Bài tập :Giải các phương trình sau: 1.. Bài tập: Giải các phương trình sau: 1... Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một trong hai phương án A và B.. Mỗi sự sắp xếp của
Trang 1PHẦN I ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
I CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG THỂ NÀO QUÊN
1 Hai cung đối nhau: -x và x
6 Công thức cộng lượng giác
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
sin( ) sin cos sin cos
sin( ) sin cos sin cos
21sin cos sin( ) sin( )
Trang 2Trường THPT Cam Ly Bài tập Toán khối 11
A CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
I/ GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
Bài 1: Cho sin 3 < <3 Tính cos ,tan ,cot
p
Bài 2: Cho 5cosa + 4 = 0 (180 < a < 270 o o).Tính sina , tana, cota
Bài 3: Cho tan15o= -2 3 Tính sin15 ,cos15 ,cot15 o o o
Bài 4: Tính A tan x cot x
c/tan x = sin x+sin x.tan x; d/sin x.tanx + cos x.cotx + 2sinx.cosx = tanx + cotx
Bài 6: Chứng minh các đẳng thức sau:
a/ = tan x-cot x; b/ = 1+2tan x; c/ +tanx =
sinx 1+cosx 2 1-sinx cosx sinx+cosx-1 cosx
1-cosx 1+cosx sinx 1+cotx 1+tanx
1 tan x-tan y sin x-sin yi/ 1-cosx 1+cot x = ; j/ =
1+cosx tan x.tan y sin x.sin y
Bài 7: * Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x:
A=2 sin x+cos x -3 sin x+cos x ; B=cos x 2cos x-3 +sin x 2sin x-3
C=2 sin x+cos x+sin xcos x - sin x+cos x ; D=3 sin x-cos x +4 cos x-2sin x +6sin x
sin x+cos x-1 E= sin x+4cos x + cos x+4sin x; F= ;
sin x+cos x+3cos x-1 H=cosx 1-sinx 1-cosx 1-sin x +sinx 1-cosx 1-sinx 1-cos x ;(x 0; )
2
p
é ù
ê ú Î
Trang 3A sin a sin 2 a sin 3 a sin 100 a
B cos 1710 x 2sin x 2250 cos x 900 2sin 720 x cos 540 x
1 2
sin x cos x 99 2
III/ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Bài 8: Tính giá trị các HSLG của các cung sau: 15 ,75 ,105 ,285 ,3045o o o o o
Bài 9: Tính giá trị các HSLG của các cung sau: 7 13 19 103 299, , , ,
-ïîa/ Tính tan x( +y ; tan x) +tan y b/ Tính tanx , tany c/ Tính x và y
Trang 4Trường THPT Cam Ly Bài tập Toán khối 11
Bài 14: Tínhtan
4
p a
tan 25 tan 20 1 tan15
1 tan 25 tan 20 1 tan15
3 tan 225 cot81 cot 69
Bài 17: Chứng minh biểu thức sau độc lập đối với x:
A cos x cos2 2 x cos2 x B sin x sin2 2 2 x sin2 2 x
a / cos a b cos a b cos a sin b cos b sin a
b / sin a b sin a b sin a sin b cos b cos a
c / sin a b cos a b sin a cosa sin bcos b
d / sin a sin a 2 sin a
Bài 19: Loại 5: Hệ thức lượng trong tam giác
Cho tam giác ABC.Chứng minh:
Công thức biến đổi:
Bài 20: BIẾN ĐỔI THÀNH TỔNG
d / 2sin x.sin 2x.sin 3x; e / 8cos x.sin 2x.sin 3x;
f / sin x sin x cos 2x; g / 4cos a b cos b c cos c a
Trang 5( ) ( ) ( )
a / cos 4x cos3x; b / cos3x cos6x; c / sin 5x sin x
d / sin a b sin a b ; e / tan a b tan a; f / tan 2a tan a
-Bài 22: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Trong tam giác ABC.Hãy chứng minh và học thuộc các kết quả sau :
11/ sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC
12/ cos2A + cos2B + cos2C = 1
4cosA.cosB.cosC13/ sin A + sin B + sin C = 2 1 +cosA.cosB.cosC
14/ cos A + cos B + cos C = 1 - 2cosA.cosB.cosC
15/ sinA + sinB - sinC = 4sin sin cos
( tiếp theo Loại 5- Trang 8)
Bài 23: Chứng minh DABC vuông nếu:
sin B C sin B C
C tan B sin B
a / tan A.tan B.tan 1; b / ; c /
2 tan C sin C sin B sin C sin B sin C
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau
1) y = cosx + sinx 2) y = cos 1
2
x x
Trang 6Trường THPT Cam Ly Bài tập Toỏn khối 11
3
10) y = 1 1
sinx 2 osxc
II Xột tớnh chẵn, lẻ của cỏc hàm số lượng giỏc
Chỳ ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx
sin2(-x) = sin(-x)2= (-sinx)2 = sin2x
Phương phỏp: Bước 1 : Tỡm TXĐ D ; Kiểm tra x D x D x,
Bước 2 : Tớnh f(-x) ; so sỏnh với f(x) Cú 3 khả năng
Có x để ( ) ( ) không chẳn, không lẻ
Bài 2 Xột tớnh chẳn, lẻ của cỏc hàm số sau
1) y = -2cosx 2) y = sinx + x 3) y = sin2x + 2
4) y = 1
2 tan2x 5) y = sin x + x2 6) y = cos 3x
III Xột sự biến thiờn của hàm số lượng giỏc
Chỳ ý : Hàm số y = sinx đồng biến trờn mỗi khoảng 2 ; 2
Hàm số y = cosx đồng biến trờn mỗi khoảng k2 ; 2 k
Hàm số y = cosx nghịch biến trờn mỗi khoảng k2 ; k2
Hàm số y = tanx đồng biến trờn mỗi khoảng ;
Hàm số y = cotx nghịch biến trờn mỗi khoảng k ; k
Bài 3* Xột sự biến thiờn của cỏc hàm số
Trang 7Chú ý Hsố y = f(x) đồng biến trên K y = A.f(x) +B
Bài 5* Lập bảng biến thiên của hàm số
1) y = -sinx, y = cosx – 1 trên đoạn ;
IV Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác
Chú ý : 1 sinx 1 ; -1 cosx 1 ; 0 sin2 x 1 ; A2 + B B
Bài 6*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số
1) y =
2sin(x-2
) + 3 2) y = 3 – 1
Chú ý :
Hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn a b; thì ma ;ax ( )b f x f b( ) ; min ( )a ;b f x f a( )
Hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn a b; thì ma ;ax ( )b f x f a( ) ; min ( )a ;b f x f b( )
k v u
( k Z )cos u = cos v u = v + k2 ( k Z )tanu = tanv u = v + k ( k Z )cotu = cotv u = v + k ( k Z )
2/ Phương trình đặc biệt :
sinx = 0 x = k , sinx = 1 x =2 + k2 ,sinx = -1 x = - 2 + k2
cosx = 0 x = 2 + k , cosx = 1 x = k2 , cosx = -1 x = + k2
3/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Là phương trình có dạng : acosx + bsinx = c (1) trong đó a2 + b2 0
Cách 1: acosx + bsinx = c 2 2 cos( )
a
Trang 8Trường THPT Cam Ly Bài tập Tốn khối 11
Cách 2 :
Xét phương trình với x = + k , k Z
Với x + k đặt t = tan 2x ta được phương trình bậc hai theo t :
(c + b)t2 – 2at + c – a = 0 Chú ý : pt(1) hoặc pt( 2) có nghiệm a2 + b2 - c2 0
Bài tập :Giải các phương trình sau:
1 3 cosx sinx 2 , 2 cosx 3 sinx 1
3 3 sin 3x 3 cos 9x 1 4 sin 3 3x
4 ( cos sin 4 x 4 x
5 cos 7x sin 5x 3 (cos 5x sin 7x), 6 tanx 3cotx4(sinx 3 cos )x
7 3(1 cos 2 ) cos
2sin
x
x x
4/ Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác :
Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác là phương trình có dạng : f[u(x)] = 0 với u(x) = sinx hay u(x) = cosx hay u(x) = tanx hay u(x) = cotx
Đặt t = u(x) ta được phương trình f(t) = 0
Bài tập: Giải các phương trình sau:
1 2cos2x +5sinx – 4 = 0 , 2 2cos2x – 8cosx +5 = 0
3 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x 4 2(sin4x + cos4x) = 2sin2x – 1
5 sin42x + cos42x = 1 – 2sin4x 6 x cos 2 x
9 6sin 32 xcos12x4 10 4sin4x12cos2x7
5/ Phương trình đẳng cấp theo sinx và cosx :
a/ Phương trình đẳng cấp bậc hai : asin2x +b sinx cosx + c cos2x = 0
Cách 1 :
Xét cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm
Xét cosx 0 chia hai vế của phương trình cho cos2x rồi đặt t = tanx
Cách 2: Thay sin2x = 12 (1 – cos 2x ), cos2x = 21 (1+ cos 2x) ,
sinxcosx = 21 sin2x ta được phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x
b/ Phương trình đẳng cấp bậc cao : Dùng phương pháp đặt ẩn phụ t = tanx sau khi đã xét phương trình trong trường hợp cos x = 0 hay x = 2 + k ,kZ
Bài tập :
1 2sin2x – 5sinx.cosx – cos2 x = - 2
2 3sin2x + 8sinxcosx + ( 8 3 - 9)cos2x = 0
3 4sin2x +3 3 sin2x – 2cos2x = 4
4 6sinx – 2cos3x = 5sin2x.cosx
Trang 9Đặt t = cosx + sinx , điều kiện 2 t 2 khi đó sinxcosx = t22 1
Ta đưa phưong trình đã cho về phương trình bậc hai theo t
Chú ý : nếu phương trình có dạng :a( cosx - sinx ) + b sinxcosx + c = 0
Đặt t = cosx - sinx , điều kiện 2 t 2 khi đó sinxcosx = 12t2
Bài tập : Giải các phương trình sau :
1 3(sinx + cosx ) +2sin2x + 3 = 0
2 sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12
3 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1
4 sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = 0
5 cosx –sinx – 2sin2x – 1 = 0
7 Các phương trình lượng giác khác.
Bài 1: Giải các phương trình sau :
1/ cos 2x + 3cosx +2 = 0 , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3/ 6 – 4cos2x – 9sinx = 0,
4/ 2cos 2x + cosx = 1 , 5/ 2tg2x + 3 = cos3 x , 6/ 4sin4 +12cos2x = 7
Bài 2 : Giải các phương trình sau :
1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) HD : đặt t =sinx
6/ sin2x(cotx +tanx ) = 4cos2x ĐS : cosx = 0 , cos 2x =21
7/ 2cos2 2x +cos 2x = 4sin22xcos2x
13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – 2 HD : Đưa về PT bậc hai theo sinx
14/ sin2x + cos 2x + tanx = 2 ĐS : x = 4 + k
15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0
II PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC n THEO SINX ,COSX.
Giải các phương trình sau :
1/ sin2 x + 2sin 2x –3 +7cos2x = 0
2/ cos3x – sin3x = cosx + sinx
3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos3x
Trang 10Trường THPT Cam Ly Bài tập Tốn khối 11
4/ sin3x + cos3x = 2( sin5x + cos5x ) ĐS : x= 4 +k2
8/ 6sinx – 2cos3x = 5sin 2x cosx
III PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PT PHẢN ĐỐI XỨNG
Giải các phương trình sau :
1/ cos3x + sin3x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos3x + cos 2x +sinx = 0 3/ 1 + sin3x + cos3x = 23sin2x 4/ 6( cos x – sinx ) + sinxcosx + 6 = 0
5/ sin3x – cos3x = 1 + sinxcosx 6/ sin cos 103
sin
1 cos
11/ 2cos 2x + sin2x cosx + cos2x sinx = 2( sinx + cosx )
IV.PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC
Giải các phương trình sau:
1/ sin 2x +2cos2x = 1 + sinx –4cosx 2/ sin 2x – cos 2x = 3sinx +cosx – 2 3/ sin2x + sin23x – 3cos22x = 0 4/ cos3x cos3x – sin3xsin3x = cos34x + 14 5/ sin4
sin cos
1
sin cos
11/ sin2 )
4 2
(x
tan2x – cos2
2
x
= 0 12/ cotx – tanx + 4sinx = sin1x
13 / sinxcosx + cosx = - 2sin2x - sinx + 1 4 / sin 3x = cosxcos 2x ( tan2x + tan2x )
2 sin 2 1
3 sin 3 cos (sin
x 16/ sin23x – cos24x = sin25x – cos26x
17 / cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0 18/ 4 2
D TỔ HỢP
Tĩm tắt giáo khoa
Trang 11I Quy tắc đếm
1 Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một trong hai phương án A và
B Phương án A có thể thực hiện bởi n cách; phương án B có thể thực hiện bởi m cách.Khi đó, công việc được thực hiện theo n + m cách
2 Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B Công đoạn A có thể
thực hiện bởi n cách; công đoạn B có thể thực hiện bởi m cách Khi đó, công việc đượcthực hiện bởi n.m cách
II Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp
1 Hoán vị:
a Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đó theo một thứ tự
định trước là một phép hoán vị các phần tử của tập A
b Định lý: Số phép hoán vị của tập hợp có n phần tử , kí hiệu Pn là: Pn = n! = 1.2.3…n
2 Chỉnh hợp:
a Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử Xét số k mà 1 k n Khi lấy ra k phần tửtrong số n phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đó theo một thứ tự định trước, ta được mộtphép chỉnh hợp chập k của n phần tử
a Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số k mà 1 k n Một tập hợp con của
A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử
là khai triển theo số mũ của a tăng dần
Các Dạng bài toán cơ bản Dạng 1: Bài toán về quy tắc đếm
Phương pháp giải: Cần phân biệt công việc phải làm được tiến hành theo phương án A
hoặc B để chọn quy tắc cộng, hoặc bao gồm công đoạn A và B để chọn quy tắc nhân.
Trang 12Trường THPT Cam Ly Bài tập Toán khối 11
Bài 1: Bạn X vào siêu thị để mua một áo sơ mi, thoe cỡ 40 hoặc 41 Cỡ 40 có 3 màu
khác nhau, cỡ 41 có 4 màu khác nhau Hỏi X có bao nhiêu cách chọn?
Bài 2: Cho tập A 0;1; 2;3; 4 Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số gồm ba chữ số khác nhau chọntrong số các phần tử của A?
Bài 3: Từ tập A 1, 2,3, 4,5 hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số 1xuất hiện 3 lần, còn các chữ số khác xuất hiện một lần?
Dạng 2: Thực hiện phép hoán vị
Phương pháp giải:
Sử dụng phép xếp đặt của n phần tử có thứ tự: Pn = n! = 1.2.3…n
Thực hiện quy tắc cộng hoặc quy tắc nhân
Bài 4: Bạn X mời hai bạn nam và ba bạn nữ dự tiệc sinh nhật Bạn định xếp nam, nữ
ngồi riêng trên các chiếc ghế, xếp theo một hàng dài Hỏi X có bao nhiêu cách xếp đặt?
Bài 5: Trong mặt phẳng cho 7 điểm A, B, C, D, E, M, N khác nhau Có bao nhiêu vectơ
nối hai điểm trong các điểm đó?
Bài 6: Từ tập A 0,1, 2,3, 4,5 có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau?
Bài 7: Cho 7 điểm phân biệt không tồn tại ba điểm thẳng hàng Từ 7 điểm trên có thể lập
được bao nhiêu tam giác?
Dạng 5: Tìm n * trong phương trình chứa k k
Dạng 6: Tìm phần tử đặc biệt trong khai triển của (a + b) n
Phương pháp giải: Sử dụng công thức khai triển của nhị thức Newton:
khai triển theo lũy thừa của a giảm dần, b tăng dần)
Bài 10: Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển (11 + x)11
Bài 11: Trong khai triển
, (x > 0), hãy tìm số hạng không chứa x
Bài 12: Tìm hệ số của x8 trong khai triển 1 x 1 x 2 8
Trang 131) Số hạng thứ 13 trong khai triển (3 x)- 25
2) Số hạng thứ 18 trong khai triển (2 x )- 2 25
3) Số hạng khơng chứa x trong khai triển
12
1xx
Bài 15: Tìm hệ số của số hạng trong các khai triển sau
1) Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 4
3) Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 8 éêë1 x (1 x)+ 2 - ùúû8
4) Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 5 ( 2 3)10
1 x+ +x +x5) Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 3 (x2- x+2)10
6) Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 4 (1 x+ +3x )2 10
7) Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển:3
E CẤP SỐ CỘNG
Kiến thức cần nhớ:
1 Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), trong đó, kể từ
số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đỗi gọi là công sai
Gọi d là công sai, theo định nghĩa ta có: un+1 = un + d (n = 1, 2, )
Trang 14Trường THPT Cam Ly Bài tập Tốn khối 11 Đặc biệt: Khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số trong đó tất cả các số hạng đều
bằng nhau
Để chỉ rằng dãy số (un) là một cấp số cộng,ta kí hiệu u1, u2, , un,
2 Số hạng tổng quát
Định lí: Số hạng tổng quát un của một cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai
d được cho bởi công thức: un = u1 + (n - 1)d
3 Tính chất các số hạng của cấp số cộng
Định lí: trong một cấp số cộng, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai ( và trừ số
hạng cuối cùng đối với cấp số cộng hữu hạn), đều là trung bình cộng của hai số
hạng kề bên nó, tức là 1 2 1
k
u u
u (k 2)
4 Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng
Định lí: Để tính Sn tacó hai công thức sau:
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Xác định số hạng cần tìm trong mỗi cấp số cộng dưới đây:
u a
Bài 2: Xác định cấp số cộng có công sai là 3, số hạng cuối là 12 và có tổng bằng
6 4
3 5 2
u u
u u u
Tìm số hạng đầu và công sai của nó
Bài 4: Tìm cấp số cộng có 5 số hạng biết tổng là 25 và tổng các bình phương của
chúng là 165
Bài 5: Tìm 3 số tạo thành một cấp số cộng biết số hạng đầu là 5 và tích số của
chúng là 1140
Bài 6: Tìm chiều dài các cạnh của một tam giác vuông biết chúng tạo thành một
cấp số cộng với công sai là 25
Bài 7: Cho cấp số cộng u1, u2, u3,
Biết u1 + u4 + u7 + u10 + u13 + u16 = 147
Tính u1 + u6 + u11 + u16
Bài 8: Một cấp số cộng (an) có a3 + a13 = 80
Tìm tổng S15 của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó
Bài 9: Một cấp số cộng có 11 số hạng Tổng của chúng là 176 Hiệu của số hạng
cuối và số hạng đầu là 30 Tìm cấp số đó
Bài 10: cho cấp số cộng (an) có a1 = 4, d = -3 Tính a10
Bài 11: Tính u1, d trong các cấp số cộng sau đây:
2
129 14 /
1
9 5 13 5 3
u u S u u
31 /
4
2 45 9 /
3
9 4
1 0 3 6 4
u u u u S S
