Một số bài toán hay trung học cơ sở

Bài1(2): Tìmtấtcảcácsốchínhphươngdạng .  Lờigiải:  Do làsốchínhphươngnên =k 2 . Lạivì:10001≤ ≤99999,=>101≤k<317.Vậykphảilàsốcóbachữsố.Đặtk= .Cũng từgiảthiếtbàitoán làsốchínhphươngnênathuộc{1,4,5,6,9}. +)Nếua=1thì:100< <142(trongđóp=1hoặcp=9) Vớip=1,tacócácsốthỏamãn điềukiệnbàitoánlà:101 2 =10201,111 2 =12321,121 2 =14641; cònvớip=9tathấykhôngcósốnàothỏamãn điềukiện đềbài. +)Nếua=4thì:200< <224(p=2hoặcp=8).Thửtrựctiếptacócácsốthỏamãnlà: 202 2 =40804,212 2 =44944. +)Nếua=5thì:223< <245(trongđóp=5).Trongtrườnghợpnàykhôngcósốnàothỏa mãn điềukiện đềbài. +)Nếua=6thì:244< <265(p=4hoặcp=6).Chỉcómộtsốthỏamãntrườnghợpnàylà: 264 2 =69696. +)Nếua=9thì:300< <317(p=3hoặcp=7).Trườnghợpnàycũngchỉcómộtsốthỏamãn là:307 2 =94249.Tómlạicó7sốthỏamãn điềukiệnbàira:10201,12321,40804,14641,44844, 69696,94249.  Nhậnxét:  Nếubàitoáncóthêm điềukiệna,b,cđôimộtkhácnhauthìchỉcó5sốthỏamãnđềbài.  Bài3(2): ChotamgiácABC.CácđiểmM,NtheothứtựthuộccáccạnhAB,ACsaochodiệntích tamgiácAMNbằngmộtnửadiệntíchtamgiácABC(M≠B;N≠C).Chứngminh:Trọngtâmcủa tamgiácABCnằmtrongtamgiácAMN.  Lờigiải: (củabạn NguyễnThịQuỳnhMai,6B,THCSBáncôngHươngKhê, HàTĩnh ) GọiGlàtrọngtâmABC.ĐặtLlàgiaođiểmcủaBGvàAC;OlàgiaođiểmcủaBLvàMN. Tacó:AL=CL;GB/GL=2 (1) Theogiảthiết:S (AMN) =1/2.S (ABC) Mặtkhác,vìAL=CLnên:S (ABL) =1/2.S (ABC) VậyS (AMN) =S (ABL) =>S (OLN) =S (OMB) =>S (BLN) =S (NMB) =>ML//BN =>:OB/OL=BN/ML=AN/AL<AC/AL=2 (2)(địnhlíTalét) Từ(1),(2)=>: OB/OL<GB/GL=>OB/OL+1<GB/GL+1=>BL/OL<BL/GL =>GL<OL=>GthuộcđoạnOL=>GthuộctamgiácAMN(đpcm).  Nhậnxét:  1)Bàinàycókhánhiềubạnthamgiagiải,tấtcảđềugiải đúng.Tuynhiên,nhiềubạngiảiquádàivà phứctạp. 2)Ngoàicáchgiảitrêncònmộthướnggiảikhácnữa. ĐặtPlàgiaođiểmcủaAGvàBC;QlàgiaođiểmcủaAPvàMN. Tacóđẳngthứcquenthuộc: AB/AM+AC/AN=2.AP/AQ (3) Theogiảthiết: S (ABC) /S (AMN) =2=>AB/AM.AC/AN=2 (4) Từ(3),(4),saumộtvàibiến đổi đạisố,tacó:AG<AQ.Từđó=>đpcm.  Bài4(2): Giảiphươngtrình: x 2 +2x+3=(x 2 +x+1)(x 4 +x 2 +4)  Lờigiải: (củabạn PhanViệtThành,8D,THCSLươngThếVinh,TuyHòa, PhúYên ) Tacó:x 2 +x+1=(x+1/2) 2 +3/4>0vớimọix Mặtkhác:Vớimọixtacóx 4 +x 2 +4 ≥4 =>(x 2 +x+1)(x 4 +x 2 +4) ≥4(x 2 +x+1) =x 2 +2x+3+2x 2 +(x+1) 2 >x 2 +2x+3 Chứngtỏphươngtrìnhvônghiệm.  Bài5(2): Tìmx,y đểbiểuthức: đạtgiátrịnhỏnhất.  Lờigiải:  Tacó: Dấu“=”xảy rakhivàchỉkhiy=1và3≥x≥1.  Bài1(3): Tìmtấtcảcáccặpsốnguyênkhôngâm(x,y)saocho:x y=x 2 +xy+y 2 .  Lờigiải:  Giảsửcócặpsốnguyênkhôngâm(x,y)thỏamãnhệthứcx y=x 2 +xy+y 2 (1) Từđódễdàng=>rằngx≥x y=x 2 +xy+y 2 ≥3xy(2) Nếux=0,từ(1)tacóy=y 2 =>y=0. Nếux≠0,thayx=1vào(2)=>1≥3y=>y=0,thayy=0vào(1)=>x=x 2 =>x=1. Tómlại:Cóhaicặpsố(0,0);(1,0)thỏamãn đềbài.  Bài2(4): Choa,b,clà3sốthỏamãn điềukiện: Tínhtổng:a 2001 +b 2002 +c 2003 .  Lờigiải: Từ(1)=>a,b,c≤1.Trừtừngvếcủa(1)cho(2)tacó:a 2002 (1 a)+b 2002 (1 b)+c 2002 (1 c)=0 (3) Vìa,b,c≤1nêna 2002 (1 a)≥0;b 2002 (1 b)≥0;c 2002 (1 c) ≥0. Từđótacóa 2001 =a 2003 ;b 2002 = b 2003 . =>:a 2001 +b 2002 +c 2003 =a 2003 +b 2003 +c 2003 =1  Nhậnxét:  1/Từlờigiảitrên,kếthợpvới(1)hoặc(2)cóthể=>trongbasốa,b,ccóđúngmộtsốbằng1và haisốcònlạibằng0. 2/Mộtsốbạntừ(1)=>0≤a≤1làsai.Mộtsốbạntự thêmgiảthiếta,b,clàcácsốnguyêndương.  Bài4(4): ChoΔABCnhọn,bađườngcaoAD,BEvàCFcắtnhautạiH.QuaAvẽcácđườngthẳng songsongvớiBE,CFlầnlượtcắtcácđườngthẳngCF,BEtạiPvàQ.ChứngminhrằngPQvuông gócvớitrungtuyến AMcủaΔABC.  Lờigiải:  Vì ΔABCnhọnnêntrựctâmHnằmtrongΔABC(hìnhdưới). LầnlượtđặtIlàgiaođiểmcủaAHvàPQ;KlàgiaođiểmcủaAMvàPQ.Từgiảthiết=>tứgiác APHQlàhìnhbìnhhành,nênIlàtrungđiểmcủaAH. Cũngtừgiảthiết=>APvuônggócvớiAC;AQvuônggócvớiAB=> ÐBAC=ÐAQH; ÐACB = ÐAHQ(cáccặpgóccóhaicạnhtươngứngvuônggóc) =>ΔABCđồngdạngvới ΔQAH(g.g)=>AB/QA=BC/AH=AC/AH. MặtkhácM,IlầnlượtlàtrungđiểmcủaBC,AHnên: AM/QI=BC/AH=MC/IH=>AM/QI=MC/IH=AC/QH =>ΔAMCđồngdạngvới ΔQIH(c.c.c) => ÐCAM= ÐHQIhay ÐEAK= ÐEQK=>tứgiácKAQEnộitiếp => ÐAKQ= ÐAEQ=90 o (cùngchắncungAQ,BQvuônggócvớiAC)=>PQvuônggócvới AM(đpcm). Bài3(5): SosánhAvàBbiết: A=(2003 2002 +2002 2002 ) 2003 B=(2003 2003 +2002 2003 ) 2002  Lờigiải: (củabạn VõVănTuấn) Tasẽchứngminhbàitoántổngquát: (a n +b n ) n+1 >(a n+1 +b n+1 ) n vớia,b,nlàcácsốnguyêndương. Thậtvậy,khôngmấttínhtổngquát,giảsửa≥b.(a n +b n ) n+1 =(a n +b n ) n .(a n +b n )>(a n +b n ) n .a n = [(a n +b n )a] n =(a n .a+b n .a) n ≥(a n .a+b n .b) n =(a n+1 +b n+1 ) n . Vớia=2003,b=n=2002,tacóA>B.  Bài4(5): TamgiácABCcóElàtrungđiểmcạnhBCsaocho ÐEAB=15 o , ÐEAC=30.Tính Ð C. Lờigiải: (củabạnPhạmThịHồngAnh) GọiFlàđiểm đốixứngcủaCquaAEvàIlàgiaođiểmcủaCFvàAE,=>AIvuônggócvớiCI. XéttamgiácvuôngIAC,vuôngtạiI,có ÐIAC=30 o => ÐACF= ÐACI=60 o (1). TacóAIlàtrungtrựccủaCFnên ΔAFCcân,từ(1)=>ΔAFCđều. Nhậnxétrằng,IElàđườngtrungbìnhcủaΔBFCnênIE//FB,màIEvuônggócvớiFC=>BF vuônggócvớiFChay ΔBFCvuôngtạiF=>gócBFC=90 o ;ΔAFCđều=> ÐCFA=ÐCAF=60 o ,=>: ÐBFA= ÐBFC+CFA=90 o +60 o =150 o ÐFAB= ÐCAF  ÐCFA  ÐBAE=60 o  30 o  15 o =15 o . XétΔFBA, ÐBFA=150 o và ÐFAB=15 o .=> ÐFBA=15 o suraΔFBAcântạiF=>FB=FA= FC.Từđó, ΔBFCvuôngcântạiF=> ÐBCF=45 o (2) Từ(1),(2)=> ÐACB= ÐACF+ ÐBCF=60 o +45 o =105 o . Vậy ÐC=105 o .  Bài2(7): Choa,b,cthỏamãn:a/2002=b/2003=c/2004. Chứngminhrằng:4(a b)(b c)=(c a) 2  Lờigiải: Theotínhchấtcủatỉlệthứctacó: a/2002=b/2003=c/2004=(a b)/(2002 2003)=(b c)/(2003 2004)=(c a)/(2004 2002) =>:(a b)/1=(b  c)/1=(c  a)/2 =>:(a b)(b c)=[(c  a)/2] 2 =>4(a b)(b c)=(c a) 2 (đpcm).  Bài4(8): ChohìnhchữnhậtABCD(nhưhìnhvẽ),biếtrằngAB=30cm,AD=20cm,AM=10 cm,BP=5cm,AQ=15cm.TínhdiệntíchtamgiácMRS.  Lờigiải: GiảsửđườngthẳngPQcắtcácđườngthẳngCD,ABtươngứngtạiE,F. Tacó:DE/EC=QD/CP=5/15=1/3,hayDE/DC=1/2=>DE=15cm. TathấytamgiácQDE=tamgiácPBF=>BF=DE=15cm. Lạicó:DE/MF=DR/MR=15/35=3/7=>MR/MD=7/10(1). VìMS/MC=MF/EC=35/45=7/9=>MS/MC=7/16(2) Tacó:S MDC =S ABCD SAMDS BMC =AB.AD 1/2AD.(AM+MB)=300(cm 2 )(3) Mặtkhác,từ(1)và(2)tacó: S MRS /S MCD =(MR/MD).(MS/MC)=7/10.7/16=47/160 Dođó,từ(3)tacó: S MRS =300.(49/160)=91,875(cm 2 ).  Bài5(8): ChotamgiácABCkhôngvuông.CácđườngcaoBB’,CC’cắtnhautạiH.GọiKlàtrung điểmcủaAH,IlàgiaođiểmcủaAHvàB’C’.Chứngminhrằng:IlàtrựctâmcủatamgiácKBC.  Lờigiải:  Trườnghợp1: TamgiácABCnhọn(hìnhvẽ).GọiLlàđiểm đốixứngcủaHquaBC. Tacó: ÐBLC= ÐBHC= ÐB'HC'(đối đỉnh)=180 o  ÐBAC(VìAC'HB'nộitiếp) => ÐBLC+ ÐBAC=180 o =>tứgiácABLCnộitiếp => ÐCLA= ÐCBA.(1) Mặtkhác,vì ÐBB'C= ÐBC'C(=90 o )nêntứgiácBC’B’Cnộitiếp=> ÐAB'C'= ÐCBC'. (2) Từ(1)và(2)=>: ÐCLI= ÐAB'I=>tứgiácCLIB’nộitiếp=> ÐB'CI= ÐB'LI.(3) Theogiảthiết,tamgiácAHB’vuôngtạiB’,B’KlàtrungtuyếnnênKB’=KH=> ÐKB'H= Ð KHB'= ÐBHL= ÐBLH(vìtamgiácBLHcântạiB)=>tứgiácKB’LBnộitiếp,suyra ÐB'BK = ÐB'LK.(4) Từ(3)và(4)=>tứgiácBCB’Enộitiếp(ElàgiaocủaCIvàBK) => ÐBEC= ÐBB'C=90 o =>CIvuônggócvớiBK. Chúýrằng:KIvuônggócvớiBC VậyIlàtrựctâmcủatamgiácKBC. Trườnghợp2: TamgiácABCtù,chứngminhhoàntoàntươngtựnhưtrườnghợp1.  Bài1(11): Phântíchsố8030028thànhtổngcủa2004sốtựnhiênchẵnliêntiếp. Lờigiải:  Tathấy:Tổngcủa2004sốtựnhiênchẵnliêntiếplàS=a+(a+2)+ +(a+4006)=[a+(a+ 4006)]:2x2004=(a+2003)x2004. DođóS=8030028tươngđươngvới(a+2003)x2004=8030028haya=2004. Vậy8030028=2004+2006+2008+ +6010.  Bài2(11): TìmsốnguyênalớnnhấtsaochosốT=4 27 +4 1016 +4 a làsốchínhphương.  Lờigiải: Taxétalàsốnguyênthỏamãna≥27vàTlàsốchínhphương.NhậnxétT=4 27 (1+ 4 989 +4 a  27 )=(2 27 ) 2 .(1+2 1978 +(2 a  27 ) 2 ),=>S=1+2 1978 +(2 a  27 ) 2 làsốchínhphương. Chúý:1+2 1978 +(2 a  27 ) 2 >(2 a  27 ) 2 =>1+2 1978 +(2 a  27 ) 2 ≥(2 a  27 +1) 2 Tứclàtacó2 1978 ≥2.2 a  27 =>1978≥a 26=>2004≥a. Vớia=2004thìT=(2 27 ) 2 .(2 1977 +1) 2 làsốchínhphương. Vậysốnguyên alớnnhấtcầntìmlàa=2004  Bài4(11): TínhgócAcủatamgiácABCbiếtrằng ÐO 1 OO 2 =90 o vớiO 1 ,O,O 2 lầnlượtlàtâm củacácđườngtrònnộitiếp,ngoạitiếpvàbàngtiếp(tronggócA)củatamgiácABC.  Lờigiải: GọiIlàgiaođiểmcủaAO 2 với đườngtròn(O). Tathấy: ÐIBO 1 = ÐIO 1 B(=(ÐA+ ÐB)/2)=>ΔIBO 1 cântạiI,từđóIB=IO 1 (1). Mặtkhác ÐO 1 BO 2 =90 o nên ÐIBO 2 = ÐIO 2 BhayΔIBO 2 cântạiI=>IB=IO 2 (2). Từ(1),(2)=>IO 1 =IO 2 . Theogiảthiết ÐO 1 OO 2 =90 o =>OI=1/2.O 1 O 2 . DođóOI=BI=OB=R(bánkínhcủađườngtròn(O))=>ΔBIOđều=> ÐBOI=60 o ,=> ÐBAI =30 o .Vậy ÐBAC=60 o .  Bài5(11): VềphíangoàicủatamgiácABCtadựngcáctamgiácvuôngđồngdạngABE,ACF(Ð ABE= ÐACF=90 o ). Chứngminhrằng:BF,CEvàđườngcaoAHcủatamgiácđồngquy.  Lờigiải: Cách1: (củabạnVõVănTuấn,7A5,THCSBuônHồ,KRôngBuk,ĐắkLắk) Vì ΔBEA đồngdạngvới ΔCFAnênAB/EB=AC/FC. TrêntiađốicủatiaAHlấy điểmKsaocho:AK=AB/EB.BC=AC/FC.CB(hình1) VìAK=AB/EB.BCnênAK/AB=BC/BE(1) Mặtkhác: ÐKAB= ÐCBE(2)(haigóccócạnhtươngứngvuônggócvàcùngtù) Từ(1),(2)=>:ΔKABđồngdạngvới ΔCBE =>:ÐABK= ÐBEC=> ÐABK+ ÐEBK= ÐBEC+ ÐEBK =>:90 o = ÐENB(NlàgiaođiểmcủaECvàBK)=>CEvuônggócvớiBK. Tươngtựnhưvậy:BFvuônggócvớiCK. VậyBF,CE,AHlàbađườngcaocủaΔBCK=>BF,CE,AHđồngquy.  Cách2: (củacácbạnHuỳnhQuốcUyvàTrầnLươngKhiêm,9A,THCSTrầnHưngĐạo,Quảng Ngãi) ĐặtI=BFgiaovớiCE.GọiM,NlàhìnhchiếucủaAtrênCE,BF (hình2). DễthấycáctứgiácAMBE,ANCF,AMIN,AMHCnộitiếp.VìcáctứgiácAMBE,ANCFnộitiếp vàvì ΔABEđồngdạngvới ΔACFnêntacó: ÐBME= ÐBAE= ÐCAF= ÐCNF=> ÐBMC= ÐBNC =>TứgiácBMNCnộitiếp=> ÐMNB= ÐMCB(1) VìtứgiácAMINnộitiếpnên: ÐMNB= ÐMAI(2) VìtứgiácAMHCnộitiếpnên: ÐMCB= ÐMAH(3) Từ(1),(2),(3)=>: ÐMAI= ÐMAH=>tiaAItrùngtiaAH=>IthuộcAH=>BF,CE,AHđồng quy. Trênđây,tamớichỉvẽhìnhvàgiảibàitoántrongtrườnghợpcácgócABC,ACB<90 o .Nếu Ð ACB≥90 o hoặc ÐACB≥90 o thìtacũngcólờigiảitươngtự.  Bài1(12): ChosốtựnhiênN=2003 2004 .ViếtNthànhtổngcủaksốtựnhiênnàođón 1 ,n 2 ,…,n k . S=n 1 3 +n 2 3 +…+n k 3 .TìmsốdưcủaphépchiaScho6.  Lờigiải:  Vìa 3 a=a.(a 2 1)=(a 1).a.(a+1)làtíchcủabasốnguyênliêntiếpnên a 3 achiahếtcho6với mọisốnguyêna. ĐặtN=n 1 +n 2 +…+n k ,tacó: S N=(n 1 3 +n 2 3 +…+n k 3 )  (n 1 +n 2 +…+n k )=(n 1 3  n 1 )+(n 1 3  n 1 )+… +(n k 3 n k )chiahết cho6=>SvàNcócùngsốdưkhichiacho6. Mặtkhác,2003chiacho6dư5=>2003 2 chiacho6dư1=>N=2003 2004 =(2003 2 ) 1002 chiacho6 dư1.Vậy:Schiacho6dư1.  Bài4(12): ChohìnhthangvuôngABCDcóAD//BC,ABvuônggócvớiAD,AD=4cm,AB= BC=2cm.Hãytìmmộtcon đườngngắnnhấtđitừđỉnhAtớimộtđiểmMtrêncạnhDC,rồitới điểmNtrêncạnhAB,quaylạimộtđiểmPtrêncạnhDCvàtrởvềA.  Lờigiải: BàitoánđưavềtìmgiátrịnhỏcủatổngT=AM+MN+NP+PA. Tacầnkếtquảsau. Bổđề: Trongmộthìnhthangvuông,độdài đoạnthẳngnốihai điểmnằmtrênhaicạnhbênkhông nhỏthuađộdài đáynhỏ(cácbạntựchứngminhbổđềnày). ápdụngbổđề,tacó:MN≥BC;NP≥BC=>MN+NP≥2BC(1). DựngCHcuônggócvớiAD.NhậnthấytứgiácABCHlàhìnhvuông,=>:CH=AH=AB=BC= 2cm=>DH=2cm. TacóCH=AH=HD=2cm=>ΔCADvuôngcântạiC. VìP,MthuộcCD=>PA≥AC;AM≥AC=>AM+PA≥2AC(2). Từ(1),(2)=>T≥2(AC+BC)= đẳngthứcxảyrakhivàchỉkhiP,M,CtrùngnhauvàNtrùngvớiB. Vậycon đườngngắnnhấtthỏamãn điềukiện đềbàidài chínhlàconđường:A đếnC đếnBđếnCđếnA.  Bài5(13) :ChohìnhthangABCDcóABsongsongvàbằngmộtnửaCD.HlàtrungđiểmcủaCD. ĐiểmMnằmngoàihìnhthangsaochoMHvuônggócvàbằngmộtphầntưCD. Bênngoàihìnhthang,tadựngcáctamgiácADE,BCFvuôngcântạiE,F.Chứngminhrằngtam giácMEFvuôngcântạiM.  Lờigiải :  Cách1 :(củabạnChuToànThắng)Trướchết,tanhắclạimộtbổđềquenthuộc.  Bổđề(*) :ChotamgiácABC.Vềphíangoàicủatamgiác,tadựngcáctamgiácABE,ACFvuông cântạiE,F.MlàtrungđiểmcủaAB.Khi đó,tamgiácMEF vuôngcân. Trởlạibàitoán. TrêntiađốicủatiaMD,lấy điểmKsaocho:MK=MD(hình1). Dễthấy:KCvuônggócvớiDC (1)vàCK=2MH(2) dd>Từ(1)=>: ÐKCF=360 o  ÐKCD ÐDCB  ÐBCF=360 o 90 o (180 o  ÐCBA)45 o = 45 o + ÐCBA= ÐFBC+ ÐCBA= ÐABFVậy: ÐKCF= ÐABF Từ(2)=>:KC=1/2CD=AB(4) Từ(3),(4)vàCF=BF(dotamgiácBCFvuôngcântạiF)tacó:ΔKCF=ΔABF (c.g.c) =>FK=FA; ÐCFK= ÐAFB => ÐKFA= ÐCFB+ ÐCFK  ÐBFA= ÐCFB=90 0 =>ΔAKFvuôngcântạiF. ápdụngbổđề(*)chotamgiácADKvàcáctamgiácADE,AKFvuôngcântạiE,Ftacó: ΔMEF vuôngcântạiM.  Cách2 :(củabạnNguyễnTài Đại) GọiKlàtrungđiểmcủaAB.Lấy điểmNnằmngoàihìnhthangABCDsaochoNK=AB;NK vuônggócvớiAB(hình2). Dễthấy:tamgiácMHC=tam giácBKN=>MC=NB;mặtkhác,AB//CDvàtamgiácBCF vuôngcântạiFnên ΔFMC=ΔFNB(c.g.c)=>ΔMFNvuôngcântạiF(bạn đọctựchứngminh). Tươngtựnhưvậy,ΔMENvuôngcântạiE. =>MENFlàhìnhvuông=>tamgiácMEFvuôngcântạiM. Bài1(14): Chox;ythỏamãn: Hãytínhgiátrịcủabiểuthứcsau: T=x 2003 +y 2003 .  Lờigiải: Nhậnxét: Dođókếthợpvớigiảthiếttasuyra: Cộngtheotừngvếcủahai đẳngthứctrêntacó:y+x=x y. Suyrax+y=0.DođóT=x 2003 +y 2003 =x 2003 +(x) 2003 =x 2003 x 2003 =0.  Bài4(14): Cho∆ABC.TrêncáctiađốicủacáctiaCB,AC,BAlầnlượtlấycácđiểmA 1 ,B 1 ,C 1 saochoAB 1 =BC 1 =CA 1 .Chứngminhrằngnếu∆A 1 B 1 C 1 đềuthì∆ABCcũngđều.  Lờigiải:  Giảsử∆A 1 B 1 C 1 đều.Khôngmấttínhtổngquáttacóthểgiảthiết: Khiđó:CB 1 ≥AC 1 ≥BA 1 hayCA ≥AB≥BC(doAB 1 =BC 1 =CA 1 ),suyra Mặtkhác,từ(*)suyra:(do∆A 1 B 1 C 1 đều).Nhưng [...]...Từ (1), (2) suy ra ∆ABC đều (đpcm).  Bài 5(14) :  Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, AB = BC. Một đường tròn (O) đi qua A, B. Các tiếp  tuyến với (O) kẻ từ A, C cắt nhau tại S. T là tiếp điểm của SC và (O). SB cắt (O) tại E (E khác B).  Chứng minh rằng : ET // AB.  Lời giải :... Mặt khác, vì tứ giác AETB nội tiếp nên : РTEA = РTBC (2)  Từ (1), (2) ta có : ∆TEA đồng dạng với ∆TBC => РEAT = РBCT.  Từ đó, với chú ý rằng : РEAT = РETS, ta có : РBCT = РETS => ET // AB (hai góc đồng vị  bằng nhau).  Bài 4(15) : Cho tam giác ABC có AB > AC. Trên các cạnh AB, AC lấy các điểm N, M tương ứng,  sao cho AN = AM. Gọi O là giao điểm của BM, CN.  Chứng minh rằng : OB > OC.  Lời giải : (của bạn Dương Cao Nguyên) . b 2003 . =>:a 2001 +b 2002 +c 2003 =a 2003 +b 2003 +c 2003 =1  Nhậnxét:  1/Từlờigiảitrên,kếthợpvới(1)hoặc(2)cóthể=>trongba số a,b,ccóđúng một số bằng1và hai số cònlạibằng0. 2/ Một số bạntừ(1)=>0≤a≤1làsai. Một số bạntự thêmgiảthiếta,b,clàcác số nguyêndương.  Bài 4(4): ChoΔABCnhọn,bađườngcaoAD,BEvàCFcắtnhautạiH.QuaAvẽcácđườngthẳng songsongvớiBE,CFlầnlượtcắtcácđườngthẳngCF,BEtạiPvàQ.ChứngminhrằngPQvuông gócvới trung tuyến. <317(p=3hoặcp=7).Trườnghợpnàycũngchỉcó một số thỏamãn là:307 2 =94249.Tómlạicó7 số thỏamãn điềukiện bài ra:10201,12321,40804,14641,44844, 69696,94249.  Nhậnxét:  Nếu bài toán cóthêm điềukiệna,b,cđôi một khácnhauthìchỉcó5 số thỏamãnđề bài.  Bài 3(2): ChotamgiácABC.CácđiểmM,NtheothứtựthuộccáccạnhAB,ACsaochodiệntích tamgiácAMNbằng một nửadiệntíchtamgiácABC(M≠B;N≠C).Chứngminh:Trọngtâmcủa tamgiácABCnằmtrongtamgiácAMN.  Lờigiải: (củabạn. y=x 2 +xy+y 2 ≥3xy(2) Nếux=0,từ(1)tacóy=y 2 =>y=0. Nếux≠0,thayx=1vào(2)=>1≥3y=>y=0,thayy=0vào(1)=>x=x 2 =>x=1. Tómlại:Cóhaicặp số (0,0);(1,0)thỏamãn đề bài.  Bài 2(4): Choa,b,clà3 số thỏamãn