Toán Rời Rạc - Phạm Tiến Sơn pps

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT KHOA TOÁN - TIN HỌC Y  Z PHẠM TIẾN SƠN TOÁN RỜI RẠC 1 (Bài Giảng Tóm Tắt) Lưu hành nội bộ Y Đà Lạt 2008 Z Mu . clu . c MO . ˙’ D - ˆ A ` U iv 1T ˆ A . PHO . . PV ` A ´ ANH XA . 1 1.1 Tˆa . pho . . p 1 1.1.1 Kh´ai niˆe . m 1 1.1.2 C´ac ph´ep to´an trˆen tˆa . pho . . p 3 1.1.3 T´ıchDescartes 5 1.2 ´ Anh xa . 8 1.2.1 D - i . nh ngh˜ıa v`a t´ınh chˆa ´ t 8 1.2.2 ´ Anh xa . ha . n chˆe ´ 10 1.2.3 Ho . . pcu ˙’ a c´ac ´anh xa . 11 1.2.4 ´ Anh xa . ngu . o . . c 12 1.2.5 Lu . . clu . o . . ng cu ˙’ amˆo . ttˆa . pho . . p 12 2 LOGIC V ` AC ´ AC PHU . O . NG PH ´ AP CH ´ U . NG MINH 17 2.1 Mˆe . nh d¯ˆe ` 17 2.2 Mˆe . nh d¯ˆe ` c´o d¯iˆe ` ukiˆe . n v`a c´ac mˆe . nh d¯ˆe ` tu . o . ng d¯u . o . ng 20 2.3 Lu . o . . ngh´oa 23 2.4 Phu . o . ng ph´ap ch´u . ngminh 26 i 2.5 Quy na . p to´an ho . c 31 3 THU ˆ A . TTO ´ AN 33 3.1 Mo . ˙’ d¯ ˆa ` u 33 3.1.1 T`ım sˆo ´ l´o . n nhˆa ´ t trong ba sˆo ´ 33 3.1.2 T`ım sˆo ´ l´o . n nhˆa ´ t trong d˜ay h˜u . uha . n c´ac sˆo ´ thu . . c 33 3.2 Thuˆa . tto´anEuclid 35 3.2.1 Thuˆa . tto´anEuclid 37 3.3 Thuˆa . t to´an d¯ˆe . quy 39 3.3.1 T´ınh n giai th`u . a 39 3.3.2 T`ım u . ´o . csˆo ´ chung l´o . n nhˆa ´ t 40 3.3.3 Thuˆa . t to´an x´ac d¯i . nh d˜ay Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.4 D - ˆo . ph´u . cta . pcu ˙’ a thuˆa . tto´an 43 3.5 Phˆan t´ıch thuˆa . tto´anEuclid 48 4PH ´ EP D - ˆ E ´ M51 4.1 C´ac nguyˆen l´yco . ba ˙’ ncu ˙’ a ph´ep d¯ˆe ´ m 51 4.1.1 Nguyˆen l´ytˆo ˙’ ng 51 4.1.2 Nguyˆen l´yt´ıch 52 4.1.3 Nguyˆen l´y bao h`am-loa . itr`u . 54 4.2 Ho´an vi . v`a tˆo ˙’ ho . . p 57 4.3 C´ac thuˆa . t to´an sinh ra ho´an vi . v`a tˆo ˙’ ho . . p 62 4.4 Ho´an vi . v`a tˆo ˙’ ho . . p suy rˆo . ng 66 4.5 Hˆe . sˆo ´ cu ˙’ a nhi . th ´u . c v`a c´ac d¯ˆo ` ng nhˆa ´ tth´u . c 73 4.6 Nguyˆen l´y chuˆo ` ng chim bˆo ` cˆau 77 4.6.1 Nguyˆen l´y chuˆo ` ng chim bˆo ` cˆau (da . ng th´u . nhˆa ´ t) 77 ii 4.6.2 Nguyˆen l´y chuˆo ` ng chim bˆo ` cˆau (da . ng th´u . hai) 78 4.6.3 Nguyˆen l´y chuˆo ` ng chim bˆo ` cˆau (da . ng th´u . ba) 80 5 QUAN H ˆ E . 85 5.1 Quan hˆe . haingˆoi 85 5.2 Quan hˆe . v`a ma trˆa . n 90 5.3 Quan hˆe . th ´u . tu . . 96 5.4 Quan hˆe . tu . o . ng d¯u . o . ng 104 5.5 Bao d¯´ong cu ˙’ a quan hˆe . 110 5.6 Lattice cu ˙’ a c´ac phˆan hoa . ch 116 5.6.1 Thuˆa . t to´an x´ac d¯i . nh hˆo . icu ˙’ a hai phˆan hoa . ch 118 5.6.2 Thuˆa . t to´an x´ac d¯i . nh tuyˆe ˙’ ncu ˙’ a hai phˆan hoa . ch 119 6D - A . IS ˆ O ´ BOOLE 123 6.1 Lattice 123 6.2 Lattice phˆan bˆo ´ 132 6.3 D - a . isˆo ´ Boole 137 6.4 H`amBoole 145 6.5 Biˆe ˙’ udiˆe ˜ n c´ac h`am Boole qua hˆe . tuyˆe ˙’ n, hˆo . iv`aphu ˙’ d¯ i . nh 149 6.6 Biˆe ˙’ udiˆe ˜ ntˆo ´ i thiˆe ˙’ ucu ˙’ ah`amBoole 152 6.6.1 Kh´ai niˆe . m 152 6.6.2 Phu . o . ng ph´ap ba ˙’ nd¯ˆo ` Karnaugh 153 7M ˜ A TUY ˆ E ´ NT ´ INH 159 7.1 Mo . ˙’ d¯ ˆa ` u 159 7.1.1 Kh´ai niˆe . m 159 iii 7.1.2 M˜a ph´at hiˆe . nlˆo ˜ i 160 7.1.3 M˜a su . ˙’ asai 161 7.2 C´ac kh´ai niˆe . m 162 7.3 Khoa ˙’ ngc´achHamming 170 7.4 Hˆo . ich´u . ng 178 7.4.1 Gia ˙’ im˜ad`ung ba ˙’ ng chuˆa ˙’ n 179 7.5 M˜a ho`an ha ˙’ o 182 7.6 M˜aHamming 184 T`ai liˆe . u tham kha ˙’ o 189 iv MO . ˙’ D - ˆ A ` U To´an ho . cr`o . ira . c l`a mˆo . tbˆo . phˆa . ncu ˙’ a To´an ho . c nhˇa ` m nghiˆen c´u . u c´ac d¯ˆo ´ itu . o . . ng r`o . ira . c: nghiˆen c´u . u c´ac cˆa ´ utr´uc r`o . ira . c kh´ac nhau v`a c´ac phu . o . ng ph´ap gia ˙’ i c´ac vˆa ´ nd¯ˆe ` c´o liˆen quan d¯ ˆe ´ n c´ac cˆa ´ utr´uc n`ay. Thˆong tin lu . utr˜u . v`a vˆa . n h`anh trong m´ay t´ınh du . ´o . ida . ng c´ac t´ın hiˆe . ur`o . ira . c (c´ac m´ay t´ınh liˆen tu . cchı ˙’ l`a c´ac m´ay t´ınh tu . o . ng tu . . , chuyˆen du . ng). V`ıvˆa . y cˆong cu . d`ung d¯ˆe ˙’ biˆe ˙’ udiˆe ˜ n thˆong tin trong m´ay v`a xu . ˙’ l´y c´ac thˆong tin n`ay l`a To´an ho . cr`o . ira . c. Ngo`ai ra, c´ac phu . o . ng ph´ap v`a kˆe ´ t qua ˙’ cu ˙’ a To´an ho . cr`o . ira . c c´o thˆe ˙’ d`ung d¯ˆe ˙’ gia ˙’ i quyˆe ´ t tru . . c tiˆe ´ p nhiˆe ` uvˆa ´ nd¯ˆe ` d¯ ˇa . t ra cu ˙’ a Tin ho . cnhu . logic, h`am d¯a . isˆo ´ logic, tˆo ˙’ ho . . p trˆen t`u . To´an ho . cr`o . ira . c chuˆa ˙’ nbi . sˇa ˜ n v`a cung cˆa ´ p c´ac cˆong cu . ,phu . o . ng ph´ap luˆa . nd¯ˆe ˙’ gia ˙’ i quyˆe ´ t nhiˆe ` u vˆa ´ nd¯ˆe ` cu ˙’ a Tin ho . c. C´o thˆe ˙’ n´oi To´an ho . cr`o . ira . c l`a ng`anh To´an ho . cco . so . ˙’ cho Tin ho . c. Mu . cd¯´ıch cu ˙’ a gi´ao tr`ınh nhˇa ` m cung cˆa ´ pmˆo . tsˆo ´ cˆong cu . To´an ho . cd¯ˆe ˙’ bu . ´o . cd¯ˆa ` u d¯i v`ao Tin ho . c. Gi´ao tr`ınh d¯u . o . . c tr`ınh b`ay mˆo . t c´ach d`an tra ˙’ iho . n l`a d¯i sˆau v`ao mˆo . tvˆa ´ nd¯ˆe ` cu . thˆe ˙’ . Cuˆo ´ imˆo ˜ i phˆa ` n c´o c´ac b`ai tˆa . p nhˇa ` mcu ˙’ ng cˆo ´ nh˜u . ng kiˆe ´ nth´u . c d¯˜a ho . c. Hy vo . ng rˇa ` ng gi´ao tr`ınh n`ay d¯´ap ´u . ng d¯u . o . . c phˆa ` n n`ao yˆeu cˆa ` uho . ctˆa . pcu ˙’ a c´ac ba . n sinh viˆen. D - `aLa . t, ng`ay 11 th´ang 2 nˇam 2008 Pha . mTiˆe ´ nSo . n v vi Chu . o . ng 1 T ˆ A . PHO . . PV ` A ´ ANH XA . 1.1 Tˆa . pho . . p 1.1.1 Kh´ai niˆe . m Mˆo . t kh´ai niˆe . mco . ba ˙’ ncu ˙’ a to´an ho . chiˆe . nd¯a . i l`a kh´ai niˆe . m tˆa . pho . . p. C˜ung giˆo ´ ng nhu . d¯ i ˆe ˙’ m, d¯oa . n thˇa ˙’ ng, mˇa . t phˇa ˙’ ng, trong h`ınh ho . c Euclid, kh´ai niˆe . mtˆa . p ho . . p khˆong d¯u . o . . cd¯i . nh ngh˜ıa m`a chı ˙’ d¯ u . o . . c mˆo ta ˙’ bˇa ` ng nh˜u . ng v´ıdu . . Chˇa ˙’ ng ha . n, tˆa . pho . . p c´ac s´ach trong thu . viˆe . n, tˆa . pho . . p c´ac sˆo ´ thu . . c, tˆa . pho . . p c´ac d¯a th´u . cbˆa . c hai, v.v C´ac vˆa . tta . onˆenmˆo . ttˆa . pho . . pgo . i l`a c´ac phˆa ` ntu . ˙’ cu ˙’ atˆa . pho . . pˆa ´ y. C´o hai c´ach x´ac d¯i . nh mˆo . ttˆa . pho . . p: (a) Liˆe . tkˆe danh s´ach c´ac phˆa ` ntu . ˙’ cu ˙’ a n´o. Chˇa ˙’ ng ha . n, tˆa . pho . . pgˆo ` m c´ac phˆa ` ntu . ˙’ a, b, c, d thu . `o . ng d¯u . o . . cviˆe ´ t {a, b, c, d}. (b) Nˆeu lˆen t´ınh chˆa ´ td¯ˇa . c tru . ng cu ˙’ a c´ac phˆa ` ntu . ˙’ cu ˙’ atˆa . pho . . p. Chˇa ˙’ ng ha . n, tˆa . pho . . p {1, 3} c´o thˆe ˙’ mˆo ta ˙’ l`a tˆa . pho . . p hai sˆo ´ tu . . nhiˆen le ˙’ nho ˙’ nhˆa ´ t hay tˆa . pho . . p c´ac nghiˆe . mcu ˙’ a phu . o . ng tr`ınh bˆa . c hai x 2 − 4x +3=0. K´yhiˆe . u x ∈ A (v`a d¯o . cl`ax thuˆo . c A) c´o ngh˜ıa x l`a phˆa ` ntu . ˙’ cu ˙’ atˆa . pho . . p A. Khi x khˆong pha ˙’ i l`a phˆa ` ntu . ˙’ cu ˙’ atˆa . pho . . p A ta viˆe ´ t x ∈ A (v`a d¯o . cl`ax khˆong thuˆo . c A). Chˇa ˙’ ng ha . n, nˆe ´ u go . i N l`a tˆa . p c´ac sˆo ´ tu . . nhiˆen th`ı 7 ∈ N nhu . ng 12 5 ∈ N. Ch´u ´y 1. (a) D - ˆe ˙’ d¯ o . n gia ˙’ n, d¯ˆoi khi ta chı ˙’ d`ung t`u . “tˆa . p” thay cho cu . mt`u . “tˆa . pho . . p”. (b) K´yhiˆe . u:=thu . `o . ng d`ung d¯ˆe ˙’ d¯ u . a v`ao d¯i . nh ngh˜ıa, n´o thay cho cu . mt`u . “d¯i . nh ngh˜ıa bo . ˙’ i”. Chˇa ˙’ ng ha . n, N := {0, 1, 2, }. 1 (c) Ta thu . `o . ng d `ung k ´y hiˆe . u | d¯ ˆe ˙’ diˆe ˜ nd¯a . t ´y “sao cho” (hoˇa . c “trong d¯´o”). Chˇa ˙’ ng ha . n, tˆa . p ho . . ptˆa ´ tca ˙’ c´ac sˆo ´ tu . . nhiˆen chˇa ˜ n c´o thˆe ˙’ mˆo ta ˙’ nhu . sau: {n ∈ N | n chia hˆe ´ tcho2}. V´ı d u . 1.1.1. Mˆo . t v`ai tˆa . pho . . psˆo ´ thu . `o . ng gˇa . p: (a) Tˆa . pho . . p c´ac sˆo ´ tu . . nhiˆen N := {0, 1, 2, }. (b) Tˆa . pho . . p c´ac sˆo ´ nguyˆen du . o . ng P := {1, 2, }. (c) Tˆa . pho . . p c´ac sˆo ´ nguyˆen Z := {0, 1, −1, 2, −2, }. (d) Tˆa . pho . . p c´ac sˆo ´ h˜u . utı ˙’ Q := { p q | p, q ∈ Z,q =0}. (e) Tˆa . pho . . p c´ac sˆo ´ thu . . c R. (f) Tˆa . pho . . p c´ac sˆo ´ ph´u . c C := {a + √ −1b | a, b ∈ R}. Mˆo . ttˆa . pho . . p khˆong c´o phˆa ` ntu . ˙’ n`ao ca ˙’ go . il`atˆa . pho . . p trˆo ´ ng (hay rˆo ˜ ng) v`a d¯u . o . . ck´yhiˆe . ul`a ∅. Chˇa ˙’ ng ha . ntˆa . pho . . pgˆo ` m c´ac nghiˆe . msˆo ´ thu . . ccu ˙’ aphu . o . ng tr`ınh bˆa . c hai x 2 +1=0l`amˆo . t tˆa . pho . . p trˆo ´ ng. Tˆa . pho . . p B go . il`atˆa . pho . . pconcu ˙’ atˆa . pho . . p A nˆe ´ umo . i phˆa ` ntu . ˙’ cu ˙’ atˆa . pho . . p B d¯ ˆe ` ul`a phˆa ` ntu . ˙’ cu ˙’ atˆa . pho . . p A; trong tru . `o . ng ho . . p n`ay ta k´y hiˆe . u B ⊆ A hay A ⊇ B. Hiˆe ˙’ n nhiˆen A ⊆ A. Ho . nn˜u . a, d¯ˆe ˙’ thuˆa . ntiˆe . n, ta thu . `o . ng coi tˆa . pho . . p trˆo ´ ng l`a mˆo . ttˆa . pho . . p con cu ˙’ atˆa . p bˆa ´ tk`y, t´u . cl`a∅⊆A v´o . imo . itˆa . pho . . p A. Hai tˆa . pho . . p A v`a B go . il`abˇa ` ng nhau nˆe ´ u B ⊆ A v`a A ⊆ B; khi d¯´o ta viˆe ´ t A = B. Nˆe ´ u B ⊆ A nhu . ng A = B ta n´oi B l`a tˆa . pho . . p con thu . . c su . . cu ˙’ atˆa . pho . . p A v`a viˆe ´ t B  A. V´ı d u . 1.1.2. (a) Nˆe ´ u A := {x ∈ R | x 2 + x − 6=0},B:= {2, −3} th`ı A = B. (b) Ta c´o c´ac bao h`am th´u . c thu . . csu . . sau PNZQR. Mˆo . ttˆa . pho . . p m`a phˆa ` ntu . ˙’ cu ˙’ an´ol`anh˜u . ng tˆa . pho . . pthu . `o . ng d¯u . o . . cgo . i l`a mˆo . tho . c´ac tˆa . p ho . . p, hoˇa . cmˆo . thˆe . c´ac tˆa . pho . . p. N´oi c´ach kh´ac, “tˆa . pho . . p”, “ho . ”, “hˆe . ”l`anh˜u . ng thuˆa . tng˜u . d¯ ˆo ` ng ngh˜ıa. D - ˆe ˙’ nˆeu lˆen danh s´ach c´ac tˆa . pho . . pcu ˙’ amˆo . tho . tˆa . pho . . p A, ta h˜ay go . imˆo ˜ itˆa . pho . . pcu ˙’ a A l`a A i ;k´yhiˆe . u i d¯ u . o . . cgo . il`achı ˙’ sˆo ´ d¯ ˆe ˙’ d¯´anh dˆa ´ utˆa . pho . . pˆa ´ y, hai tˆa . pho . . p kh´ac nhau cu ˙’ aho . 2 A d¯ u . o . . c d¯´anh dˆa ´ ubo . ˙’ i hai chı ˙’ sˆo ´ kh´ac nhau. Nˆe ´ u I l`a tˆa . pho . . ptˆa ´ tca ˙’ c´ac chı ˙’ sˆo ´ d¯ ˜a d `ung d¯ˆe ˙’ d¯´anh dˆa ´ u c´ac tˆa . pho . . pcu ˙’ aho . A th`ı ta c´o thˆe ˙’ viˆe ´ t A := {A i | i ∈ I}, hay A := {A i } i∈I . C˜ung c´o thˆe ˙’ su . ˙’ du . ng phu . o . ng ph´ap n`ay d¯ˆe ˙’ d¯´anh dˆa ´ utˆa ´ tca ˙’ c´ac phˆa ` ntu . ˙’ cu ˙’ amˆo . ttˆa . pho . . p A t`uy ´y. 1.1.2 C´ac ph´ep to´an trˆen tˆa . pho . . p Cho tru . ´o . c c´ac tˆa . p A v`a B ta c´o thˆe ˙’ th`anh lˆa . p c´ac tˆa . pm´o . ibˇa ` ng c´ac ph´ep to´an sau: D - i . nh ngh˜ıa 1.1.1. Ho . . p cu ˙’ a hai tˆa . p A v`a B l`a mˆo . ttˆa . pho . . p, k´y hiˆe . u A ∪B, gˆo ` mtˆa ´ tca ˙’ c´ac phˆa ` ntu . ˙’ hoˇa . c thuˆo . c A hoˇa . c thuˆo . c B (hoˇa . c thuˆo . cca ˙’ hai). Giao cu ˙’ a hai tˆa . p A v`a B l`a mˆo . ttˆa . pho . . p, k´yhiˆe . u A ∩ B, gˆo ` mtˆa ´ tca ˙’ c´ac phˆa ` ntu . ˙’ v`u . a thuˆo . c A v`u . a thuˆo . c B. Hiˆe . u cu ˙’ atˆa . pho . . p A v´o . itˆa . pho . . p B l`a mˆo . ttˆa . pho . . p, k ´y hiˆe . u A \ B, gˆo ` mtˆa ´ tca ˙’ c´ac phˆa ` n tu . ˙’ thuˆo . c A nhu . ng khˆong thuˆo . c B. Hiˆe . ud¯ˆo ´ ix´u . ng cu ˙’ a hai tˆa . pho . . p A v`a B l`a tˆa . pho . . p A ∆ B := (A \ B) ∪ (B \ A). Nhˆa . n x´et 1. (a) Mˆo . t c´ach tu . o . ng tu . . , c´o thˆe ˙’ d¯ i . nh ngh˜ıa ho . . p ∪ i∈I A i v`a giao ∩ i∈I A i cu ˙’ a mˆo . tho . tˆa . pho . . p A := {A i | i ∈ I}. (b) Ta luˆon c´o A ∆ B = B ∆ A. Nhu . ng nhu . v´ıdu . du . ´o . i d¯ˆay chı ˙’ ra, n´oi chung A\B = B \A. V´ı d u . 1.1.3. Gia ˙’ su . ˙’ A := {a, b, c, d} v`a B := {c, d, e}. Khi d¯´o A ∪ B = {a, b, c, d, e}, A ∩ B = {c, d}, A \ B = {a, b}, B \ A = {e}, A ∆ B = {a, b, e}. V´ı d u . 1.1.4. Gia ˙’ su . ˙’ A (tu . o . ng ´u . ng, B) l`a tˆa . p nghiˆe . mcu ˙’ aphu . o . ng tr`ınh x 2 − 3x +2=0 3 [...]... c´c ph´t a a a u a ˙ biˆ’u sau: e ´ (a) Nˆu g l` mˆt-mˆt th` g ◦ f l` mˆt-mˆt e a o o ı a o o ´ (b) Nˆu f v` g l` lˆn th` g ◦ f l` lˆn e a a e ı a e ´ (c) Nˆu f v` g l` mˆt-mˆt v` lˆn th` g ◦ f l` mˆt-mˆt v` lˆn e a a o o a e ı a o o a e ´ (d) Nˆu g ◦ f l` mˆt-mˆt th` f l` mˆt-mˆt e a o o ı a o o ´ (e) Nˆu g ◦ f l` mˆt-mˆt th` g l` mˆt-mˆt e a o o ı a o o ´ (f) Nˆu g ◦ f l` lˆn th`... aa −1 −1 mˆt-mˆt lˆn v` (f ) = f o o e a ´ ´ V´ du 1.2.4 (a) Anh xa d` ng nhˆ t ı o a ¯ˆ idX : X → X, x → x, l` ´nh xa mˆt-mˆt lˆn v` (idX )−1 = idX aa o e a o ´ (b) Anh xa mˆt-mˆt v` lˆn o a e o f : R → R, c´ ´nh xa ngu.o.c l` oa a f −1 : R → R, x → x3 , 1 y → y3 T` d inh ngh˜ dˆ d`ng suy ra u ¯ ıa ˜ a e ´ ˙ ˙ ’ ’ T´ chˆt 1.2.6 (a) Gia su f : X → Y l` ´nh xa mˆt-mˆt lˆn Khi d ´ ınh... ´ ıa (b) Nˆu f : X → Y, g : Y → Z l` nh˜.ng ´nh xa mˆt-mˆt lˆn, th` ´nh xa ho.p (g ◦f ) : X → Z e a u a o o e c˜ng mˆt-mˆt lˆn v` u o o e a (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 1.2.5 ˙ ’ o a Lu.c lu.o.ng cu a mˆt tˆp ho.p - ´ o Dinh ngh˜ 1.2.7 (a) Hai tˆp ho.p A v` B goi l` c´ c`ng lu.c lu.o.ng nˆu tˆn tai ´nh xa ıa a a e ` a a o u mˆt-mˆt v` lˆn f : A → B o o a e ´ (b) Tˆp ho.p trˆng, tˆp... 1 ıa ˜ a e T` d inh ngh˜ dˆ d`ng suy ra u ¯ ´ T´ chˆt 1.2.5 Cho hai ´nh xa ınh a a f : X → Y, g : Y → Z ´ (a) Nˆu f v` g l` mˆt-mˆt (tu.o.ng u.ng, lˆn, mˆt-mˆt lˆn) th` ´nh xa ho.p g ◦ f c˜ng l` e a a o o ´ e o o e ı a u a o.ng u.ng, lˆn, mˆt-mˆt lˆn) ´ e o o e mˆt-mˆt (tu o o ˙ ’ ¯ˆ o e (b) V´.i moi tˆp ho.p con A cu a X ta d` u c´ o a (g ◦ f )(A) = g[f (A)] ˙ ’ ¯ˆ o e (c) V´.i moi tˆp... cu a tˆp ho.p X th` e a o a a ı f = Ai f (Ai) , i∈I f i∈I ⊂ Ai f (Ai) i∈I i∈I -e´ ` ˙ a ˙ ’ Dˆ’ y rˇ ng, n´i chung d ˇng th´.c sau o ¯a u f = Ai i∈I f (Ai) i∈I khˆng dung o ¯´ - ˙ ˙ ’ ’ Dinh ngh˜ 1.2.3 Gia su f : X → Y l` mˆt ´nh xa t` tˆp ho.p X v`o tˆp ho.p Y ıa a o a a a u a ´ ´ o (a) Anh xa f goi l` mˆt-mˆt (hoˇc d o.n ´nh) nˆu v´.i moi x, x ∈ X m` x = x th` a ¯ a ı a e a o o f... f : X → N, x → x2, v´.i X := {−5, −4, , 4, 5} f l` ´nh xa mˆt-mˆt? f l` o a ´nh xa lˆn? e a a u a o 3 C´ bao nhiˆu ´nh xa t` tˆp {a, b} v`o tˆp {1, 2} Nh˜.ng ´nh xa n`o l` mˆt-mˆt? o e a a a o u a ng ´nh xa n`o l` lˆn? Nh˜ a u a a e ˙ ˙ ’ ’ ˙ ’ 4 Gia su X := {a, b, c} v` f : X → X cho bo.i a f (a) = b, f (b) = a, f(c) = b - ˙ ’ a Dinh ngh˜ d˜y c´c ´nh xa f n : X → X, n = 1, 2, , bo.i... to`n ´nh) nˆu f (X) = Y a a a e aa e ´ (c) f goi l` mˆt-mˆt lˆn (hoˇc song ´nh) nˆu f d` ng th`.i l` mˆt-mˆt v` l` lˆn; n´i c´ch a a e ¯ˆ o o a o o a a e o a a o o e i mˆi phˆn tu y ∈ Y c´ duy nhˆ t mˆt phˆn tu x ∈ X sao cho f (x) = y ˜ ` ´ o ` ’ ’ o a ˙ kh´c, v´ a o o a a ˙ ´ V´ du 1.2.2 (a) Anh xa ı f : R → R, x → sin x, o aa l` mˆt-mˆt nhu.ng khˆng l` ´nh xa lˆn a o o e ´ (b) Anh xa1... e o ´ a p bˆ t k`) th` ´nh xa ho.p g ◦ f : A → Y l` mˆt-mˆt ´ y a ıa a o o mˆt-mˆt f : A → X (A l` tˆp ho o o a a ` ´ ’ ´ 12 Cho anh xa f : X → Y Ch´.ng minh rˇ ng f l` lˆn nˆu v` chı nˆu v´.i moi ´nh xa lˆn ´ u a a e e a ˙ e o a e p bˆ t k`) th` ´nh xa ho.p g ◦ f : X → Z l` lˆn ´ g : Y → Z (Z l` tˆp ho a a a y ıa a e - ˙ a ’ ˙ a ’ 13 A l` tˆp ho.p con cua tˆp ho.p X Dinh ngh˜a... A1) ∪ (A ∩ A2) ∪ · · · ∪ (A ∩ An ) (A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An )c = Ac ∪ Ac ∪ · · · ∪ Ac 1 2 n 1.2 1.2.1 ´ Anh xa - ´ Dinh ngh˜ v` t´ chˆ t ıa a ınh a ˙ ’ ’ ˙ o ’ Mˆt kh´i niˆm co ban kh´c cua to´n hoc hiˆn d i l` kh´i niˆm ´nh xa, mo rˆng kh´i niˆm o a e a ˙ a e ¯a a a e a a e ´ h`m sˆ a o - ´ ´ a y o a a o u a Dinh ngh˜ 1.2.1 Cho X v` Y l` hai tˆp ho.p bˆ t k` Mˆt ´nh xa (hay h`m sˆ) t` tˆp ıa... du 1.2.2 (a) Anh xa ı f : R → R, x → sin x, o aa l` mˆt-mˆt nhu.ng khˆng l` ´nh xa lˆn a o o e ´ (b) Anh xa1 g : R → N, x → [x], o aa o l` lˆn nhu.ng khˆng l` ´nh xa mˆt-mˆt a e o ´ (c) Anh xa h : R → R, x → x3 , l` mˆt-mˆt v` lˆn a o o a e V´.i mˆt ´nh xa t`y y f : X → Y v` v´.i mˆt tˆp ho.p B ⊆ Y, tˆp ho.p o o a a o o a a u ´ {x ∈ X | f (x) ∈ B} ’ ˙ a ’ goi l` nghich a nh cua tˆp . KHOA TOÁN - TIN HỌC Y  Z PHẠM TIẾN SƠN TOÁN RỜI RẠC 1 (Bài Giảng Tóm Tắt) Lưu hành nội bộ Y Đà Lạt 2008 Z Mu . clu . c MO . ˙’ D - ˆ A ` U. Nˆe ´ u f v`a g l`a mˆo . t-mˆo . t (tu . o . ng ´u . ng, lˆen, mˆo . t-mˆo . tlˆen) th`ı ´anh xa . ho . . p g ◦ f c˜ung l`a mˆo . t-mˆo . t (tu . o . ng ´u . ng, lˆen, mˆo . t-mˆo . tlˆen). (b) V´o . imo . itˆa . pho . . pconA. mˆo . t-mˆo . tnhu . ng khˆong l`a ´anh xa . lˆen. (b) ´ Anh xa . 1 g : R → N,x→ [x], l`a lˆen nhu . ng khˆong l`a ´anh xa . mˆo . t-mˆo . t. (c) ´ Anh xa . h: R → R,x→ x 3 , l`a mˆo . t-mˆo . tv`alˆen. V´o . imˆo . t