_ MỘT SỐ BÀI TOÁN HINH HOC PHĂN _ › Bồi dưỡng học sinh chuyên toán THPT » On thi Dlympic toán trong nước và quốc tế.. Dễ thấy rằng các điểm O, I, J, A H, K nằm trên đường tròn đường 5
Trang 1_ MỘT SỐ BÀI TOÁN
HINH HOC PHĂN _
› Bồi dưỡng học sinh chuyên toán THPT
» On thi Dlympic toán trong nước và quốc tế
_.Ð Ứn thi đại học và cao đẳng
Trang 2
MUC LUC
Chương l: CAC BAI TOAN HINH HOC PHANG |
GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ 7
Chương IỊ: CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC - 37
~ Các bài toán cơ bán
— Các bài toán nâng cao ©
Chương II: CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC KHÁC - se: 128
PHU LUC 1: CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ -e 184
(Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình,
hệ bất phương trình và bất đẳng thức) -
- Đề thi Olympic 30-4 (khối 10) năm học 2004-2005 194
-_ Đề thi chọn học sinh giỏi TPHCM năm học 2004-2005 196
~- Đề thi chọn học sinh giỏi TPHCM năm hoc 2005-2006 198
Trang 3Cho AABC có a = BC, b = CA, c = AB Tính:
» =a.IA’ +b.IB?+c-IC? theo a, b,c (với I là tâm đường tròn nội tiếp AABC)
(Đề thi Olympic Toán Quốc tế)
Trang 4IA C
a ——
=— IA _ b+e
>» b+c 9 JÄ=_ b+e ƑB+._° j6 b+c
— =
> a.JA+b.IB+c.IG=
=> (a IA +b.IB+c IG) =0
=> a? IA? +b? IB? +¢?.IC? + 2ab TAI
+8bc.IB.ÏC +2ca.IỞ.IA = 0
=> a’ JA? +b? IB? +c?.1C? + ab(IA? + IB? - c?)
+ be(IB? + IC? - a?) + ca (IC? + IA? - b2) = 0
=> (a + b+e)(a.IA? + b.TB? + e.IC?) — abe(a + b + e) = 0
= S=a.IA? +b.IBÏ +c.IC? = abe |
Trang 5Chú ý: Theo kết quả trên ta có:
` = abc
=_abc > flabc (IA IB.IC}
= (abc)}` > 27 (abe)(IA IB.1C)”
Đây chính là đề thi Olympic Toán Quốc tế (được giới thiệu trong cuốn sách “Tuyển tập 200 bài toán thi Vô địch Toán (Tập 2
- Hình học) của các tác giả Đào Tam, Nguyễn Quý Dy, Lưu Xuân Tính, nhà xuất bản Giáo dục năm 2001”
Cho lye gide déu A, A, A,A,A, A, tam I, hinh tron (O, R) bat ky
chứa I Các tia IA, cắt (O, R) tại B, (i =1,0) Tinh theo R téng sau:
>> = IBY + IB} + IB; + IB + IB} + IB;
Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề: Cho AABC đều nội tiếp đường tròn (O,, R,) Khi đó
mọi điểm M c* (O,), tổng MA? + MB? + MC? không đổi
Trang 6Quay lại bài toán:
Gọi H, J, K lần lượt là hình chiếu
vuông góc của O xuống B,B,, B,B,,
B,B, Dễ thấy rằng các điểm O, I, J,
A H, K nằm trên đường tròn đường
5 kính OL Do đó thấy ngay AHJK đều
Trang 7
Cho đường tròn (O) với hai dây AB và CD cắt nhau tai M Qua
trụng điểm S của BD kẻ SM cắt AC tại K Chứng minh rằng:
_AM?_ AK CM? CK
Do: MK | MS nen MK =IMS(leR) = 5 (MB +MD)
Hơn nữa: MA.MB=MC.MD=a |
>| MŨ = — -Ê „ ME MA 3> MK= 2MA “ ;MA-„ yMƠ (2) 2MC
11
Trang 8Cho hai trung tuyến AA’ va BB’ cia AABC vuông góc nhau
Chứng minh rằng: cote = 2(cotgA + cotgB)
_© AA'.BB =0
Ẳ (AC + AB)(BC ~ AB) = 0
AG BG - AC.AB + AB.BG - AB? = 0
2CA CB — 2AC AB — 2BA.BC — 2AB? = 0
a? +b? —c? +a? — b? 2 +b? —c? — a? — 2c? = 0 | a? + b? = 5c? |
Trang 9
Cho AABC có IG LIC (với I là tâm đường tròn nội tiếp va
G là trọng tâm A ABC) Chứng minh rằng:_
Trang 10= ab[b(2a - b~c)+a(2b-a-c)]
+[b(2a -b-c)+a(2b-a-c)|CB.CA =0 (ab + CB.CA)|b(2a —b—c) +a(2b-a—c]=0
e b(2a—b—c)+a(2b—a—c)=0 |
(vi ab + CB.CA = ab + abcosC = ab(1 + cosC) > 0) + b(8a-a-—b-—c)+a(3b—a—b-—c).=0
« 6ab = (a + b)(a+b+ e) a+b+c - 2ab
Cho AABC, gọi O, Ildn lượt là các tâm đường tròn ngoại tiếp
và nội tiếp của AABC R, r lần lượt là độ dài các bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của AABC Chứng minh rằng:
Trang 11Chi $: Theo bai 6, tacé: R? -2Rr=Ol? >0
=> R? > 2Rr
<< + < i
(Đây là kết quả quen thuộc trong bộ đề tuyển sinh đại học
và nhiều tài liệu tham khảo khác)
« OA? + OB? + OC? + 2(0A.0B + OB.OC + 0C.0A) > 0
8R’ + 2R’ (cos 2A + cos 2B + cos 2C) > 0
@ 8R° + 2R? (3 — 2sin°A — 2sin°B — 2sin2O) >0
o sin?A + sin?B + sin?C < :
15
Trang 12Áp dụng định lý Ptoleme vào trong các tứ giác APON,
BMOP, CNOM (với M,N, P
C lân lượt là trung điểm các
B M _, cạnh BC, CA, AB)
16
Trang 14Mà: , a <2R (8)
« Kẻ lJL ABtaại l
Xét AAlJ, có đAI > 45° > JIÀ = IJ > AJ
> r>p-a [wi p =F (a+b+e)]
Cho AABC, BC = a, CA = b, AB = c Gọi R` là bán kính đường
tròn ngoại tiếp tam giác với ba cạnh là ba trung tuyến của
Gọi M,N, P lần lượt là trung
điểm của BC, CA, AB
Goi m,’, m,’, m} lân lượt là ba trung tuyến xuất phát từ Q, A, -_ Mcủa AAMAQ
18
Trang 16
Cho M nam trong AABC Dat a = BMC, 3 = CMA, 7 = AMB
Chimg minh rang:
NA.sina + NB.sinG + NC.siny > MA.sina + MB.sing + MC.siny
Trang 17NAsine + NBsin + NGsiny
_ NA.MA sina + NB.MB sing + NC.MC
_—— MA MB MC NAMA NBMB ,.NCMC
+ (MAsina + MBsinØ + MCsin+)
Vậy: NA.sinœ + NB.sin + NC.siny > MA.sinz + MB.sin + MC.siny
Dau “=” =o M=N
21
Trang 18œMA? + 68MB? + +MC? >_— #1 —~ œ++* a? ob? ce?
GIẢI: -
Dựng điểm Iemp(ABC): a1A+IB+ 7IC=0
Khi đó: o(IM + MÃ) + 6(IM + MB) + (IM + M6) = ö
(a+ 6+ )IM = —(aMA + 6MB + MC)
=> IM? = x’MA? + y*MB? + z’MC? + 2xyMA.MB-
+ 2yzMB.MC + 2zxMC.MA
(wi = ae 7xiyÐE 7 viytz
= x°MA? + y*MB? + z°MC? + xy (MA? + MB? - AB?)
+ yz(MB? + MC? - BC°) + zx(MC? + MA? - CA?)
= xMA? + yMB? + zMC? - (xyAB? + yZBC? + zxCA’)
Trang 19Do đó: " -
e Néu I là tâm đường tròn nội tiếp AABC thì:
IA Syrac + IB Spica + IC.Saica =0
© a.IA+b.IB+c.IC=0 Theo bài 10, ta có:
© a.MA? +b.MB? +c.MC? >abe, YM ¢ mp(ABC)
Dau “=” M là tâm đường tròn nội tiếp AABC
e Nếu H là trực tâm AABC nhọn thì:
HA Syne + HB-Ssuca + HC.Ssuan = 0
~ HA(2RsinA cosB cosC)+HB(2RsinB cosC cosA)
| | +HC(2RsinC cosA cosB) = 0
> a’cotgA + b’cotgB + c*cotgC, VM c mp(ABC)
(vi tgA tgB.tgC = tgA + tgB + tgC)
& tgA.MA? + tgB MB? + tgC.MC? >4S, VM emp(ABC)
23
Trang 20(vi a’cotgA +b’ cotgB +c? cotgC
= 8R? (sin 2A + sin 2B + sin 2C) _
= 8R? sin A sinB.sinC = 4S)
Vay: tgA.MA? + tgB.MB? + tgC.MC* > 4S, VM mp(ABC)
Dau “=” <M là trực tâm AABC
Trang 21ma: ALiCM «~ AL.CM=0
@ (c.AC + b.AB)(AB - 2AC) = 0
& c.AC AB — 2ab? + be? — 2b AB.ACG = 0
«> (c—2b)AC.AB + be(c — 2b) = 0
¢> (c — 2b)(AC AB + be) = 0
= c= 2b
(vì AC.AB = becosA > - be = AC.AB+be>0)
=> AL - AB +2AC - 2(AM + AC) 38.3 3 )
=> AL’ = = (AM? + AC? + 2AM AC)
= =(2AC* + 2AC* cos A)
Trang 23
{Bai 13 +
Cho AABC, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, M là
điểm nằm trong AABC và N, P, Q lần lượt là các bình chiếu
vuông góc của M lên các cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng:
Trong đó: {S = Syasc, S’ = Sanpg
da =OM, R=OA (Công thức Euler)
GIẢI:
Trước hết chúng ta chứng minh bổ đề sau:
“Trong tam giác ABC luôn có:
(a) sin2A + sin2B + sin2C = 4sin A sin B sinC
(Œb) S=2R?sinA sinB sinC
(c) OA sin2A + OB sin 2B + OG sin 2C =0 `
-5(2 Rsin A)(2RsinB) sin C
= 2R’? sin A sin B sin C
27
Trang 24Ta có: OA sin 2A +OB sin 2B + OG sin 2C
= OB sin (x - 2C) + OC sin 2G
Trang 25Từ (1) và (2) - 8,oso.OA = 8;oo¿.OB + 8,oạ;.OỞ
= sR sin 2A ÖÃ + 5 R” sin 2B.OB +2-R° sin 20.OỠ = Ũ
_ = OÁ.sin2A + OB sin 2B + OC.sin 2C = Ö
e Néu AABC tù (chẳng hạn tai A):
Goi O la giao diém cua AO va BC
Chứng minh tương tự như trường hợp
Trang 26Tw (3) va (4) => S,oso.OA = S;ocạ OB + Sroan OG
=> SR sin 2A.0A = ; R? sin 2B.OB +R? sin 2C.06
= OA sin 2A + OB sin 2B + OC.sin2C = Ö
- Quay lại bài toán:
|MAB =ứ,, MAC =a,
Ta có: S’=S ara + Sune + Sane
= s (MA? sin A sin œ, sin a, + MB? sinB.sinB, sin B,
+ MC’ sinC siny, siny,)
=2 [MA? sin A cos (a, ~a,)+ MB’ sinB cos(f, - B,)
+ MC? sin C cos(Y, - v,)] | |
- S (MA? sin 2A + MB? sin 2B + MC?sin2C) (6)
S = Đaqwp + ñpNwa + Sone
= = [Ma? (sin 2a, + sin 201, ) + MB? (sin 2B, + sin 28,)
| + MC? (sin 2y, +sin 27.) |
; [ MA’ sin A cos (a, — 4.) + MB’ sin B cos (B, - B,)
+MC”sinC.eos(y,+†;)| (6)
Từ (5) và (6)
= 8= +s - = (MA? sin 2A + MB’ sin 2B +MC*sin 2C) (7)
30
Trang 27Hơn nữa: MA?sin2A + MB’ sin 2B + MC? sin 2C
= (MO + OA) sin 2A + (MO + OB) sin 2B + (MO + OG) sin 2C
= MO?(sin2A + sin 2B + sin 2C) + R”(sin 2A + sin 2B + sin 2C)
+2MO (OA sin 2A + OB sin 2B+ OC sin 2C)
Cho AABC nội tiếp trong đường tròn tâm O Tìm quỹ tích
những điểm M nằm trong đường tròn sao cho dây cung đi qua
M la AA’, BB’, CC’ théoa man hệ thức: ;
Trang 28(Do giả thiết)
Trang 29Ngược lại, trên đường tròn đường kính OG ta lấy điểm M tùy ý
Vi OG = |R?-= (a? +b’ +c’) <R
Nên đường tròn này hoàn toàn chứa trong đường tròn tam O
= M nằm trong đường tròn O :
Vì M thuộc đường tròn đường kính OG nên OM? + MG? = OG’
Do đó theo cách chứng minh ở chiều thuận ta có:
2 B? 2 (a? +b? +c?
, MA + MB’ + MC _( Ì pe 2 (at ap? +e’)
<> MA? +MB’ +MC* = 3(R* - OM’)
- Goi A’, B’, C’ lan lugt 14 giao diém cua MA, MB, MC với đường
tròn tâm O Từ đó suy ra:
MA + MB + MC _ MA” + MB? +MC?
MA’ MB MC' R® — OM?
Ta dễ thấy ring, khi AABC déu thiO = GsuyraM = 0 =G
Còn khi AABC không đều thi O 4G nén ton tai dujng tron
đường kính OG
Vậy: s Khi AABC đều thì M z O z G
« Khi AABC không đều thì quỹ tích của M là đường tròn đường kính OG
(a) Goi O la tam đường tron ngoai tiép AABC
MA? = (MO+OA) + MO* + 0A? +2MO.0A
33
Trang 30MB? = (MO + 0B) = MO? + OB? + 2M0.0B
— ——2 —_—_ ——_
MC? = (MO + 6C) = MO? + OC? + 2M0.0G
Suy ra: 3MA? = 2MB? + MC? |
© 2MO (30A - 20B - OC) = 0
& MO(2AB + AC) = 0
‘Vi 304A - 20B - 0G = -2 (AO + 0B) - (AO + 06)
= ~(2AB + AC)
‘Vay quy tich cdc diém M 1a đường thẳng
qua O vuông góc với vectơ ï= 2AB+ AC
(b) Ta có: MA? — MB? + CA? ~ CB? = 0
<> (MA + MB) (MA - MB) +(CA - CB) (CA +B) = o
<= 2MI.BA+2CI.BA=0 (véil trung diém AB)
© B (MI + Ci) = 0
° BA (Mi+Ï )=0
> BA.MJ =0 — (4)
`
Quỹ tích điểm M là đường thẳng
qua I và vuông góc với AB
(b)
34
Trang 31CAC BA! TOAN TL GIAI
1 Cho AABC x, y, z > 0 Chứng minh rằng: _
2 2 2
(a) 1 cos A+ scos B+ cosC oX TY t% X y Z 2xyz
(Dé thi dé nghi Olympic 30-4)
x+y? +2”
(b) 1 cos 2A wi cos2B +2 cos 2C > —
2 Cho diém M nam trén đường tròn ngoại tiếp tam giác đều
ABC Chứng minh rằng giá trị của 5 = MA* + MB* + MC*
không phụ thuộc vào vị trí của M
` (Đề thi Olympic toán Quốc gia)
8 Gọi A,, B,, C, lần lượt là các điểm đối xứng của A, B, C của
AABC qua các cạnh BC, CA, AB tương ứng Chứng minh
rang A,, B,, C, thang hang
<= cos A.cos B cos C = -=
(Tap chí “Toán học uò Tuổi trẻ”)
°
4 Cho tứ giác lổi ABCD Goi G,, G,, G,, G, lần lượt là các
trọng tâm của AABC, ABCD, ACDA và ADAB và tứ giác ABCD Chứng minh rằng G là trọng tâm tứ giác GG,G.G 2~8"4'`
5 Cho AABC cân tại A, D là trung điểm cạnh AB, I là tâm
đường tròn ngoại tiếp AACD Chứng minh rằng IE L CD
(Đề thi Olympic Toán Anh)
Trang 326 Cho AABC nhọn nội tiếp trong đường tròn bán kính bằng
1 va BC = a, CA = b, AB = c Chứng minh rằng với mọi
điểm M nằm trong AABC, ta luôn có:
a2? + c? + a?)MA + bf(c° + a? ~b?)MB + ca? + bỶ + c)MC > (abe?
7 Cho AABC đều cạnh 2006 Tìm quỹ tích những điểm M thỏa mãn:
Trang 33A Các bài toán căn bản
-{ Bài 1 }
Cho AABC Chứng minh rằng:
(a) = = sin A sin B sin c (Đại học Ngoại ngữ Hà Nội
Trang 34
r+aR = p R (sin A + sin B + sin C) (do céu a)
3+ cos A + cos B + cos C sin A + sin B + sin C
(1+cosA)+ (1+ cos B) + (1 + cosC)
A B 4cos “> cos | COS 5
2 2
2 (cost cos? 5 cos? 4
~ 4 cos — cos — cos — A B
B+C ., C+A A+B
1 sin , sin sin
9 B C C A A cos — cosS— cos—.cos— cos— cos—
2 2 2 2 2
89
Trang 36-{ Bai2 }
Cho AABC Chung minh rang:
1 : : 2 ọ (a) S= qt sin 2B + b’ sin 2A) = Jr, 0,.¥,-T
1 1 1 (b) —— + — = + —— +-
h, hy Th, Yr T1
(c) r„+rny+r,=4R+r
(d) -r,+ry+r.+r= 4RcosA
GIẢI (a) Ta Có:
(a” sin 2B + b’ sin 2A)
= 2R’sin A.sin B(sin A.cosB + sin B.cos A)
= 2R? (sin’ A.sin B.cosB + sin® B.sin A.cos A)
Trang 37(vi sinA +sinB+sinC = 4cos —.cos—.cose
(ban doc tu kiém tra) 4Rsin Ê.eos Ê cọs
, 2° 2 2 Chứng minh tương tự:
Ty = 4Rsin 2 -cos© cos
Trang 38=^ T,†+h+r,-T = 4Reos (sin coe 8 + sin, cos]
Ch A B A B + 4Rsin—| cos—.cos— — sin —.sin —
2 2 2 2 2 A+B
+ sin
.B_ C B 5 sin —.sin— — cos—.cos—
Trang 39GIẢI
44
Trang 40Ta cé: BG? AB? + AG? - 2AB.AG cosa _
C? + AG? - 2AB.AG sin a cot ga
C? + AG? - SN gơ C? + AG? —58.cot ga
c* > bt c>b
eee => A, Bnhon c>b
Hơn nữa: c1 - a?a? + b.b? > c?2.a? + ob?
=>? <a’ +b’ = c’ + 2ab.cosC |
=> cosC > 0 |
= C nhon Vay A, B, C déu nhọn
45
Trang 41(a) Ta có: b?_c? - 4R° (sin” B-sin? C)
= 4R’ [Fa ~ cos 2B) - sũ ~ cos 20)|
Trang 4247
Trang 442 1,
~ be , Hơn nữa: sin B.sinC = —
a
= 4sin—.sin—.cos—.cos— = —> |
2 2 2 a C be be
Cho AABC, MN e BC sao cho BH = MN = NC
Dat BAM = x,MAN = y, NAG =z |
(cotgx + cotgy)(cotgy + cotgz) = 4Ñ + cotg*y)
49
Trang 47
Bai 12 Cho AABC Chứng minh rằng:
m,.mi,.m, > p.S
GIAI 2(b? +c?) - a? ` (b+e}`-a?
Dấu “=” AABC đều
=> 2 be.sin A = Tạ sia^2 + lpị sinÂ
52
Trang 50<> cos” = sin | cos 2 =° — eos =F 2 2
= cos” —4sin Ê.cosÐ TẾ ¿4ø Â >0
© (cos -2sin =) >.Q (luén ding) Dấu “=” © cos—— = 2sin=
c 2cosÖ ~€ gin 8+©€ = Asin cos
c© sin B + sinC =2sinA
= be = 2a
55
Trang 51= 5(1-c08A) += (1-cosB) + sin*S
= 1-5 (cos A + cosB) + sin*
= 1—sin © cos — +sin? C
Trang 52
Bai 17 7
Cho AABC và điểm M bất kỳ nằm trong AABC Chứng minh rằng:
MA cos + MB cos + MC cos = >P
lA 2{ MA cos + MB cos +MC cos S|
Vay: MA cos + MBeos= + MC eos >P
Déu “=” © M = Tâm đường tròn nội tiếp AABC