dccthd@gmail.com HỆ THỐNG KIẾN THỨC MÔN HÌNH HỌC PHẦN MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ OXY KIẾN THỨC CƠ BẢN Hệ trục tọa độ: - Trục Ox là trục hoành: trên đó (1;0)i = r Nếu OM xi y j = + uuuur r r thì tọa độ M(x;y) - Trục Oy là trục tung: trên đó (0;1)j = r - Điểm O là gốc tọa độ: (0;0)O Các công thức tọa độ điểm và vectơ 1/ Tọa độ điểm: a/ Tọa độ điểm đặc biệt trong mặt phẳng: Điểm M nằm trên các trục tọa độ: - Trục Ox thì tọa độ M(x;0) - Trục Oy thì tọa độ M(0;y) Điểm bất kỳ trong mặt phẳng có tọa độ M(x;y) b/ Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm tam giác, tâm hình bình hành. *Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: với 1 1 2 2 ( ; ); ( ; )A x y B x y thì tọa độ trung điểm 1 2 1 2 ( ; ) 2 2 x x y y M + + *Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC: với 1 1 2 2 3 3 ( ; ); ( ; ); ( ; )A x y B x y C x y thì tọa độ 1 2 3 1 2 3 ( ; ) 3 3 x x x y y y G + + + + *Tọa độ tâm I của hình bình hành ABCD: với 1 1 2 2 3 3 4 4 ( ; ); ( ; ); ( ; ); ( ; )A x y B x y C x y D x y thì tọa độ tâm của nó là 1 3 1 3 2 4 2 4 ( ; ) hay ( ; ) 2 2 2 2 x x y y x x y y I I + + + + c/ Công thức tính độ dài đoạn thẳng: cho 2 điểm 1 1 2 2 ( ; ); ( ; )A x y B x y thì ta có: 2 2 2 1 2 1 ( ) ( )AB x x y y = − + − Chú ý: dùng công thức tính độ dài đoạn thẳng để tính khoàng cách từ 1 điểm đến 1 điểm, một đoạn thẳng, chu vi một hình, 2/ Vectơ: Cho hai điểm 1 1 2 2 ( ; ); ( ; )A x y B x y ; khi đó, ta có công thức tính tọa độ vectơ 2 1 2 1 là ( ; )AB AB x x y y = − − uuuur uuur *Cho hai vectơ 1 2 1 2 ( ; ) và ( ; )a a a b b b = = r r ; khi đó, ta có các công thức sau: CT1: (Tọa độ vectơ tổng và vectơ hiệu của 2 vectơ) 1 1 2 2 ( ; ) a b a b a b ± = ± ± r r CT2: (Tọa độ của vectơ tích của một số thực với một vectơ) 1 2 ( ; ) ka ka ka = r (k là số thực bất kỳ) CT3: (Tích vô hướng của 2 vectơ) 1 1 2 2 . . .a b a b a b = + r r CT4: (Hai vectơ cùng phương) 1 2 1 2 / / a a a b a kb b b ⇔ = ⇔ = r r r r Chú ý: Vận dụng 2 vectơ cùng phương để chứng minh: - Ba điểm thẳng hàng ⇔ 2 vectơ cùng phương và có điểm chung. - Ba điểm không thẳng hàng khi hai vectơ không cùng phương. - Hai đường thẳng song song ⇔ 2 vectơ cùng phương và không có điểm chung. CT5: (Hai vectơ vuông góc) 1 1 2 2 . 0 . . 0a b a b a b a b ⊥ ⇔ = ⇔ + = r r urr Chú ý: Vận dụng 2 vectơ vuông góc để chứng minh: - Tam giác vuông - Hai đường vuông góc CT6: (Hai vectơ bằng nhau) 1 2 1 2 a a a b b b = = ⇔ = r r Chú ý: Vận dụng 2 vectơ bằng nhau để: Tìm tọa độ điểm khi biết tứ giác đó là một hình bình hành. CT7: (Tính góc của 2 vectơ) 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 . . . cos( ;) . . a b a b a b a a b a b a b + = = + + urr r r r 3/ Phương trình đường thẳng: Dạng tổng quát 0ax by c + + = trong đó có vectơ pháp tuyến ( ; )n a b = r O y x dccthd@gmail.com Chú ý: phương trình trục Ox: y = 0 có vectơ pháp tuyến (0;1)n = r ; phương trình trục Oy: x = 0 có vectơ pháp tuyến (1;0)n = r ; Phương trình tổng quát đường thẳng đi qua 0 0 ( ; )M x y và có vectơ pháp tuyến ( ; )n a b = r có dạng : 0 0 ( ) ( ) 0a x x b y y − + − = (1) Mối liên hệ giữa các vectơ đặc biệt trong đường thẳng: + Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến ( ; )n a b = r . Viết phương trình tổng quát (1) + Đường thẳng d có vectơ chỉ phương ( ; )u a b = r suy ra vectơ pháp tuyến ( ; )n b a = − r hoặc ( ; )n b a = − r + Nếu d có hệ số góc k. Suy ra vectơ pháp tuyến ( ;1)n k = − r hoặc vectơ chỉ phương (1; )u k = r 4/ Phương trình phân giác của đường thẳng: Cho hai đường thẳng có phương trình tổng quát: d: 0ax by c + + = và d’: ' ' ' 0a x b y c + + = Phương trình phân giác có dạng: 2 2 2 2 ' ' ' ' ' ax by c a x b y c a b a b + + + + = ± + + Các dạng phương trình đường thẳng: Dạng 1: Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm 1 1 2 2 ( ; ); ( ; )A x y B x y có dạng : 1 1 2 1 2 1 x x y y x x y y − − = − − ; biến đổi về dạng tổng quát. Hay ta có đường thẳng đi qua A,B có vectơ chỉ phương 2 1 2 1 ( ; )AB x x y y = − − uuur suy ra vectơ pháp tuyến 2 1 2 1 2 1 2 1 ( ; ( )) ( ( ); ) AB n y y x x y y x x = − − − = − − − uuur , từ đó viết phương trình tổng quát của đường thẳng. Dạng 2: Phương trình đường thẳng đi qua điểm 0 0 ( ; )M x y và song song với đường thẳng có vectơ pháp tuyến ( ; )n a b = r , thì áp dụng phương trình tổng quát (1) để viết. Áp dụng: Viết phương trình đường cao, đường trung trực trong tam giác,…. Dạng 3: Phương trình đường thẳng song song với đường thẳng đã cho ' 0ax by c + + = có dạng 0ax by c + + = Sau đó dùng tính chất điểm thuộc đường thẳng để tìm c. Dạng 4: Phương trình đường thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho ' 0ax by c + + = có dạng 0bx ay c − + = Dạng 5: Phương trình đường thẳng biết hệ số góc k (hay song song với đường thẳng có hệ số góc k) có dạng: y kx b = + . Sau đó dùng tính chất điểm thuộc đường thẳng để tìm b. Dạng 6: Phương trình đường thẳng vuông góc với đường thẳng có hệ số góc k’ có dạng y kx b = + với điều kiện . ' 1k k = − . Sau đó dùng tính chất điểm thuộc đường thẳng để tìm b. Bài tập: 1/ Trong mặt phẳng Oxy, cho 3 điểm A(-1,2); B(2,4); C(1;-4). Viết phương trình các đường thẳng a/ Chứa trung trực của các cạnh AB, BC, CA. b/ Chứa các đường cao của tam giác ABC. 2/ Viết phương trình đường thẳng đi qua M(-1;2) và a/ song song với đường thẳng có vectơ pháp tuyến (3;4)n = r b/ song song với đường thẳng (d) : 3 4 5 0x y − + = c/ song song với trục Ox d/ Vuông góc Oy e/ Có hệ số góc k = 2 f/ Vuông góc đường thẳng có hệ số góc k = -1. g/ Tạo với đường thẳng d: 3 4 5 0x y − + = một góc 60 0 . Tọa độ điểm: a/ Tọa độ điểm đặc biệt trong mặt phẳng: Điểm M nằm trên các trục tọa độ: - Trục Ox thì tọa độ M(x;0) - Trục Oy thì tọa độ M(0;y) Điểm bất kỳ trong mặt phẳng có tọa độ M(x;y) b/. . ' 1k k = − . Sau đó dùng tính chất điểm thuộc đường thẳng để tìm b. Bài tập: 1/ Trong mặt phẳng Oxy, cho 3 điểm A(-1,2); B(2,4); C(1;-4). Viết phương trình các đường thẳng a/ Chứa trung. b a a b a b a b + = = + + urr r r r 3/ Phương trình đường thẳng: Dạng tổng quát 0ax by c + + = trong đó có vectơ pháp tuyến ( ; )n a b = r O y x dccthd@gmail.com Chú ý: phương trình trục Ox: