Bài tập toán 11 doc

Trường THPT Cam Ly Bài tập Toán khối 11 PHẦN I ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH I CÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG THỂ NÀO QUÊN Hai cung đối nhau: -x x π Hai cung phụ nhau: − x x cos(− x) = cos x sin(− x) = − sin x π  π  sin  − x ÷ = cos x cos  − x ÷ = sin x tan(− x) = − tan x 2  2  cot(− x) = − cot x π  π  tan  − x ÷ = cot x cot  − x ÷ = tan x π − x x Hai cung bù nhau: 2  2  sin(π − x) = sin x π + x x Hai cung Pi: sin(π + x) = − sin x cos(π − x) = − cos x cos(π + x) = − cos x tan(π − x) = − tan x tan(π + x) = tan x cot(π − x) = − cot x cot(π + x) = cot x Các đẳng thức lượng giác a sin x + cos x = b + tan x = cos x c + cot x = d tan x.cot x = sin x Công thức cộng lượng giác cos( x − y ) = cos x.cos y + sin x.sin y cos( x + y ) = cos x.cos y − sin x.sin y sin( x − y ) = sin x.cos y − sin y.cos x sin( x + y ) = sin x.cos y + sin y.cos x Công thức nhân đôi nx nx sin x = 2sin x cos x TQ : sin nx = 2sin cos 2 2 2 cos x = cos x − sin x = 2cos x − = − 2sin x Công thức nhân ba: sin x = 3sin x − 4sin x cos3 x = 4cos x − 3cos x Công thức hạ bậc: − cos x + cos x sin x = cos x = 2 10 Cơng thức biến đổi tích thành tổng cos x.cos y = [ cos( x − y ) + cos( x + y ) ] sin x.sin y = [ cos( x − y ) − cos( x + y ) ] sin x.cos y = [ sin( x − y ) + sin( x + y ) ] 11 Công thức biến đổi tổng thành tích Thanhemail94@yahoo.com.vn- Trường THPT Cam Ly- Thanhemail94@gmail.com Trường THPT Cam Ly Bài tập Toán khối 11 x+ y x− y cos 2 x+ y x− y cos x − cos y = −2sin sin 2 x+ y x− y sin x + sin y = 2sin cos 2 x+ y x− y sin x − sin y = 2cos sin 2 cos x + cos y = 2cos A CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI I/ GI TR LNG GIC 3ổ ỗp < a < 3p ÷ Tính cosa ,tana ,cot a Bài 1: Cho sin a =ữ ỗ ố ứ 5ỗ 2ữ Bi 2: o o Cho 5cosa + = ( 180 < a < 270 ) Tính sina , tana, cota Bài 3: Cho tan15o = - Bài 4: Tính sin15o ,cos15o ,cot15o tan x + cot x 2sin x + 3cos x Tính A = biết sinx = Tính B = biết tanx = -2 3sin x - 2cos x tan x - cot x Tính C= sin x + 3sin x cos x - 2cos x + 4sin x biết cotx = -3 Chứng minh: a/sin x+cos x=1-2sin xcos x; b/sin 6x+cos 6x=1-3sin xcos x (sử dụng công thức) Bài 5: c/tan x = sin x+sin x.tan x; d/sin x.tanx + cos x.cotx + 2sinx.cosx = tanx + cotx Bài 6: Chứng minh đẳng thức sau: 1-2cos x 1+sin x cosx a/ = tan x-cot x; b/ = 1+2tan x; c/ +tanx = 2 1+sinx cosx sin x.cos x 1-sin x sinx 1+cosx 1-sinx cosx sinx+cosx-1 cosx d/ + = ; e/ = ; f/ = 1+cosx sinx sinx cosx 1+sinx sinx-cosx+1 1+sinx 1+cosx 1-cosx 4cotx sin x cos x g/ = ; h/1= sinx.cosx; 1-cosx 1+cosx sinx 1+cotx 1+tanx tan x-tan y sin x-sin y i/ ( 1-cosx ) ( 1+cot x ) = ; j/ = 1+cosx tan x.tan y sin x.sin y Bài 7: * Chứng minh biểu thức sau độc lập x: A=2 ( sin x+cos x ) -3( sin x+cos x ) ; B=cos x ( 2cos x-3) +sin x ( 2sin x-3) C=2( sin x+cos x+sin xcos x ) - ( sin x+cos x ) ; D=3( sin x-cos8 x ) +4 ( cos x-2sin x ) +6sin x sin x+3cos x-1 sin x+cos x+3cos x-1 é pù H=cosx 1-sinx 1-cosx 1-sin x +sinx 1-cosx 1-sinx 1-cos x ;(x Ỵ ê ú 0; ) ê 2ú ë û E= sin x+4cos x + cos x+4sin x; F= sin x+cos x-1 ; sin x+cos x-1 G= II/ GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG ĐẶC BIỆT * Biết HSLG khác: Bài 1: ổp ỗ3 < x < 2pữ ữ ỗ ữ ỗ2 ứ Cho sinx = - 0,96 vi ố ỉ ỉ p p , , a/ Tính cosx ; b/ Tớnh sin ỗ + x ữ cos ( p - x ) , tan ỗ + x ữ cot ( 3p - x ) ữ ữ ỗ ç ÷ ÷ ç2 ø ç è è2 ø Thanhemail94@yahoo.com.vn- Trường THPT Cam Ly- Thanhemail94@gmail.com Trường THPT Cam Ly Bài 2: Tính: Bài tập Tốn khối 11 ỉ ổ p p 2cos ỗ - a ữ ỗ + a ÷ ( p - a ) sin tan ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ2 ữ ỗ2 ố ứ è ø A= - 2cos a; ỉ p ÷ ( p - a) cot ỗ + a ữ sin ç ÷ ç2 è ø ỉp ỉ ỉp ổ p p sin ỗ + a ữ ỗ + bữ sin ỗ - bữ ỗ + a ữ tan cot ữ ỗ ữ ữ ỗ ữ ỗ ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ ữ ỗ2 ç è ø è2 ø è2 ø è2 ø B= + cot b ( cot b - tan b) æp ỗ3 - bữ cos ( 2p - b) tan ( p - a ) cos ( p - a ) cot ỗ ữ ữ ỗ2 ố ứ Bi 3: Đơn giản biểu thức: ỉ 9p ÷ cot ( 12p - a ) + tan ỉp - a ữ ỗ5 A = sin ( 13p + a ) - cos ỗa + ; ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố2 ứ ổ 7p ÷ tan ỉp + a ỉp - a ữ ỗ3 ữ ỗ3 B = cos ( 15p - a ) + sin ỗa cot ữ ữ ỗ ữ ỗ ỗ ữ ữ ố2 ữ ỗ ỗ2 ỗ è è ø ø 2ø ỉ 5p ÷ ỉp ỉ 7p ÷ C = sin ( p + a ) + cos ỗa + ữ cot ( 3p - a ) + tan ỗ - a ữ tan ỗa ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ố ứ ố2 ứ ố 2÷ 2ø Bài 4: Đơn giản biểu thức: A = sin ( p + a ) + sin ( 2p + a ) + sin ( 3p + a ) + + sin ( 100p + a ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( B = cos 1710o - x - 2sin x - 2250 o + cos x + 900o + 2sin 720 o - x + cos 540 o - x ) Bài 5: n gin biu thc: ổp 19 tan ỗ - x ÷ ( 36p - x ) sin ( x - 5p) cos ữ ỗ 2sin 2550o cos ( - 188o ) ữ ỗ ố ứ A= B= + ổp tan 368o 2cos 638o + cos98o ỗ9 - x ữ ( x - 99p) sin ỗ cos ữ ữ ỗ2 ố ứ Bi 6: Chng minh: a / sin825o cos ( - 2535o ) + cos75o sin ( - 555o ) + tan ( 695o ) tan ( 245o ) = ỉ 85p ÷ cos ( 207p + x ) + sin ( 33p + x ) + sin ỉ - 3p ư=1 ữ ỗx b / sin ỗx + + ữ ữ ç ç ÷ ÷ ç ç è è ø 2ø Bài 7: Cho tam giác ABC.Chứng minh: A +B C a / sin(A + B) = sin A; b / cos A + cos(B + C) = 0; c / sin = cos ; 2 3A + B + C d / cosC + cos(A + B + 2C) = 0; e / sin A + cos =0 III/ CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC Bài 8: Tính giá trị HSLG cung sau: 15o ,75o ,105o ,285o ,3045o Bài 9: Tính giá trị HSLG cung sau: 7p 13p 19p 103p 299p , , , , 12 12 12 12 12 ỉ p 12 3p , ( < x < 2p) Bài 10: Tớnh cos ỗ - x ữbit sin x =ữ ỗ ữ ỗ3 ố ứ 13 2 Bài 11: Cho góc nhọn a , b có tan a = , tan b = a/ Tính tan ( a + b) a +b ì p ï ï x +y= ï Bài 12: Cho góc nhọn x y thoả : í ï ï tan x.tan y = - 2 ï ỵ a/ Tính tan ( x + y) ; tan x + tan y b/ Tính tanx , tany b/ Tính c/ Tính x y Thanhemail94@yahoo.com.vn- Trường THPT Cam Ly- Thanhemail94@gmail.com Trường THPT Cam Ly ỉ pư 40 3p ÷ Bi 13: Tớnh tan ỗx - ữ bit sin x =v p < x < ỗ ữ ỗ ố 4ứ 41 ổ pử ữ Bi 14: Tớnh tan ỗa + ữtheo tan a p dng: Tớnh tg15o ỗ ữ ỗ ố 4ứ Bi 15: Bi Toỏn 11 Tính: A = sin 20o cos10o + sin10 o cos 20 o D = sin15o - cos15o B= tan 25o + tan 20o - tan 25o.tan 20o E = sin15o + cos15o C= F= + tan15o - tan15o tan 225o - cot 81o.cot 69o cot 261o + tan 201o Bài 16: Tính: ỉ pư ỉ pư ỉ p ỉ 3p a / A = cos ỗx - ữ ỗx + ữ cos ỗx + ữ ỗx + ữ cos + ỗ cos ữ ỗ ữ ữ ỗ ữ ỗ ỗ ỗ ố ứ ỗ ứ ố ứ ỗ ứ 3ữ ố 4÷ 6÷ è 4÷ ỉ pư ỉ p ỉ 2p ỉ 2p b / B = tan x.tan ỗx + ữ tan ỗx + ữ ỗx + ữ tan ỗx + ữ x + ỗ tan + ç tan ÷ ÷ ç ÷ ÷ ç ÷ ç ữ ỗ ỗ ỗ ố ứ ố ố ứ 3ữ 3ø è 3ø 3÷ Bài 17: Chứng minh biểu thức sau độc lập x: ỉ ỉ ỉp ö æp p p ö 2 A = cos x + cos ỗ + x ữ cos ỗ - x ữ B = sin x + sin ỗ + x ữ sin ỗ + + ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ3 ỗ3 ỗ ỗ ố ứ ố ứ è3 ø è3 Bài 18: Chứng minh: a / cos ( a + b) cos ( a - b ) = cos a - sin b = cos b - sin a x÷ ÷ ÷ ø b / sin ( a + b) sin ( a - b) = sin a - sin b = cos b - cos a c /sin ( a + b ) cos ( a - b ) = sin a cosa + sin bcos b ổ ổ p p d / sin ỗ + a ữ sin ỗ - a ữ sin a = ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ4 ỗ è ø è4 ø Bài 19: Loại 5: Hệ thức lượng tam giác Cho tam giác ABC.Chứng minh: 1/ sinA = sinB.cosC + sinC.cosB 2/ cosA = sinB.sinC - cosB.cosC A B C B C 3/ sin = cos cos - sin sin 2 2 A B C B C 4/ cos = sin cos - cos sin 2 2 ỉ pư 5/ tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC ỗA,B,C ữ ữ ỗ ỗ ố ứ 2ữ A B B C C A 6/ tan tan + tan tan + tan tan =1 2 2 2 A B C A B C 7/ cot + cot + cot = cot cot cot 2 2 2 8/ cotA.cotB +cotB.cotC +cotC.cotA = ( học thuộc kết ) Công thức biến đổi: Bài 20: BIẾN ĐỔI THÀNH TỔNG p 2p a / sin sin b / cos 5x.cos 3x c / sin ( x + 30 o ) cos ( x - 30 o ) 5 d / 2sin x.sin 2x.sin 3x; e / 8cos x.sin 2x.sin 3x; ỉ pư ỉ pư f / sin çx + ÷ çx - ÷ 2x; g / cos ( a - b ) cos ( b - c ) cos ( c - a ) sin cos ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ 6ữ ố 6ứ ố ứ ỗ Bi 21: BIN I THNH TCH Thanhemail94@yahoo.com.vn- Trng THPT Cam Ly- Thanhemail94@gmail.com Trường THPT Cam Ly a / cos 4x + cos3x; b / cos3x - cos 6x; d / sin ( a + b ) - sin ( a - b ) ; e / tan ( a + b ) + tan a; Bài tập Toán khối 11 c / sin 5x + sin x f / tan 2a - tan a Bài 22: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Trong tam giác ABC.Hãy chứng minh học thuộc kết sau : A B C 9/ sinA + sinB + sinC = 4cos cos cos 2 A B C 10 / cosA + cosB + cosC = + 4sin sin sin 2 11/ sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC 12/ cos2A + cos2B + cos2C = -1 - 4cosA.cosB.cosC 13/ sin A + sin B + sin C = ( +cosA.cosB.cosC) 14/ cos A + cos B + cos C = - 2cosA.cosB.cosC A B C 15/ sinA + sinB - sinC = 4sin sin cos 2 ( Loại 5- Trang 8) Bài 23: Chứng minh D ABC vuông nếu: a / sin A = sin B + sin C ; b / sin C = cos A + cos B; c / sin A +sin B +sin C = cos B + cos C Chứng minh D ABC cân nếu: Bài 24: C sin B a / sin A = 2sin B.cos C; b / tan A + tan B = 2cot ; c / tan A + tan B = tan A.tan B; d / = 2cos A sin C Bài 25: Chứng minh D ABC nếu: a / cos A.cos B.cos C = ; b / sin A + sin B +sin C = sin 2A +sin 2B + sin 2C; c / cos A + cos B + cos C = Bài 26: Chứng minh D ABC cân vuông nếu: sin ( B + C) sin ( B - C) tan B sin B C a / tan A.tan B.tan =1; b / = ; c/ = 2 tan C sin C sin B + sin C sin B - sin C Bài 27: Hãy nhận dạng D ABC biết: sin A a / sin 4A + sin 4B + sin 4C = b / cos A + cos B + cos C = c / = 2sin C cos B B HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I Tìm tập xác định hàm số lượng giác Chú ý : 1) 2) 3) 4) 5) A có nghĩa B ≠ (A có nghĩa) ; A có nghĩa A ≥ B −1 ≤ s inx ≤ ; -1 ≤ cosx ≤ π π sin x = ⇔ x = kπ ; s inx = ⇔ x = + k 2π ; s inx = -1 ⇔ x = − + k 2π 2 π cosx = ⇔ x = + kπ ; cosx = ⇔ x = k 2π ; cosx = -1 ⇔ x = π + k 2π π Hàm số y = tanx xác định x ≠ + k π Hàm số y = cotx xác định x ≠ k π Bài 1: Tìm tập xác định hàm số sau 1) y = cosx + sinx 2) y = cos 4) y = cos x − 3x + 5) y = x +1 x+2 cos2x 3) y = sin x + 6) y = − s inx Thanhemail94@yahoo.com.vn- Trường THPT Cam Ly- Thanhemail94@gmail.com Trường THPT Cam Ly + cosx 7) y = 1-sinx 1 − 10) y = s inx 2cosx Bài tập Toán khối 11 π ) 8) y = tan(x + 9) y = cot(2x - π ) II Xét tính chẵn, lẻ hàm số lượng giác Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx sin2(-x) = [ sin(-x) ] = (-sinx)2 = sin2x Phương pháp: Bước : Tìm TXĐ D ; Kiểm tra x ∈ D ⇒ − x ∈ D, ∀x Bước : Tính f(-x) ; so sánh với f(x) Có khả  f (− x ) = f ( x ) → f ch½n   f (− x ) = − f ( x ) f lẻ Có x để f (− x ) ≠ ± f ( x ) → f không chẳn, không lẻ 0 Bi Xét tính chẳn, lẻ hàm số sau 1) y = -2cosx 2) y = sinx + x 4) y = tan2x 3) y = sin2x + 5) y = sin x + x2 6) y = cos 3x III Xét biến thiên hàm số lượng giác π  π    3π π  Hàm số y = sinx nghịch biến khoảng  + k 2π ; + k 2π ÷ 2  Hàm số y = cosx đồng biến khoảng ( −π + k 2π ; k 2π ) Chú ý : Hàm số y = sinx đồng biến khoảng  − + k 2π ; + k 2π ÷ Hàm số y = cosx nghịch biến khoảng ( k 2π ; π + k 2π ) π  π  Hàm số y = cotx nghịch biến khoảng ( k π ; π + k π )   Hàm số y = tanx đồng biến khoảng  − + k π ; + k π ÷ Bài 3* Xét biến thiên hàm số  π π    3π π  3) y = cotx khoảng  − ; − ÷ 2   121π 239π  ; 5) y = tanx đoạn  −    1) y = sinx  − ; ÷  π π ; ÷  12  7) y = tan3x khoảng  −  2π 3π  2) y = cosx khoảng  ; ÷   13π 29π  ; 4) y = cosx đoạn      π 3π   4  6) y = sin2x đoạn  − ; 8) y =sin(x + π ) đoạn  4π 2π  − ;    Bài 4: * Xét biến thiên hàm số Hàm số Khoảng y = sinx y = cosx y = tanx y = cotx  3π   ;π÷    π π − ; ÷  3  23π 25π  ;  ÷    362π 481π  ;− − ÷   Thanhemail94@yahoo.com.vn- Trường THPT Cam Ly- Thanhemail94@gmail.com Trường THPT Cam Ly Bài tập Toán khối 11 Chú ý Hsố y = f(x) đồng biến K ⇒ y = A.f(x) +B đồng biến K A > nghịch biến K A < Bi 5* Lập bảng biến thiên hàm số 1) y = -sinx, y = cosx – đoạn [ −π; π] π   2π π  2) y = -2cos  x + ÷ đoạn  − ;  3   3 IV Tìm GTLN, GTNN hàm số lượng giác −1 ≤ s inx ≤ ; -1 ≤ cosx ≤ ; ≤ sin2 x ≤ ; A2 + B ≥ B Chú ý : Bài 6*: Tìm GTLN, GTNN hàm số π cos2x 1) y = 2sin(x- ) + 2) y = – 4) y = + cos(4x ) - 5) y = s inx + 7) y = sin x − 4s inx + π 3) y = -1 - cos (2x + ) 6) y = 5cos x + 8) y = π 4 − 3cos x + Chú ý : Hàm số y = f(x) đồng biến đoạn [ a ; b ] max f ( x) = f (b) ; f ( x) = f ( a) [ a ; b] [ a ; b] Hàm số y = f(x) nghịch biến đoạn [ a ; b ] max f ( x) = f (a ) ; f ( x) = f (b) [ a ; b] [ a ; b] Bài 7*: Tìm GTLN, GTNN hàm số  π π  π  1) y = sinx đoạn  − ; −   3 3) y = sinx đoạn  − ;0     π π 2) y = cosx đoạn  − ;   2 1 3 4) y = cos π x đoạn  ;  4 2 C.PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC I:LÍ THUYẾT 1/Phương trình lượng giác u = v + k 2π sin u = sin v ⇔  u = π − v + k 2π (k∈Z) cos u = cos v ⇔ u = ± v + k2π (k∈Z) tanu = tanv ⇔ u = v + kπ (k∈Z) cotu = cotv ⇔ u = v + kπ (k∈Z) 2/ Phương trình đặc biệt : π π sinx = ⇔ x = kπ , sinx = ⇔ x = + k2π ,sinx = -1 ⇔ x = + k2π cosx = ⇔ x = π + k π , cosx = ⇔ x = k2π , cosx = -1 ⇔ x = π + k2π 3/ Phương trình bậc sinx cosx Là phương trình có dạng : acosx + bsinx = c (1) a + b2 ≠ Cách 1: acosx + bsinx = c ⇔ a + b cos( x − ϕ ) = c với cos ϕ = a a2 + b2 Thanhemail94@yahoo.com.vn- Trường THPT Cam Ly- Thanhemail94@gmail.com Trường THPT Cam Ly Bài tập Toán khối 11 asinx +bcosx = c ⇔ a + b sin( x + ϕ ) = c với cos ϕ = a a + b2 Cách : Xét phương trình với x = π + kπ , k ∈ Z Với x ≠ π + kπ đặt t = tan x ta phương trình bậc hai theo t : (c + b)t2 – 2at + c – a = Chú ý : pt(1) pt( 2) có nghiệm ⇔ a2 + b2 - c2 ≥ Bài tập :Giải phương trình sau: cos x − sin x = , cos x − sin x = −1 π 4 3 sin 3x − cos x = + sin 3x , sin x + cos ( x + ) = 4 cos x − sin x = (cos x − sin x) , tan x − 3cot x = 4(sin x + cos x) 3(1 − cos x) = cos x 2sin x sin x + sin x = 4/ Phương trình chứa hàm số lượng giác : Phương trình chứa hàm số lượng giác phương trình có dạng : f[u(x)] = với u(x) = sinx hay u(x) = cosx hay u(x) = tanx hay u(x) = cotx Đặt t = u(x) ta phương trình f(t) = Bài tập: Giải phương trình sau: 2cos2x +5sinx – = , 2cos2x – 8cosx +5 = 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x 2(sin4x + cos4x) = 2sin2x – 4x cos = cos x sin42x + cos42x = – 2sin4x 3 = + tan x 5tan x -2cotx - = cos x 6sin x + cos12 x = 10 4sin x + 12cos x = 5/ Phương trình đẳng cấp theo sinx cosx : a/ Phương trình đẳng cấp bậc hai : asin2x +b sinx cosx + c cos2x = Cách : • Xeùt cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm • Xét cos x ≠ chia hai vế phương trình cho cos2x đặt t = tanx Caùch 2: Thay sin2x = sinxcosx = 1 (1 – cos 2x ), cos2x = (1+ cos 2x) , 2 sin2x ta phương trình bậc theo sin2x cos2x b/ Phương trình đẳng cấp bậc cao : Dùng phương pháp đặt ẩn phụ t = tanx sau xét phương trình trường hợp cos x = hay x = Bài taäp : 2sin2x – 5sinx.cosx – cos2 x = - 2 3sin2x + 8sinxcosx + ( - 9)cos2x = 4sin2x +3 sin2x – 2cos2x = 4 6sinx – 2cos3x = 5sin2x.cosx π + kπ ,k∈Z Thanhemail94@yahoo.com.vn- Trường THPT Cam Ly- Thanhemail94@gmail.com Trường THPT Cam Ly Bài tập Toán khối 11 6/ Phương trình dạng : a( cosx ± sinx ) + b sinxcosx + c = 2 sin x + sin x − 2cos x = t −1 Đặt t = cosx + sinx , điều kiện − ≤ t ≤ sinxcosx = Ta đưa phưong trình cho phương trình bậc hai theo t Chú ý : phương trình có dạng :a( cosx - sinx ) + b sinxcosx + c = 1− t2 Đặt t = cosx - sinx , điều kiện − ≤ t ≤ sinxcosx = Bài tập : Giải phương trình sau : 3(sinx + cosx ) +2sin2x + = sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1 sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = cosx –sinx – 2sin2x – = Các phương trình lượng giác khác Bài 1: Giải phương trình sau : 1/ cos 2x + 3cosx +2 = , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3/ – 4cos 2x – 9sinx = 0, 4/ 2cos 2x + cosx = , 5/ 2tg2x + = , 6/ 4sin4 +12cos2x = cos x Bài : Giải phương trình sau : 1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) HD : đặt t =sinx π 4x 5π = cos x 2/ cos ÑS : x = k3π , x= ± +k3π , x = ± +k3π x x π x x 3/ 1+ sin sinx - cos sin2x = 2cos2 ( − ) ÑS: sinx =1 v sin = 2 4/ 1+ 3tanx = 2sin 2x π HD : đặt t = tanx , ÑS : x = - + k π π +k2π 5/ 2cos 2x – 8cosx + = cos x ÑS : x = k2π , x = ± 6/ sin2x(cotx +tanx ) = 4cos2x ÑS : cosx = , cos 2x = 7/ 2cos2 2x +cos 2x = 4sin22xcos2x 8/ cos 3x – cos 2x = 9/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tanx 10/ sin2x+ 2tanx = 11/ sin2x + sin23x = 3cos22x 12/ tan3( x - π ) = tanx - 13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – 14/ sin2x + cos 2x + tanx = HD :đặt t = tan x HD :đặt t =cos 2x ÑS : x = kπ v x = π + kπ HD : Đưa PT bậc hai theo sinx ÑS : x = π + kπ 15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = II PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC n THEO SINX ,COSX Thanhemail94@yahoo.com.vn- Trường THPT Cam Ly- Thanhemail94@gmail.com Trường THPT Cam Ly Bài tập Tốn khối 11 Giải phương trình sau : 1/ sin2 x + 2sin 2x –3 +7cos2x = 2/ cos3x – sin3x = cosx + sinx 3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos3x 4/ sin3x + cos3x = 2( sin5x + cos5x ) 5/ sin3(x - π ÑS : x= ) = sinx π kπ + ÑS : x = 6/ 3cos4x – sin2 2x + sin4x = π +kπ ÑS :x = ± π π kπ + kπ v x= + 7/ 3sin4x +5cos4x – = 8/ 6sinx – 2cos3x = 5sin 2x cosx III PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PT PHẢN ĐỐI XỨNG Giải phương trình sau : 1/ cos3x + sin3x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos3x + cos 2x +sinx = 3/ + sin3x + cos3x = sin2x 4/ 6( cos x – sinx ) + sinxcosx + = 5/ sin3x – cos3x = + sinxcosx 6/ 1 10 + + sin x + cos x = cos x sin x 7/ tanx + tan2x + tan3x + cotx+cot2x +cot3x = 8/ + 2tan2x + 5tanx + 5cotx + = sin x 9/ + cos3x – sin3x = sin 2x 10/ cos 3x – sin3x = - 11/ 2cos 2x + sin2x cosx + cos2x sinx = 2( sinx + cosx ) IV.PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC KHÁC Giải phương trình sau: 1/ sin 2x +2cos2x = + sinx –4cosx 2/ sin 2x – cos 2x = 3sinx +cosx – 3/ sin2x + sin23x – 3cos22x = 5/ sin4 4/ cos3x cos3x – sin3xsin3x = cos34x + x x + cos4 = – 2sinx 2 7/ sin6x + cos6x = sin4x + cos4x 9/ 3sin3x - cos 9x = + 4sin3x x π 11/ sin2 ( − ) tan2x – cos2 6/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 8/ sin4x + cos4x – cos2x = – 2sin2x cos2x cos x + sin x = sin x 10/ − cos x x =0 12/ cotx – tanx + 4sinx = 13 / sinxcosx + cosx = - 2sin2x - sinx + cos x + sin x ) = cos x + 15/ 5(sin x + + sin x sin x / sin 3x = cosxcos 2x ( tan2x + tan2x ) 16/ sin23x – cos24x = sin25x – cos26x (2 − sin 2 x)sin x 18/ tan x + = cos x 17 / cos3x – 4cos2x +3cosx – = x 19/ tanx +cosx – cos2x = sinx (1+tanx.tan ) Thanhemail94@yahoo.com.vn- Trường THPT Cam Ly- Thanhemail94@gmail.com 10 Trường THPT Cam Ly ( a + b) – Bài tập Toán khối 11 n = ∑ C k a k b n − k khai triển theo số mũ a tăng dần n n k =0 Các Dạng toán Dạng 1: Bài toán quy tắc đếm Phương pháp giải: Cần phân biệt công việc phải làm tiến hành theo phương án A B để chọn quy tắc cộng, bao gồm công đoạn A B để chọn quy tắc nhân Bài 1: Bạn X vào siêu thị để mua áo sơ mi, thoe cỡ 40 41 Cỡ 40 có màu khác nhau, cỡ 41 có màu khác Hỏi X có cách chọn? Bài 2: Cho tập A = { 0;1; 2;3; 4} Có số chẵn mà số gồm ba chữ số khác chọn số phần tử A? Bài 3: Từ tập A = { 1, 2,3, 4,5} hỏi lập số có chữ số cho chữ số xuất lần, chữ số khác xuất lần? Dạng 2: Thực phép hốn vị Phương pháp giải: • Sử dụng phép xếp đặt n phần tử có thứ tự: Pn = n! = 1.2.3…n • Thực quy tắc cộng quy tắc nhân Bài 4: Bạn X mời hai bạn nam ba bạn nữ dự tiệc sinh nhật Bạn định xếp nam, nữ ngồi riêng ghế, xếp theo hàng dài Hỏi X có cách xếp đặt? Dạng 3: Thực phép chỉnh hợp Phương pháp giải: Phép xếp đặt có thứ tự k phần tử n phần tử: n! n − k) ! ( A k = n ( n − 1) ( n − k + 1) = n Bài 5: Trong mặt phẳng cho điểm A, B, C, D, E, M, N khác Có vectơ nối hai điểm điểm đó? Bài 6: Từ tập A = { 0,1, 2,3, 4,5} lập số có chữ số khác nhau? Dạng 4: Thực phép tổ hợp Phương pháp giải: Phép xếp đặt khơng có thứ tự k phần tử chọn n phần tử: Ck = n n! k!( n − k ) ! ( ≤ k ≤ n) Bài 7: Cho điểm phân biệt không tồn ba điểm thẳng hàng Từ điểm lập tam giác? k k Dạng 5: Tìm n ∈ ¥ * phương trình chứa Pn , A n , Cn Phương pháp giải: Dùng công thức: Pn = n! ( n ≥ 1) ; A k = n ( n − 1) ( n − k + 1) = n Bài 8: Tìm n ∈ ¥* , có: 2Pn = A3 n Pn −1 Bài 9: Tìm n ∈ ¥* , có: 6n − + C3 ≥ C3 +1 n n n! ( n − k) ! (1 ≤ k ≤ n) ; k Cn = n! k!( n − k ) ! ( ≤ k ≤ n) ( 1) ( 2) Dạng 6: Tìm phần tử đặc biệt khai triển (a + b)n Phương pháp giải: Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton: ( a + b) n n = ∑ C k a n − k b k = C0 a n + C1 a n −1b + C a n − b + + C k a n − k b k + + C n b n n n n n n n k =0 (khai triển theo lũy thừa a tăng, b giảm) (Chú ý: ( a + b ) n n = ∑ Ck a k bn − k n k =0 khai triển theo lũy thừa a giảm dần, b tăng dần) Thanhemail94@yahoo.com.vn- Trường THPT Cam Ly- Thanhemail94@gmail.com 12 Trường THPT Cam Ly Bài tập Tốn khối 11 11 Bài 10: Tìm số hạng chứa x khai triển (11 + x) 10 Bài 11: Trong khai triển   2 x − ÷ x  , (x > 0), tìm số hạng khơng chứa x Bài 12: Tìm hệ số x8 khai triển 1 + x ( − x )    10 Bài 13: Cho khai triển: ( + 2x ) = a + a1x + a x + + a10 x10 , có hệ số số lớn Bài 14: Tìm số hạng khai triển sau 1) Số hạng thứ 13 khai triển (3 - x)25 a , a1 , a , , a10 Tìm hệ 2) Số hạng thứ 18 khai triển (2 - x2)25 12 ỉ 1ư çx + ÷ 3) Số hạng khơng chứa x khai trin ỗ ữ ữ ỗ xứ ố 12 28 ổ ữ ỗ 4) 32) S hng khụng cha x khai trin ỗx x + x 15 ữ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ 5) 33) Số hạng chứa a, b có số mũ khai triển 21 ỉ a b ÷ ç3 ÷ ç ÷ ç b+ ø ç è Bài 15: Tìm hệ số số hạng khai triển sau 12 ỉ khai trin ỗx - ữ 1) H s ca s hng cha x ữ ỗ ữ ỗ3 x ứ ố 12 ổ1 ỗ + x5 ữ 2) H s ca s hng cha x khai trin ỗ ữ ữ ỗ ốx3 ứ 3) H s ca s hạng chứa x8 khai triển é + x2(1 - x) ù ê ú ë û 4) Hệ số số hạng chứa x5 khai triển ( + x + x2 + x3 ) 10 5) Hệ số số hạng chứa x3 khai triển (x2 - x + 2)10 6) Hệ số số hạng chứa x4 khai triển (1 + x + 3x2)10 7) Hệ số số hạng chứa x3 khai triển: 8) S(x) = (1 + x)3 + (1 + x)4 + (1 + x)5 + + (1 + x)50 9) Hệ số số hạng chứa x3 khai triển: 10) S(x) = (1 + 2x)3 + (1 + 2x)4 + (1 + 2x)5 + + (1 + 2x)22 11)Tìm hệ số số hạng chứa x10 khai triển (1 + x)10(x + 10 ) Dạng 7: Tìm tổng có chứa Ck n Phương pháp giải: Từ đề bài, ta liên kết với nhị thức khai triển cho x giá trị thích hợp, từ suy kết k n Bài 16: Tính tổng: S1 = C0 + C1n + C2 + + Cn ; S2 = C0 − C1n + C2 − + ( −1) C k + + ( −1) C n n n n n n n n 2n 2n −1 Bài 17: Tính tổng: S3 = C2n + C2n + C2n + + C2n ; S4 = C2n + C2n + + C2 n n Bài 18: Tính tổng: T = C0 − 2C1n + 22 C2 − 23 C3 + + ( −2 ) C n n n n n Thanhemail94@yahoo.com.vn- Trường THPT Cam Ly- Thanhemail94@gmail.com 13 Trường THPT Cam Ly Bài tập Toán khối 11 E CẤP SỐ CỘNG Kiến thức cần nhớ: Định nghóa: Cấp số cộng dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), đó, kể từ số hạng thứ hai, số hạng tổng số hạng đứng trước với số không đỗi gọi công sai Gọi d công sai, theo định nghóa ta có: un+1 = un + d (n = 1, 2, ) Đặc biệt: Khi d = cấp số cộng dãy số tất số hạng Để dãy số (un) cấp số cộng,ta kí hiệu ÷ u1, u2, , un, Số hạng tổng quát Định lí: Số hạng tổng quát un cấp số cộng có số hạng đầu u1 công sai d cho công thức: un = u1 + (n - 1)d Tính chất số hạng cấp số cộng Định lí: cấp số cộng, số hạng kể từ số hạng thứ hai ( trừ số hạng cuối cấp số cộng hữu hạn), trung bình cộng hai số hạng kề bên nó, tức uk = u k −1 + u k +1 (k ≥ 2) Tổng n số hạng đầu cấp số cộng Định lí: Để tính Sn tacó hai công thức sau: • Sn tính theo u1 d • Sn tính theo u1 un n [ 2u1 + (n − 1)d ] n S n = (u1 + u n ) Sn = BAØI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Xác định số hạng cần tìm cấp số cộng đây: a /÷ 2,5,8, tìm u15 b / ÷ + ,4,2 − , tìmu20 ĐS: a / u15 = 44 b / u 20 = 40 − 18 Bài 2: Xác định cấp số cộng có công sai 3, số hạng cuối 12 có tổng 30 u + u − u = 10 Bài 3: Cho cấp số cộng: u + u = 26  Tìm số hạng đầu công sai Bài 4: Tìm cấp số cộng có số hạng biết tổng 25 tổng bình phương chúng 165 Bài 5: Tìm số tạo thành cấp số cộng biết số hạng đầu tích số chúng 1140 Bài 6: Tìm chiều dài cạnh tam giác vuông biết chúng tạo thành cấp số cộng với công sai 25 Bài 7: Cho cấp số cộng ÷ u1, u2, u3, Biết u1 + u4 + u7 + u10 + u13 + u16 = 147 Tính u1 + u6 + u11 + u16 Thanhemail94@yahoo.com.vn- Trường THPT Cam Ly- Thanhemail94@gmail.com 14 Trường THPT Cam Ly Bài tập Tốn khối 11 Bài 8: Một cấp số cộng (an) có a3 + a13 = 80 Tìm tổng S15 15 số hạng cấp số cộng Bài 9: Một cấp số cộng có 11 số hạng Tổng chúng 176 Hiệu số hạng cuối số hạng đầu 30 Tìm cấp số Bài 10: cho cấp số cộng (an) có a1 = 4, d = -3 Tính a10 Bài 11: Tính u1, d cấp số cộng sau đây: S =  / 45 S =  u + u10 = −31 / 2u − u = u + u = 14 1/ S13 = 129 u = 19 / u = 35 38 ; 2/ u1 = vaø d = 39 3/ u1 = vaø d = ; 4/ u1 = d = ĐS: 1/ u1 = 53 vaø d = 13 Baøi 12: Cho cấp số cộng (un) có u3 = -15, u14 = 18 Tính tổng 20 số hạng Bài 13: Cho cấp số cộng (un) có u1 = 17, d = Tính u20 S20 ĐS: u20 = 74, S20 = 910 Bài 14: Cho cấp số cộng (un) có a10 = 10, d = -4 Tính u1 S10 ĐS: u1 = 46, S10 = 280 Bài 15: Cho cấp số cộng (un) có u6 = 17 u11 = -1 ĐS: d = − Tính d vaø S11 18 vaø S11 = 187 Baøi 16: Cho cấp số cộng (un) có u3 = -15, u4 = 18 Tìm tổng 20 số hạng ĐS: S20 = 1350 CẤP SỐ NHÂN Kiến thức cần nhớ: Định nghóa: Cấp số nhân dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), tronh kể từ số hạng thứ hai số hạng tích số hạng đứng trước với số không đỗi gọi công bội Gọi q công bội, theo định nghóa ta có un+1 =un.q (n = 1, 2, ) Đặc biệt: Khi q = cấp số nhân dãy số dạng u1, 0, 0, , 0, Khi q = cấp số nhân dãy số dạng u 1, u1, , u1, Nếu u1 = với q, cấp số nhân dãy số 0, 0, , Để dãy số (un) cấp số nhân ta thường dùng kí hiệu u1, u2, , un, Số hạng tổng quát Định lí: Số hạng tổng quát cấp số nhân cho công thức: n −1 un = u1 q (q ≠ ) Tính chất số hạng cấp số nhân Thanhemail94@yahoo.com.vn- Trường THPT Cam Ly- Thanhemail94@gmail.com 15 Trường THPT Cam Ly Bài tập Toán khối 11 Định lí: Trong cấp số nhân, số hạng kể từ số hạng thứ hai (trừ số hạng cuối cấp số nhân hữu hạn) có giá trị tuyệt đối trung bình nhân hai số hạng kề bên nó, tức là: u k = u k −1 u k +1 (k ≥ 2) Toång n số hạng đầu cấp số nhân Cho cấp số nhân với công bội q ≠ u1, u2, ,un, Định lí: Ta có: S n = u1 qn −1 q −1 (q ≠ 1) BAØI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Tìm số hạng cấp số nhân biết: 1/ Cấp số nhân có số hạng mà u1 = 243 u6 = 2/ Cho q = , n = 6, S6 = 2730 Tìm u1, u6 Bài 2: Cho cấp số nhân có: u3 = 18 u6 = -486 Tìm số hạng công bội q cấp số nhân Bài 3: Tìm u1 q cấp số nhân biết: u − u = 72  u − u = 144 Bài 4: Tìm u1 q cấp số nhân (un) có: u3=12, u5=48 Bài 5: Tìm u q cấp số nhân (un) biết: u1 + u + u = 13  u + u + u = 351 Bài 6: Tìm cấp số nhân (un) biết cấp số có số hạng có tổng 360 số hạng cuối gấp lần số hạng thứ hai Bài 7: Tổng số hạng liên tiếp cấp số cộng 21 Nếu số thứ hai trừ số thứ ba cộng thêm ba số lập thành cấp số nhân Tìm ba số Thanhemail94@yahoo.com.vn- Trường THPT Cam Ly- Thanhemail94@gmail.com 16 Trường THPT Cam Ly Bài tập Tốn khối 11 PHẦN II HÌNH HỌC CHƯƠNG 1: PHÉP BIẾN HÌNH  Câu 1: Trong mặt phẳng oxy,phép tịnh tiến theo vectơ v( a; b) biến điểm M(x;y) thành M’(x’;y’) Tìm tọa độ điểm M' r Câu 2:Trong mặt phẳng oxy cho điểm M (1;2) Phép tịnh tiến theo vectơ v(2;3) biến điểm M thành điểm N Tìm tọa độ điểm N Câu 3: Trong mặt phẳng oxy cho điểm A(4;5) Tìm điểm B(x,y) cho A ảnh r điểm B qua phép tịnh tiến theo v(2;1) : Câu4 : Trong hình sau đây, hình có ba trục đối xứng: A) tam giác B) hình chữ nhật C) Hình vuông D)Hình thoi Câu5: Trong mặt phẳng oxy Cho điểm M(2;3) Phép đối xứng qua trục ox biến điểm M thành M’ Tìm tọa độ điểm M' Câu 6: Trong mặt phẳng oxy cho đường thẳnr d có phương trình : x+y -5=0 Tìm ảnh g đường thẳng d qua phép tịnh tiến vectơ v(1;1) ? Error! Not a valid link Trong mặt phẳng oxy cho đường thẳng d có phương trình : 3x+5y-4=0.Tìm ảnh Error! Not a valid link.phép đối xứng trục ox Câu :Error! Not a valid link.Phép đối xứng qua gốc toạ độ biến điểm M thành điểm N Tìm tọa độ điểm N? Error! Not a valid link.Error! Not a valid link 3x+4y-6=0, phép đối xứng qua gốc toạ độ biến d thành d’ Tìm phương trình d' Error! Not a valid link đường tròn (C) có phương trình (x-5)2 +(y-4)2 =36 Phép tịnh r tiến theo vectơ v(1;2) biến (C) thành (C’) Tìm phương trình (C') Error! Not a valid link đường tròn (C) có phương trình (x-5)2 +(y-4)2 =25 Phép đối xứng qua gốc toạ độ biến (C) thành (C’) Tìm phương trình (C') Câu 12 :Trong phép biến hình sau phép phép dời hình ? A) phép đồng dạng với tỉ số k=1 ; B) phép vị tự tỉ số k= ±1 ; C) phép tịnh tiến ; D)phép chiếu vuông góc Câu 13 : Error! Not a valid link đường tròn (C) có phương trình (x-1)2 +(y-3)2 =16 Phép dời hình có cách thựcrhiện liên tiếp phép đối xứng qua gốc toạ độ biến (C) thành (C') phép tịnh tiến v(1;4) biến (C') thành (C’') Tìm phương trình (C'') Câu 14 :Cho hình vuông ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo Thực phép quay tâm O biến hình vuông ABCD thành Tìm số đo góc quay đó? Câu 15 : Phép vị tự tâm O tỉ số k (k ≠ 0) phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ cho : u ur uu u uu uu r A) OM = k OM ' u uu uu r u ur uu B) OM ' = k OM C) OM’ =k OM u uu uu r D) OM ' = uu u ur OM k Caâu 16 : mp oxy cho điểm M( -2;4 ) Phép vị tự tâm O tỉ số k = -2 biến điểm M thành điểm N Tìm tọa độ điểm N Câu 17 : mpoxy cho đường thẳng d có PT: 2x + y – = Phép vị tự tâm O tỉ số k = biến d thành đường thẳng d' Tìm phương trình d'? Câu 18 : mpoxy cho đường tròn (C) có phương trình : ( x -1 ) + y2 = 16 phép vị tự tâm O tỉ số k = biến (C) thành đường tròn (C') Tìm phương trình (C') Thanhemail94@yahoo.com.vn- Trường THPT Cam Ly- Thanhemail94@gmail.com 17 Trường THPT Cam Ly Bài tập Tốn khối 11 Câu 19 : Thực liên tiếp hai phép đối xứng trục có hai trục đối xứng song song phép naò sau đây: A) phép đối xứng trục B) phép tịnh tiến C) phép quay D) phép đối xứng tâm Câu 20 : Trong mp oxy cho điểm M(1;2) phép đồng dạng có cách thực liên tiếp phép V o phép đối xứng qua trục oy biến M thành điểm N Tìm N? Câu 21 :Trong mặt phẳng oxy cho đường thẳng d có phương trình : x+ y+2=0 phép đồng dạng có cách thực liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số phép đối xứng qua trục ox biến d thành d’ Tìm phương trình d'? Câu 22 : Trong phép biến hình sau phép biến hình tính chất “biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với nó”: A) phép đối xứng tâm B) phép tịnh tiến C) phép vị tự D) phép đối xứng trục Câu 23: Cho đường tròn (C ) có phương trình (x-1) + (y-2)2 =4 Phép đồng dạng có cách thực liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k=3 phép tịnh tiến theo u r vectơ V (1;2) biến (C) thành (C') Tìm (C') ? Câu 24 : Cho đường tròn (C ) có phương trình (x-1)2 + (y-2)2 =4 Phép đồng dạng có cách thực liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k=3 phép đối xứng qua gốc toạ độ biến (C) thành (C') Tìm (C')? Câu 25 : Chọn khẳng định sai khẳng định sau : A)phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có bán kính B) phép đối xứng trục biến đường tròn thành đường tròn có bán kính C) phép đối xứng tâm biến đường tròn thành đường tròn có bán kính D) phép vị tự biến đường tròn thành đường tròn có bán kính CHƯƠNG QUAN HỆ SONG SONG Vấn đề : TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG α VÀ β : Muốn tìm giao tuyến hai mặt phẳng α β ta tìm hai điểm chung I ; J α β α ∩∪ β = I J Khi tìm điểm chung ta ý : β  Cách gọi tên hai mặt phẳng để phát điểm chung J I • •  M ∈ d d ⊂ α M∈α a ∩ b = M trong(P)  a ⊂ α ; b ⊂ β  M điểm chung α 1: 1)Cho tứ diện ABCD có E trung điểm AB Hãy xác định giao tuyến mặt phẳng (ECD) với mặt phẳng (ABC) ; (ABD) ; (BCD) ; (ACD) 2)Cho tứ diện SABC điểm I đoạn SA; d đường thẳng (ABC) cắt AB; BC J ; K Tìm giao tuyến mặt phẳng (I,d) với mặt phẳng sau : (SAB) ; (SAC) ; (SBC) 2: 1)Cho tứ giác lồi ABCD điểm S không nằm mặt phẳng chứa tứ giác Tìm giao tuyến : a) (SAC) (SBD) b) (SAB) (SCD) c) (SAD) (SBC) 2)Cho hình chóp S.ABCDE Hãy xác định giao tuyến mặt phẳng (SAC) với mặt phẳng (SAD) ; (SCE) Thanhemail94@yahoo.com.vn- Trường THPT Cam Ly- Thanhemail94@gmail.com 18 Trường THPT Cam Ly Bài tập Toán khối 11 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi ; M điểm cạnh CD Tìm giao tuyến mặt phẳng : a)(SAM) (SBD) b)(SBM) ; (SAC) 4: Cho tứ diện ABCD; M điểm nằm ∆ABC; N điểm nằm ∆ACD Tìm giao tuyến : a) (AMN) (BCD) b) (CMN) (ABD) 5: Cho tứ diện ABCD M nằm AB cho AM = MB ; N nằm AC cho AN = 3NC; điểm I nằm ∆BCD Tìm giao tuyến : a) (MNI) (BCD) b) (MNI) (ABD) c) (MNI) (ACD) 6: Cho tứ diện ABCD ; gọi I ; J trung điểm AD; BC a) Tìm giao tuyến : (IBC) (JAD) b)M điểm AB; N điểm AC Tìm giao tuyến (IBC) (DMN) 7: Cho hai đường thẳng a ; b ∈ (P) điểm S không thuộc (P) Hãy xác định giao tuyến mặt phẳng chứa a S với mặt phẳng chứa b S ? 8: Cho tứ diện ABCD ; AB ; AC lấy hai điểm M N cho : AM AN ≠ Tìm giao tuyến (DMN) (BCD) MB NC 9; Cho bốn điểm ABCD không đồng phẳng ; gọi I ; K trung điểm AD ; BC Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (IBC) (KAD) ? 10 : Trong mặt phẳng α cho hình thang ABCD có đáy AB ; CD ; S điểm nằm ngồi mặt phẳng hình thang Tìm giao tuyến : a) (SAD) (SBC) b) (SAC) (SBD) 1.11 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang hai đáy AD ; BC Gọi M ; N trung điểm AB ; CD G trọng tâm ∆SAD Tìm giao tuyến : a) (GMN) (SAC) b) (GMN) (SBC) Vấn đề 2: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG VÀ BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY Chứng minh A; B; C thẳng hàng : Chỉ A ; B ; C ∈ α Chỉ A ; B ; C ∈ β Kết luận : A; B; C∈ α ∩∪ β β A B • C • α A; B; C thẳng hàng Chứng minh a ; b ; MN đồng quy : Đặt a ∪∩ b = P Chứng minh M ; N ; P thẳng hàng Kết luận :MN ; a ; b đồng quy P • a b P • • M N Thanhemail94@yahoo.com.vn- Trường THPT Cam Ly- Thanhemail94@gmail.com 19 Trường THPT Cam Ly Bài tập Toán khối 11 1: Cho hai mặt phẳng α β cắt theo giao tuyến d Trên α lấy hai điểm A ; B không thuộc d O điểm hai mặt phẳng Các đường thẳng OA ; OB cắt β A’ ; B’ AB cắt d C a)Chứng minh O; A; B không thẳng hàng ? b)Chứng minh A’ ; B’ ; C’ thẳng hàng ? Từ suy AB ; A’B’; d đồng quy 2: Trong không gian cho ba tia Ox ; Oy ; Oz không đồng phẳng Trên Ox lấy A ; A’ ; Oy lấy B ; B’ Oz lấy C ; C’ cho AB cắt A’B’ D ; BC cắt B’C’ E ; AC cắt A’C’ F Chứng minh D; E ; F thẳng hàng ? 3: Cho A; B; C khơng thẳng hàng ngồi mặt phẳng α Gọi M ; N ; P giao điểm AB ; BC ; AC với α Chứng minh M; N; P thẳng hàng ? 4: 1) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành ; O giao điểm hai đường chéo ; M ; N trung điểm SA ; SD Chứng minh ba đường thẳng SO ; BN ; CM đồng quy 2)Cho tứ diện ABCD.Mặt phẳng α không song song AB cắt AC ; BC ; AD ; BD M ; N ; R ; S Chứng minh AB ; MN ; RS đồng quy ? 5: Chứng minh tứ diện đừơng thẳng nối đỉnh với trọng tâm mặt đối diện đồng quy ? 2.6 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang hai đáy AD ; BC Gọi M ; N trung điểm AB ; CD G trọng tâm ∆SAD Tìm giao tuyến : a) (GMN) (SAB) b) (GMN) (SCD) c) Gọi giao điểm AB CD I ; J giao điểm hai giao tuyến câu a câu b Chứng minh S ; I ; J thẳng hàng ? Vấn đề 3: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU, VÀ CÁC ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG Chứng minh đường thẳng a ; b chéo : b  Giả sử : a không chéo b  Từ suy hai đường thẳng a b nằm mặt phẳng α ( đồng phẳng )  Từ suy điều mâu thuẫn với gỉa thiết mâu thuẫn với điều α a Chứng minh A, B, C, D nằm mặt phẳng – đồng phẳng  Chứng minh hai đường thẳng tạo thành từ bốn A điểm cắt α • song song với • C • D • B α A C • D• B • • 1: Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng a)Chứng minh ba số điểm không thẳng hàng b)Chứng minh AB chéo với CD ? Thanhemail94@yahoo.com.vn- Trường THPT Cam Ly- Thanhemail94@gmail.com 20 Trường THPT Cam Ly Bài tập Toán khối 11 2: Cho hai đường thẳng chéo a b.Trên a lấy hai điểm A, B ; b lấy hai điểm C, D a)Chứng minh AC chéo BD ? b)Lấy M nằm đoạn AC; N nằm đoạn BD Đường thẳng MN có song song AB CD không ? c)O trung điểm MN Chứng minh A, O, C, N đồng phẳng 3: Cho đường thẳng a cắt hai đường thẳng b c Hỏi ba đường thẳng a, b, c có đồng phẳng khơng ? Tại ? 4: Cho tứ diện ABCD Gọi I ; J trung điểm AD; BC a) Chứng minh AB chéo CD ? b) Chứng minh IB chéo JA ? Vấn đề 4: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG D VÀ MẶT PHẲNG α Giả sử phải tìm giao điểm d ∩ α = ? Phương pháp 1: Tìm a ⊂ α Chỉ a ,d nằm mặt phẳng chúng cắt M d ∩∪ α = M ( hình vẽ ) Phương pháp 2: Tìm β chứa d thích hợp Giải tốn tìm giao tuyến a α β Trong β : a ∪∩ d = M d ∪ α = M ( hình vẽ b) d • α M α a M • β a d 1: Cho tứ diện SABC; M ; N điểm nằm ∆SAB ; ∆SBC MN cắt (ABC) P Xác định giao điểm P 2: Cho tứ diện ABCD ; M trung điểm AB; N P điểm nằm AC; AD cho AN : AC = : ; AP : AD = : Tìm giao điểm : a) MN với (BCD) b) BD với (MNP) c) Gọi Q trung điểm NP.Tìm giao điểm MQ với (BCD) 3: A; B ; C ; D bốn điểm không đồng phẳng M; N trung điểm AC; BC Trên đoạn BD lấy P cho BP = 2PD Tìm giao điểm : a) CD với (MNP) b) AD với (MNP) 4: Cho hình chóp SABC ; O điểm ∆ABC ; D E điểm năm SB ; SC.Tìm giao điểm a) DE với (SAO) b) SO với (ADE) 5: Cho tứ diện SABC I ; H trung điểm SA; AB Trên đoạn SC lấy điểm K cho CK = 3KS a)Tìm giao điểm đường thẳng BC với (IHK) ? b)Gọi M trung điểm HI Tìm giao điểm đường thẳng KM với (ABC) ? 6: Cho hình chóp SABCD đáy hình thang ABCD đáy lớn AB I; J; K ba điểm SA; SB; SC Tìm giao điểm IK (SBD); giao điểm (ỊJK) SD; SC Thanhemail94@yahoo.com.vn- Trường THPT Cam Ly- Thanhemail94@gmail.com 21 Trường THPT Cam Ly Bài tập Toán khối 11 7: Gọi I ; J hai điểm nằm ∆ABC; ∆ABD tứ diện ABCD M điểm tuỳ ý CD Tìm giao điểm IJ mặt phẳng (AMB) 8: Hình chóp SABCD đáy hình bình hành ABCD M trung điểm SD a)Tìm giao điểm I BM (SAC) ? Chứng minh : BI = 2IM ? b)Tìm giao điểm J của SA (BCM) ? Chứng minh J trung điểm SA ? c) N điểm tuỳ ý BC Tìm giao điểm MN với (SAC) ? Vấn đề 5: THIẾT DIỆN TẠO BỞI MẶT PHẲNG α VỚI KHỐI ĐA DIỆN Lần lượt xét giao tuyến α với mặt khối đa diện đồng thời xét giao điểm cạnh đa diện với mặt phẳng α Khi đoạn giao tuyến tìm khép kín thành đa giác ta thiết diện phải tìm Việc chứng minh tiết diện có hình dạng đặc biệt hình bình hành; hình thang ; mặt phẳng α nhờ vào trình tìm giao tuyến giao điểm Trong phần ta xét hai cách làm : B A C F E D α I Xác định thiết diện cách kéo dài giao tuyến II.Xác định thiết diện cách vẽ giao tuyến phụ 1: 1) Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ Gọi M ; N ; P trung điểm AA’ ; AD ; DC Tìm thiết diện tạo mặt phẳng qua M; N; P với hình lập phương ? 2) Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ Gọi M ; N ; P trung điểm DC ; AD ; BB’ Tìm thiết diện tạo mặt phẳng (MNP) với hình hộp giao tuyến (MNP) với mặt phẳng (A’B’C’D’) 2: 1)Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành Gọi E; F; K trung điểm SA ; AB ; BC Xác định thiết diện hình chóp mặt phẳng qua ba điểm E; F ; K 2) Cho hình chóp S.ABCD Gọi A’ ; B’ ; C’ điểm nằm SA ; SB; SC Xác định thiết diện tạo mặt phẳng (A’B’C’) với hình chóp *5 3: Cho tứ diện ABCD ; điểm I nằm BD BD cho ID = 3IB; M ; N hai điểm thuộc cạnh AD ; DC cho MA = MD ; ND = NC a)Tìm giao tuyến PQ (IMN) với (ABC) ? b)Xác dịnh thiết diện tạo (IMN) với tứ diện ? c)Chứng minh MN ; PQ ; AC đồng qui ? *5 4: 1)Cho tứ diện ABCD ; điểm I ; J trọng tâm ∆ABC ; ∆DBC ; M trung điểm AD Tìm tiết diện tạo (MJI) tứ diện ? 2) Cho hình chóp S.ABCDE Lấy ba điểm M ; N ; K SA ; BC ; SD Xác định thiết diện tạo mặt phẳng (MNK) với hình chóp Thanhemail94@yahoo.com.vn- Trường THPT Cam Ly- Thanhemail94@gmail.com 22 Trường THPT Cam Ly Bài tập Toán khối 11 5: Hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang với AB đáy Gọi M ; N trung điểm SB ; SC a)Tìm giao tuyến (SAD) (SBC) ? b)Tìm giao điểm SD với mặt phẳng (AMN) ? c)Tìm tiết diện tạo mặt phẳng (AMN) với hình chóp *5 6: Hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành M trung điểm SC a)Tìm giao điểm I AM với (SBD) ? Chứng minh IA = 2IM b)Tìm giao điểm F SD với (AMB) ? Chứng minh F trung điểm SD ? c)Xác định hình dạng tiết diện tạo (AMB) với hình chóp d)Gọi N điểm cạnh AB Tìm giao điểm MN với (SBD) ? *5.7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O Gọi M ; N ; P trung điểm SB ; SD ; OC a) Tìm giao tuyến (MNP) với (SAC) ? b) Dựng thiết diện (MNP) với hình chóp ? c) Tính tỉ số mà (MNP) chia cạnh SA ; BC ; CD ? ĐS: c) : ; : ; : 5.8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành; gọi M trung điểm SB ; G trọng tâm ∆SAD a) Tìm giao điểm I GM với (ABCD) ? b) Chứng minh (CGM) chứa đường thẳng CD ? c) Chứng minh (CGM) qua trung điểm SA ? d) Dựng tiết diện (CGM) với hình chóp ? *5.9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O ; I ; J trọng tâm ∆SAB ; ∆SAD a) Tìm giao điểm JI với (SAC) ? b) Dựng thiết diện tạo (JIO) với hình chóp 5.10 Cho hình chóp SABCD Gọi I ; M ; N ba điểm SA ; AB ; CD a) Tìm giao tuyến (SAN) (SDM) ? b) Hãy xác định thiết diện tạo (IMN) với hình chóp BÀI TẬP TỔNG HỢP 1: Cho tứ diện ABCD ; I điểm nằm đoạn BD Mặt phẳng α qua I cắt AB; BC; CD; DA M; N; P; Q a) Chứng minh I ; M ; Q thẳng hảng ba điểm I ; N ; P thẳng hàng ? b) Chứng minh MN; AC; PQ đồng qui ? 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành M trung điểm SD; E điểm cạnh BC a) Tìm giao điểm N SC với (AME) ? b) Tìm giao tuyến (AME) với (SAC) ? c) Tìm giao điểm K SA với (MBC) ? Chứng minh K trung điểm SA 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành F trung điểm CD; E điểm cạnh SC cho SE = 2EC Tìm tiết diện tạo (AEF) với hình Thanhemail94@yahoo.com.vn- Trường THPT Cam Ly- Thanhemail94@gmail.com 23 Trường THPT Cam Ly Bài tập Toán khối 11 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành I trung điểm SD; E điểm cạnh SB cho SE = 3EB a) Tìm giao điểm F CD với mặt phẳng (AIE) ? b) Tìm giao tuyến d (AIE) với (SBC) ? c) Chứng minh BC ; AF ; d đồng qui ? 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi F trung điểm SC; E điểm cạnh BC cho BE = 2EC a)Tìm tiết diện tạo (AEF) với hình chóp ? b) Tìm giao điểm SB với (AEF) ? 6: Hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O ; M trung điểm SB; G trọng tâm ∆SAD a) Tìm giao điểm I GM với (ABCD) chứng minh I nằm đường thẳng CD IC = 2ID ? b) Tìm giao điểm J (OMG) với AD ? Tính tỉ số c)Tìm giao điểm K (OMG) với SA ? Tính JA JD KA KS HD: b) c) 7: Cho tứ diện ABCD; AD lấy N cho AN = 2ND ; M trung điểm AC ; BC lấy Q cho BQ = BC a) Tìm giao điểm I MN với (BCD) ? Tính IC:ID b) Tìm giao điểm J BD với (MNP) ? Tính JB:JD Cho tứ diện ABCD Gọi I ; J hai điểm cố định nằm AB ; AC ỊJ không song song với BC Mặt phẳng α quay quanh IJ cắt cạnh CD ; BD M ; N a) Chứng minh MN qua điểm cố định ? b) Tìm tập hợp giao điểm IN JM ? c)Tìm tập hợp giao điểm IM JN ? Cho hình chóp SABC Gọi A’ ; B’ ; C’ điểm di động SA ; SB ; SC thoả : SA’ = 1 SA ; SB’ = SB ; SC’ = SC n +1 2n + 3n + a) Chứng minh A’B’ qua điểm cố định I A’C’ qua điểm cố định J n thay đổi ? b) Chứng minh (A’B’C’) chừa đường thẳng cố định HD: a) dùng định lí menelaus b) đường IJ Vấn đề HAI ĐT SONG SONG Phương pháp : Có thể dùng cách sau : - Chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng , áp dụng phương pháp chứng minh song song rong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lý đảo định lý Ta-lét ) - Chứng minh hai đường thẳng song song song với đường thẳng thứ - Áp dụng định lý giao tuyến Thanhemail94@yahoo.com.vn- Trường THPT Cam Ly- Thanhemail94@gmail.com 24 Trường THPT Cam Ly Bài tập Tốn khối 11 6.1 Cho hai hình bình hành ABCD ABEF không nằm mặt phẳng Trên hai đường thẳng chéo AC BF lấy hai điểm M ; N cho AM : AC = BN : BF = 1: Chứng minh MN //< DE 6.2 Cho hai hình bình hành ABCD ABEF không nằm mặt phẳng Trên hai đường thẳng chéo AC BF lấy hai điểm M ; N cho AM : AC = BN : BF = Dựng MM' < AB với M' AD; NN' < AB với N' AF Chứng minh : a) MM' NN' //< CD b) M’N 0), tìm số hạng khơng chứa x Bài 12: Tìm hệ số x8... Thanhemail94@gmail.com 11 Trường THPT Cam Ly ( a + b) – Bài tập Toán khối 11 n = ∑ C k a k b n − k khai triển theo số mũ a tăng dần n n k =0 Các Dạng toán Dạng 1: Bài toán quy tắc đếm Phương... 6x; d / sin ( a + b ) - sin ( a - b ) ; e / tan ( a + b ) + tan a; Bài tập Toán khối 11 c / sin 5x + sin x f / tan 2a - tan a Bài 22: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Trong tam giác ABC.Hãy chứng