Bài tập toán ôn thi đại học khối A 2004 có lời giải hướng dẫn

www.saosangsong.com.vn Năm học 2009-2010 1 NHÁY A 2004. Thời gian làm bài : 180 phút Câu 1 (2 điểm ). Cho hàm số : y = 2 x + 2 x 2 2x 2 −− − (1) 1) Khảo sát biến thiên và và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) 2) Tìm m để đường thẳng y = - x + m cắt (C) tại hai điểm A, B và AB = 4 Câu 2 (2 điểm ). 1) Giải BPT : 2 2x - 4x 3x + 10 2x 2 x 2 x 2 ++> ++ 2) Giải HPT : 3 3 log (x ) log 1 xy 2x - y + 5 = 0 yy ⎧ −− = ⎪ ⎨ − ⎪ ⎩ Câu 3 (1 điểm ). Tính tích phân : I = 6 3 (x x 2 x x - 2 2 d +− + ∫ Câu 4 (1 điểm ). Cho hình chóp đều SABCD , biết khoảng cách từ tâm đáy đến cạnh bên và mặt bên lần lượt là a và b. Tính thể tích khối chóp Câu 5 (1 điểm ). Cho tam giác ABC có góc A không nhọn thỏa mãn điều kiện : cos2A - 2 2 sinB - 2 2 sinC = - 5 . Tính ba góc của tam giác. Câu 6 (2 điểm ). 1) Cho A(3 ; 4) và B(0 ; - 5), tìm toạ độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. 2) Trong không gian Oxyz cho hình chóp SABCD, đáy là hình thoi có AC và BD cắt nhau tại gốc toạ độ O . Biết A(3 ; 0; 0), S(0 ; 0; 4) và B(0; 2; 0). a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD). b) M là điểm trên cạnh SA , sao cho mặt phẳng (CDM) chia hình chóp SABC thành hai khối có tỉ số thể tích là 4:5, phần chứa S có thể tích nhỏ hơn. Tìm toạ độ điểm M. Câu 7 . Cho Z = (z + 2 + i)/(z + i) . Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số z sao cho Z là một số thực dương. GIẢI VẮN TẮT Câu 1. 2. PT hoành độ giao điểm A, B: – x 2 + 2 x – 2 = (2x – 2)(- x + m) Ù x 2 – 2m x + 2m – 2 = 0 2 '2mmΔ= − +2 > 0 với mọi m => luôn có 2 giao điểm A, B. AB = 22 2 2 21 2|x - x| 21 21 21 2 1 (x - x ) +(y - y ) (x - x ) +(- x + m + x - m)= = = 2 2 22 1 mm−+2 www.saosangsong.com.vn Năm học 2009-2010 2 AB = 4 Ù m 2 – 2m + 2 = 2 Ù m = 0 hay m = 2. Câu 2. 1. 2 2x - 4x 3x + 10 2x 2 x 2 x 2 ++> ++ ĐK : - 2 < x < 0 hay x ≥ 2 2 2x 4x 2(x 2) 3x 10−+ +>+ Ù. 2 2x - 4 x x 6>+ Ù 2x 2 – 4 x > x 2 + 12 x + 36 Ù x 2 - 16 x – 36 > 0 Ù x < - 2 hay x > 18. So với điều kiện : x > 18. 2. ĐK : x > y > 0 Hệ Ù x - 3 x 2x 5 0 y y yy ⎧ = ⎪ ⎨ ⎪ −−+= ⎩ Ù x = 4y và 4y 2 – 9y + 5 = 0 Ù y = 1 hay y = 5/4 Hệ có nghiệm (4 ; 1) và (5; 5/4). Câu 3. Đặt t = x 2− : 2 tdt = dx => I = 232 3 22 2 22 1 11 1 2224 42 .2 2 4 [ 2 4ln | 1|] 21 13 tt ttt t tdt dt t dt t t tt t ⎛⎞ ++ + + ⎛⎞ ==+−=+− ⎜⎟ ⎜⎟ ++ + ⎝⎠ ⎝⎠ ∫∫ ∫ 2 + Câu 4. Kẻ OK vuông góc SB thì OK = a. Gọi I là trung điểm của BC, kẻ OH vuông góc SI thì OH vuông góc (SBC) => OH = b. Gọi x và y lần lượt là cạnh đáy và chiểu cao, ta có: 222 222 121 (1) x 141 (2) x ay by ⎧ =+ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ =+ ⎪ ⎩ S A B I C D K H O => 22 11 2 xba −= 2 và 22 21 1 ab y −= 2 Vậy x 2 = 2 22 22 2( ) ; 2 ab ab y ab ba = − − Và V = 1/3. x 2 y = 3 22 22 2( ) 3( ) 2 ab ab ba−− Câu 5. Gọi T là biểu thức ở vế trái, ta có : T = (2cos 2 A – 1) - 42.sin .cos 22 B CB+ C− = (2cos 2 A - 1) - 4 2.cos .cos 22 A BC− www.saosangsong.com.vn Năm học 2009-2010 3 Mà cos 1 2 BC− ≤ và - cos 0 2 A < , suy ra T ≥ 2cos 2 A - 42cos 2 A - 1 Vì π/ 2 ≤ A ≤ π nên - 1 < cosA ≤ 0 suy ra cos 2 A ≥ cosA và do đó: T ≥ 2cosA - 42cos 2 A - 1 = 4cos 2 42cos 3 22 AA −− = 2 2cos 2 5 2 A ⎛⎞ − − ⎜⎟ ⎝⎠ => T ≥ - 5. Do đó T = - 5 Ù đẳng thức đã xãy ra ở các bất đẳng thức đã xét Ù 2 cos 1 /2 2 /4 cos cos BC A BC AA π π − ⎧ = = ⎧ ⎪ <=> ⎨⎨ == ⎩ ⎪ = ⎩ Câu 6. 1. PT đường cao AH : y = 4. PT đường cao OH qua O và vuông góc là x + 3y = 0 (3; 9) 3(1;3)AB =− − =− JJJG Suy ra H = (- 12 ; 4). * Trung trực của OB: y = - 5/2 . Trung trực của AB qua trung điểm của AB là (3/2 ; - ½) và vuông góc , có phương trình : (3; 9) 3(1;3) AB =− − =− JJJG 1. (x – 3/2) + 3(y + ½) = 0 Ù x + 3y = 0. Suy ra toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp là (15/2 ; - 5/2). Cách khác: PT đường tròn có dạng: x 2 + y 2 – 2 a x – 2by = 0 . Thế toạ độ A và B : 25 6 8 0 15 / 2 25 10 0 5 / 2 ab a bb −−= = ⎧⎧ <=> ⎨⎨ += =− ⎩⎩ A B O 2. a) S(0; 0; 4) , C( - 3 ; 0 ; 0) , D(0 ; - 2; 0) => phương trình (SCD) : x 1 324 yz + += − − Ù - 4 x – 6y + 3z – 12 = 0 Vậy d(A, (SCD)) = 222 |812| 20 61 463 −− = ++ b) (CDM) cắt SB tại N và MN // AB. Đặt .SM k SA= JJJG JJG = k(3 ; 0 ; - 4) với 0 < k < 1. A B S M C D N . SN k SB = JJJGJJG = k. (0; 2 ; - 4) => V SCMN = 1/6. |[ , ]. ] SC SM SN JJJG JJJG JJJG = 8k 2 . Mà V SABC = 8. YCBT Ù 8k 2 = 8. 4/9 Ù k = 2/ 3. Suy ra toạ độ của M . Câu 7. z = x + iy: www.saosangsong.com.vn Năm học 2009-2010 4 Z = [x + 2 + i(y + 1)]/(x + i(y + 1)] = 22 22 22 [x 2 ( 1)][x ( 1)] x + 2 x ( 1) +i( 2 2] x(1) x (1) iy iy y y yy ++ + − + + + − − = ++ ++ YCBT Ù x 2 + 2 x + (y +1) 2 > 0 và – 2y – 2 = 0 Ù y = - 1 và x 2 + 2 x > 0 Ù y = - 1 và x < - 2 hay x > 0. . 1 Vì π/ 2 ≤ A ≤ π nên - 1 < cosA ≤ 0 suy ra cos 2 A ≥ cosA và do đó: T ≥ 2cosA - 42cos 2 A - 1 = 4cos 2 42cos 3 22 AA −− = 2 2cos 2 5 2 A ⎛⎞ − − ⎜⎟. B(0; 2; 0). a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD). b) M là điểm trên cạnh SA , sao cho mặt phẳng (CDM) chia hình chóp SABC thành hai khối có tỉ số