chuyên đề phân tích đa thức

Phân tích đa thức thành nhân tử và một số ứng dụng 1. Phân tích đa thức thành nhân tử. 1.1. Các phơng pháp đã học. 1.2. Phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử. Ví dụ 1. Phân tích đa thức 3x 2 -7x +4 thành nhân tử. Giải: 3x 2 7x + 4 = 3x 2 3x 4x + 4 = (3x 2 3x) ( 4x 4) = 3x(x 1) 4(x 1) = (3x 4)(x 1) Ví dụ 2. Phân tích đa thức 4x 2 - 4x - 15 thành nhân tử. Giải. 4x 2 - 4x - 15 = 4x 2 - 4x + 1 16 = (2x 1) 2 16 = [(2x 1) 4][(2x 1) +4] = (2x 5)(2x + 3) Tổng quát: Để phân tích đa thức ax 2 + bx + c ta thờng thực hiện tách b hoặc c sao cho có thể nhóm thành 2 nhóm và xuất hiện hoặc hằng dẳn thức hoặc nhân tử chung rồi phân tích tiếp. + Tách b. Viết tích a.c bằng mọi cách có thể, chọn 1 cách sao cho a.c = b 1 .b 2 và thoả mãn b 1 + b 2 = b. Khi đó viết ax 2 + bx + c = ax 2 + (b 1 + b 2 )x + c và phân tích tiếp. Hạn chế: Phơng pháp này chỉ nên áp dụng cho trờng hợp đa thức có nghiệm hữu tỉ. + Tách c. Tìm 1 số để thêm vào ax 2 + bx để xuất hiện hằng đẳng thức bình phơng của một tổng (hoặc hiệu) rồi từ đó tách c theo số đó. Lu ý: Khi a không phải là số chính phơng, ta có thể nhân hoắc chia đa thức cho 1 số để xuất hiện. Ví dụ: 3x 2 -7x + 4 = 3(x 2 - 7 3 x + 4 3 ) = 3(x 2 2x. 7 6 + 49 36 - 1 36 ) = 3[(x - 7 6 ) 2 - 1 36 ] = 3[(x - 7 6 ) - 1 6 ][(x - 7 6 ) + 1 6 ] = 3(x - 8 6 )(x 1) = (3x 4)(x 1) 1.3. Phơng pháp thêm, bớt một hạng tử. Nhiều khi phân tích đa thức thành nhân tử ta cần thêm, bớt 1 hạng tử để làm xuất hiện hằng đẳng thức và mới phân tích đợc. Ví dụ: Phân tích đa thức: x 4 + 4 thành nhân tử. Giải: x 4 + 4 = x 4 + 4x 2 + 4 - 4x 2 = (x 2 + 2) 2 (2x) 2 = [(x 2 + 2) + 2x][(x 2 + 2) 2x] = (x 2 + 2x + 2)( x 2 2x + 2) 2. Một số ứng dụng của phân tích đa thức thành nhân tử. 2.1. Giải phơng trình bậc lớn hơn 1. Ví dụ 1. Giải phơng trình: 3x 2 -7x + 4 = 0 (3x 4)(x 1) = 0 3 4 0 1 0 x x = = 3 4 1 x x = = 4 3 1 x x = = Ví dụ 2. Giải phơng trình: (x + 1)(2x 3) = - 2. 2.2. Bài toán về số chính phơng. Ví dụ a. CMR: (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 1 là một số chính phơng với mọi x Z. b. Phát biểu bài toán bằng lời và tổng quát bài toán. (x + a)(x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a 4 là một số chính phơng với mọi x Z, a N. 2.3. Bài toán về hợp số, số nguyên tố. Ví dụ 1. a, Tìm số tự nhiên x sao cho x 4 + 4 là số nguyên tố. b. CMR với mọi số tự nhiên k ta có: k 4 + 64 là hợp số Ví dụ 2. a. Tìm số tự nhiên x sao cho: x 7 + x 2 + 1 là số nguyên tố b. Tìm số tự nhiên x sao cho x 2009 + x 2008 + 1 là số nguyên tố 2.4. Bài toán về tính chia hết trong Z. VÝ dô: a. Víi mäi p nguyªn tè, p > 5. CMR: p 2 – 1 M 24 b. Víi mäi p, q nguyªn tè lín h¬n 5. CMR: p 2 – q 2 M 24 c. cho a + b + c = 2010. CMR: a 3 + b 3 + c 3 M 6 . Nhiều khi phân tích đa thức thành nhân tử ta cần thêm, bớt 1 hạng tử để làm xuất hiện hằng đẳng thức và mới phân tích đợc. Ví dụ: Phân tích đa thức: x 4. Phân tích đa thức thành nhân tử và một số ứng dụng 1. Phân tích đa thức thành nhân tử. 1.1. Các phơng pháp đã