Bài tập toán ôn thi đại học khối D 2009 có lời giải hướng dẫn

www.saosangsong.com.vn Năm học 2009-2010 1 NHÁY D 2009. Thời gian làm bài : 180 phút Câu 1 (2 điểm ). Cho hàm số y = x 4 – (2m – 1) x 2 + 4m – 3 (1) a) Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị khi m = 2 . b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y = 3 tại 4 điểm đều có hoành độ < 2. Câu 2 (2 điểm ) : 1. Giải phương trình : 2 3 sin 4x 2cos3xcosx - 2sin (x ) π ++ + 1 = 0 2. Giải hệ: 2 2 (x )(x 2) 12 0 80 (x ) 4 0 (x ) yy y y −++−= ⎧ ⎪ ⎨ ++− = ⎪ − ⎩ Câu 3 (1 điểm ). Tính tích phân I = ln 3 x 0 x 1 d e + ∫ Câu 4 (1 điểm ). Cho lăng trục đều ABC. A’B’C’ có AA’ = 4a 2 , cạnh đáy là 2a. M là điểm trên AA’ sao cho BM hợp mặt phẳng ACC’A’ một góc 30 0 . a) Tính thể tích khối chóp MABC’. b) Tình khoảng cách từ A đến mặt phẳng (MBC’) Câu 5 (1 điểm ). Cho x , y là các số thực không âm thoả x + y = 4, tìm GTLN và NN của biểu thức T = 22 2x 2 x x 2 2 yy y ++ + ++ Câu 6 (3 điểm ). 1. Trong hệ trục Oxy, cho đường thẳng d : x – y – 3 = 0 và đường tròn (C) : x 2 + (y + 4) 2 = 25. Tam giác OAB vuông cân tại O, có A thuộc d và B thuộc (C). Tìm toạ độ điểm A, B. 2. Trong hệ trục Oxyz cho đường thẳng d : x = 2t – 5; y = t ; z = t – 4 và mặt phẳng (P) : x + y – 3z + 6 = 0 . Viết phương trình đường thẳng d’ nằm trong (P) , cắt Oz và vuông góc với d. 3. Tìm m sao cho đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị hàm số y = 2 x 1 x 2 + + tại hai điểm A, B sao cho trung điểm của AB thuộc đường tròn (O; 5). GIẢI VẮN TẮT. Câu 1. 2. PT hoành độ giao điểm : x 4 – (2m – 1) x 2 + 4m – 6 = 0 Δ = 4m 2 – 4m + 1 – 16m + 24 = 4m 2 – 20m + 25 = (2m – 5) 2 ≥ 0. Với m ≠ 5/2 và , ta có 4 giao điểm , có hoành độ là : 210 3/2 460 m m m −> ⎧ <=> > ⎨ −> ⎩ 23;23;2;mm−− −− 2 . YCBT Ù 0 < 2m – 3 < 4 Ù 3/2 < m < 7/2. Vậy 3/2 < m < 7/2 , ≠ 5/2. www.saosangsong.com.vn Năm học 2009-2010 2 Câu 2. 1. 3 sin 4x + cos 4x + cos 2x + cos 2x = 0 Ù 31 sin 4 cos 4 cos 2 22 x xx+=− Ù cos(4x - ) cos(2 ) 3 x π π =+ . . . 2. . Hệ Ù 22 222 2 x 2(x - ) 12 (x - y ) + 4(x ) = 80 yy y ⎧ −+ = ⎪ ⎨ − ⎪ ⎩ Đặt u = x 2 – y 2 ; v = 2(x – y): 22 12 8; 4 4; 8 80 uv uv uv uv += = = ⎧ ⎧ <=> ⎨⎨ = = += ⎩ ⎩ Cách khác: Đặt a = x + y, b = x – y, ta được hệ: 2 2 (2)1 80 4 ba a b 2+ = ⎧ ⎪ ⎨ += ⎪ ⎩ Thế b = 12/(a + 2) từ phương trình đầu vào phương trình sau, ta được : a 2 + 4 = 2 80( 2) 144 a + . . . Câu 3. Đặt t = x 1e + => t 2 = e x + 1 => 2tdt = e x d x => d x = 2 2 1 tdt t − I = 22 2 11 211 (1) 1 1 tdt dt tt t t ⎛⎞ =− ⎜⎟ −−+ ⎝⎠ ∫∫ . . . Câu 4. Gọi H là trung điểm AC, ta có B H vuông góc (ACC’A’) A B C A B’ C’ M H K Ta có : góc BMH = 30 0 => MH = BH 33a= Ö MA = 22 22MHAH a−= => M là trung điểm AA’. Vì CC’ //AM nên khoảng cách từ C’ đến (ABM) bằng khoảng cách từC đến (ABM) = a 3 (chiều cao tam giác ABC). 3 111 26 . . 3 . .2 .2 2. 3 332 3 ABM a Sa aaa== Ö V = b) Khoảng cách d từ A đến (BMC’) là chiều cao của hình chóp A.BMC’ : d = ' 3 BMC V s Tam giác BMC’ là tam giác cân tại M biết BM = C’M = 2a 3và BC’ = 6a. Kẻ đường cao MK , ta tính được diện tích tam giác BMC’là 22 11 .6.(2 3) (3) 22 a a a :. '.BC MK = −= 33a . Suy ra : d = 22 3 a . Câu 5. Đặt x + y = S, xy = P. Ta có: S 2 – 4P ≥ 0 Ù P ≤ 4 . Vậy 0 ≤ P ≤ 4. T = 222 2 22 2x y+ 4x + y + 2y +2y x 4 + x + 2 x x 2(x+ ) 4 y yy + ++ = 2 25(2)2 24 PS S P S SP +−+ ++ www.saosangsong.com.vn Năm học 2009-2010 3 Thay S = 4 : T = 28 12 P P −+ + 8 | => T nghịch biến => max T = T(0) = 22/3 , minT = T(4) = 80/16 = 5. Câu 6. 1. Gọi A(a; a – 3) là toạ độ của A. Vì .0 ||| OA OB OA OB ⎧ = ⎪ ⎨ = ⎪ ⎩ JJJG JJJG JJJGJJJG nên B = (a – 3 ; - a) hay B = (- a + 3; a) . B thuộc (C) Ù Ù 22 22 ( 3) ( 4) 25 ( 3) ( 4) 25 aa aa ⎡ −+−+ = ⎢ −++ = ⎣ 2 2 2140 {0; 1; 7} 220 aa a aa ⎡ −= <=> ∈ − ⎢ += ⎣ Ghi nhớ: Nếu và là hai vectơ có độ dài bằng nhau và vuông góc nhau, thế thì nếu u G v G (; )uAB= G thì (; ) (;) B A v B A − ⎡ = ⎢ − ⎣ G . 2. d’ cắt Oz tại giao điểm của Oz và (P) là (0; 0; 2). D’ vừa vuông góc với () (1; 1 ; 3) P n = − JJJG và , do đó có VTCP là (2 ;1;1) d u = JJG () [,](4;7;1 Pd nu )= −− JJJG JJG . Suy ra phương trình của d’ là : 2 47 1 xyz − == − − 3. Phương trình hoành độ giao điểm : x 2 + 1 = (x + 2)(2 x + m) Ù x 2 + (4 + m) x + 2m – 1 = 0 Δ = m 2 + 20 > 0 => luôn có 2 giao điểm. Toạ độ trung điểm I của AB : x = - (m + 4)/2 ; y = - m – 4 + m = - 4 Ta có : (m + 4) 2 /4 + 16 = 25 Ù (m + 4) 2 = 36 Ù m = 2 hay m = - 10 . => 2tdt = e x d x => d x = 2 2 1 tdt t − I = 22 2 11 211 (1) 1 1 tdt dt tt t t ⎛⎞ =− ⎜⎟ −−+ ⎝⎠ ∫∫ . . . Câu 4. Gọi H là trung điểm AC, ta có B H vuông. 2). D vừa vuông góc với () (1; 1 ; 3) P n = − JJJG và , do đó có VTCP là (2 ;1;1) d u = JJG () [,](4;7;1 Pd nu )= −− JJJG JJG . Suy ra phương trình của d