một số bài toán hình học phẳng bồi dưỡng học sinh giỏi

_ MỘT SỐ BÀI TOÁN HINH HOC PHĂN _ › Bồi dưỡng học sinh chuyên toán THPT » On thi Dlympic toán trong nước và quốc tế.. Dễ thấy rằng các điểm O, I, J, A H, K nằm trên đường tròn đường 5

_ MỘT SỐ BÀI TOÁN

HINH HOC PHĂN _

› Bồi dưỡng học sinh chuyên toán THPT

» On thi Dlympic toán trong nước và quốc tế

_.Ð Ứn thi đại học và cao đẳng

MUC LUC

Chương l: CAC BAI TOAN HINH HOC PHANG |

GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ 7

Chương IỊ: CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC - 37

~ Các bài toán cơ bán

— Các bài toán nâng cao ©

Chương II: CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC KHÁC - se: 128

PHU LUC 1: CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ -e 184

(Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình,

hệ bất phương trình và bất đẳng thức) -

- Đề thi Olympic 30-4 (khối 10) năm học 2004-2005 194

-_ Đề thi chọn học sinh giỏi TPHCM năm học 2004-2005 196

~- Đề thi chọn học sinh giỏi TPHCM năm hoc 2005-2006 198

Cho AABC có a = BC, b = CA, c = AB Tính:

» =a.IA’ +b.IB?+c-IC? theo a, b,c (với I là tâm đường tròn nội tiếp AABC)

(Đề thi Olympic Toán Quốc tế)

IA C

a ——

=— IA _ b+e

>» b+c 9 JÄ=_ b+e ƑB+._° j6 b+c

— =

> a.JA+b.IB+c.IG=

=> (a IA +b.IB+c IG) =0

=> a? IA? +b? IB? +¢?.IC? + 2ab TAI

+8bc.IB.ÏC +2ca.IỞ.IA = 0

=> a’ JA? +b? IB? +c?.1C? + ab(IA? + IB? - c?)

+ be(IB? + IC? - a?) + ca (IC? + IA? - b2) = 0

=> (a + b+e)(a.IA? + b.TB? + e.IC?) — abe(a + b + e) = 0

= S=a.IA? +b.IBÏ +c.IC? = abe |

Chú ý: Theo kết quả trên ta có:

` = abc

=_abc > flabc (IA IB.IC}

= (abc)}` > 27 (abe)(IA IB.1C)”

Đây chính là đề thi Olympic Toán Quốc tế (được giới thiệu trong cuốn sách “Tuyển tập 200 bài toán thi Vô địch Toán (Tập 2

- Hình học) của các tác giả Đào Tam, Nguyễn Quý Dy, Lưu Xuân Tính, nhà xuất bản Giáo dục năm 2001”

Cho lye gide déu A, A, A,A,A, A, tam I, hinh tron (O, R) bat ky

chứa I Các tia IA, cắt (O, R) tại B, (i =1,0) Tinh theo R téng sau:

>> = IBY + IB} + IB; + IB + IB} + IB;

Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau:

Bổ đề: Cho AABC đều nội tiếp đường tròn (O,, R,) Khi đó

mọi điểm M c* (O,), tổng MA? + MB? + MC? không đổi

Quay lại bài toán:

Gọi H, J, K lần lượt là hình chiếu

vuông góc của O xuống B,B,, B,B,,

B,B, Dễ thấy rằng các điểm O, I, J,

A H, K nằm trên đường tròn đường

5 kính OL Do đó thấy ngay AHJK đều

Cho đường tròn (O) với hai dây AB và CD cắt nhau tai M Qua

trụng điểm S của BD kẻ SM cắt AC tại K Chứng minh rằng:

_AM?_ AK CM? CK

Do: MK | MS nen MK =IMS(leR) = 5 (MB +MD)

Hơn nữa: MA.MB=MC.MD=a |

>| MŨ = — -Ê „ ME MA 3> MK= 2MA “ ;MA-„ yMƠ (2) 2MC

11

Cho hai trung tuyến AA’ va BB’ cia AABC vuông góc nhau

Chứng minh rằng: cote = 2(cotgA + cotgB)

_© AA'.BB =0

Ẳ (AC + AB)(BC ~ AB) = 0

AG BG - AC.AB + AB.BG - AB? = 0

2CA CB — 2AC AB — 2BA.BC — 2AB? = 0

a? +b? —c? +a? — b? 2 +b? —c? — a? — 2c? = 0 | a? + b? = 5c? |

Cho AABC có IG LIC (với I là tâm đường tròn nội tiếp va

G là trọng tâm A ABC) Chứng minh rằng:_

= ab[b(2a - b~c)+a(2b-a-c)]

+[b(2a -b-c)+a(2b-a-c)|CB.CA =0 (ab + CB.CA)|b(2a —b—c) +a(2b-a—c]=0

e b(2a—b—c)+a(2b—a—c)=0 |

(vi ab + CB.CA = ab + abcosC = ab(1 + cosC) > 0) + b(8a-a-—b-—c)+a(3b—a—b-—c).=0

« 6ab = (a + b)(a+b+ e) a+b+c - 2ab

Cho AABC, gọi O, Ildn lượt là các tâm đường tròn ngoại tiếp

và nội tiếp của AABC R, r lần lượt là độ dài các bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của AABC Chứng minh rằng:

Chi $: Theo bai 6, tacé: R? -2Rr=Ol? >0

=> R? > 2Rr

<< + < i

(Đây là kết quả quen thuộc trong bộ đề tuyển sinh đại học

và nhiều tài liệu tham khảo khác)

« OA? + OB? + OC? + 2(0A.0B + OB.OC + 0C.0A) > 0

8R’ + 2R’ (cos 2A + cos 2B + cos 2C) > 0

@ 8R° + 2R? (3 — 2sin°A — 2sin°B — 2sin2O) >0

o sin?A + sin?B + sin?C < :

15

Áp dụng định lý Ptoleme vào trong các tứ giác APON,

BMOP, CNOM (với M,N, P

C lân lượt là trung điểm các

B M _, cạnh BC, CA, AB)

16

Mà: , a <2R (8)

« Kẻ lJL ABtaại l

Xét AAlJ, có đAI > 45° > JIÀ = IJ > AJ

> r>p-a [wi p =F (a+b+e)]

Cho AABC, BC = a, CA = b, AB = c Gọi R` là bán kính đường

tròn ngoại tiếp tam giác với ba cạnh là ba trung tuyến của

Gọi M,N, P lần lượt là trung

điểm của BC, CA, AB

Goi m,’, m,’, m} lân lượt là ba trung tuyến xuất phát từ Q, A, -_ Mcủa AAMAQ

18

Cho M nam trong AABC Dat a = BMC, 3 = CMA, 7 = AMB

Chimg minh rang:

NA.sina + NB.sinG + NC.siny > MA.sina + MB.sing + MC.siny

NAsine + NBsin + NGsiny

_ NA.MA sina + NB.MB sing + NC.MC

_—— MA MB MC NAMA NBMB ,.NCMC

+ (MAsina + MBsinØ + MCsin+)

Vậy: NA.sinœ + NB.sin + NC.siny > MA.sinz + MB.sin + MC.siny

Dau “=” =o M=N

21

œMA? + 68MB? + +MC? >_— #1 —~ œ++* a? ob? ce?

GIẢI: -

Dựng điểm Iemp(ABC): a1A+IB+ 7IC=0

Khi đó: o(IM + MÃ) + 6(IM + MB) + (IM + M6) = ö

(a+ 6+ )IM = —(aMA + 6MB + MC)

=> IM? = x’MA? + y*MB? + z’MC? + 2xyMA.MB-

+ 2yzMB.MC + 2zxMC.MA

(wi = ae 7xiyÐE 7 viytz

= x°MA? + y*MB? + z°MC? + xy (MA? + MB? - AB?)

+ yz(MB? + MC? - BC°) + zx(MC? + MA? - CA?)

= xMA? + yMB? + zMC? - (xyAB? + yZBC? + zxCA’)

Do đó: " -

e Néu I là tâm đường tròn nội tiếp AABC thì:

IA Syrac + IB Spica + IC.Saica =0

© a.IA+b.IB+c.IC=0 Theo bài 10, ta có:

© a.MA? +b.MB? +c.MC? >abe, YM ¢ mp(ABC)

Dau “=” M là tâm đường tròn nội tiếp AABC

e Nếu H là trực tâm AABC nhọn thì:

HA Syne + HB-Ssuca + HC.Ssuan = 0

~ HA(2RsinA cosB cosC)+HB(2RsinB cosC cosA)

| | +HC(2RsinC cosA cosB) = 0

> a’cotgA + b’cotgB + c*cotgC, VM c mp(ABC)

(vi tgA tgB.tgC = tgA + tgB + tgC)

& tgA.MA? + tgB MB? + tgC.MC? >4S, VM emp(ABC)

23

(vi a’cotgA +b’ cotgB +c? cotgC

= 8R? (sin 2A + sin 2B + sin 2C) _

= 8R? sin A sinB.sinC = 4S)

Vay: tgA.MA? + tgB.MB? + tgC.MC* > 4S, VM mp(ABC)

Dau “=” <M là trực tâm AABC

ma: ALiCM «~ AL.CM=0

@ (c.AC + b.AB)(AB - 2AC) = 0

& c.AC AB — 2ab? + be? — 2b AB.ACG = 0

«> (c—2b)AC.AB + be(c — 2b) = 0

¢> (c — 2b)(AC AB + be) = 0

= c= 2b

(vì AC.AB = becosA > - be = AC.AB+be>0)

=> AL - AB +2AC - 2(AM + AC) 38.3 3 )

=> AL’ = = (AM? + AC? + 2AM AC)

= =(2AC* + 2AC* cos A)

{Bai 13 +

Cho AABC, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, M là

điểm nằm trong AABC và N, P, Q lần lượt là các bình chiếu

vuông góc của M lên các cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng:

Trong đó: {S = Syasc, S’ = Sanpg

da =OM, R=OA (Công thức Euler)

GIẢI:

Trước hết chúng ta chứng minh bổ đề sau:

“Trong tam giác ABC luôn có:

(a) sin2A + sin2B + sin2C = 4sin A sin B sinC

(Œb) S=2R?sinA sinB sinC

(c) OA sin2A + OB sin 2B + OG sin 2C =0 `

-5(2 Rsin A)(2RsinB) sin C

= 2R’? sin A sin B sin C

27

Ta có: OA sin 2A +OB sin 2B + OG sin 2C

= OB sin (x - 2C) + OC sin 2G

Từ (1) và (2) - 8,oso.OA = 8;oo¿.OB + 8,oạ;.OỞ

= sR sin 2A ÖÃ + 5 R” sin 2B.OB +2-R° sin 20.OỠ = Ũ

_ = OÁ.sin2A + OB sin 2B + OC.sin 2C = Ö

e Néu AABC tù (chẳng hạn tai A):

Goi O la giao diém cua AO va BC

Chứng minh tương tự như trường hợp

Tw (3) va (4) => S,oso.OA = S;ocạ OB + Sroan OG

=> SR sin 2A.0A = ; R? sin 2B.OB +R? sin 2C.06

= OA sin 2A + OB sin 2B + OC.sin2C = Ö

- Quay lại bài toán:

|MAB =ứ,, MAC =a,

Ta có: S’=S ara + Sune + Sane

= s (MA? sin A sin œ, sin a, + MB? sinB.sinB, sin B,

+ MC’ sinC siny, siny,)

=2 [MA? sin A cos (a, ~a,)+ MB’ sinB cos(f, - B,)

+ MC? sin C cos(Y, - v,)] | |

- S (MA? sin 2A + MB? sin 2B + MC?sin2C) (6)

S = Đaqwp + ñpNwa + Sone

= = [Ma? (sin 2a, + sin 201, ) + MB? (sin 2B, + sin 28,)

| + MC? (sin 2y, +sin 27.) |

; [ MA’ sin A cos (a, — 4.) + MB’ sin B cos (B, - B,)

+MC”sinC.eos(y,+†;)| (6)

Từ (5) và (6)

= 8= +s - = (MA? sin 2A + MB’ sin 2B +MC*sin 2C) (7)

30

Hơn nữa: MA?sin2A + MB’ sin 2B + MC? sin 2C

= (MO + OA) sin 2A + (MO + OB) sin 2B + (MO + OG) sin 2C

= MO?(sin2A + sin 2B + sin 2C) + R”(sin 2A + sin 2B + sin 2C)

+2MO (OA sin 2A + OB sin 2B+ OC sin 2C)

Cho AABC nội tiếp trong đường tròn tâm O Tìm quỹ tích

những điểm M nằm trong đường tròn sao cho dây cung đi qua

M la AA’, BB’, CC’ théoa man hệ thức: ;

(Do giả thiết)

Ngược lại, trên đường tròn đường kính OG ta lấy điểm M tùy ý

Vi OG = |R?-= (a? +b’ +c’) <R

Nên đường tròn này hoàn toàn chứa trong đường tròn tam O

= M nằm trong đường tròn O :

Vì M thuộc đường tròn đường kính OG nên OM? + MG? = OG’

Do đó theo cách chứng minh ở chiều thuận ta có:

2 B? 2 (a? +b? +c?

, MA + MB’ + MC _( Ì pe 2 (at ap? +e’)

<> MA? +MB’ +MC* = 3(R* - OM’)

- Goi A’, B’, C’ lan lugt 14 giao diém cua MA, MB, MC với đường

tròn tâm O Từ đó suy ra:

MA + MB + MC _ MA” + MB? +MC?

MA’ MB MC' R® — OM?

Ta dễ thấy ring, khi AABC déu thiO = GsuyraM = 0 =G

Còn khi AABC không đều thi O 4G nén ton tai dujng tron

đường kính OG

Vậy: s Khi AABC đều thì M z O z G

« Khi AABC không đều thì quỹ tích của M là đường tròn đường kính OG

(a) Goi O la tam đường tron ngoai tiép AABC

MA? = (MO+OA) + MO* + 0A? +2MO.0A

33

MB? = (MO + 0B) = MO? + OB? + 2M0.0B

— ——2 —_—_ ——_

MC? = (MO + 6C) = MO? + OC? + 2M0.0G

Suy ra: 3MA? = 2MB? + MC? |

© 2MO (30A - 20B - OC) = 0

& MO(2AB + AC) = 0

‘Vi 304A - 20B - 0G = -2 (AO + 0B) - (AO + 06)

= ~(2AB + AC)

‘Vay quy tich cdc diém M 1a đường thẳng

qua O vuông góc với vectơ ï= 2AB+ AC

(b) Ta có: MA? — MB? + CA? ~ CB? = 0

<> (MA + MB) (MA - MB) +(CA - CB) (CA +B) = o

<= 2MI.BA+2CI.BA=0 (véil trung diém AB)

© B (MI + Ci) = 0

° BA (Mi+Ï )=0

> BA.MJ =0 — (4)

`

Quỹ tích điểm M là đường thẳng

qua I và vuông góc với AB

(b)

34

CAC BA! TOAN TL GIAI

1 Cho AABC x, y, z > 0 Chứng minh rằng: _

2 2 2

(a) 1 cos A+ scos B+ cosC oX TY t% X y Z 2xyz

(Dé thi dé nghi Olympic 30-4)

x+y? +2”

(b) 1 cos 2A wi cos2B +2 cos 2C > —

2 Cho diém M nam trén đường tròn ngoại tiếp tam giác đều

ABC Chứng minh rằng giá trị của 5 = MA* + MB* + MC*

không phụ thuộc vào vị trí của M

` (Đề thi Olympic toán Quốc gia)

8 Gọi A,, B,, C, lần lượt là các điểm đối xứng của A, B, C của

AABC qua các cạnh BC, CA, AB tương ứng Chứng minh

rang A,, B,, C, thang hang

<= cos A.cos B cos C = -=

(Tap chí “Toán học uò Tuổi trẻ”)

°

4 Cho tứ giác lổi ABCD Goi G,, G,, G,, G, lần lượt là các

trọng tâm của AABC, ABCD, ACDA và ADAB và tứ giác ABCD Chứng minh rằng G là trọng tâm tứ giác GG,G.G 2~8"4'`

5 Cho AABC cân tại A, D là trung điểm cạnh AB, I là tâm

đường tròn ngoại tiếp AACD Chứng minh rằng IE L CD

(Đề thi Olympic Toán Anh)

6 Cho AABC nhọn nội tiếp trong đường tròn bán kính bằng

1 va BC = a, CA = b, AB = c Chứng minh rằng với mọi

điểm M nằm trong AABC, ta luôn có:

a2? + c? + a?)MA + bf(c° + a? ~b?)MB + ca? + bỶ + c)MC > (abe?

7 Cho AABC đều cạnh 2006 Tìm quỹ tích những điểm M thỏa mãn:

A Các bài toán căn bản

-{ Bài 1 }

Cho AABC Chứng minh rằng:

(a) = = sin A sin B sin c (Đại học Ngoại ngữ Hà Nội

r+aR = p R (sin A + sin B + sin C) (do céu a)

3+ cos A + cos B + cos C sin A + sin B + sin C

(1+cosA)+ (1+ cos B) + (1 + cosC)

A B 4cos “> cos | COS 5

2 2

2 (cost cos? 5 cos? 4

~ 4 cos — cos — cos — A B

B+C ., C+A A+B

1 sin , sin sin

9 B C C A A cos — cosS— cos—.cos— cos— cos—

2 2 2 2 2

89

-{ Bai2 }

Cho AABC Chung minh rang:

1 : : 2 ọ (a) S= qt sin 2B + b’ sin 2A) = Jr, 0,.¥,-T

1 1 1 (b) —— + — = + —— +-

h, hy Th, Yr T1

(c) r„+rny+r,=4R+r

(d) -r,+ry+r.+r= 4RcosA

GIẢI (a) Ta Có:

(a” sin 2B + b’ sin 2A)

= 2R’sin A.sin B(sin A.cosB + sin B.cos A)

= 2R? (sin’ A.sin B.cosB + sin® B.sin A.cos A)

(vi sinA +sinB+sinC = 4cos —.cos—.cose

(ban doc tu kiém tra) 4Rsin Ê.eos Ê cọs

, 2° 2 2 Chứng minh tương tự:

Ty = 4Rsin 2 -cos© cos

=^ T,†+h+r,-T = 4Reos (sin coe 8 + sin, cos]

Ch A B A B + 4Rsin—| cos—.cos— — sin —.sin —

2 2 2 2 2 A+B

+ sin

.B_ C B 5 sin —.sin— — cos—.cos—

GIẢI

44

Ta cé: BG? AB? + AG? - 2AB.AG cosa _

C? + AG? - 2AB.AG sin a cot ga

C? + AG? - SN gơ C? + AG? —58.cot ga

c* > bt c>b

eee => A, Bnhon c>b

Hơn nữa: c1 - a?a? + b.b? > c?2.a? + ob?

=>? <a’ +b’ = c’ + 2ab.cosC |

=> cosC > 0 |

= C nhon Vay A, B, C déu nhọn

45

(a) Ta có: b?_c? - 4R° (sin” B-sin? C)

= 4R’ [Fa ~ cos 2B) - sũ ~ cos 20)|

47

2 1,

~ be , Hơn nữa: sin B.sinC = —

a

= 4sin—.sin—.cos—.cos— = —> |

2 2 2 a C be be

Cho AABC, MN e BC sao cho BH = MN = NC

Dat BAM = x,MAN = y, NAG =z |

(cotgx + cotgy)(cotgy + cotgz) = 4Ñ + cotg*y)

49

Bai 12 Cho AABC Chứng minh rằng:

m,.mi,.m, > p.S

GIAI 2(b? +c?) - a? ` (b+e}`-a?

Dấu “=” AABC đều

=> 2 be.sin A = Tạ sia^2 + lpị sinÂ

52

<> cos” = sin | cos 2 =° — eos =F 2 2

= cos” —4sin Ê.cosÐ TẾ ¿4ø Â >0

© (cos -2sin =) >.Q (luén ding) Dấu “=” © cos—— = 2sin=

c 2cosÖ ~€ gin 8+©€ = Asin cos

c© sin B + sinC =2sinA

= be = 2a

55

= 5(1-c08A) += (1-cosB) + sin*S

= 1-5 (cos A + cosB) + sin*

= 1—sin © cos — +sin? C

Bai 17 7

Cho AABC và điểm M bất kỳ nằm trong AABC Chứng minh rằng:

MA cos + MB cos + MC cos = >P

lA 2{ MA cos + MB cos +MC cos S|

Vay: MA cos + MBeos= + MC eos >P

Déu “=” © M = Tâm đường tròn nội tiếp AABC