Bai tap Phuong phap tinh ppsx

Nguyễn Thanh Bình CĐSP Yên Bái Phần I: tóm tắt lý thuyết 1.1 Sai số tuyệt đối và sai số tơng đối. 1.1.1 Sai số tuyệt đối và sai số tơng đối. Xét đại lợng đúng A có giá trị gần đúng là a. Ta gọi a A là sai số tơng đối của a. Thờng ta không biết số đúng A nên ta thờng tìm đại lợng a sao cho a a A . Số a gọi là sai số tuyệt đối giới hạn của a. Tỉ số a a a = gọi là sai số tơng đối giới hạn của a. 1.1.2 Cách viết số xấp xỉ * Chữ số có nghĩa: Những chữ số có nghĩa của một số là những chữ số của số đó kể từ chữ số khác không đầu tiên tính từ trái sang phải. * Chữ số đáng tin: Cho a R , ta luôn biểu diễn số a dới dạng: 1 1 1 1 ( 10 10 10 ) m m m n m m m n a + + = + + + + , trong đó m là số nguyên, ( ) 0 9 1, 2, ,0 9 i m i m m = < . Chữ số 1m n + gọi là chữ số đáng tin nếu 1 1 .10 2 m n a + và gọi là chữ số đáng nghi nếu 1 1 .10 2 m n a + > * Cho a là giá trị xấp xỉ của A với sai số tuyệt đối giới hạn là a . Ta có hai cách viết số xấp xỉ a: Cách 1: Viết số xấp xỉ a kèm theo sai số tuyệt đối giới hạn, a A a= hoặc (1 ) a A a = . Cách 2: Viết số xấp xỉ a theo quy ớc: mọi chữ số có nghĩa đồng thời là những chữ số đáng tin. Điều đó có nghĩa là sai số tuyệt đối giới hạn a không lớn hơn một nửa đơn vị của chữ số ở hàng cuối cùng bên phải. Chẳng hạn a=15,123 thì 3 (1/ 2).10 a , trong tính toán ta có thể chọn 3 (1/ 2).10 a = . 1.1.3 Xác định sai số của hàm số biết sai số của các đối số 1 Nguyễn Thanh Bình CĐSP Yên Bái Cho hàm số khả vi 1 2 ( , , , ) n u f x x x= và giả sử biết sai số tuyệt đối giới hạn của các ( 1, ) i x i n= tơng ứng là ( 1, ) i x i n = . Khi đó ta có công thức tính sai số tuyệt đối giới hạn u và sai số tơng đối giới hạn u của u là: 1 . i n u x i i u x = = ; u u u = * Trờng hợp 1 2 n u x x x= , ta có 1 2 1 2 ; n n u x x x x x x u u u u = + + + + + + = = * Trờng hợp 1 2 . n u x x x= , ta có 1 2 ; n u x x x u u u = + + + = Đặc biệt, nếu ( m u x m= nguyên dơng) thì . u x m = * Trờng hợp 1 2 1 . k k n x x x u x x + = , ta có 1 2 ; n u x x x u u u = + + + = 1.2 Tính gần đúng nghiệm thực của một phơng trình Cho phơng trình ( ) 0f x = có nghiệm thực phân ly trong khoảng ( , )a b . Xét một số phơng pháp tìm nghiệm gần đúng của phơng trình: 1.2.1 Phơng pháp chia đôi Sơ đồ tóm tắt phơng pháp chia đôi 1) Cho phơng trình ( ) 0f x = 2) ấn định sai số cho phép 3) Xác định khoảng phân ly nghiệm ( , )a b 4) 2 Đ S Tính ( ). ( ) 0f c f a < Thay Thay Tính e < Kết quả Đ Nguyễn Thanh Bình CĐSP Yên Bái 1.2.2 Phơng pháp lặp Tóm tắt phơng pháp lặp 1) Cho phơng trình ( ) 0f x = 2) ấn định sai số cho phép 3) Xác định khoảng phân ly nghiệm ( , )a b 4) Tìm hàm hội tụ 5) Chọn xấp xỉ ban đầu 0 x 6) Tính 1 ( ), 1,2,3, n n x x n = = cho tới khi 1n n x x < thì dừng 7) Kết quả n x với sai số . 1 n q x q , trong đó q thoả mãn '( ) 1, ( , )x q x a b < . *) Chú ý: Trong thực tế ngời ta dừng quá trình tính khi 1n n x x < 1.2.3 Phơng pháp Niutơn (tiếp tuyến) Sơ đồ tóm tắt phơng pháp tiếp tuyến 1) Cho phơng trình ( ) 0f x = 2) ấn định sai số cho phép 3) Xác định khoảng phân ly nghiệm ( , )a b trong đó ' & "f f không đổi dấu. 4) Chọn 0 x 3 S § S § S NguyÔn Thanh B×nh – C§SP Yªn B¸i 5) Sai sè 1 1 ( )f x x m α − ≤ , trong ®ã 0 '( ) , ( , )m f x x a b< ≤ ∈ . *) Chó ý: Trong thùc tÕ ngêi ta dõng qu¸ tr×nh tÝnh khi 1n n x x ε − − < 1.2.4 Ph¬ng ph¸p d©y cung S¬ ®å tãm t¾t ph¬ng ph¸p d©y cung 1) Cho ph¬ng tr×nh ( ) 0f x = 2) Ên ®Þnh sai sè cho phÐp ε 3) X¸c ®Þnh kho¶ng ph©n ly nghiÖm ( , )a b 4) 4 TÝnh TÝnh Thay KÕt qu¶ e ε < TÝnh TÝnh KÕt qu¶ e ε < ( ) ( ) 0 1 f x f a < Thay Thay S Nguyễn Thanh Bình CĐSP Yên Bái Sai số 1 1 '( )f x x m < , trong đó 0 '( ) , ( , )m f x x a b< < . 1.3 Tính gần đúng nghiệm của một hệ đại số tuyến tính Một hệ đại số tuyến tính có thể có m phơng trình n ẩn. ở đây ta chỉ xét những hệ có n phơng trình n ẩn: 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = (*) Để tính gần đúng nghiệm của hệ phơng trình (*) ta xét các phơng pháp sau: 1.3.1 Phơng pháp Gaoxơ Phơng pháp Gaoxơ dùng cách khử dần các ẩn để đa hệ phơng trình đã cho về hệ phơng trình có dạng tam giác trên rồi giải hệ tam giác này từ dới lên trên. Vì vậy để hạn chế bớt sai số tính toán ta chọn trong các số 11 21 1 , , , n a a a số có giá trị tuyệt đối lớn nhất làm trụ thứ nhất gọi là trụ tối đại thứ nhất để khử 1 x . Khi khử các ( 2, ) i x i n= ta cũng làm tơng tự. Sơ đồ tóm tắt phơng pháp Gaoxơ * Quá trình xuôi: Với k lần lợt là 1, 2, , n-1 tìm r để { } ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1, max , , , k k k k rk kk k k nk a a a a + = Nếu ( 1) 0 k rk a = thì dừng quá trình tính và thông báo: hệ suy biến, nếu ( 1) 0 k rk a thì đổi chỗ ( 1)k kj a với ( 1)k rj a , , ,j k n= ; ( 1)k k b với ( 1)k r b Tính ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 1) ( 1) ; k k k k ik kj k k k k ik k ij ij i i k k kk kk a a a b a a b b a a = = 1, 2, , ; 1, 2, ,i k k n j k k n= + + = + + Sau quá trình xuôi ta đợc hệ tam giác trên 5 Đ Nguyễn Thanh Bình CĐSP Yên Bái ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 11 1 12 2 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) 22 2 2 2 ( 1) ( 1) n n n n n n n n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x b a x b + + + = + + = = Hệ trên đợc viết gọn lại bằng cách bỏ các chỉ số trên ta đợc: 11 1 12 2 1 1 22 2 2 2 n n n n nn n n l x l x l x c l x l x c l x c + + + = + + = = Do đó ta có quá trình ngợc * Quá trình ngợc: Nếu 0 nn l = thì dừng quá trình tính và thông báo: hệ suy biến Nếu 0 nn l thì tính 1 1 1 1 1 1 1 12 2 1 1 1 11 / ; ( . ) / ; ; ( . )/ n n nn n n n n n n n n x c l x c l x l x c l x l x l = = = 1.3.2 Phơng pháp lặp đơn Sơ đồ tóm tắt phơng pháp lặp đơn 1) Cho hệ phơng trình tuyến tính Ax=b 2) ấn định sai số cho phép , 0 > 3) Đa hệ Ax=b về hệ tơng đơng x Bx g= + sao cho điều kiện 1, 0,1 p B p< = 4) Chọn (0) x (tuỳ ý) 5) Tính ( 1) ( ) , 0,1,2, m m x Bx g m + = + = cho tới khi ( ) ( 1)m m p x x < thì dừng. Kết quả là ( )m x ; với sai số: ( ) . 1 p m p p B x B 1.4 Tính gần đúng tích phân xác định 6 Nguyễn Thanh Bình CĐSP Yên Bái Xét tích phân xác định ( ) b a I f x dx= . Nếu ( )f x liên tục trên [ ] ,a b và có nguyên hàm là F(x) thì công thức Niutơn Lépnit cho: ( ) ( ) ( ) b a I f x dx F b F a= = Nhng nếu không tìm đợc nguyên hàm của ( )f x ở dạng sơ cấp hoặc nguyên hàm đó quá phức tạp thì tích phân I phải tính gần đúng. Sau đây là hai phơng pháp tính gần đúng tích phân xác định: 1.4.1 Công thức hình thang Sơ đồ tóm tắt công thức hình thang * Phơng án 1: Cho trớc số khoảng chia n 1) Xét tích phân ( ) b a I f x dx= ; 2) ấn định số khoảng chia n; 3) Chia [ ] ,a b thành n phần bằng nhau: Tính: ; b a h n = , 0, ( ), 0, i i i x a ih i n y f x i n = + = = = 4) Tính 0 1 1 2 n T n y y I h y y + = + + + 5) Kết quả T I I; với sai số [ ] 2 ( ), max ''( ) , , 12 T M I I h b a M f x x a b = * Phơng án 2: cho trớc sai số 1) ) Xét tích phân ( ) b a I f x dx= ; 2) ấn định sai số cho phép 3) Dùng công thức [ ] 2 ( ), max ''( ) , , 12 T M I I h b a M f x x a b = để xác định số khoảng chia n sao cho thoả mãn sai số cho phép. 4) Tính nh 3) của phơng án 1 5) Tính T I nh 4) ở phơng án 1 7 Nguyễn Thanh Bình CĐSP Yên Bái 6) Kết quả T I I; với sai số T I I < 1.4.2 Công thức Simxơn * Phơng án 1: cho trớc số khoảng chia 2n 1) Xét tích phân ( ) b a I f x dx= 2) ấn định số khoảng chia 2n 3) Chia [ ] ,a b thành 2n phần bằng nhau: Tính: ; 2 b a h n = , 0, ( ), 0, i i i x a ih i n y f x i n = + = = = 4) Tính [ ] 0 2 1 2 1 2 2 2 ( ) 4( ) 2( ) 3 S n n n h I y y y y y y = + + + + + + + 5) Kết quả T I I; với sai số [ ] 4 (4) ( ), max ( ) , , 180 S h I I M b a M f x x a b = * Phơng án 2: cho trớc sai số 1) Xét tích phân ( ) b a I f x dx= ; 2) ấn định sai số cho phép 3) Dùng công thức [ ] 4 (4) ( ), max ( ) , , 180 S h I I M b a M f x x a b = để xác định số khoảng chia 2n sao cho thoả mãn sai số cho phép. 4) Tính nh 3) của phơng án 1 5) Tính S I nh 4) ở phơng án 1 6) Kết quả S I I; với sai số S I I < 1.5 Tính gần đúng nghiệm của bài toán Côsi đối với phơng trình vi phân th- ờng. * Phát biểu bài toán Côsi đối với một phơng trình vi phân cấp 1 Cho khoảng [ ] 0 ,x X . Tìm hàm số ( )y y x= xác định trên [ ] 0 ,x X và thoả mãn 0 ' ( , ),y f x y x x X= , 0 ( )y x = 8 Nguyễn Thanh Bình CĐSP Yên Bái Trong phần này ta sử dụng hai phơng pháp tính là ơle và phơng pháp Runge- Kutta. 1.5.1 Phơng pháp ơle Sơ đồ tóm tắt phơng pháp ơle Cho bài toán 0 ' ( , ),y f x y x x X= 0 ( )y x = * Phơng án 1(không tính sai số) 1) ấn định số khoảng chia N 2) Tính 0 ( )/h X x N= 3) Tính 0i x x ih= + 4) Đặt 0 u = 5) Tính 1 ( , ), 0, 1 i i i i u u hf x u i N + = + = 6) Kết quả đợc: ( ), 0, i i u y x i N=; * Phơng án 2 (có tính sai số) 1) ấn định số khoảng chia N 2) Làm các bớc 2, 3, 4, 5 của phơng án 1 3) Đặt ( , ) i i u x h u= , thay h bởi / 2h , làm lại bớc 2 đặt ( ; ) 2 i i h u x u= Kết quả đợc: ( ; ) ( ) 2 i i h u x y x với sai số ( , ) ( ) ( , ) ( , ) 2 2 i i i i h h u x y x u x h u x *) Nhận xét: u điểm của phơng pháp ơle là tính toán đơn giản. Nhợc điểm của phơng pháp này là có độ chính xác thấp (độ chính xác cấp 1). 1.5.2 Phơng pháp Runge-kutta (R-K) cấp 4. Phơng pháp Runge-kutta là phơng pháp có độ chính xác cao và cũng là phơng pháp hiện nh ở phơng pháp ơle. Phơng pháp này có công thức tính nh sau: Đặt 0 u = Khi đã biết i u thì tính 1i u + nh sau: 9 Nguyễn Thanh Bình CĐSP Yên Bái 1 2 1 3 2 4 3 1 1 2 3 4 ( , ) ( 0,5 , 0,5 ) ( 0,5 , 0,5 ) ( , ) 1 ( 2 2 ) 6 i i i i i i i i i i k hf x u k hf x h u k k hf x h u k k hf x h u k u u k k k k + = = + + = + + = + + = + + + + Phần ii. Bài tập 3.1 Các dạng bài tập giải mẫu 3.1.1 Bài tập phần Sai số Bài 1. Cho: a) 4 1,3241; 0,45.10 a a = = b) 3 23,8541; 0,3.10 b b = = Hãy xác định số các chữ số đáng tin trong ,a b . Hớng dẫn: a) Ta có 0 1 2 3 4 1.10 3.10 2.10 4.10 1.10a = + + + + Do 4 4 1 0,45.10 .10 2 a = , vậy trong a có 5 chữ số đáng tin. b) Ta có 1 0 1 2 3 4 23,8541 2.10 3.10 8.10 5.10 4.10 1.10b = = + + + + + 3 2 . 23,8541 0,3.10 0,715623.10 b b b = = ì = Mà 2 2 2 1 1 1 0,715623.10 .10 ; 0,715623.10 .10 2 2 b b = > = , vậy trong b có 3 chữ số đáng tin là 2, 3, 8 Bài 2. Hãy tính hiệu của hai số xấp xỉ viết theo cách thứ hai: 1 2 5,125; 5,135x x= = và xác định sai số tơng đối giới hạn của 1 2 ;x x và của hiệu. Hớng dẫn: Ta có 2 1 5,135 5,125 0,01u x x= = = 10 [...]... #include #include #include #define eps 1e-3 float f(float) void nhap(float *,int); float d[10]; int n; void main() { fload a,b,c; char tt; while (1) { printf( \n Nhap bac phuong trinh:); scanf(%d,&n); nhap(d,n); printf(\n Nhap khoang nghiem:); scanf(%f%f,&a,&b); /* printf(a=); scanf(%f,&a); printf(b=); scanf(%f,&b); */ if (f(a)*f(b)=1e-3&&f(c)!=0)... printf(\n\n Ban tiep tuc ko(c/k)?); tt=getch(); if (tt!= c) break} } void nhap(float *a, int n) { int i; printf(\n Nhap he so cua pt:\n); for (i=0;i