Quy đồng mẩu thức các phân thức, rồi thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân thức để đa biểu thức đã cho về dạng đơn giản hơn.. Chú ý: Trong trờng hợp nếu bài toán cha c
Trang 1Tr
phòng GD & ĐT huyện yên thành
trờng THCS Mã Thành
tài liệu ôn tập thi vào lớp 10 PTTH
(Lu hành nội bộ)
Ruựt goùn bieồu
thửực chửựa bieỏn
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Bá Phúc
Ruựt goùn bieồu thửực chửựa bieỏn
NGuyễn bá phúc - GV: Trờng
THCS Mã thành
Trong chơng trình Toán lớp 9, việc rút gọn các biểu thức là vấn đề vô cùng quan trọng (chiếm khoảng từ 1,5 đến 3,5 điểm trong các kì thi), vì thế, mà tôi muốn giới thiệu bài Toán này tới bạn
đọc Mong các bạn hiểu sâu hơn và nắm vửng cách làm về dạng Toán này
A Lí thuyết.
Trang 21) Bài Toán quy đồng mẩu thức các phân thức
Trong chơng trình lớp 8, SGK đã giới thiệu cho chúng ta phơng pháp quy đồng mẩu thức các phân thức nh sau
B ớc 1 Tìm mẩu thức chung (MTC)
Trong bớc này các em cần làm các việc sau:
1) Phân tích các mẩu thức thành nhân tử
2) Lập tích gồm các NTC có số mủ cao nhất và các NT riêng để có MTC
B ớc 2 Tìm NTP của từng phân thức (để tìm NTP các em cần lấy MTC vừa tìm đợc chia cho MT
riêng của từng phân thức)
B ớc 3 Quy đồng (Nhân cả tử và mẩu của từng phân thức với NTP tơng ứng)
Ví dụ 1: Quy đồng mẩu thức các phân thức sau:
a) và b) và c) và
Giải:
a) Đầu tiên ta phải tìm MTC:
Ta có: x2 – 1 = (x – 1)(x + 1
và: x2 – 2x + 1 = (x – 1)2 khi phân tích xong, ta thấy Nhân tử chung là (x – 1), còn nhân tử riêng
là (x + 1)
MTC là: (x – 1)2 (x + 1)
Tìm đợc MTC rồi, ta tiến hành tìm nhân tử phụ (NTP) của từng phân thức:
Để tìm NTP của phân thức , ta lấy MTC là (x – 1)2 (x + 1) chia cho Mẩu thức riêng của nó là (x2
– 1) hay (x – 1)(x + 1)
Vì (x – 1)2 (x + 1) : (x – 1)(x + 1) = x – 1
NTP của phân thức là: (x – 1)
Tơng tự, để tìm NTP của phân thức , ta lấy MTC là (x – 1)2 (x + 1) chia cho Mẩu thức riêng của nó là x2 – 2x + 1 hay (x – 1)2
Vì (x – 1)2 (x + 1):(x – 1)2 = x + 1
NTP của phân thức là: (x + 1)
Công việc còn lại của chúng ta là quy đồng các phân thức đã cho
Để quy đồng mẩu của phân thức ta lấy “tử” và “mẩu”cùng nhân với nhân tử phụ của nó là (x – 1) Tức là:
Tơng tự:
b) Ta có:
MTC là:
+) NTP của phân thức là:
+) NTP của phân thức là:
Và
c) Tơng tự
L u ý : Trớc khi quy đồng nếu phân thức cha tối giản, ta nên tối giản rồi mới quy đồng
Trang 32) Các phép toán trên phân thức.
a) Phép cộng và phép trừ:
+) Cộng trừ hai phân thức cùng mẩu:
+) Cộng trừ hai phân thức khác mẩu:
b) Phép nhân:
c) Phép chia:
3) Bài TOáN rút gọn biểu thức.
a) Cách giải:
Bớc 1 Tìm ĐKXĐ của biểu thức đã cho.
Bớc 2 Quy đồng mẩu thức các phân thức, rồi thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân, chia
các phân thức để đa
biểu thức đã cho về dạng đơn giản hơn
b) Ví dụ: Rút gọn biểu thức: A =
Giải: ĐKXĐ của biểu thức là:
ĐKXĐ của biểu thức là và
Khi đó ta có: A =
B Các dạng toán liên quan.
Dạng 1 Bài toán tìm x để biểu thức P = m (m là hằng số)
Bớc 1 Sử dụng tính chất để làm mất mẩu của phơng trình
Bớc 2 Giải phơng trình vừa thu đợc để tìm đợc x
Bớc 3 Đối chiếu điều kiện và chọn nghiệm hợp lí
Ví dụ 1: Cho A = (với x 0 và x 1) Tìm các giá trị của x để:
a) A = 2 b) A = c) A =
Giải: Ta có:
a) A = 2
x = 4 (TMĐK)
Vậy với x = 4 thì A =2.
Trang 4Vậy không có giá trị nào của x để A =
Vậy với x = thì A = .
Chú ý: Trong trờng hợp nếu bài toán cha cho giá trị của P thì các em cần dựa vào yêu cầu của nó để tìm P rồi tiến hành giải nh bình thờng.
+)
+)
Ví dụ 2: Cho P = (với x 0 và x 4) Tìm các giá trị của x để:
a) b) c)
Giải:
a) Ta có:
Vậy với x = 25 thì .
b) Ta có:
Vậy với x = 64 thì .
b) Ta có:
Trờng hợp 2 Với
(TM)
Vậy với x = 1 thì .
Dạng 2 Bài toán tìm x để biểu thức P < m hoặc P > m, hoặc P m, hoặc P m (với m là
hằng số)
Bớc 1 Chuyển m sang vế trái, để vế phải bằng 0
Bớc 2 Quy đồng mẩu thức các phân thức rồi làm gọn vế trái
Bớc 3 Xác định dấu của tử hoặc mẩu của vế trái, từ đó có đợc một bất phơng trình đơn giản (không chứa mẩu)
Bớc 3 Giải bất phơng trình trên để tìm đợc x
Trang 5Ví dụ: Cho A = (với x 0) Tìm các giá trị của x để:
a) A > b) A < c) A
Giải: Ta có: a) A > (vì )
(TMĐK) Vậy với x > 4 thì A > b) A < (vì )
Kết hợp với điều kiện xác định ta đợc 0 x < Vậy với 0 x < thì A < c) A (vì )
Kết hợp với điều kiện xác định ta đợc 0 x 9 Vậy với 0 x 9 thì A .
Chú ý: +) +)
+)
+)
+)
a) b) c) d)
Giải:
Kết hợp với điều kiện xác định ta đợc:
b) Ta có: (thoả mãn ĐKXĐ)
Trang 6
Kết hợp với điều kiện xác định ta đợc:
d) Ta có:
(không tồn tại x)
Dạng 3 Bài toán so sánh biểu thức P với m (m là hằng số)
Bớc 1 Tính P – m = ?
Bớc 2 Nhận xét dấu của hiệu P – m để có kết quả so sánh
+) Nếu P – m > 0 thì P > m
+) Nếu P – m < 0 thì P < m
+) Nếu P – m = 0 thì P = m
Ví dụ: Cho P = (với x > 0) Hãy so sánh P với 1
Giải: Ta có: P – 1 =
Vì < 0 P – 1 < 0 P < 1
Dạng 4 Bài toán Chứng minh biểu thức P < m (m là hằng số) với mọi giá trị của x thuộc
ĐKXĐ.
Bớc 1 Tính P – m = ?
Bớc 2 Nhận xét dấu của hiệu P – m để có điều phải chứng minh
+) Nếu P – m > 0 thì P > m
+) Nếu P – m < 0 thì P < m
+) Nếu P – m = 0 thì P = m
Ví dụ: Cho P = (với x > 0) Chứng minh rằng: P > 1 với mọi giá trị của x > 0
Giải: Ta có: P – 1 =
Vì với x > 0 thì > 0 > 0 P – 1 > 0 P > 1 (đpcm)
Dạng 5 Bài toán tìm x để biểu thức P nhận giá trị nguyên (nguyên dơng)
Loại I Bài toán tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên.
Cách giải:
Bớc 1 Biến đổi biểu thức P về dạng:
P = m ( Với m, n Z, f(x) là biểu thức chứa x)
Bớc 2 Biện luận:
Vì m Z nên để P nguyên thì phải nguyên, mà nguyên thì “f(x) phải là ớc
của n”
Bớc 3 Giải các phơng trình: f(x) = Ư(n) để tìm đợc x
Bớc 4 Đối chiếu điều kiện và chọn nghiệm hợp lí
Ví dụ 1: Cho P = (với x 0 và x 1) Tìm các giá trị của x để P nhận giá trị nguyên
Để P nhận giá trị nguyên thì phải nhận giá trị nguyên, mà nguyên thì phải là
-ớc của 3
Trang 7
Vậy với x = 0, x = 4 và x = 16 thì P nhận giá trị nguyên.
Ví dụ 2: Cho M = (với x 0 và x 4) Tìm các giá trị của x để M nhận giá trị nguyên dơng
Để P nhận giá trị nguyên thì phải nhận giá trị guyên, mà nguyên thì phải là ớc của 2
Với x = 9 thì M = > 0 (TM)
Với x = 1 thì M = (loại)
Với x = 16 thì M = > 0 (TM)
Với x = 0 thì M = (loại)
Vậy với x = 9 và x = 16 thì M nhận giá trị nguyên dơng.
Loại II Bài toán tìm các giá trị của x (x bất kì) để biểu thức P nhận giá trị nguyên.
Cách giải:
Bớc 1 Nhân chéo để đa biểu thức P về dạng một phơng trình bậc 2 có ẩn là y và tham số P
Bớc 2 Tìm P để phơng trình bậc hai trên có nghiệm
Bớc 3 Chọn các giá trị P nguyên trong các giá trị P vừa tìm ở bớc 2
Bớc 4 Thay P vừa tìm đợc vào biểu thức đã cho để tìm đợc x
Bớc 5 Đối chiếu ĐKXĐ chọn nghiệm hợp lí
Ví dụ: Cho biểu thức P = (với x 0)
Đặt: (ĐK: ) khi đó phơng trình (1) trở thành: (2)
Phơng trình (2) có nghiệm
Trờng hợp 1
Trờng hợp 2
Để biểu thức P nhận giá trị nguyên thì
Mặt khác: Với x 0 thì P = nên ta có
Với P = 0 (TMĐK)
Với P = 3 (TMĐK)
Dạng 6 Bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.
Trang 8a) Khái niệm:
+) Nếu P(x) m (m là hằng số) thì m gọi là giá trị nhỏ nhất của P(x)
+) Nếu P(x) k (k là hằng số) thì k gọi là giá trị lớn nhất của P(x)
b) Cách giải:
Loại Trờng hợp phân thức có dạng
Bớc 1 Biến đổi biểu thức P về dạng:
P = m + (m, n Z, f(x) là biểu thức chứa x)
Bớc 2 Biện luận:
Trờng hợp 1 “n > 0”.
+) P đạt giá trị lớn nhất khi f(x) đạt giá trị nhỏ nhất
+) P đạt giá trị nhỏ nhất khi f(x) đạt giá trị lớn nhất
(Vì: Để P đạt giá trị lớn nhất thì phải đạt giá trị lớn nhất tức là f(x) phải đạt giá trị nhỏ nhất.
Còn để P đạt giá trị nhỏ nhất thì phải đạt giá trị nhỏ nhất tức là f(x) phải đạt giá trị lớn nhất).
Trờng hợp 2 “n < 0”.
+) P đạt giá trị lớn nhất khi f(x) đạt giá trị lớn nhất
+) P đạt giá trị nhỏ nhất khi f(x) đạt giá trị nhỏ nhất
Bớc 3 Tiến hành tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của f(x) để có đợc giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của P
Bớc 4 Tìm điều kiện để xảy ra dấu “=”
Bớc 5 Kết luận
Ví dụ 1: Cho P = (với x 0) Tìm giá trị lớn nhất của P.
Giải: Ta có: P =
Ta thấy: Vì ở đây n = 2 > 0 nên: Để P đạt giá trị nhỏ nhất thì phải đạt giá trị lớn nhất
Vì: 0 Dấu “=” xảy ra khi x = 0
Giá trị nhỏ nhất của là 1
Giá trị lớn nhất của P là:
Vậy: Giá trị lớn nhất của P là 3, đạt đợc khi x = 0.
Ví dụ 2: Cho M = (với x 0) Tìm giá trị nhỏ nhất của M
Giải: Ta có: M =
Ta thấy: Vì ở đây n = - 2 < 0 nên: Để M đạt giá trị nhỏ nhất thì phải đạt giá trị nhỏ nhất
Vì: 0 Dấu “=” xảy ra khi x = 0
Giá trị nhỏ nhất của là 2
Giá trị lớn nhất của M là:
Vậy: Giá trị nhỏ nhất của M là , đạt đợc khi x = 0.
Loại II Trờng hợp phân thức có dạng
Bớc 1 Biến đổi biểu thức P về dạng:
Trang 9P = ( là biểu thức chứa biến x và )
Bớc 2 áp dụng bất đẳng thức Cô - sy cho hai số dơng và rồi từ đó tìm đợc giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ
nhất của biểu thức P
Bớc 3 Tìm điều kiện để xảy ra dấu “=”
Bớc 4 Kết luận
Ví dụ 1: Cho A = (với x 0) Tìm giá trị nhỏ nhất của A
Giải: Ta có: A =
áp dụng bất đẳng thức Cô - sy cho hai số dơng và ta đợc:
A
Dấu “=” xảy ra khi
Vậy: Giá trị nhỏ nhất của A là 2, đạt đợc khi x = 1.
Ví dụ 2: Cho B = (với x 0) Tìm giá trị nhỏ nhất của B
Giải: Ta có: A =
áp dụng bất đẳng thức Cô - sy cho hai số dơng và ta đợc:
A
Dấu “=” xảy ra khi
Vậy: Giá trị nhỏ nhất của A là 4, đạt đợc khi x = 4.
Dạng 7 Phơng trình dạng ax + b + c = 0 (1) (a, b, c là các số cho trớc và a 0) a) Cách giải:
Bớc 1 Đặt = y (*) (ĐK: y 0)
Để đa phơng trình (1) về dạng phơng trình bậc hai có ẩn là y
a.y2 + b.y + c = 0 (2)
Bớc 2 Giải phơng trình (2) để tìm đợc y.
Bớc 3 Thay y vừa tìm đợc vào hệ thức (*) để tìm đợc x.
b) Chú ý:
+) Để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì phơng trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt không âm
Trang 10Tức là: Phơng trình (2) phải có:
+) Để phơng trình (1) có 1 nghiệm phân biệt thì phơng trình (2) phải có hai nghiệm trái dấu, hoặc phơng trình (2) phải có nghiệm kép không âm, hoặc phơng trình (2) phải có một nghiệm
âm và một nghiệm bằng không
Tức là: Phơng trình (2) phải có (3 trờng hợp):
Trờng hợp 1 Phơng trình (2) có hai nghiệm trái dấu a.c < 0
Trờng hợp 2 Phơng trình (2) có nghiệm kép không âm
Trờng hợp 3 Phơng trình (2) có một nghiệm âm và một nghiệm bằng 0
Ví dụ: Cho phơng trình: x – 2(m – 1) + 1 – 2m = 0 (1) (với m là tham số)
a) Giải phơng trình khi m =
b) Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình (1) có:
1) Hai nghiệm 2) Một nghiệm
Giải:
Đặt = y (*) (ĐK: y 0)
Khi đó phơng trình (1) trở thành: y2 – 2(m – 1)y + 1 – 2m = 0 (2)
a) Khi m = thì phơng trình (2) trở thành: y2 + y = 0 y(y + 1) = 0
Với y = 0 thì = 0 x = 0
Vậy khi m = thì phơng trình có nghiệm là x = 0.
b) Ta có: a = 1, b = –2.(m – 1), c = 1 – 2m, b’ = –(m – 1) = 1 – m
1) Để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì phơng trình (2) phải có:
(Không tồn tại m)
Vậy không có giá trị nào của m để phơng trình (1) có hai nghiệm.
2) Để phơng trình (1) có một nghiệm thì phơng trình (2) phải có hai nghiệm trái dấu hoặc phơng
trình (2) phải có nghiệm kép không âm, hoặc phơng trình (2) phải có một nghiệm âm và một nghiệm bằng 0
Trờng hợp 1 Phơng trình (2) có hai nghiệm trái dấu: a.c < 0 1 – 2m < 0 m >
m)
Trờng hợp 3 Phơng trình (2) có một nghiệm âm và một nghiệm bằng không:
Kết hợp cả 3 trờng hợp trên ta đợc m 0
Vậy với m 0 thì phơng trình (1) sẽ có một nghiệm
C Bài tập.
Bài 1 Cho biểu thức A =
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A b) Tìm các giá trị của x để A > 0
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = A khi x > 1
Bài 2 Cho biểu thức B =
Trang 11a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn B b) Tìm các giá trị của x để biểu thức B nhận giá trị
âm
c) Tìm các giá trị của x thoả mãn điều kiện B =
Bài 3 Cho biểu thức C =
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn C b) Tính giá trị của biểu thức C khi a =
c) Tìm các giá trị của a thoả mãn điều kiện > 2
Bài 4 Cho biểu thức D =
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn D b) Tìm các giá trị nguyên của x để D nhận giá trị nguyên c) Tìm các giá trị của x để
Bài 5 Cho biểu thức E =
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn E b) Tìm các giá trị nguyên của x để E nhận giá trị nguyên c) Tìm các giá trị của x để
Bài 6 Cho biểu thức F =
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn F b) Tìm các giá trị của x để = 1 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M =
Bài 7 Cho biểu thức P =
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P b) Tìm các giá trị của x để c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
Bài 8 Cho biểu thức Q =
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn Q b) Tìm các giá trị của x để Q =
c) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức N = nhận giá trị nguyên dơng
Bài 9 Cho biểu thức S =
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn S b) Tìm các giá trị của x để S2 = S c) So sánh S với 1
Bài 10 Cho biểu thức: H =
a) Tìm tập xác định và rút gọn H b) Tính giá trị của H khi x = 4 + 2 c) So sánh H với 3 + 1
Bài 11 (2 điểm) Cho biểu thức P =
Trang 12a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P b) Tìm x để P > 0
Bài 12 (3 điểm) Cho biểu thức A =
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A b) Tìm các giá trị của x để A < 0
c) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phơng trình A = m – có nghiệm
Bài 13 (3 điểm) Cho biểu thức P =
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P b) Tìm các giá trị của x để P =
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M =
Bài 14 (2 điểm) Cho biểu thức A =
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn A b) Tính giá trị của biểu thức A khi x =
c) Tìm tất cả các giá trị của x để A < 1
Bài 15 Cho biểu thức : A =
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 3 – 2
c) Tìm các giá trị của x để x.A =
Bài 16 Cho biểu thức : B =
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn B b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4 + 2 c) Tìm các giá trị của x để B = 1
a) Rút gọn C b) Tính giá trị của C với a = 9
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn D b) Tìm số nguyên x lớn nhất để D có giá trị nguyên
Bài 19 ( 2,5 điểm ) Cho biểu thức : N =
a) Rút gọn biểu thức N b) Tính giá trị của N khi x = 7 + 4
c) Với giá trị nào của x thì N đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Bài 20 (2,5 điểm) Cho biểu thức : H =
a) Tìm ĐKXĐ và Rút gọn biểu thức H
b) Với những giá trị nguyên nào của a thì biểu thức H nhận giá trị nguyên
Bài 21 ( 3 điểm ) Cho biểu thức: Q =
a) Rút gọn biểu thức Q b) Tính giá trị của khi x = 4 + 2