy víi x = th× P = 3P Dạng Bài toán tìm x để biểu thức P < m hc P > m, hc P ≤ m, P m (với m số) Trêng hỵp Víi P= Bíc Chun m sang vế trái, để vế phải Bớc Quy đồng mẩu thức phân thức làm gọn vế trái Bớc Xác định dấu tử mẩu vế trái, từ có đợc bất phơng trình đơn giản (không chứa mẩu) Bớc Giải bất phơng trình để tìm đợc x Bớc Đối chiếu điều kiện chọn nghiệm hợp lí x VÝ dơ: Cho A = a) A > Gi¶i: Ta cã: a) A > x +1 (víi x b) A < x −1 ⇔ x +1 0) Tìm giá trị x ®Ó: > ⇔ c) A ≤ x −1 3( x − 1) x +1 − >0⇔ − >0 x +1 3( x + 1) 3( x + 1) 3( x − 1) − ( x + 1) 3( x + 1) >0⇔ x −4 3( x + 1) > ⇔ x − > (v× 3( x + 1) > ) ⇔2 x >4⇔ x > ⇔ x > (TM§K) VËy víi x > th× A > x −1 x −1 5( x − 1) 2( x + 1) ⇔ < ⇔ − P ⇔ ≤ P < +) P < P ⇔ P > VÝ dơ Cho biĨu thøc: P = (víi x ≥ x ) Tìm tất giá trị x để: x a) P = P b) P = − P c) P < P d) P > P +) Gi¶i: ≥ ⇔ 1− x > ⇔ 1− x Kết hợp với điều kiện xác định ta đợc: ≤ x < VËy víi ≤ x < th× P = P a) Ta cã: P =P⇔P≥0⇔ b) Ta cã: P = −P ⇔ P ≤ ⇔ VËy víi x > th× c) Ta cã: ≤ ⇔ 1− x < ⇔ 1− x x < ⇔ x < x > x > (thoả mÃn ĐKXĐ) P = −P P < P ⇔ P >1⇔ 1 1− x >1⇔ −1 > ⇔ − > 1− x 1− x 1− x 1− x − (1 − x ) x >0⇔ > ⇔ − x > ⇔ x < ⇔ x < 1− x 1− x KÕt hợp với điều kiện xác định ta đợc: x < VËy víi ≤ x < th× P < P 1 − x > 1 − x ≥ P ≥ ⇔ ⇔ ⇔ d) Ta cã: P > P ⇔ ≤ P < ⇔ −1 < P < 1 1 − x ⇔ x th× P > m +) NÕu P – m < th× P < m +) NÕu P – m = th× P = m VÝ dơ: Cho P = x −1 x (víi x > 0) H·y so s¸nh P víi trêng THCS M· Thành yên thành nghệ an rút gọn biểu thức chứa biến ===@@@===GV biên soạn: Nguyễn Bá Phúc x Giải: Ta có: P = Vì x −1 x − x x x −1− x = x = −1 x ⇒ P – < ⇒ P < th× P > m +) NÕu P – m < th× P < m +) NÕu P – m = th× P = m x +1 VÝ dơ: Cho P = (víi x > 0) Chøng minh r»ng: P > víi mäi gi¸ trị x > x x +1 Giải: Ta cã: P – = x x +1 −1 = x x >0 ⇒ V× víi x > th× − >0 x x x x +1− x = x = x ⇒ P – > P > (đpcm) Dạng Bài toán tìm x để biểu thức P nhận giá trị nguyên (nguyên dơng) Loại I Bài toán tìm giá trị nguyên x để biểu thức P nhận giá trị nguyên Cách giải: Bớc Biến đổi biểu thức P d¹ng: P= m ± n ( Víi m, n ∈ Z, f(x) lµ biĨu thøc chøa x) f (x ) Bớc Biện luận: n n phải nguyên, mà nguyên f(x) phải ớc n f (x ) f (x ) Vì m Z nên để P nguyên Bớc Giải phơng trình: f(x) = Ư(n) để tìm đợc x Bớc Đối chiếu điều kiện chọn nghiệm hợp lí Ví dụ 1: Cho P = Gi¶i: Ta cã: P = x +2 x −1 x +2 x −1 = ( x − 1) + x Để P nhận giá trị nguyên x 1) Tìm giá trị x để P nhận giá trị nguyên (với x x −1 = x −1 x −1 + x −1 phải nhận giá trị nguyên, mà x = −1 ⇔ x −1 = x − = −3 x −1 = x =2 x =0 x =4 x = −2 (VN ) = 1+ x −1 x −1 nguyên x phải ớc x = (TMDK ) ⇔ x = (TMDK ) x = 16 (TMDK ) VËy víi x = 0, x = vµ x = 16 P nhận giá trị nguyên Ví dơ 2: Cho M = Gi¶i: Ta cã: M = x x −2 x x −2 (víi x = §Ĩ P nhận giá trị nguyên x 4) Tìm giá trị x để M nhận giá trị nguyên dơng ( x 2) + x −2 x x −2 = x −2 x + x phải nhận giá trị guyên, mà = 1+ x x 2 x nguyên x phải ớc trờng THCS Mà Thành yên thành nghệ an rút gọn biểu thức chứa biến ===@@@===GV biên soạn: Nguyễn B¸ Phóc ⇔ x − = −1 ⇔ x −2=2 x − = −2 x − =1 Víi x = th× M = Víi x = th× M = Víi x = 16 th× M = Víi x = th× M = 9 −2 x =3 x = 9(TMDK ) x = (TMDK ) x =1 ⇔ x = 16 (TMDK ) x =4 x = (TMDK ) x =0 = = > (TM) 3−2 = = −1 < (lo¹i) 1− 1−2 16 = = > (TM) 4−2 16 − 0 = = (lo¹i) −2 0−2 VËy víi x = x = 16 M nhận giá trị nguyên dơng Loại II Bài toán tìm giá trị x (x bất kì) để biểu thức P nhận giá trị nguyên Cách giải: Bớc Nhân chéo để đa biểu thức P dạng phơng trình bËc cã Èn lµ y vµ tham sè P Bớc Tìm P để phơng trình bậc hai có nghiệm Bớc Chọn giá trị P nguyên giá trị P vừa tìm bớc Bớc Thay P vừa tìm đợc vào biểu thức đà cho để tìm đợc x Bớc Đối chiếu §KX§ chän nghiƯm hỵp lÝ VÝ dơ: Cho biĨu thøc P = x (víi x 0) ≥ x +1 x ⇔ P ( x + 1) = x ⇔ P.x − x + P = (1) x +1 x = y (§K: y ≥ ) phơng trình (1) trở thành: P y − y + P = Gi¶i: Ta có : P = Đặt: (2) a = b Phơng trình (2) có nghiệm a ≠ ∆ ' ≥ Trêng hỵp a = P = ⇔ ⇔ P=0 b ≠ − ≠ P ≠ P ≠ a ≠ P ≠ ⇔ ⇔ ⇔ 2 ∆ ' ≥ − ≤ P ≤ P ≤ ( − 3) − P ≥ Để biểu thức P nhận giá trị nguyên P = − 3; −2; −1; 0; 1; 2; Trêng hỵp { } { } x ≥ P = nên ta có P = 0; 1; 2; x +1 x Víi P = ⇔ = ⇔ x = ⇔ x = (TM§K) x +1 x Víi P = ⇔ = ⇔ x = x + ⇔ x − x + = ⇔ x = 17 ± 12 (TM§K) x +1 x ± (TM§K) Víi P = ⇔ = ⇔ x = x +1 ⇔ x − x +1 = x = x +1 Mặt khác: Với x trờng THCS Mà Thành yên thành nghệ an rút gọn biểu thức chứa biến ===@@@===GV biên soạn: Ngun B¸ Phóc Víi P = ⇔ x = ⇔ x = x + ⇔ x − x + = ⇔ x = (TM§K) x +1 7± ,x= VËy víi x = 0, x = 1, x = 17 ± 12 biểu thức P nhận giá trị nguyên Dạng Bài toán tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P a) Khái niệm: +) Nếu P(x) m (m số) m gọi giá trị nhỏ P(x) +) NÕu P(x) ≤ k (k lµ h»ng sè) k gọi giá trị lớn P(x) b) Cách giải: Loại Trờng hợp phân thức có d¹ng P= a x +b c x +d Bíc Biến đổi biểu thức P dạng: P= m+ n (m, n ∈ Z, f(x) lµ biĨu thøc chøa x) f (x ) Bíc BiƯn ln: Trêng hỵp n > +) P đạt giá trị lớn f(x) đạt giá trị nhỏ +) P đạt giá trị nhỏ f(x) đạt giá trị lớn n phải đạt giá trị lớn tức f(x) phải đạt giá trị nhỏ f (x ) n Còn để P đạt giá trị nhỏ phải đạt giá trị nhỏ tức f(x) phải đạt giá trị lớn nhất) f (x ) (Vì: Để P đạt giá trị lớn Trêng hỵp “ n < 0” +) P đạt giá trị lớn f(x) đạt giá trị lớn +) P đạt giá trị nhỏ f(x) đạt giá trị nhỏ Bớc Tiến hành tìm giá trị nhỏ lớn f(x) để có đợc giá trị lớn nhỏ P Bớc Tìm điều kiện để xảy dÊu “=” Bíc KÕt ln VÝ dơ 1: Cho P = Gi¶i: Ta cã: P = x +3 x +1 x +3 x +1 (víi x = ≥ 0) Tìm giá trị lớn P ( x + 1) + x +1 = x +1 = 1+ x +1 x +1 Ta thÊy: V× ë n = > nên: Để P đạt giá trị nhỏ x + phải đạt giá trị lớn Vì: x x + ≥ DÊu “=” x¶y x = Giá trị nhỏ x + Giá trị lớn P lµ: +3 +1 x +1 + = Vậy: Giá trị lớn P 3, đạt đợc x = Ví dụ 2: Cho M = Gi¶i: Ta cã: M = x −1 (víi x 0) Tìm giá trị nhỏ M x +2 x − ( x + 2) − x +2 −3 = = + = 1+ x +2 x +2 x +2 x +2 Ta thÊy: V× n = - < nên: Để M đạt giá trị nhỏ x +2 x + phải đạt giá trị nhỏ x ≥0⇒ x + ≥ DÊu “=” x¶y x = Giá trị nhỏ x + Vì: Giá trị lín nhÊt cđa M lµ: −1 0+2 =− trờng THCS Mà Thành yên thành nghệ an rót gän biĨu thøc chøa biÕn ===@@@===GV biªn soạn: Nguyễn Bá Phúc , đạt đợc x = a.x + b Loại II Trờng hợp phân thức có dạng P = c x +d Vậy: Giá trị nhỏ M Bớc Biến đổi biểu thức P dạng: k ± f ( x) + + m ( f (x) lµ biĨu thøc chøa biÕn x vµ k ; f ( x) > ) f ( x) k Bớc áp dụng bất đẳng thức Cô - sy cho hai số dơng f (x) từ tìm đợc giá trị lớn giá trị nhỏ f (x ) P= biểu thức P Bớc Tìm điều kiện để xảy dÊu “=” Bíc KÕt luËn x+3 (víi x 0) Tìm giá trị nhỏ A x +1 x+3 ( x − 1) + ( x + 1)( x − 1) 4 Gi¶i: Ta cã: A = = = + = x −1+ x +1 x +1 x +1 x +1 x +1 = ( x + 1) + + (−2) x +1 áp dụng bất đẳng thức Cô - sy cho hai số dơng ( x + 1) ta đợc: x +1 4 ( x + 1) + ≥ ( x + 1) =2 4=4 x +1 ( x + 1) + ( −2) ≥ + (−2) = ⇒ ( x + 1) + x +1 ⇒ A ≥ ⇔ ( x + 1) = ⇔ x + = ⇔ x = ⇔ x = DÊu “=” x¶y ( x + 1) = x +1 VÝ dụ 1: Cho A = Vậy: Giá trị nhỏ A 2, đạt đợc x = x + 12 (với x 0) Tìm giá trị nhá nhÊt cña B x +2 x + 12 ( x − 4) + 16 ( x + 2)( x − 2) Gi¶i: Ta cã: A = = = + x +2 x +2 x +2 16 = ( x + 2) + + (−4) x +2 VÝ dô 2: Cho B = áp dụng bất đẳng thức Cô - sy cho hai sè d¬ng ( x + 2) + ⇒ ( x + 2) + ⇒ A ≥ DÊu “=” x¶y 16 x +2 x +2 ≥ ( x + 2) ( x + 2) vµ 16 ( x + 2) 16 x +2 16 x +2 = x −2+ 16 x +2 ta ®ỵc: = 16 = + ( −4) ≥ + (−4) = ( x + 2) = 16 x +2 ⇔ ( x + 2) = 16 x +2=4 x =2 x=4 Vậy: Giá trị nhỏ A 4, đạt đợc x = Dạng Phơng trình dạng ax + b x + c = (1) (a, b, c lµ số cho trớc a 0) trờng THCS Mà Thành yên thành nghệ an 10 rút gọn biểu thức chứa biến ===@@@===GV biên soạn: Nguyễn Bá Phúc a) Cách giải: Bớc Đặt x = y (*) (ĐK: y 0) Để đa phơng trình (1) dạng phơng trình bậc hai có ẩn y a.y2 + b.y + c = (2) Bíc Giải phơng trình (2) để tìm đợc y Bớc Thay y vừa tìm đợc vào hệ thức (*) để tìm đợc x b) Chú ý: +) Để phơng trình (1) có nghiệm phân biệt phơng trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt không âm > b >0 Tức là: Phơng trình (2) ph¶i cã: a c a ≥ +) Để phơng trình (1) có nghiệm phân biệt phơng trình (2) phải có hai nghiệm trái dấu, phơng trình (2) phải có nghiệm kép không âm, phơng trình (2) phải có nghiệm âm nghiệm không Tức là: Phơng trình (2) phải có (3 trờng hợp): Trờng hợp Phơng trình (2) cã hai nghiƯm tr¸i dÊu ⇔ a.c < = Trờng hợp Phơng trình (2) có nghiệm kép không âm b 2a ≥ ∆ > − b m ≠ m > − b > ⇔ 2(m − 1) > ⇔ m > (Không tồn m) a 2m ≥ c m ≤ ≥0 a Vậy giá trị m để phơng trình (1) có hai nghiệm 2) Để phơng trình (1) có nghiệm phơng trình (2) phải có hai nghiệm trái dấu phơng trình (2) phải có nghiệm kép không âm, phơng trình (2) phải có nghiệm âm nghiệm Trờng hợp Phơng trình (2) có hai nghiệm trái dÊu: a.c < ⇔ – 2m < ⇔ m > ∆ ' = m = m = ⇔ ⇔ Trêng hợp Phơng trình (2) có nghiệm kép không âm b (Không tồn m) m m − ≥ 2a ≥ Trờng hợp Phơng trình (2) có nghiệm âm nghiệm không: > m ≠ m > − b m ≤ ⇔ < ⇔ 2(m − 1) < ⇔ m < ⇔ a 1 − 2m = m ≠ c m ≤ =0 a Kết hợp trờng hợp ta đợc m Vậy với m phơng trình (1) có nghiệm C Bµi tËp x +1 x + ÷: 1 + ÷ ÷ x x −1 x − x Bµi Cho biĨu thøc A = a) Tìm ĐKXĐ rút gọn A b) Tìm giá trị x để A > c) Tìm giá trị nhỏ biểu thøc M = A x x > ( ) x +1 x −1 Bµi Cho biĨu thøc B = x − ÷ x −1 x + x + ÷ x a) Tìm ĐKXĐ rút gọn B b) Tìm giá trị x để biểu thức B nhận giá trị âm c) Tìm giá trị x thoả mÃn điều kiện B = x 1 a + ÷: a +1 a + a +1 a+ a Bµi Cho biểu thức C = a) Tìm ĐKXĐ rút gọn C b) Tính giá trị biểu thức C a = 25 C > 1 1 + Bµi Cho biĨu thøc D = ÷: + ÷ x 3 x −6 x−2 x c) T×m giá trị a thoả mÃn điều kiện a) Tìm ĐKXĐ rút gọn D c) Tìm giá trị x để b) Tìm giá trị nguyên x để D nhận giá trị nguyên D = D ( ) x x +1 x x − x +1 + ÷ x −1 ÷ x− x x x +1 Bµi Cho biĨu thøc E = a) Tìm ĐKXĐ rút gọn E b) Tìm giá trị nguyên x để E nhận giá trị nguyên c) Tìm giá trị x ®Ĩ E = − E trêng THCS M· Thành yên thành nghệ an 12 rút gọn biểu thức chứa biến ===@@@===GV biên soạn: Nguyễn Bá Phúc 1 x−4 − ÷ x−2 x x Bµi Cho biĨu thøc F = a) Tìm ĐKXĐ rút gọn F b) Tìm giá trị x để F = c) Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc M = 3.F 1 − ÷: x +1 x − x +1 x −1 Bµi Cho biểu thức P = a) Tìm ĐKXĐ rút gọn P b) Tìm giá trị x để P >P c) Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc P x +1 x − ÷ + ÷ x −1 x x− x Bµi Cho biểu thức Q = a) Tìm ĐKXĐ rút gọn Q b) Tìm giá trị x để Q = x −1 x x +1 nhận giá trị nguyên dơng x Q c) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức N = x x −1 x x + − ÷: x + ÷ ÷ x+ x x x− x Bµi Cho biểu thức S = a) Tìm ĐKXĐ rút gọn S b) Tìm giá trị x ®Ó S2 = x −2 x + ( 1− x) Bµi 10 Cho biĨu thøc: H = x − − x + x + ữ ữ a) Tìm tập xác định rút gọn H S c) So sánh S với b) Tính giá trị cña H x = + c) So s¸nh H víi x + 1 x +1 + ÷: x − x x x Bài 11 (2 điểm) Cho biĨu thøc P = ( ) a) T×m điều kiện xác định rút gọn P b) Tìm x ®Ĩ P > x Bài 12 (3 điểm) Cho biểu thức A = x − − x − x ÷: x ữ a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x để A < c) Tìm tất giá trị tham số m để phơng trình A x = m x có nghiệm + ÷: x +1 x x Bài 13 (3 điểm) Cho biểu thức P = a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức P c) Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc M = Bµi 14 (2 điểm) Cho biểu thức A = b) Tìm giá trị x để P = x + 12 x +1 P x x +1 x x x +1 a) Tìm điều kiện xác định rút gọn A c) Tìm tất giá trị x để A < Bµi 15 Cho biĨu thøc : A = + x −1 a) Tìm ĐKXĐ rút gọn A b) Tính giá trị cđa biĨu thøc A x = .1 − x + 1 x b) Tính giá trị biểu thức A x = – 2 trêng THCS M· Thµnh yên thành nghệ an 13 rút gọn biểu thức chứa biến ===@@@===GV biên soạn: Nguyễn Bá Phúc x +1 x −1 .1 + − x −1 x +1 x c) Tìm giá trị x để x.A = Bµi 16 Cho biĨu thøc : B= a) Tìm ĐKXĐ rút gọn B b) Tính giá trị biểu thức A x = + Bài 17 ( điểm ) Cho biĨu thøc : C = a) Rót gän C a +3 a −2 a −1 − a +2 + c) Tìm giá trị x để B = a −4 (Víi a > vµ a 4) 4a b) Tính giá trị C víi a = Bµi 18 Cho biĨu thøc : D = x +2 x − x +1 , x + x + − x − x a) Tìm ĐKXĐ rút gọn D b) Tìm số nguyên x lớn để D có giá trị nguyên 1 1 + : + Bài 19 ( 2,5 điểm ) Cho biểu thøc : N = 1− x 1+ x 1− x 1+ x 1− x a) Rót gän biĨu thøc N b) TÝnh giá trị N x = + c) Với giá trị x N đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ ®ã Bµi 20 (2,5 ®iĨm) Cho biĨu thøc : H = a a −1 a a +1 a + a− a − a+ a : a2 a) Tìm ĐKXĐ Rút gọn biểu thức H b) Với giá trị nguyên a biểu thức H nhận giá trị nguyên x +2 : x −1 x + x + a) Rót gän biĨu thøc Q b) Tính giá trị Q x = + x −1 x + 1 x − − − Bµi 22 Cho biÓu thøc: D = : x +1 x −1 1 − x x + x −1 Bài 21 ( điểm ) Cho biểu thức: Q = 2 x + x x x −1 − b) Chøng minh r»ng D < với giá trị x a) Tìm §KX§ vµ rót gän D 5x x −1 − − : + 2x 4x − 1 − 2x 4x + 4x + 1 a) Tìm ĐKXĐ rút gọn C b) Tìm giá trị x để C = − x x : Bµi 24 Cho biĨu thøc : F = 1 + x −1 − x x + x − x −1 −1 x +1 Bµi 23 Cho biĨu thøc: C = a) Tìm ĐKXĐ rút gọn F Bài 25 Cho biểu thức: P = b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức F a + a a − a 1 + .1 − a +1 a −1 a) Tìm ĐKXĐ rút gọn P Bµi 26 Cho biĨu thøc: M = x nhËn giá trị nguyên b) Tìm a biết P > x+2 x −4 − x: 1− x − x +1 − c) T×m a biÕt P = a x x + a) Tìm ĐKXĐ rút gọn M b) Tìm x để M < c) Tìm x để biểu thức M đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Bài 27 (2 ®iĨm) Cho biĨu thøc: M = 1− x 1− x − 1− ( x) 1+ x + x (víi x ≥ vµ x ≠ 1) trêng THCS Mà Thành yên thành nghệ an 14 rút gọn biểu thức chứa biến ===@@@===GV biên soạn: Nguyễn Bá Phúc b) Tìm x để M a) Rút gän biÓu thøc M x −4 x +2 x : − − x−2 x 2− x x x −2 a) Rót gän P b) T×m x ®Ĩ P = 3x – x c) T×m giá trị a để có x thoả mÃn ®iỊu kiƯn: P x + > x + a Bµi 28 Cho biĨu thøc: P = ( Bµi 29 Cho biÓu thøc: A = 1 x +1 − : − x x −2 x −1 ) x + x a) Tìm điều kiện xác định rút gọn P b) So sánh A với c) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên dơng d) Tìm giá trị tham số m để phơng trình A.x = m có nghiệm Bài 30 Cho biÓu thøc: M = x −1 x +1 − x +1 . x − x −1 x a) Tìm điều kiện xác định rút gọn M c) Tìm giá trị x để: M x < Bµi 31 Cho biĨu thøc: P = x+2 x x −1 x +1 + b) Chøng minh r»ng M > với giá trị x thuộc tập xác định d) Tìm giá trị tham số m để phơng trình M = 2m có hai nghiệm + x + x +1 1− x a) T×m điều kiện xác định rút gọn P b) Chứng minh P < với giá trị x thuộc tập xác định c) Tìm giá trị tham số m để phơng trình m.P = có nghiệm Bài 32 (3 điểm) Cho biÓu thøc: E = + x −1 a) c) x2 −1 − x2 x +1 Tìm điều kiƯn cđa x ®Ĩ biĨu thøc E cã nghÜa Giải phơng trình A = x theo ẩn x Bµi 33 Cho biĨu thøc: F = c) Rót gän biÓu thøc E 3+ x 3− x 4x x +2 3− x − 3+ x − x −9:3− x − x x a) Tìm ĐKXĐ rút gọn F b) Tìm giá trị x để: F > F c) Tìm giá trị x để F2 = 40F Bài 34 Cho biểu thức: P = x x −3 x + + − x −2 x − x: x a) Rót gän P b) Tìm giá trị x để P > x +1 : P x x +x+ x x x a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức M Bài 36 (2 điểm) Cho biểu thức : A = c) Tính giá trị nhỏ x – 3).P = 12m x – d) T×m giá trị m để có giá trị x > thoả mÃn: m( Bài 35 (3 điểm) Cho biểu thøc: M = x −4 x −2 1+ 1− a 1− a + 1− a b) Coi M hàm số biến x vẽ đồ thi hµm sè M + 1− 1+ a 1+ a − 1+ a + 1+ a a) Tìm ĐKXĐ rót gän biĨu thøc A b) Chøng minh r»ng biểu thức A nhận giá trị dơng với a thuộc ĐKXĐ trờng THCS Mà Thành yên thành – nghƯ an 15 rót gän biĨu thøc chøa biÕn ===@@@===GV biên soạn: Nguyễn Bá Phúc 3+ x 2+ x 2− x 4x 2− x + x −2 x : 2− x − 2+ x − x −4 x3 a) Tìm ĐKXĐ rút gọn B b) Cho = 11 HÃy tính giá trị B 4x Bµi 37 Cho biĨu thøc: B = a+3 a +2 a+ a 1 − + : a −1 a +1 a −1 a + a −1 ( Bµi 38 Cho biểu thức: E = )( ) a) Rút gọn E a +1 − ≥ E x −1 x x − x − : − − x +1 x −1 x −1 b) Tìm a để: x +1 x −1 − Bµi 39 Cho biÓu thøc: Q = x −1 a) Tìm ĐKXĐ rút gọn Q b) Tính giá trÞ cđa biĨu thøc Q x = + 2 c) Chøng minh r»ng: Q ≤ với giá trị x thoả mÃn điều kiện x ≥ vµ x ≠ a Bµi 40 (2 ®iĨm) Cho biĨu thøc: N = a) Rót gän biĨu thøc N Bµi 41 : Cho biĨu thøc H = ( ) a −1 a+ (víi a, b > vµ a ab ≠ b) a = + vµ b = − ( b) Tìm tất giá trị a ®Ĩ M < ) a −1 − ( ) − a −1 a a c) Tìm giá trị lớn M + a −1 b) So s¸nh P víi biĨu thøc Q = Bµi 43 Cho biĨu thøc A = a −1 a −1 a −a−3 a +1 a −1 a : − − − a −1 a −1 a −1 a + a −1 a) Rót gän A Bµi 44 : Cho biĨu thøc A = b) So s¸nh A víi 2x + x − 2x x + x − x x − x 1+ − 1− x x −1 1− x x a) Rút gọn A b) Tìm x để A = 6− c) Chøng tá A ≤ bất đẳng thức sai x x x +1 x +2 : + + x − 2x − x + x + x x − 1 a) Rót gän P b) Chứng minh P > d) Tìm giá trị x để: Bài 46 : Cho biểu thøc P = a) Rót gän P ab − a a+b b) Tính giá trị N khi: a) Rót gän P Bµi 45 Cho biĨu thøc P = b a − 25a 25 − a a −5 a + 2 a − 25 − 1 : a + a − 10 − − a − a + a) Rót gän M Bµi 42 Cho biĨu thøc P = ab + b + ( )( c) Tính giá trị P, biết ) x + x = (2 x + 2) P + = x + 2 − x − x (1 − x ) 1+ x − x x 1+ x x : + x . − x 1+ x − x b) Xác định giá trị cđa x ®Ĩ (x + 1).P = x – 1 x+3 − c) BiÕt Q = T×m x để Q đạt giá trị lớn P x trờng THCS Mà Thành yên thành nghệ an 16 rút gọn biểu thức chứa biến ===@@@===GV biên soạn: Nguyễn B¸ Phóc xy x + xy y xy xy : + x + xy y + xy x+ y Bµi 47 Cho biĨu thøc P = + a) Rót gän P b) Tìm m để phơng trình P = m có nghiệm x, y thoả mÃn Bài 48 Cho biÓu thøc P = x + y = 2x x + x − x x + x x −1 x − 2x + x − + x − x −1 x x −1 a) Rót gän P b) Tìm giá trị lớn biểu thức A = P x x+ x c) Tìm giá trị m để x > thoả mÃn ®iỊu kiƯn: P x + x + − > m.( x − 1) + x ( Bµi 49 Cho biÓu thøc: P = ) x −2 x + − x x − x + x −1 : x −1 − x −1 a) Rót gän P b) T×m x để P < c) Tìm x để P đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ ®ã x +2 x +3 x + 2 x x − x + − − x − x − : − x + 1 a) Rót gän P b) Tìm x để: P x+ x −3 x +3 x −2 Bµi 51 Cho biĨu thøc: P = + − x+ x −2 x +2 x −1 15 a) Rót gän P b) T×m x ®Ó P < x+ x −3 x +1 x −2 Bµi 52 Cho biĨu thøc: P = − + − 1 x+ x −2 x +2 x 1− x Bµi 50 Cho biÓu thøc: P = ( ) ( ) a) Tìm ĐKXĐ rút gọn P b) Tìm giá trị x nguyên để P nguyên ; Bài 53 Cho biĨu thøc P = a) Rót gän P x x5 x +6 c) Tìm giá trị cđa x ®Ĩ P = x +3 x −2 − x +1 x b) Tìm giá trị x để P < Bài 54 1) Cho biĨu thøc: M = 40 − 57 − Bµi 55 Cho biĨu thøc: N = c) Tính giá trị M a = x −1 2+ 40 + 57 b) Tìm giá trị a để N = - 2010 Bài a) ĐKXĐ: x > x Kết rót gän: A = x ∈ Z ®Ĩ P ∈ Z a + a a − a 1 + 1 − a + a −1 a) Rót gän biĨu thức N D đáp số b) A > c) T×m x + 1− a : + 1 1+ a 1− a2 a) Tỡm ĐKXĐ rỳt gn biu thc M 2) Tính : x >0⇔ x −1 > ⇔ x x −1 x >1⇔ x >1 trêng THCS M· Thµnh yên thành nghệ an 17 rút gọn biểu thức chứa biến ===@@@===GV biên soạn: Nguyễn Bá Phúc c) M = A x x= x −1 ( x − 1) + x −1 = x −1 x −1 + x −1 = x +1+ = ( x − 1) + x −1 x − > nên áp dụng BĐT Cô-sy Cho số dơng ( x 1) Vì x > th× ( x − 1) + = x −1 ≥ ( x − 1) DÊu “=” x¶y ( x − 1) = ( x − 1) = ⇒ ( x − 1) + x −1 x −1 x −1 +2 ta ®ỵc: +2≥ 2+2 = ⇒ M ≥ x −1 = x = (TM ) ⇔ ( x − 1) = ⇔ ⇔ x −1 x = ( Loai ) x − = −1 VËy GTNN biểu thức M 4, đạt đợc x = 1 vµ x ≠ KÕt qu¶ rót gän: B = x −1 < ⇔ x −1 < ⇔ x < x < b) B nhận giá trị ©m ⇔ B < ⇔ x −1 KÕt hợp với ĐKXĐ ta đợc x < vµ x ≠ x x c) B = ⇔ = ⇔ x ( x − 1) = ⇔ x − x − = ⇔ ( x + 1)( x − 2) = 2 x Bài 2.a) ĐKXĐ: x 0;x x −2=0⇔ x = ⇔ x = (TM§K) a + Bài a) ĐKXĐ: a > KÕt qu¶ rót gän: C = a b) Khi a = th× C = 36 25 c) a +1 >2⇔ C >2⇔ a a +1 a >2⇔ a +1 a >2⇔ a +1 a −2>0⇔ 1− a a >0 ⇔ − a > ⇔ a < ⇔ a < Kết hợp với ĐKXĐ ta đợc: < a < Bài a) ĐKXĐ: x > x Kết rút gän: D = x −2 b) Ta cã D nguyên x phải ớc ⇔ x = 1; x = 9; x = 16 x −2 ≥ ⇔ x − > ⇔ x > (TM§KX§) c) D = D ⇔ D ≥ ⇔ x −2 Bµi a) ĐKXĐ: x > x b) Ta cã E = ( x − 1) + = 1+ x −1 c) E = − E ⇔ E Bài a) ĐKXĐ: x > x x x x phải lµ íc cđa ⇔ x = x − < ⇔ x < KÕt hỵp với ĐKXĐ ta đợc < x < KÕt qu¶ rót gän: F = F = V× F = F = −1 b) F = ⇔ x x −1 1 E nguyªn nguyªn ⇔ x −1 x −1 ≠ KÕt qu¶ rót gän: E = x +2 3x x +2 >0 3x trêng THCS M· Thµnh – yên thành nghệ an 18 rút gọn biểu thức chứa biến ===@@@===GV biên soạn: Nguyễn Bá Phúc x +2 = ⇔ 3x = 3x ⇒ F = 1⇔ ⇔ x = (TM§KX§) 1 = = c) M = 3.F x +2 3x x + ⇔ 3x − x − = ⇔ ( x − 1)( x + ) = ⇔ x ( x − 4) + = x +2 = x +2 áp dụng BĐT Cô - Sy cho số dơng ( x + 2) x −2+ = ( x + 2) + x +2 ta đợc: ( x + 2) + x +2 + (−4) ≥ + (−4) = x +2 DÊu “=” x¶y ( x + 2) = ⇔ ( x + 2) = ⇔ x +2 x −1 = + (−4) x +2 ≥4 x +2 ⇒ ( x + 2) + x +2= x =0 Vậy giá trị nhỏ M đạt đợc x = Bài a) ĐKXĐ: x x ≠ 1.KÕt qu¶ rót gän: P b) P > P ⇔ P < ⇔ x −1 vµ x b) Ta cã Q = x −1 x ⇔ ≠ KÕt qu¶ rót gän: Q = x −1 x = x −1 x x −1 x ⇔ x −1 = x −1 ⇔ x − x = ⇔ x ( x − 2) = x =0 x = (loai ) ⇔ ⇔ x = (TMDK ) x =2 x +1 x +1 3 = = c) N = nguyªn ⇔ x − phải ớc x Q x x −1 x − N nguyªn x −1 x ⇔ x = 4; x = 16 (TM§K) Víi x = N = (thoả mÃn), Với x = 16 N = (thoả mÃn) x = 4; x = 16 x x +1 S = 4 2 b) Ta cã: S = S ⇔ S − S = ⇔ S ( S − ) = ⇔ S = 5 5 Bµi a) ĐKXĐ: x > x TH1 S = ⇔ ≠ KÕt qu¶ rót gän: S = x =0⇔2 x =0⇔ x +1 x = ⇔ x = (lo¹i) + 17 21 + 17 x = (TM ) x= x 4 ⇔ = ⇔ x = 2( x + 1) ⇔ x − x + = ⇔ ⇔ TH2 S = x +1 5 − 17 x = 21 − 17 (TM ) x= trêng THCS M· Thành yên thành nghệ an 19 rút gọn biểu thức chứa biến ===@@@===GV biên soạn: Nguyễn Bá Phúc x x x + x − ( x + 1) − ( x − x + 1) − ( x − 1) −1 = − = = = < ⇒ S x b) Thay P > ⇔ 1− x x x −1 c) A x = m − x ≠ KÕt qu¶ rót gän: P = > ⇔ 1− x > Bài 12 a) ĐKXĐ: x > x b) A < ⇔ ( + 1) − (4 + ) = − ( + 1) 1− x x x < x < Kết hợp với ĐKXĐ ta ®ỵc < x < ≠ KÕt qu¶ rót gän: A = x −1 x < ⇔ x − < ⇔ x < Kết hợp với ĐKXĐ ta đợc < x < x ⇔ x − = m − x ⇔ x + x − (m + 1) = (1) Đặt x = y (ĐK: y > y ) Khi phơng trình (1) trë thµnh: y + y − (m + 1) = (2) Để phơng trình (1) có nghiệm phơng trình (2) phải có nghiệm dơng khác > − b m + > >0 − > a ⇔ ⇔ TH1 Phơng trình (2) có hai nghiệm phân biệt dơng khác (VN) c > (m + 1) > a 1 − m ≠ f (1) ≠ c − (m − 1) < 1 TH2 Phơng trình (2) có hai nghiệm trái dấu khác ⇔ a 1 − m ≠ f (1) ≠ ∆ = m + > − b > > (VN) TH3 Phơng trình (2) nghiệm kép dơng khác 2a f (1) ≠ 1 − m ≠ ∆ > − b m + > >0 − > a TH4 Phơng trình (2) có nghiệm nghiệm dơng khác (VN) c = − (m + 1) = a 1 − m ≠ f (1) ≠ Kết hợp Trờng hợp ta có m > Bài 13 a) ĐKXĐ: x b) P = ⇔ ≥ vµ x ≠ KÕt qu¶ rót gän: P = x +2 = x +2 x +1 ⇔ 4( x + 2) = 5( x + 1) ⇔ x = ⇔ x = (TM§KX§) x +1 x + 12 x + 12 x + x + 12 ( x − 4) + 16 16 c) M = = = = = x −2+ = ( x + 2) + x +1 P x +1 x + x +2 x +2 x +2 trêng THCS M· Thµnh yên thành nghệ an 16 x +2 20 rút gọn biểu thức chứa biến ===@@@===GV biên soạn: Nguyễn Bá Phúc 16 áp dụng BĐT Cô-sy Cho số dơng ( x + 2) ( x + 2) + x +2 ≥ ( x + 2) DÊu “=” x¶y ( x + 2) = 16 ( x + 2) ta đợc: x +2 =8⇒ M ≥ x +2=4 ⇔ ( x + 2) = 16 ⇔ ⇔x=4 x +2 x + = −4 (loai ) 16 Vậy GTNN biểu thức M 4, đạt đợc x = Bài 14 a) ĐKXĐ: x x x Kết rút gọn: A = x −1 = = =3 −1 −1 2 x x c) A < ⇔ x Kết rót gän: A = x +1 2 = = = 2( + 1) b) Thay x = − 2 = ( − 1) vào biểu thức A ta đợc A = 2 −1 ( − 1) b) Thay x = vào biểu thức A ta đợc A = x =2 = ⇔ x = 4( x + 1) ⇔ 3x − x − = ⇔ ⇔ x = (TM§K) x +1 x = − (loai ) Bài 16 a) ĐKXĐ: x > x Kết rút gän: B = x −1 4 = = = 2( − 1) b) Thay x = + = ( + 1) vµo biểu thức B ta đợc B = +1 +1 ( + 1) c) x A = ⇔ c) B = ⇔ 2x x Bài 17 a) ĐKXĐ: a = = x −1 ⇔ ≥ vµ a ≠ C = x = ⇔ x = 25 (TM§K) a +3 − a −1 + a −4 = 4−a a +3 − a −1 − a −4 a−4 a −2 a +2 a −2 a +2 ( a + 3)( a + 2) ( a − 1)( a − 2) a −4 = − − ( a + 2)( a − 2) ( a + 2)( a − 2) ( a + 2)( a − 2) = b) Thay a = C ta đợc C = Bài 18 a) ĐKXĐ: x > x a+5 a +6 ( a + 2)( a − 2) 4 = =4 −2 − a−3 a +2 ( a + 2)( a − 2) ≠ KÕt qu¶ rót gän: D = − a −4 ( a + 2)( a − 2) = a −2 x −1 trêng THCS M· Thµnh – yên thành nghệ an 21 rút gọn biểu thức chứa biến ===@@@===GV biên soạn: Nguyễn Bá Phúc x = (TM ) x − = x − = x = (TM ) x = ⇔ b) Ta cã D nguyên nguyên x ớc ⇔ x = −1 (loai ) ⇒ x = ⇒ x = x − = −2 x −1 x = (loai ) x − = −1 C¸ch D = ⇔ D( x − 1) = ⇔ D.x = D + (*) x TH1 Nếu D = phơng trình (*) vô nghiệm TH1 Nếu D phơng trình (*) x = Bài 19 a) ĐKXĐ: x > vµ x D+2 = + Để x số nguyên lớn D =1 ⇒ x = D D ≠ KÕt qu¶ rót gän: N = b) Thay x = + = ( + ) vào N ta đợc N = 1 (2 + ) = 2+ = 2+ c) N = x − x 1 1 − (x − x + ) + − ( x − )2 + 4 1 1 ≥ =4⇒ N ≥4 V×: − ( x − ) + ≤ ⇒ DÊu “=” x·y 1 −( x − ) + 4 4 Vậy giá trị nhỏ N đạt ®ỵc x = a a −1 a a +1 a + Bµi 20 (2,5 ®iÓm) Cho biÓu thøc : H = a− a − a+ a : a−2 = x−x = 2− = x− 1 =0⇔ x= a) Tìm ĐKXĐ Rút gọn biểu thức H b) Với giá trị nguyên a biểu thức H nhận giá trị nguyên a) §KX§ a > ; a ≠ vµ a ≠ a a − a a + a + ( a − 1)(a + a + 1) ( a + 1)(a − a + 1) a − − a− a − a+ a : a−2 = a ( a − 1) a ( a + 1) a+2 ( a + a + 1) ( a − a + 1) a + 2 a a − 2a − = − = = a+2 a a a a+2 a+2 2a − (2a + 4) − 2(a + 2) 8 b) H = Để H nguyên a + phải lµ íc cđa = = − = 2− a+2 a+2 a+2 a+2 a+2 a = −1 (loai) a + = a + = −1 a = −3 (loai ) a = (loai ) a + = a = −4 (loai ) a + = −2 ⇔ ⇔ ⇔a=6 a + = a = (loai ) a + = −4 a = −6 (loai ) a + = a = (TM ) a + = −8 a = −10 (loai ) H= trờng THCS Mà Thành yên thành nghệ an 22 rút gọn biểu thức chứa biến ===@@@===GV biên soạn: Nguyễn Bá Phúc trờng THCS Mà Thành yên thành – nghÖ an 23 .. .rút gọn biểu thức chứa biến ===@@@===GV biên soạn: Nguyễn B¸ Phóc Rút gọn biểu thức chứa biến NGun b¸ phúc - GV: Trờng THCS Mà thành Trong chơng trình Toán lớp 9, việc rút gọn biểu thức vấn đề. .. m B m.B 3) Bài TOáN rút gọn biểu thức a) Cách giải: Bớc Tìm ĐKXĐ biểu thức đà cho Bớc Quy đồng mẩu thức phân thức, thực phép toán cộng, trừ, nhân, chia phân thức để đa biểu thức đà cho dạng đơn... M· Thµnh yên thành nghệ an 12 rút gọn biểu thức chứa biến ===@@@===GV biên soạn: Nguyễn Bá Phúc 1 x−4 − ÷ x−2 x x Bài Cho biểu thức F = a) Tìm ĐKXĐ rút gọn F b) Tìm giá trị x để F = c)