Các Thuật toán trong đồ họa máy tinh potx

8 điểm lân cận dối với điểm đang xét.Thủ tục minh hoajthuaatj toán tô màu theo đường biên: Void TOloangint x, int y, int mauto, int mauvien { int mau; mau=getpixelx,y; ifmau != mauvien&

I.Thuật toán vẽ đường tròn

Phương trình đường tròn có dạng:

(x-xc)2 + (y-yc)2 = r2

Pt đường tròn có tâm ở gốc tọa độ:

x2+y2 =r2

Do tính đối xứng của đường tròn nên ta chỉ

cần vẽ cung ¼ hoặc 1/8

void put8pixel(int xc, int yc, int x, int y)

{

putpixel(x+xc, y+yc, color);

putpixel(y+xc, x+yc, color);

putpixel(y+xc, -x+yc, color);

putpixel(x+xc, -y+yc, color);

putpixel(-x+xc, -y+yc, color);

putpixel(-y+xc, -x+yc, color);

putpixel(-y+xc, x+yc, color);

putpixel(-x+xc, y+yc, color);

}

1.Thuật toán Bresenham

Giả sử tại bước i đã vẽ được điểm (xi,yi)

Điểm cần vẽ kế tiếp (xi+1, yi+1) là:

(xi +1, yi) hay (xi +1, yi -1)

Giá trị y thực sự thuộc đường tròn ứng với xi là:

y2 = r2 – (xi +1)2

Gọi d1 = yi2 – y2 = yi2 –r2 +(xi +1)2

d2= y2 - (yi -1)2 = r2 – (xi +1)2 – (yi -1)2

Pi = d1-d2 = yi2 – r2 +(xi +1)2 –r2 + (xi +1)2 +(yi-1)2

= 2(xi +1)2 + yi2 +(yi -1)2 -2r2

Pi+1 – pi = 2(xi+1 +1)2 + yi+12 + (yi+1 -1)2 – 2r2 – 2(xi +1)2

– yi2 – (yi -1)2 + 2r2

= 4xi + 6 + 2(yi+12 – yi2) -2(yi+1-yi)

 Pi+1 = pi+4xi + 6 + 2(yi+12 – yi2) -2(yi+1-yi)

Vậy:

+ nếu pi < 0 thì yi+1 = yi, khi đó pi+1 = pi+4xi+6

+Nếu pi >= thì yi+1 = yi-1, khi đó pi+1 = pi + 4(xi-yi)+10

Giá trị pi tại điểm đầu tiên (x1,y1) = (0,r) là:

P1 = 2+r2+(r-1)2 – 2r2=3-2r

void CircleBres(int xc, int yc, int r)

{

int x,y,p;

x=0; y=r; p=3-2*r;

while (x<=y) {

put8pixel(xc,yc,x,y);

if(p<0) p+ =4*x+6;

else

{ p+ = 4*(x-y) +10; y ; }

x++;

}}

2.Thuật toán Midpoint

Gọi F(x,y) = x2+y2-r2, ta có:

F(x,y){<0 nếu (x,y) nằm trong đường tròn

=0 nếu (x,y) thuộc đường tròn

>0 nếu (x,y) nằm ngoài đường tròn

Chọn điểm bắt đầu vẽ là (0,r)

Giả sử đã vẽ được điểm (xi,yi),

Điểm cần vẽ kế tiếp (xi+1,yi+1) là S hay P

Việc chọn điểm S hau P dựa trên dấu của:

Pi=F(Midpoint) = F(xi+1,yi-1/2)

+ Nếu pi<0 => chọn S

+ Nếu pi>=0 => chọn P

Mặt khác:

pi+1 – pi = F(xi+1 +1, yi+1 -1/2)- F(xi+1, yi-1/2)

= [(xi+1 +1)2 + (yi+1 – ½)2 – r2] – [(xi+1)2 + (yi-1/2)2 – r2]

= 2xi + 3 (yi+12 – yi2) – (yi+1 – yi)

Vậy: + Nếu pi<0 thì yi+1 = yi, khi đó pi+1 = pi + 2xi + 3

+ Nếu pi>=0 thì yi+1= yi -1, khi đó pi+1 = pi + 2(xi-yi) +5

Giá trị pi tại điểm đầu tiên (x1, y1)=(0,r) là:

p1= F(x1+1, y1 -1/2) = f(1, r-1/2) = 5/4 – r

void CircleMidpoint(int xc, int yc, int r)

{

int x,y,p;

x=0; y=r; p=5/4;

while (x<=y0

{

put8pixel(xc,yc,x,y);

if(p<0) p+ = 2*x +3;

else{ p+=2*(x-y0+5; y ; }

x++;

} }

II.Thuật toán tô màu theo đường biên:

Ý tưởng:

Bắt đầu từ điểm P(x,y) nằm bên trong vùng tô,

kiểm tra các điểm lân cận cảu P đã được tô màu

hay có phải là điểm biên hay không, nếu không

phải là điểm đã tô và không phỉa là điểm biên

thì ta sẽ tô màu nó Quá trình này được lặp laijcho

đến khi không còn tô được diểm nào nữa thì dừng

Có hai cách chọn điểm lan cận, đó là chọn 4 hoặc

8 điểm lân cận dối với điểm đang xét.

Thủ tục minh hoajthuaatj toán tô màu theo đường biên:

Void TOloang(int x, int y, int mauto, int mauvien)

{ int mau;

mau=getpixel(x,y);

if(mau != mauvien)& (mau != mauto)

{ Putpixel(x, y,mauto);

Toloang(x-1,y, mauto, mauvien);

Toloang(x, y+1, mauto, mauvien);

Toloang(x+1, y, mauto, mauvien);

Toloang(x, y-1, mauto, mauvien);}}

=>Nhược điểm của phương pháp đệ quy là

=>không thực hiện được khi vùng loang có diện

=>tích lớn( dẫn đến tràn Stack

1.Phương pháp đệ quy:

Bước 1: khởi tạo hang đợi (hoặc stack) với

phần tử đầu tiên là P(x,y) đã được tô

Bước 2: khi hàng đợi (hoặc stack) không rỗng thì:

+ Lấy ra từ hang đợi(hoặc stack) một điểm Q

+ tìm các điểm lân cận của Q chưa tô thì tô

chúng và đưa chúng vào hang đợi(hoặc stack)

Bước 3 này được lặp đi lặp lại cho

đến khi hang đợi (hoặc stack) rỗng

struct DS { int x,y;

struct DS*next; };

struct DS*dau;

void push(int x, inty)

{ struct DS*P;

P=(DS*) calloc(1,sizeof(DS));

P->x=x; P->y=; P->next=NULL;

if(dau !=NULl)

P->next= dau;

dau=P;}

Void pop(int *x, int*y)

{ struct DS*P;

P=dau; dau=dau->next;

*x=P->x; *y= P->y;

free(P);}

void tolancan(int x, inty, int mauto, int mauvien)

{ int mau;

mau=getpixel(x,y);

if((mau != mauto)&&(mau !=mauvien))

{ putixel(x,y,mauto);

push(x,y);}

}

Void toloang_stack(int x0, int y0,

int mauto, int mauvien){ int x,y;

putpixel(x0,y0,mauto);

dau=NULL;

push(xo,yo);

while(dau != NULL)

{ pop(&x,&y);

tolancan(x-1, y, mauto, mauvien);

tolancan(x+1, y, mauto, mauvien);

tolancan(x, y+1, mauto, mauvien);

tolancan(x, y-1, mauto, mauvien);}}

Flood

Fill/boundary fill

Scan line fill/

scan conversion

Thuật toán rời rạc hóa trong không gian màn hình

Thuật toán rời rạc hóa trong đối tượng hoặc/và không gian màn hình Yêu cầu gọi hệ

thống GetPixel/Val

Độc lập với thiêt bị

Đòi hỏi điểm seed Không đòi hỏi

điểm seed Yêu cầu stack rất

lớn

Yêu cầu stack nhỏ

III.Các thuật toán xén hình

1.Thuật toán Cohen-sutherland

Chia mặt phẳng thành 9 vùng: cửa sổ và 8

vùng xung quanh nó Mỗi vùng được gán bởi một mã nhị phân 4

bit

Giả sử có điểm P(x,y), lúc đó gán mã cho điểm P:

Pleft={ 1, nếu Px < xmin

Pright={ 1, nếu Px>xmax

0, ngược lại

0, ngược lại

Pbottom={ 1, nếu Py<ymin

Ptop= { 1, nếu Py>ymax

0, ngược lại

0, ngược lại

Hàm tính mã

int ma(point M){ int m=0;

if(M.x<min.x) ml=1;

if(M.x>max.x) ml=2;

if(M.y<min.y) ml=4;

if(M.y>max.y) ml=8;

return m;}

Xét đoạn thẳng AB, ta có các trường hợp sau:

1.Nếu (Ma(A)=0000) và (Ma(B)=000)

{hay(Ma(A) or Ma(B)=0000} thì

=>ClipD(F)=AB

2.Nếu (Ma(A) and Ma(B))≠0000) thì

=> ClipD(F) = Ø

3.Nếu ((Ma(A) and Ma(B))=0000) và

(Ma(A)≠0000 hoặc Ma(B)≠0000) thì

Giả sử Ma(A)≠0000 { nếu ma(A)=0

ta đổi vai trò A và B}

-Nếu Ax=Bx(AB thẳng đứng ) thì

+Nếu Ay>ymax (A ở trên) thì Ay=ymax’

ngược lại (A ở dưới) Ay=ymin

=> ClipD(F)=AB

-Ngược lại (trường hợp Ax≠Bx):

+Tính hệ số góc m=(By-Ay)/(Bx-Ax)

{để tính giao của AB với HCN}

Vì A nằm ngoài hình chữ nhật nên:

+Nếu Ax<xmin thì thay A

bởi điểm giao của AB với cạnh trái(nối dài) của HCN

+Nếu Ax>xmax thì thay A

bởi điểm giao của Ab với cạnh phải(nối dài) cua HCN

+Nếu Ay<ymin thì thay A

bởi điểm giao của AB với cạnh dưới(nối dài) của HCN

+Nếu Ay>ymax thì thay A

bởi giao điểm của Ab với cạnh trên(nối dài) của HCN

Quá trình lặp lại này

dừng khi xảy ra một trong hai trường hợp 1hay 2

void ClipCohen(Point A, oint B, Point wmin, Point wmax)

{ int thoat,ve; double m;

thoat=0; ve=1;

while(thoat==0)

{ if((ma(A) | ma(B)==0) thoat=1;

else if((ma(A)&ma(B))!=0){thoat=1; ve=0}

else { if(m(A)==0) hoanvi(&A,&B);

if(A.x==B.x)

{ if(A.y>wmax.y) A.y=wmax.y;

else A.y=wmin.y;}

else{ m=(double)(B.y-A.y)/(b.x-A.x);

if(A.x<wmin.x){ A.y=A.y+(wmin.x-A.x)*m;

A,x=wmin.x; }

Else if(A.x>wmax.x){

A.y=A.y+(wmax.x-A.x)*m;

A.x=wmax.x; }

else

if(A.y<wmin.y){A.x= A.x+(wmin.y-A.y)/m;

A.y=wmin.y; }

else

if(A.y>wmax.y)

{ A.x=A.x+(wmax.y-A.y)/m;

A.y=wmax.y; }}}}//end while

if (ve) veduongthang(A,B);}

2.Thuật toán chia nhị phân

Chia mặt phẳng thành 9 vùng, mỗi vùng

được gán bởi một mã nhị phân 4 bit

-Ý tưởng của thuật toán như sau:

Lấy trung điểm của đoạn thẳng và kiểm tra

mã của nó để loại dần các đoạn con không

chứa giao điểm, và cuối cùng cho điểm giữa

hội tụ về giao điểm của đoạn thẳng với hình chữ

nhật, kết quả là ta thu được đoạn con nằm trong

hình chữ nhật(nếu có)

-Mệnh đề :

Cho M trung điểm của đoạn AB,

Mã(A)≠0000,

Mã(B)≠0000,

Mã(M)≠0000

Thì ta có: [mã(A) AND Mã(M)]≠0000

hoặc[Mã(M) AND Mã(B)]≠0000

-Ý nghĩa hình học của mệnh đề:

Nếu cả ba điểm A, B, M đều ở ngoài hình chữ

nhật thì có ít nhất một đoạn hoàn toàn nằm ngoài hình chữ nhật

-Thuật toán:

1.Nếu (Mã(A) = 0000) và Mã(B)=0000) thì

=>ClipD(F) = AB

2.Nếu (Mã(A) AND Mã(B))≠0000 thì

=>ClipD(F)=Ø

3.Nếu (Mã(A)≠0000) và Mã(B) = 0000) thì:

đỏi vai trò của A, B và áp dụng 4

4.Nếu (Mã(A) = 0000) và (Mã(B) ≠0000) thì:

P:=A; Q:=B;

Trong khi |xP – xQ| + |yP – yQ|>=2 thì:

Lấy trung điểm M của PQ

Nếu Mã(M)≠0000 thì Q:=M

Ngược lại: P:=M

=>ClipD(F) = AP

5.Nếu (Mã(A) ≠ 0000 ≠ Mã(B)) và [Mã(A)

AND Mã(B)]= 0000 thì:

P:=A; Q:=B;

Lấy M: trung điểm PQ;

Khi (Mã(M)≠0000) và (|xP-xQ| + |yP-yQ|>=2) thì:

Nếu (Mã(M) AND Mã(Q))≠0000 thì Q:=M;

Ngược lại: P:M;

Lấy M: trung điểm PQ

Nếu Mã(M)≠0000 thì ClipD(F)=Ø

Ngược lại, áp dụng 4 ta có:

ClipD(MP) = MA1

ClipD(MQ) = MB1

=>ClipD(F) = A1B1

Void XenHinhNhiPhan(Point A, Point B)

{ Point P,Q,M;

if((Ma(A)|Ma(B))==0) VeDuongThang(A,B);

if((Ma(A)&Ma(B))!=0) return;

if((Ma(A)!=0)&&(Ma(B)=0)) HoanVi(&A,&B);

if((Ma(A)==0)&&(Ma(B)!=0))

{ P=A; Q=B;

while((abs(P.x-Q.x)+abs(P.y-Q.y)).2)

{ M.x=(P.x+Q.x)/2;

M.y=(P.y+Q.y)/2;

If(Ma(M)==0) P=M;

VeDuongThang(A,P);}

{ P=A; Q=B;

M.x=(P.x+Q.x)/2; M.y=(P.y+Q.y)/2;

while((Ma(M)!=0)&&((abs(P.x-Q.x)+abs(P.y-Q.y))>2))

{ if((Ma(P)& Ma(M)!=0) P=M;

M.x=(P.x+Q.x)/2;

M.y=(P.y+Q.y)/2;}

if(Ma(M)==0){ XenHinhNhiPhan(P,M);

XenHihNhiPhan(M,Q);}

IV.Biểu diễn các đối tượng 3D

1.Mô hình khung kết nối

Mô hình khung kết nối (WF-WireFrame model)

thể hiện hình dáng của một đối tượng 3D bởi 2 danh sách:

-Danh sách các đỉnh (vertices): lưu tọa đọ các đỉnh

-Danh sách các cạnh (edges) nối gữa các

đỉnh đó: lưu 2 đỉnh đầu và cuối của từng cạnh

(hình vẽ)

Có nhiều cách để lưu trữ một mo hình

WF trên máy tính Có thể sử dụng cấu trúc sau:

const maxDinh= 30;

const maxCanh=50;

typedef struct toado3D

{ int x; int y; int z; }

typedef struct KieuCanh

{ int dau; int cuoi; }

typedef struct WireFrame

{ int sodinh;

toado3D dinh[maxDinh];

int socanh;

KieuCanh canh[maxCnah];

};

2.Mô hình mặt đa giác

Mô hình các mặt đa giác(Polygon Mesh model)

thể hiện hình dáng của một đối tượng 3D bởi 2 danh sách:

-Danh sách các đỉnh

-Danh sách các mặt: lưu thứ tự các đỉnh tạo nên mặt đó

(hình vẽ)

Chúng ta có thể đưa ra nhiều cấu trúc dữ

liệu khác nhau để lưu trữ cho đa giác Dưới

đây là một kiểu cấu trúc:

typedef struct toado3D

{ int x; int y; int z; }

struct Kieumat

{ int sodinhmat;

int chisodinh[MAX]; };

struct Mohinhmat

{ int sodinh;

toado3D dinh[MAX];

int somat;

Kieumat mat[MAX]; };

V.Biểu diễn đường và mặt cong:

1.Đường cong Benzier

Bài toán: Cho n+1 điểm p0, p1, p2,…,pn

được gọi là các điểm kiểm soát (điểm điều khiển)

Xây dựng đường cong trơn đi qua 2 điểm p và pn

được giới hạn trong bao lồi do n+1 điểm trên tạo ra

Thuật toán Casteljau

Để xây dựng đường cong P(t), ta dựa trên

một dãy các điểm cho trước rồi tạo ra giá trị P(t)

ứng với mỗi giá trị t nào đó.

Phương pháp này tạo ra đường congdựa trên một

dãy các bước nội suy tuyến tính hay nội suy

khoảng giữa(In-Betweening)

Với 3 điểm P0, P1, P2 ta có thể xây dựng

một Parabol nội suy từ 3 điểm này bằng cách chọn

một giá trị t ∊ [0,1] rồi chia đoạn P0P1 theo tỉ lệ t,

ta được điểm P01, trên P0P1 Tương tự , ta chia

tiếp P1P2 cũng theo tỉ lệ t, ta được P11 Nối P01 và P11

lại lấy điểm trên P01P11 chia theo tỉ lệ t, ta được P02

Tập điểm P02 chính là đường

cong P(t)

Ta biểu diễn bằng chương trình:

P01(t)= (1-t).P0+t.P1 (1)

P11(t)= (1-t).P1+t.P2 (2)

P02(t)= (1-t).P01+t.P11 (3)

Trong đó t ∊ [0 1]

Thay (1), (2) vào (3) ta được:

P(t)= P02(t)= (1-t)2.P0 + 2t.(1-t).P1

+ t2.p2

Đây là một đường cong bậc 2 theo t

nên nó là một Parabol

-Tổng quát hóa ta có thuật toán

Casteljau cho (n+1) điểm kiểm soát:

Giả sử ta có tập điểm: P0,P1,P2,

…,Pn

Với mỗi giá trị t cho trước, ta tạo ra

điểm Pir(t) ở thế ệ thứ r, từ thế hệ

thứ (r-1) trước đó, ta có:

Pir(t)= (1-t).Pir-1(t)+t.Pi+1r-1(t)

(r=0,1,…,n và i=0,…,n-r)

Thế hệ cuối cùng: P0n(t)=∑

Pi.(1-t)n-i.ti.Cni

Được gọi là dường cong benzier của

các điểm P0,P1,P2,…,Pn

Các điểm pi, i=0,1,…,n gọi là các

điểm kiểm soát hay các điểm beier

Đa gics tạo bởi các điểm kiểm soát

gọi là đa giác kiểm soát hay đa giác

benzier

Đường cong benzier dựa trên (n+1)

điểm kiểm soát P0,P1,P2,…,Pn

được cho bưởi công thức:

P0n ( t)=P(t)= ∑pk.B nk(t)

Trong đó: P(t): là một điểm trong

mặt phẳng hoặc trong không gian

B nk(t): gọi là đa thức Bernstrin,

được cho bởi coog thức:

B nk(t)=Cnk .(1-t)n-k.tk

=(n!/k!(n-k)! )(1-t)n-t.tk với n>=k

Mỗi đa thức Bernstein có bậc là n

thong thuowgf ta còn gọi các B

nk(t) là các hàm trộn

Đường cong Benzier dực trên (n+1)

điểm kiểm soát p0,p1,…,pn được

cho bưởi coog thức:

P0n ( t)= P(t)= ∑Pk.B nk(t)

Tương tự, đối với mặt benzier ta có

phương trình sau:

P(u,v)= ∑ ∑ P I,k Bim (u) Bkn(V)

Trong trường hợp này khối đa diện

kiểm soát sẽ có (m+1)(n+1) đỉnh

Minh họa vẽ đường cong benzier

trong mặt phẳng

Typedef struct { int x; int y; }

CPoint;

int GiaiThua (int n){ if(n==0) return

1 ;

else return 1 n* GiaiThua(n-1);

}

float hamMu(float a, int n)

{ if(n==0) return 1;

else return a*hamMu(a,n-1);

}

float BernStein(float t,int n, int k){

float ckn,kq;

ckn=GiaiThua(n)/

(GiaiThua(k)*GiaiThua(n-k));

kq=ckn*HamMu(1-t,n-k)*HamMu(t,k);

return kq;}

CPoint TPt(CPonit P[ ],float t,int n)

{CPoint Pt; float B;int K;

Pt.x=0; Pt.y=0;

For(k=0;k<=n;k++) { B=

BernStein(t,n,k);

Pt.x=Pt.x+P[k].x*B;

Pt.y=Pt.y+P[k].y*B;

} return Pt; }

Void DrawBenzier(int n, CPoint

P[ ])

{ CPoint PT; float dt,t,m; int I;t=0;

m=100; dt=1/m;

Moveto(P[0].x,P[0].y);

For(i=1;i<=m;i++){ Pt=TPt(P,t,n);

Lineto(Pt.x,Pt.y); t=t+dt; }

Các mặt có quy tắc: (mặt trụ)

Mặt trụ là mặt được tạo ra khi một

dường thẳng (đường sinh) được

quét dọc theo một đường cong

P0(u) (đường chuẩn) đường cong

P0(u) nằm trên một mặt phẳng nào

đó

Gọi d là đường sinh,d=const

P0(u) là đáy dưới

P1(u)là đáy trên

Suy ra d= P0(u)- P1(u)p(u,v)=

(1-v).P0(u)+v.P1(u)

= P0(u)+(P1(u) -P0(u)).v= P0(u)

+d.v

Vậy: p(u,v)= P0(u)+d.v

Pt mặt trụ : p(u,v)= P0(u)+d.v

Dạng quen thuộc của mặt trụ là mặt

trụ trònL trong mặt phẳng xoy, lấy

P0(u) là đường tròn tâm o bán kính

r

Ta có:d=(0,0,h)

P0(u)=(r.cos(u),r.sin(u),0)

Vậy: {X(u,v)=r.cos(u)

Z(u,v)=h.v

với {0<=v<=1; 0<=u<=2π

thủ tục mặt trụ:

void DrawCylinder( float R,float h){

Point3D P; Point2D P1 ; doule

Delta_U, Delta_V,u,v;

Delta_U=0.06 ; Delta_V=0.03;

for(u=0;u<2*M_PI;u+= Delta_U)

{ for(v=0;v<2*M_PI;v+= Delta_V)

{ P.x=R*cos(u);

P.y=R*sin(u);

P.z=v*h;

P1=Chieu(KieuChieu,P);

Putpixel(xc+P1.x+P1.y,Ưhite);}}}

Mặt nón:

Mặt nón là mặt được tạo ra khi một

dường thẳng di chuyển dọc theo

một đường cong phawmgr cho

trước các duowgf thẳng luôn di qua

một điểm cố định gọi là đỉnh của

mặt nón

P0(u) trùng với gốc tọa độ O

P1(u) là đường trong tâm (0,0,h) bán

kính r

P0(u)=(r.cos(u),r.sin(u),h)

Ta có: p(u,v)=(1-v) P0(u)+ v

P1(u)=v P0(u)

Vạy: p(u,v)= v P0(u)

Hay: {X(u,v)=v.r.cos(u)

Z(u,v)=h.v

với {0<=v<=1; 0<=u<=2π

thủ tục mặt nón:

void DrawCone( float R,float h)

{ Point3D P; Point2D P1 ; doule

Delta_U, Delta_V,u,v;

Delta_U=0.03 ; Delta_V=0.1;

for(u=0;u<2*M_PI;u+= Delta_U)

{ for(v=0;v<2*M_PI;v+= Delta_V)

{ P.x=v.R*cos(u);

P.y=v.R*sin(u);

P.z=v*h;

P1=Chieu(KieuChieu,P);

Putpixel(xc+P1.x+P1.y,White);}}}

Các mặt tròn xoay(mặt cầu):

Với mặt cầu tâm O bán kính r thì C

là ½ đường tròn trong mặt phawmgr

xoz

Ta có: X(v)=r.cos(u); Z(v)=r.sin(v);

{X(u,v)=r.cos(u).cos(v)

Y(u,v)=r.sin(u).cos(v)

Z(u,v)=r.sin(v)

với {- π /2<=v<= π /2 ;

0<=u<=2π

thủ tục mặt cầu:

void DrawSphere( float R)

{ Point3D P; Point2D P1 ; doule

Delta_U, Delta_V,u,v,Pi_2;