Bài tập lý thuyết xác suất và thống kê toán học doc

Tìm mode và trung vị của biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối mũ E.. Trình bày luật phân phối đều trên [a;b] U[a;b]: Định nghĩa, hàm phân phối, hàm mật độ, kỳ vọng và phơng sai, đồ

BÀI TẬP

CHƯƠNG 0

GIẢI TÍCH KẾT HỢP

0.1 Chứng minh

C(p,p) + C(p+1,p) + … + C(n,p) = C(n+1,p+1) 0.2 Chứng minh

C(n,1) + 2.C(n,2) + … + n.C(n,n) = 



n k

k n C k

1

) , ( = n.2n−1

0.3 Chứng minh

C(n,0) +

2

1

C(n,1) +

3

1

.C(n,2) + … +

1

1



n C(n,n) = 

 

n k

k n C k

0

) , ( 1

1

=

2 1

1

1 1







n

n

1 C(n,0) + 2.C(n,1) + 22.C(n,2) + … + 2n.C(n,n) = 3n

2 C(2n,2) + C(2n,4) + … + C(2n,2n) = 22n – 1 - 1

CHƯƠNG 1

SỰ KIỆN VÀ XÁC SUẤT

1.1 Có n người ngồi ngẫu nhiên quanh bàn tròn Tính xác suất để hai người xác định ngồi cạnh nhau

1.2 Có n người ngồi ngẫu nhiên trên ghế dài Tính xác suất để hai người xác định ngồi cạnh nhau

1.3 Một cỗ bài gồm 52 quân có 4 chất, mỗi chất 13 quân Từ cỗ bài đã xóc kỹ ta rút ngẫu nhiên 6 quân bài

a) Tính xác suất sao cho trong 6 quân rút có ít nhất một con Át

b) Tính xác suất sao cho trong 6 quân rút có đủ đại diện của 4 chất

1.4 Có n đôi găng tay thuộc n loại khác nhau được bỏ lẫn lộn trong ngăn kéo Rút ngẫu nhiên 2.k chiếc (4 ≤ 2k ≤ n) Tính xác suất rút được đúng 2 đôi

1.5 Bốn sinh viên vào 5 phòng học Giả sử mỗi người có thể vào một phòng bất kỳ với khả năng như nhau Tính xác suất để

a) Cả 4 người vào cùng phòng

b) Bồn người vào 4 phòng khác nhau

BÀI GIẢI

CHƯƠNG 0

GIẢI TÍCH KẾT HỢP

0.1 Chứng minh

C(p,p) + C(p+1,p) + … + C(n,p) = 



n p k

p k

C( , ) = C(n+1,p+1) CM

Sử dụng công thức Pascal

C(k,p) = C(k+1,p+1) − C(k,p+1)

ta có





n p k

p k

C( , ) = 







n p k

p k

C( 1 , 1 ) − 





n p k

p k

C( , 1 )

= C(n+1,p+1) − C(p,p+1) = C(n+1,p+1)

0.2 Chứng minh

C(n,1) + 2.C(n,2) + … + n.C(n,n) = 



n k

k n C k

1

) , ( = n.2n−1

CM

Sử dụng công thức k.C(n,k) = n.C(n−1,k−1) ta có





n

k

k n C k

1

) , (







n k

k n C n

1

) 1 , 1 (







1

0

) , 1 (

n h

h n

0.3 Chứng minh

C(n,0) +

2

1

C(n,1) +

3

1

.C(n,2) + … +

1

1



n C(n,n) = 

 

n k

k n C k

0

) , ( 1

1

=

2 1

1

1 1







n

n

CM

Sử dụng công thức (k+1).C(n+1,k+1) = (n+1).C(n,k) ta có



 

n

k

k n C

k

0

) , ( 1

1

= 









n k

k n C n

0

) 1 , 1 ( 1

1









1

1

) , 1 ( 1

1 n h

h n C

1

1 1







n

n

Câu hỏi lý thuyết XSTK

chơng 2 Biến ngẫu nhiên

III Biến ngẫu nhiên liên tục

LT.2.III.1 Phát biểu định nghĩa biến ngẫu nhiên liên tục Biến ngẫu nhiên liên tục

khác biến ngẫu nhiên rời rạc nh thế nào ? Cho ví dụ

LT.2.III.2 Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục Hãy chứng minh

(i) P(X = x) = 0 xR

(ii) P(a  X  b) = P(a < X < b) =

(iii) Hàm phân phối F(x) liên tục trên R và khả vi tại các điểm liên tục của hàm mật

độ f và F’(x) = f(x)

LT.2.III.3 Định nghĩa kỳ vọng của biến ngẫu nhiên liên tục Phát biểu và chứng minh

các tính chất của kỳ vọng

LT.2.III.4 Định nghĩa phơng sai và độ lệch quân phơng của biến ngẫu nhiên liên tục.

Phát biểu và chứng minh các tính chất của phơng sai

LT.2.III.5 Định nghĩa phơng sai và độ lệch quân phơng của biến ngẫu nhiên liên tục.

Chứng minh công thức Koenig-Huyghens tính phơng sai

LT.2.III.6 Định nghĩa Mode và Trung vị biến ngẫu nhiên liên tục Tìm mode và trung

vị của biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối mũ E().

LT.2.III.7 Trình bày luật phân phối đều trên [a;b] U([a;b]): Định nghĩa, hàm phân

phối, hàm mật độ, kỳ vọng và phơng sai, đồ thị

LT.2.III.8 Trình bày luật phân phối mũ với tham số  E() : Định nghĩa, hàm phân

phối, hàm mật độ, kỳ vọng và phơng sai, đồ thị

LT.2.III.9 Định nghĩa các khái niệm Momen cấp k của biến ngẫu nhiên liên tục Tìm

momen cấp 3 của biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối mũ E().

LT.2.III.10 Định nghĩa khái niệm Hệ số bất đối xứng của biến ngẫu nhiên liên tục.

Tìm hệ số bất đối xứng của biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối mũ E().



b

a

dx x

f( )

LT.2.III.11 Định nghĩa khái niệm Hệ số nhọn của biến ngẫu nhiên liên tục Tìm hệ

số nhọn của biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối đều U([a;b]).

LT.2.III.12 Trình bày luật phân phối chính qui N(m,): Định nghĩa, hàm phân phối,

hàm mật độ, kỳ vọng và phơng sai, đồ thị

LT.2.III.13 Lập công thức tính xác suất P( < X < ) của biến ngẫu nhiên X có phân

phối N(m,) theo hàm phân phối  của luật phân phối chính qui chuẩn N(0,1).

LT.2.III.14 Lập công thức tính xác suất P( X - m < ) của biến ngẫu nhiên X có

phân phối N(m,) theo hàm phân phối  của luật phân phối chính qui chuẩn N(0,1).

LT.2.III.15 Phát biểu và chứng minh qui tắc 3 và nêu ví dụ ứng dụng

LT.2.III.16 Trình bày cách sử dụng bảng tính (x), cho ví dụ.

LT.2.III.17 Trình bày cách sử dụng bảng tính  -1(u), cho ví dụ

LT.2.III.18 Trình bày luật phân phối mũ E(): Định nghĩa, hàm phân phối, hàm mật

độ, kỳ vọng và phơng sai, đồ thị

BT II.3.01

Một sự kiện A của phép thử  có xác suất P(A)=3% Thực hiện phép thử  1000 lần Gọi X là số lần xuất hiện sự kiện A

a) Xác định luật phân phối của biến ngẫu nhiên X

b) Xấp xỉ luật phân phối của X bằng luật phân phối Poisson, và luật phân phối chuẩn c) Sử dụng hàm phân phối chuẩn, tính gần đúng xác suất: sự kiện A xuất hiện không quá 20 lần

BT II.3.02

ở một nút giao thông cứ h phút có một xe đi qua, xác suất pan xe là p Hãy tính xác suất có ít nhất 1 xe bị pan trong khoảng thời gian từ 7g00 đến 19g00 trong:

a) những năm 90: h=15, p=5%

b) những năm 60: h=30, p=50%

BT II.3.03

Trong 100 vé số có 5 vé có thởng Một ngời mua 4 vé

a) Tìm xác suất để ngời đó có ít nhất 1 vé trúng thởng

b) Ngời đó phải mua ít nhất bao nhiêu vé để xác suất có vé trúng thởng không nhỏ hơn 0,5

BT II.3.04

Một ngời trung bình có 2 ngày bị ốm trong năm (365 ngày)

Tính xác suất để ngời đó trong 18 tháng có ít nhất 3 ngày bị ốm

BT II.3.05

Cho biến ngẫu nhiên X tuân theo luật phân phối mũ E()

a) Viết bất đẳng thức Trebsep với tham số  >0

b) Từ a) suy ra t>0:t2.e-t  e

c) Hãy đánh giá độ chính xác của bất đẳng thức trên

BT II.3.06

Một xúc sắc khi gieo có xác suất xuất hiện mặt 6 chấm là p , 0<p<1 Ngời ta gieo xúc sắc 6.n , n1, lần một cách độc lập Ký hiệu biến ngẫu nhiên Xn là số lần xuất hiện mặt 6

a) Xác định luật phân phối của Xn , kỳ vọng và phơng sai của nó

b) Viết bất đẳng thức Trebsep đối với Xn với tham số  >0

c) Giả thiết xác suất các mặt nh nhau Sử dụng bất đẳng thức trên, xác định n nhỏ nhất sao cho xác suất của sự kiện Xn/n - p  10-2 không lớn hơn 1/2

BT II.3.07

Ký hiệu biến ngẫu nhiên X và Y là số xe đi qua ngã ba Huế vào Nam và ra Bắc trong một khoảng thời gian, tuân theo luật phân phối Poisson P() và P() Giả thiết

X, Y độc lập, =15,  = 20 Gọi Z là tổng số xe qua qua Ngã ba Huế

a) Xác định luật phân phối của Z

b) Sử dụng xấp xỉ tiệm cần chuẩn tính xác suất có ít nhất 40 xe đi qua Ngã Ba Huế c) Tính xác suất có đúng 35 xe đi qua Ngã Ba Huế

BT II.3.08

Có 5% số phiếu không hợp lệ trong 1000 phiếu Lấy ngẫu nhiên 100 phiếu Gọi X

là số phiếu không hợp lệ trong số lấy ra

a) Xác định luật phân phối của X

b) Xấp xỉ phân phối của X bằng phân phối nhị thức, sau đó bằng phân phối Poisson c) Tính gần đúng xác suất P(X5), P(X=0)

BT II.3.09.a

Cho dãy biến ngẫu nhiên (Xn)n1 , Xn có phân phối hình học G(pn), 0< pn < 1 Tìm điều kiện cần và đủ của (pn) để dãy (Xn) hội tụ theo luật

BT II.3.09.b

Một thùng có n quả cấu đánh số từ 1 đến n, n  1 Một nhóm n ngời cũng mang

số từ 1 đến n, lần lợt rút mỗi ngời một quả cầu, có trả lại Nếu có ngời rút đợc quả cầu trùng với số của mình thì lặp lại quá trình rút cầu trên

Ký hiệu Xn là số lần lặp quá trình rút cầu cho đến khi mỗi ngời rút đợc quả cầu khác số với mình

a) Xác định luật phân phối của Xn , kỳ vọng của nó

b) Chứng minh (Xn) hội tụ theo luật đến biến ngẫu nhiên Y, xác định luật phân phối của Y

c) Chứng minh: limE(Xn) = E(Y)

BT II.3.10

Cho dãy biến ngẫu nhiên (Xk)k1 , có kỳ vọng và phơng sai Đặt mk = E(Xk) và giả thiết rằng ( 2)

1

n o X

k

k 















a) Chứng minh rằng dãy biến ngẫu nhiên (Mn)n1 , định nghĩa nh sau:

n

m m

n

X X

n











 1 1

hội tụ theo luật đến 0

b) Giả thiết Xk có kỳ vọng m và phơng sai  k Chứng minh luật số lớn yếu:

m n

X X

n  1    

BT II.3.11a

Tuổi thọ một chất phóng xạ có luật phân phối mũ E(), >0 Gọi T1, , Tn là tuổi thọ của n hạt chất phóng xạ, phân rã độc lập Ký hiệu Sn là tuổi thọ của hạt đầu tiên phân rã

a) Xác định hàm phân phối của Sn

b) Khảo sát sự hội tụ theo luật của dãy biến ngẫu nhiên (n.Sn)n1

c) Chứng minh rằng



1

1

 







 n XS

n

n

T T M

BT II.3.11b

Tuổi thọ một chất phóng xạ có luật phân phối mũ E(), >0 Gọi T1, , Tn là tuổi thọ của n hạt chất phóng xạ, phân rã độc lập Ký hiệu Rn là tuổi thọ của hạt cuối cùng phân rã

a) Xác định hàm phân phối của Rn

b) Khảo sát sự hội tụ theo luật của dãy biến ngẫu nhiên

1















n

n

n

R

c) Chứng minh rằng



1

1

 







 n XS

n

n

T T M

BT II.3.12

Cho dãy biến ngẫu nhiên (Tn)n0 định nghĩa nh sau:

Tn+1= g(Tn), n0, trong đó g:II là ánh xạ co trên khoảng I trong R, có điểm cố

định duy nhất l

a) Chứng minh rằng dãy (Tn) hội tụ theo xác suất, kéo theo hội tụ theo luật, đến l b) Khảo sát hội tụ theo xác suất và theo luật của dãy:

T0 ~ U([-1,1]); Tn+1 = e dt

n



0

2

2 1



BT II.4.20

Cho tập tổng thể gồm 1000 viên bi Trọng lợng bi X là biến ngẫu nhiên kỳ vọng 

= 25g, độ lệch quân phơng  = 0.07g

Xét mẫu lặp cỡ 49 : X1 , , X49

a) Xác định phân phối tiệm cận chuẩn của đại lợng trung bình

49

49

X

M   

và tính xác suất 24,98  M  25,02

b) Lấy 300 mẫu lặp cỡ 49 Ước lợng số mẫu có 24,98  M  25,02

BT II.4.21a

Xét tập rất nhiều trẻ sơ sinh có xác suất bé trai, bé gái bằng nhau

a) Lấy mẫu 200 trẻ từ tập trên Tính xác suất có ít nhất 40% bé trai từ tập mẫu

b) Lấy 1000 mẫu 200 trẻ Ước lợng số mẫu có ít nhất 40% bé trai

BT II.4.21b

Xét tập rất nhiều trẻ sơ sinh có xác suất bé trai, bé gái bằng nhau

a) Lấy mẫu 200 trẻ từ tập trên Tính xác suất có từ 43% đến 57% bé gái từ tập mẫu b) Lấy 1000 mẫu 200 trẻ Ước lợng số mẫu có từ 43% đến 57% bé gái

BT II.4.22

Một thùng kín có 80 quả cầu, trong đó có 60% cầu trắng và 40% cầu đen Cho 50 mẫu có lặp

cỡ 20 Ước lợng

a) số mẫu có số cầu đen bằng số cầu trắng

b) có 15 cầu đen

c) có ít nhất 10 cầu trắng

b) với giả thiết đờng kính bi tuân theo luật phân phối chuẩn.

BT II.4.23b

Cho mẫu 100 viên bi từ tập tổng thể vô số bị Giả thiết đờng kính bi có kỳ vọng  = 0.95 cm

và độ lệch quân phơng  = 0.025cm Hãy xác định khoảng tin cậy của đờng kính viên bi với

độ tin cậy 99%

a) trong trờng hợp sử dụng bất đẳng thức Trebsep

b) trong trờng hợp giả thiết đờng kính bi tuân theo luật phân phối chuẩn

BT II.4.24

Thời gian thực hiện một loại phản ứng hoá học là biến ngẫu nhiên T độ lệch quân ph ơng  = 0.05 giây Hãy xác định số lần thí nghiệm “ít nhất” để với độ tin cậy 95%, độ lệch của trung bình cộng thời gian so với kỳ vọng không quá 0.01 giây

a) trong trờng hợp sử dụng bất đẳng thức Trebsep

b) trong trờng hợp giả thiết biến ngẫu nhiên T tuân theo luật phân phối chuẩn

BT II.4.25

Trong một đợt bầu cử ngời ta chọn ngẫu nhiên 100 cử tri để thăm dò kết quả thì đợc biết có 55% bỏ phiếu cho ứng cử viên A, 45% bầu ứng cử viên B

a) Hãy xác định khoảng tin cậy của tỉ lệ cử tri bầu ứng cử viên A với độ tin cậy 95% b) Giả thiết tỉ lệ phiếu bầu trên là chung cho tất cả cử tri Cần phải thăm dò “ít nhất” bao nhiêu cử tri để có thể đảm bảo ứng cử viên A có ít nhất 50% phiếu bầu với độ tin cậy 95%

BT II.4.26a

Có N (N rất lớn) cử tri tham gia bầu cử Để ớc lợng tỉ lệ p số ngời bầu ứng cử viên A, ngời ta

chọn ngẫu nhiên n cử tri để thăm dò kết quả Ký hiệu Xn là số cử tri chọn ứng cử viên A

a) Hãy xác định luật phân phối của Xn

b) Giả thiết n/N  1/10 Hãy xác định luật phân phối tiệm cận đơn giản nhất của Xn c) Giả thiết 0.4  p  0.6 Hãy tìm n “nhỏ nhất” để có thể coi Xn có luật phân phối tiệm cận chuẩn

BT II.4.26b

Có N (N rất lớn) cử tri tham gia bầu cử Ký hiệu p là tỉ lệ số ngời bầu ứng cử viên A Ngời ta

chọn ngẫu nhiên n cử tri để thăm dò kết quả Ký hiệu Xn là số cử tri chọn ứng cử viên A

a) Hãy xác định luật phân phối của

n

X

n  và của

) 1 ( p p

p X

G n n





 b) Tìm a > 0 nhỏ nhất thoả P(-a  Gn  a )  0.99

c) Cho mẫu cỡ n=1000 , ta có tần suất ngời bỏ phiếu cho A là f=0,55 Tìm khoảng ớc lợng [p1 , p2 ] của p với độ tin cậy ít nhất là 0.99

BT II.4.28

Xét tập tổng thể có N (N rất lớn) phần tử, và biến ngẫu nhiên X nhận các giá trị

t-ơng ứng a1 , , aN

Ký hiệu  = E(X) và 2 = D(X) Chọn ngẫu nhiên mẫu không lặp cỡ n (n < N) (X1 , , Xn) Ký hiệu

n

X X

 1

a) Chứng minh D(M) =

1

2





N

n N n



b) Tìm giới hạn của D(M) khi N rất lớn so với n

bài tập Xác Suất Thống Kê

III Biến ngẫu nhiên liên tục

BT 2.I.5 Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục với đồ thị hàm mật độ nh sau

b

-a 0 a

Các tham số a và b dơng và ta nói X tuân theo luật phân phối Simpson tham số

a

a) Biểu diễn b theo a và biểu diễn tờng minh hàm mật độ f

b) Xác định hàm phân phối F của X và vẽ đồ thị của nó

c) Tính kỳ vọng E(X) và phơng sai V(X)

BT 2.I.6

a) Xác định số thực a để hàm f cho bởi

f(x) = 0 nếu x  1 và f(x) = a/(x2-1/4) nếu x > 1

là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên liên tục

b) Xác định hàm phân phối F của X

c) Kỳ vọng E(X) có tồn tại hay không ? Nếu tồn tại, hãy tính E(X)

d) Phơng sai V(X) có tồn tại hay không ? Nếu tồn tại, hãy tính V(X)

BT 2.I.7

a) Cho aR Xác định số thực  để hàm f cho bởi

f(x) = 0 nếu x  a và f(x) = /(x2 +1) nếu x > a

là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên liên tục

b) (i) Xác định hàm phân phối F của X

(ii) Vẽ đồ thị hàm mật độ f và hàm phân phối F

c) X có mômen bậc s  1 hay không ?

BT 2.I.8

Cho hàm F nh sau: F(x) = ex / (ex + e-x ) xR

a) (i) Chứng tỏ rằng F là hàm phân phối F của biến ngẫu nhiên liên tục X

(ii) Xác định hàm mật độ f của X

b) Chứng tỏ X là biến ngẫu nhiên trung tâm (kỳ vọng E(X)=0)

c) Chứng minh rằng X có phơng sai V(X) và

+

BT 2.I.9.

Cho hàm f nh sau: f(x) = 0 nếu x < 0 và f(x) =  / (x3 + 1 ) nếu x  0

a) (i) Xác định a, b, c để

xR: 1/(x3 + 1) = a/(x+1) + (b.x+c)/(x2 - x + 1)

(ii) Tính tích phân

+

 1/(t3 + 1)dt -

(iii) Xác định  để f là mật độ của biến ngẫu nhiên

b) Cho X là biến ngẫu nhiên có mật độ f Tính hàm phân phối F của X

c) Chứng tỏ X có kỳ vọng E(X) Tính E(X)

d) X có phơng sai không ?

BT 2.I.10

a) (i) Cho x  0 Chứng minh sự hội tụ của tích phân

I(x) = (ii) Xác định  để hàm f định nghĩa nh sau:

f(x) = 0 nếu x < 0 và f(x) = I(x) nếu x  0

là mật độ của biến ngẫu nhiên X

b) Xác định hàm phân phối F của X

c) (i) Chứng minh rằng tồn tại K sao cho x  2: f(x)  K.e-x

(ii) Từ câu (i) suy ra X có mômen mọi bậc k

BT 2.I.11

Cho hàm f nh sau: f(x) = .2-x nếu x  0 và f(x) = .2x nếu x < 0, trong đó 

và  là các số thực

a)  và  phải thoả mãn quan hệ gì để f là mật độ của biến ngẫu nhiên

b)  và  phải thoả mãn quan hệ gì để f là mật độ của biến ngẫu nhiên trung tâm (có

kỳ vọng bằng 0)

c) Chứng minh rằng biến ngẫu nhiên X ở câu b) có phơng sai Hãy tính phơng sai đó d) Xác định hàm phân phối F của X

e) Cho Y là biến ngẫu nhiên Y = [X] ([x] là phần nguyên của x) Xác định luật phân phối của Y và tính E(Y)

BT 2.I.12

Cho X là biến ngẫu nhiên có mật độ f liên tục trên R

Giả thiết f(x) = 0 x  0

Chứng minh rằng Y = ln(X) là biến ngẫu nhiên liên tục và xác định mật độ của Y

BT 2.I.13

Cho X là biến ngẫu nhiên có mật độ f liên tục trên R









x

t dt

.

