Thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên hùng vơng
Năm học 2008-2009 Môn Toán (dành cho mọi thí sinh)
Ngày thi 25 tháng 6 năm 2008
Câu 1: a) Giải hệ phơng trình:
1
x y
x y
b) Giải phơng trình : x4 -10 x2 + 9 =0
Giải
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y)
=(2;1)
b) đặt x2 =t (t0) ta có x4 -10 x2 + 9 =0 t2 -10t+9=0
Nhẩm Vi-ét a+b+c=1+(-10)+9 =0 ta có t1=1; t2=9
Vậy phơng trình x4 -10 x2 + 9 =0 có 4 nghiệm x1=-1;x2=1;x3=-3;x4=3
Câu 2: Cho phơng trình bậc 2 : x 2 -2(m+1)x+m 2 -1=0 (1) m là tham số
a) Giải phơng trình (1) khi m=7
b) Tìm tất cả các giá trị m để phơng trình (1) có nghiệm
c) Gọi x 1 ,x 2 là nghiệm (1) tìm hệ thức liên hệ x 1 ;x 2 không phụ rhuộc m
Giải
a) Thay m=7 ta có x2-2(m+1)x+m2-1=0 x2-16x+ 48=0
/
=16>0 ; x1=12;x2=4
b)Để phơng trình (1) có nghiệm / 0;
/
=(m+1)2-(m2-1)=m2+2m+1-m2+1=2m+20 m 1
vậy m 1 thì phơng trình (1) có nghiệm
c)Với m 1 theo Vi-ét ta có
1 2
1 1
2 2
1 2
1 2
1 2
1
1
1 1(*) 2
x x m
x x m
x x
x x m
x x
(*) 4 x x ( x x 2) 4 ( x x ) 4( x x ) 0 m
Câu3
Trang 2K
M
D A
O
B C
a)Chứng minh tứ giác CDNM nội tiếp
b)Gọi I là trung điểm MN chứng minh AI vuông góc với CD
c)Xác định vị trí C sao cho MN nhỏ nhất
Giải
a)
ACD SdcungCD DNM sd cungAB cungBD sdcungCD
vậy ACDDNM mà ACD DCM 1800 DNM DCM 1800 Nên tứ giác CDNM nội tiếp ( theo định lý đảo)
b)Vì tứ giác CDNM nội tiếp nênADK AMN mà do I là trung điểm MN nên
AIN cân suy ra ANDDAK mà
trong ADK có DAK KDA 90 0 nên AKD900 hay AI CD
(đpcm)
c)Ta có AMN vuông tại A có AI là trung tuyến MN=2AI MN nhỏ nhất khi AI nhỏ nhất ta có MN 2AI 2AB
Vậy MN nhỏ nhất khi MN=2AB khi I khi CD vuông góc với ABB
Câu 4:Cho x,y thoả mãn x>0,y>0 x+y 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 1 2 1
x y xy
Trang 3áp dụng các bất đẳng thức
2
2
A B
2
2
x y
( )
4
Min P Khi
1 1
2 1
8
2
xy
xy
Thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên hùng vơng
Năm học 2008-2009
Môn Toán (dành cho thí sinh thi chuyên Toán)
Ngày thi 26 tháng 6 năm 2007
Câu 1 Cho phơng trình bậc 2 : x 2 +2(m+1))x+m 2 +m+2 =0 (1) ( x là ẩn) a)Tìm tất cả các giá trị của m để phơng trình (1) có 2 nghiệm
b) Gọi x 1 ,x 2 là nghiệm của (1) tìm m để P= x 1 x 2 + 2(x 1 +x 2 )có giá trị nhỏ nhấ
Giải
Trang 4a) Xét phơng trình (1): Điều kiện có nghiệm / 0
2
Vậy với m 1 thì PT ( 1) có nghiệm
b) với m 1
Gọi các nghiệm là x1, x2 Theo Viét ta có
1 2
2
1 2
2 1
2 2
1 2 1 2
3 17 17
2 4 4
P x x x x m m m
Vậy Min (P) =17 3
; :
4 khi m 2 thoả mãn
Câu 2: Giải phơng trình x2 x 2 4 x 1
ĐKXĐ : x 1
Giải
2
2 4 1 2 1 3 3 4 1
( 1) 3( 1) 4 1 0(*)
đặt x 1 t t( 0) (*) t4 +3t2-4t =0 t(t-1)(t2+t+4)=0 t=0 hoặc t=1 Vì t2+t+4 >0 mọi t
*Với t=0 thì x=1(t/m)
* Với t=1 thì x=2 (t/m)
Vậy PT có 2 nghiệm x1=1;x2=2
Câu3: Giải hệ phơng trình
3
3
Giải
Lấy PT(1) trừ PT 2 ta đợc PT : 3(x3 -y3)=y-x (x-y)(3x2+3xy+3y2+1)=0(*)
Ta có 3x2+3xy+3y2+1=
2
(*) x y 0 x y thay vào (1) ta đợc
3x3=x+2x 3x(x-1)(x+1)=0 vậy PT có 3 nghiệm (x;y)=(0;0);(1;1);(-1;-1)
Câu 4
Trang 5R/ R
I'
2 2
1 1
Q
P H
C A
J
F
E N
I B
O M
a)MN//NF và MF,NE,OI đồng quy
doMBN=900 nên EBF =900 suy ra E,I,F thẳng hàng
ta có OMB=OBM=IBE=IEB nên MN//EF ( đpcm)
gọi giao điểm MF,NE là J nối JO cắt EF tại I’ áp dụng hệ quả định lý Ta-lét ta có:
I F JI I E mà OM=ON suy ra I
/F=I/E mà IEF nên I/ I hay
MF,NE,OI đồng quy mặt khác do JO OM OB
JI IF IB không đổi mà B,O,I cố
định nên J cố điịnh (đpcm)
b) Chứng minh tổng ME 2 +NF 2 không đổi
Đặt OB=R,BI=R/ Ta có
ME2 +NF2=(MB+BE)2+(NB+BF)2=MB2+2MB.BE+BE2+NB2+2NB.BF+BF2
=( MB2+NB2)+( BE2+ BF2)+2(MB.BE2 NB.BF2)
Mà: MB2+NB2= MN2=4R2; BE2+ BF2=EF2=4R/2;MB NB OB R/
BE BF BI R thay vào
(*)
ME2 +NF2=4R2+4R/2+2. R/
R .4R
/2=4R2+4R/2+8RR/=4(R+R/)2 không đổi (đpcm)
c)Gọi H là hình chiếu của B trên MF chứng minh HB là phân giác góc OHI
qua O và I kẻ hai đờng thẳng vuông góc với AC cắt MF tại P và Q
ta có tứ giác POBH,QIBH nội tiếp nên H1=B1; H2=B2(1)
mặt khác ta có OP JO OM OB
IQ JI IF BI nên POB đồng dạng với QIB
(c.gc.c)
nên B1=B2 (2)
từ (1) và (2) ta có H1=H2;suy ra OHB=IHB
Hay HB là phân giác góc OHI ( đpcm)
Trang 6Câu 5: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác Chứng minh bất đẳng thức
b c a a c b a b c
Giải
Ta có
3 (2 2 ) 3 (2 2 ) 3 (2 2 )
(*)
3 (2 2 ) 3 (2 2 ) 3 (2 2 )
VT
VT
áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dơng A,B
2
A B
AB
Ta có
a b c
a b c a
Tơng tự
a b c
b a c b
a b c
c a b c
Từ (1),(2),(3) ta có
b c a a c b a b c Dấu “=“ xảy ra khi
3 2 2
3 2 2
3 2 2
Hay tam giác đó đều
Thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên hùng vơng
Năm học 2008-2009
Môn Toán (dành cho thí sinh thi chuyên Tin)
Ngày thi 26 tháng 6 năm 2008
Câu 1,2,3 Nh đề thi vào chuyênToán
Câu 4:
2 1
2 1
2 1
Q
P
I
K
N M
D B
C A
O
Trang 7a) Chứng minh K thuộc (O) và K thuộc đờng thẳng cố định
xét tứ giác KMDN có KMD+KND=900+900=1800 nên tứ giác KMDN nên K thuộc đờng tròn đi qua MDNA
ta có KMD=900 nên KD là đờng kính của (O) suy KAD=900 ,AD cố
định nên KA vuông góc với AD vậy K thuộc tia AK cố định
b)Gọi I là trung điểm MN chứng minh I thuộc đờng thẳng cố định
Kẻ DPAB, DQAC thì PQ cố định ta chứng minh I PQ
Ta có K,O,I,D thẳng hàng nên DIMN Ta chứng minh đợc 2 tứ giác MPDI,NQID nội tiếp suy ra I1=D1; I2=D2 (1)
Mà PDQ+BAC=1800=MDN+BAC suy ra PDQ=MDN
Suy ra D1=D2 (2) Từ (1) &(2) ta có I1=I2 mà I1+PIN=1800
Suy ra I2 +PIN=1800 hay P.I,Q thẳng hàng hay I PQ cố định
c)Xác định (O) để MN nhỏ nhất
Ta có PDQ=MDN , NMD=QPD
suy MDN đồng dạng với PDQ nên
1
PQ PD ( không đổi)
Giá trị nhỏ nhất MN=PQ khi M P N Q; Khi đó AMN cân tại A
và I AD
Vậy OAD hay đờng tròn (O) nhận AD là đờng kính
Câu 5: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác Chứng minh bất đẳng thức
b c a a c b a b c
Giải
Ta có
Trang 82 2 2
VT
a b c a b a c b c a b c
VT
a b c a b a c b c a b c
áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dơng A,B
2
A B
AB
a b c a
b c
a b c a
Tơng tự
b a c b
a c
b a c b
c a b c
a b
c a b c
Từ (1),(2),(3) ta có
2
b c a a c b a b c b c a c a b
2
b c a c a b
3
b c a a c b a b c
Dấu “-“ xảy ra khi
a b c a
b a c b a b c
c a b c
Hay tam giác đó đều
Cách khác đặt b+c-a=x;c+a-b=y;a+b-c=z thì x+y=2c;y+z=2a;x+z=2b
Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với
3
áp dụng bất đẳng thức A B C 3 3 ABC A B; 2 AB
6
yz xz xy
Trang 9Dấu “=” xảy ra khi x=y=z hay a=b=c
Ngời gửi ; Nguyễn Minh Sang
GV trờng THCS Lâm Thao –Phú Thọ DD 0917370141
gmail: minhsang5260@gmail.com.vn
Tôi có đề thi và HD giải các đề thi vào chuyên NN ; Chuyên ĐHSP;
ĐHKHTN ,Chuyên Hùng Vơng Phú thọ từ năm học 2004-2005 đến nay rất mong đợc trao đổi đề thi và đáp án HSG Toán 9 cấp huyện và cấp tỉnh và đề thi vào lớp 10 các trờng THPT chuyên trong cả nớc
với các bạn đồng nghiệp mọi liên hệ gửi về
minhsang5260@gmail.com.vn