6 D A I SO ˆ´ BOOLE
7.3 Khoa˙’ng c´ ach Hamming
D- i.nh ngh˜ıa 7.3.1. Khoa˙’ng c´ach Hamming,k´y hiˆe.u d(x, y),gi˜u.a hai vectorx=x1x2. . . xn
v`a y=y1y2. . . yn l`a sˆo´ c´ac vi. tr´ıi m`axi 6=yi, i= 1,2, . . . , n.
V´ı du. 7.3.1. d(10111,00101) = 2, d(0111,0000) = 3.
D- i.nh l´y 7.3.2. Khoa˙’ng c´ach Hamming d(x, y) l`a mˆo. t metric, t´u.c l`a (a) d(x, y)≥0 v´o.i mo. i x, y∈C; dˆa´u bˇa`ng xa˙’y ra khi v`a chı˙’ khi x=y. (b) d(x, y) =d(y, x).
(c) d(x, y)≤d(x, z) +d(z, y) v´o.i mo. i x, y, z∈C.
Ch´u.ng minh. Hai khˇa˙’ng d¯i.nh d¯ˆa` u suy tru.. c tiˆe´p t`u. d¯i.nh ngh˜ıa. Ch´u.ng minh (c): Nhˆa.n x´et rˇa`ng
{i | xi 6=yi} ⊂ {i | xi 6=zi} ∪ {i| zi 6=yi},
v`ı nˆe´u xi 6=yi th`ı hoˇa.cxi =6 zi hoˇa.c zi 6=yi. Suy ra
#{i | xi 6=yi} ≤#{i |xi6=zi}+ #{i| zi 6=yi}.
´
Ap du.ng nguyˆen l´y bao h`am-loa.i tr`u. v`a bˆa´t d¯ˇa˙’ng th´u.c:
#(A∪B) = #A+ #B−#(A∩B)≤ #A+ #B
ta c´o d¯iˆ` u cˆe ` n ch´a u.ng minh. 2
Gia˙’ su.˙’ rˇa`ng mˆo.t ba˙’n tin d¯u.o..c m˜a h´oa th`anh t`u. m˜a x ∈ C d¯u.o.. c gu˙’ i d¯i v`. a nhˆa.n d¯u.o..c vector y. C´o hai tru.`o.ng ho.. p xa˙’y ra
(a) Hoˇa.cy ∈C khi d¯´o y=x.
(b) Hoˇa.cy6∈C khi d¯´o vector lˆ˜io e:=y−x6= 0.
Trong tru.`o.ng ho.. p (b), vˆa´n d¯ˆ` d¯ˇe a.t ra l`a l`am sao su˙’ a d¯u.o.. . c lˆo˜i sai, phu.c hˆo`i d¯u.o.. c t`u. m˜a x
t`u. vector nhˆa.n d¯u.o..cy?
Phu.o.ng ph´ap gia˙’i m˜a d¯u.a ra o.˙’ d¯ˆay, go.i l`a gia˙’i m˜a theo lˆan cˆa.n gˆa` n nhˆa´t, nhˇa`m t´ınh khoa˙’ng c´ach Hamming gi˜u.a y v´o.i mˆo˜i t`u. m˜a trong C.D- ˆe˙’ gia˙’i m˜a y, ch´ung ta t`ım t`u. m˜ax
c´o khoa˙’ng c´ach Hamming d¯ˆe´n y nho˙’ nhˆa´t. Nˆe´u
(+) khoa˙’ng c´ach gi˜u.a hai t`u. m˜a gˆ` n nhˆa a´t trong C d¯u˙’ l´o.n; v`a (+) nˆe´u c´ac lˆo˜i d¯u˙’ ´ıt;
V´ı du. 7.3.2. Gia˙’ su.˙’ C ={0000,1110,1011,1111}. Th`ı
d(0000,0110) = 2, d(1110,0110) = 1, d(1011,0110) = 3.
Do d¯´o nˆe´u nhˆa.n d¯u.o..cy= 0110∈/ C th`ı ch´ung ta kˆe´t luˆa.n (gia˙’i m˜a theo lˆan cˆa.n gˆa` n nhˆa´t) t`u. m˜a gu.˙’ i l`a 1110.
Gia˙’ su.˙’ mˆo˜i bit gu.˙’ i d¯i c´o c`ung x´ac suˆa´t sai p,0≤ p <1/2. Ch´ung ta go.i kˆenh nhu. thˆe´ l`a
kˆenh d¯ˆo´i x´u.ng nhi. phˆan.
V´ı du. 7.3.3. K´y hiˆe.u P(X) l`a x´ac suˆa´t xa˙’y ra biˆe´n cˆo´X. Ta c´o trong kˆenh d¯ˆo´i x´u.ng nhi. phˆan
P({e= 00000}) = (1−p)5, P({e= 01000}) = p(1−p)4, P({e= 10010}) = p2(1−p)3.
Mˆo.t c´ach tˆo˙’ng qu´at, nˆe´u v l`a vector c´oa bit bˇa`ng 1 th`ı
P({e=v}) =pa(1−p)n−a.
V`ıp <1/2 nˆen 1−p > p; do d¯´o
(1−p)n > p(1−p)n−1 > p2(1−p)n−2 >· · ·
Phu.o.ng ph´ap gia˙’i m˜aho.. p l´y nhˆa´t nhu. sau: Gia˙’ su.˙’ nhˆa.n d¯u.o..c vectory, ch´ung ta t`ım t`u. m˜axsao cho x´ac suˆa´t P(x|y) cu˙’a su.. kiˆe.n truyˆe` n t`u. m˜ax v´o.i d¯iˆ` u kiˆe.n nhˆa.n d¯u.o..ce yl`a cu.. c d¯a.i. N´oi c´ach kh´ac, t`ım mˆo.t t`u. m˜a ho..p l´y nhˆa´t trong bˆo. m˜a tu.o.ng ´u.ng v´o.i thˆong b´ao nhˆa.n d¯u.o.. c.
D- i.nh l´y 7.3.3. Gia˙’ su.˙’ tˆa´t ca˙’ c´ac t`u. m˜a d¯u.o.. c truyˆ` n v´e o.i c`ung kha˙’ nˇang v`a su.˙’ du.ng kˆenh d¯ˆo´i x´u.ng nhi. phˆan. Khi d¯´o gia˙’i m˜a ho. p l´. y nhˆa´t tr`ung v´o.i gia˙’i m˜a theo lˆan cˆa. n gˆ` n nhˆa a´t. Ch´u.ng minh. Trong kˆenh d¯ˆo´i x´u.ng nhi. phˆan, nˆe´u d(x, y) = d th`ı c´o d lˆo˜i khi thay d¯ˆo˙’i t`u.
x sang y; do d¯´o x´ac suˆa´t c´o d¯iˆ` u kiˆe.ne P(y|x) cu˙’a su.. kiˆe.n nhˆa.n d¯u.o..c y v´o.i d¯iˆ` u kiˆe.n t`u.e m˜a x d¯u.o.. c truyˆ` n l`e a pd(1 −p)n−d. Mˇa.t kh´ac, theo gia˙’ thiˆe´t, x´ac suˆa´t truyˆe` n t`u. m˜a x l`a
P(x) = #1C. Do d¯´o
P(x|y) =pd(1−p)n−d(1/#C)P(nhˆa.n d¯u.o..c y),
l`a h`am gia˙’m theo d. Vˆa.yP(x|y) cu.. c d¯a.i khi x l`a t`u. m˜a gˆ` n v´a o.i y nhˆa´t. 2
D- i.nh ngh˜ıa 7.3.4. Khoa˙’ng c´ach (Hamming) cu˙’a bˆo. m˜a C, k´y hiˆe.u d(C), l`a khoa˙’ng c´ach nho˙’ nhˆa´t gi˜u.a hai t`u. m˜a kh´ac nhau, t´u.c l`a
d(C) := min{d(x, y)| x, y∈C, x6=y}.
V´ı du. 7.3.4. (a) V´o.i C ={00000000,11111000,01010111,10101111} th`ıd(C) = 5.
(b) V´o.iC ={000000,111111}, th`ıd(C) = 6.
Khoa˙’ng c´ach Hamming x´ac d¯i.nh kha˙’ nˇang ph´at hiˆe.n v`a/hoˇa.c su˙’ a sai c´. ac lˆo˜i.
D- i.nh l´y 7.3.5. M˜a C c´o thˆe˙’ ph´at hiˆe.n d¯u.o..c k lˆo˜i nˆe´u v`a chı˙’ nˆe´u d(C)≥k+ 1.
Ch´u.ng minh. ⇒ Bˇa`ng pha˙’n ch´u.ng. Gia˙’ su.˙’ C c´o thˆe˙’ ph´at hiˆe.n k lˆo˜i v`a d(C)≤ k. Khi d¯´o tˆ`n ta.io a, b∈C sao cho d(a, b) =d(C)≤k.N´oi c´ach kh´aca v`ab chı˙’ kh´ac nhau nhiˆ` u nhˆe a´t
k vi. tr´ı. Do d¯´o s˜e xuˆa´t hiˆe.n k lˆo˜i khi truyˆe` n t`u. m˜a a v`a nhˆa.n d¯u.o..c t`u. m˜a b.V`ı vˆa.y ngu.`o.i nhˆa.n khˆong thˆe˙’ ph´at hiˆe.n d¯u.o..c c´ac lˆo˜i n`ay.
⇐Gia˙’ su.˙’ d(C)≥k+ 1, v`a khi truyˆ` n t`e u. m˜axta nhˆa.n d¯u.o..cyv´o.id(x, y)≤k.Do khoa˙’ng c´ach gi˜u.a hai t`u. m˜a ´ıt nhˆa´t l`ak+ 1, th`ı t`u. m˜a truyˆ` n pha˙’i l`e ax. V`ı vˆa.y ngu.`o.i nhˆa.n c´o thˆe˙’ ph´at hiˆe.n d¯u.o..c c´ac lˆo˜i n`ay. 2
Gia˙’ su.˙’ k∈N. Ta n´oiC c´o thˆe˙’su.˙’ a k lˆo˜inˆe´u v´o.i mo.i thˆong b´ao nhˆa.n d¯u.o..cy∈Bn tˆ`n ta.io nhiˆ` u nhˆe a´t mˆo.t t`u. m˜a x sao cho d(x, y)≤k. D- iˆe` u n`ay c´o ngh˜ıa rˇa`ng, nˆe´u mˆo.t t`u. m˜a d¯u.o..c truyˆ` n v`e a c´o nhiˆ` u nhˆe a´t k lˆo˜i th`ı gia˙’i m˜a theo lˆan cˆa.n gˆa` n nhˆa´t s˜e thu d¯u.o.. c d¯´ung mˆo.t t`u. m˜a d¯u.o.. c truyˆ` n.e
D- i.nh l´y 7.3.6. M˜a C c´o thˆe˙’ su.˙’ a k lˆo˜i nˆe´u v`a chı˙’ nˆe´u d(C)≥2k+ 1.
Ch´u.ng minh. ⇒ Gia˙’ su.˙’ C c´o thˆe˙’ su.˙’ a d¯u.o.. c k lˆo˜i. Nˆe´u d(C) ≤ 2k th`ı tˆ`n ta.i hai t`u. m˜ao a
v`a b kh´ac nhau l vi. tr´ı, v´o.il ≤2k. Thay d¯ˆo˙’i [l/2] bit trong a sao cho c´o vector c chı˙’ kh´ac vector bd¯´ung [l/2] vi. tr´ı. Khi d¯´o
d(a, c) =d(b, c) = [l/2].
Do d¯´o khˆong thˆe˙’ su.˙’ a d¯u.o.. c [l/2]≤k lˆo˜i khi nhˆa.n d¯u.o..cc,mˆau thuˆa˜n!
⇐ Ngu.o.. c la.i gia˙’ su˙’. d(C)≥2k+ 1. Gia˙’ su.˙’ t`u. m˜a x d¯u.o.. c truyˆ` n v`e a nhˆa.n d¯u.o..c vector z
v´o.i d(x, z)≤k. Dˆe˜ thˆa´y nˆe´uy l`a t`u. m˜a kh´acx th`ıd(z, y)≥k+ 1, v`ı nˆe´u d(z, y)≤k ta s˜e c´o
d(x, y)≤d(x, z) +d(z, y)≤k+k = 2k.
Mˆau thuˆa˜n v´o.id(C)≥2k+ 1. D- iˆe` u pha˙’i ch´u.ng minh. 2
V´ı du. 7.3.5. D- ˇa.t
C :={00000000,11111000,01010111,10101111}.
Ta c´od(C) = 5 v`a do d¯´o c´o thˆe˙’ ph´at hiˆe.n d¯u.o..c 5−1 = 4 lˆo˜i v`a c´o thˆe˙’ su.˙’ a d¯u.o.. c [(5−1)/2] = 2 lˆo˜i.
C´o mˆo.t c´ach dˆe˜ d`ang d¯ˆe˙’ t`ım khoa˙’ng c´ach tˆo´i thiˆe˙’u cu˙’a bˆo. m˜a. Tru.´o.c hˆe´t ta c´o kh´ai niˆe.m sau:
D- i.nh ngh˜ıa 7.3.7. Tro.ng lu.o..ng Hamming,k´y hiˆe.u wt(x), cu˙’a vectorx=x1x2. . . xn l`a sˆo´ c´ac chı˙’ sˆo´isao cho xi 6= 0.
V´ı du. 7.3.6. wt(00000) = 0, wt(10111) = 4, wt(11111) = 5.
Bˆo˙’ d¯ˆ`e 7.3.8. Gia˙’ su.˙’ x, y l`a c´ac t`u. m˜a cu˙’a m˜a tuyˆe´n t´ınh C. Khi d¯´o d(x, y) =wt(x−y). Ch´u.ng minh. C´ac vi. tr´ı bˇa`ng 1 trong vector x−y ch´ınh l`a nh˜u.ng vi. tr´ı m`a hai vectorx v`a
y kh´ac nhau. Do d¯´od(x, y) =wt(x−y). 2
D- i.nh l´y 7.3.9. Khoa˙’ng c´ach cu˙’a m˜a C bˇa`ng tro.ng lu.o..ng tˆo´i thiˆe˙’u cu˙’a t`u. m˜a kh´ac khˆong trong C.
Ch´u.ng minh. Gia˙’ su.˙’ d(C) =d th`ı tˆ`n ta.io x, y∈C, x6=y, sao cho d(x, y) =d. Do d¯´o
wt(x−y) =d.
Nhu.ng C l`a m˜a tuyˆe´n t´ınh nˆenx−y∈C.
Ngu.o.. c la.i gia˙’ su˙’. x ∈ C l`a t`u. m˜a kh´ac khˆong v´o.i tro.ng lu.o..ng tˆo´i thiˆe˙’u. Do C l`a tuyˆe´n t´ınh nˆen 0∈C. Vˆa.y
wt(x) =wt(x−0) =d(x,0) ≥d(C).
2
B`ai tˆa. p
1. T`ım khoa˙’ng c´ach Hamming cu˙’a c´ac cˇa.p chuˆo˜i bit sau: (a) 00000, 11111;
(b) 1010101, 0011100; (c) 000000001, 111000000; (d) 1111111111, 0100100011.
2. C´o bao nhiˆeu lˆo˜i c´o thˆe˙’ ph´at hiˆe.n v`a bao nhiˆeu lˆo˜i c´o thˆe˙’ su.˙’a sai trong c´ac m˜a sau: (a) {0000000,1111111}.
(b) {00000,00111,10101,10010}.
(c){00000000,11111000,01100111,10011111}.
3. Ch´u.ng minh rˇa`ng nˆe´u khoa˙’ng c´ach tˆo´i thiˆe˙’u gi˜u.a c´ac t`u. m˜a l`a bˆo´n, th`ı c´o thˆe˙’ su.˙’ a sai d¯´ung mˆo.t lˆo˜i v`a ph´at hiˆe.n sai ba lˆo˜i.
4. Ch´u.ng minh rˇa`ng mˆo.t m˜a c´o thˆe˙’ su.˙’a sai d¯ˆo`ng th`o.i ≤ a lˆo˜i v`a ph´at hiˆe.n a+ 1, . . . , b
lˆo˜i nˆe´u v`a chı˙’ nˆe´u n´o c´o khoa˙’ng c´ach tˆo´i thiˆe˙’u ´ıt nhˆa´t a+b+ 1.
5. Ch´u.ng minh nˆe´u mˆo.t m˜a c´o khoa˙’ng c´ach tˆo´i thiˆe˙’u l`ad, t`u. m˜ax d¯u.o.. c truyˆ` n, khˆe ong c´o qu´a (d−1)/2 lˆo˜i xuˆa´t hiˆe.n v`a y nhˆa.n d¯u.o..c, th`ı
d(x, y)< d(y, z)
v´o.i tˆa´t ca˙’ c´ac t`u. m˜az 6=x.
6. Ch´u.ng minh rˇa`ng:
wt(x+y)≥wt(x)−wt(y).
Dˆa´u bˇa`ng xa˙’y ra nˆe´u v`a chı˙’ nˆe´u xi = 1 khi yi = 1.
7. Gia˙’ su.˙’ rˇa`ngx v`ay l`a c´ac chuˆo˜i bit c´o d¯ˆo. d`ai n, v`a m l`a sˆo´ c´ac vi. tr´ı m`a o˙’ d¯´. o ca˙’ x v`a
y bˇa`ng 1. Ch´u.ng minh rˇa`ng
wt(x+y) = wt(x) +wt(y)−2m.
8. Cho c´ac ma trˆa.n sinh
G1 := 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 , G2 := 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 .
(a) Liˆe.t kˆe c´ac t`u. m˜a tu.o.ng ´u.ng c´ac ma trˆa.n sinh trˆen. (b) T`ım khoa˙’ng c´ach tˆo´i thiˆe˙’u cu˙’a c´ac bˆo. m˜a.
9. T´ıch cu˙’a hai vector nhi. phˆan xv`ay l`a vector, k´y hiˆe.ux∗y, x´ac d¯i.nh bo˙’ i.
x∗y= (x1y1, . . . , xnyn),
m`a bˇa`ng 1 ta.i vi. tr´ı th´u.i nˆe´u v`a chı˙’ nˆe´u xi =yi = 1. Ch´u.ng minh rˇa`ng (a) wt(x+y) = wt(x) +wt(y)−2wt(x∗y).
(b) wt(x+z) +wt(y+z) +wt(x+y+z)≥2wt(x+y+x∗y)−wt(z).Dˆa´u bˇa`ng xa˙’y ra nˆe´u v`a chı˙’ nˆe´u khˆong xa˙’y ra d¯ˆ`ng th`o o.i xi = 0, yi = 0, zi = 1.
10. Ch´u.ng minh rˇa`ng trong mˆo.t m˜a nhi. phˆan tuyˆe´n t´ınh, hoˇa.c tˆa´t ca˙’ c´ac t`u. m˜a c´o tro.ng lu.o.. ng chˇa˜n, hoˇa.c c´o ch´ınh x´ac mˆo.t nu.˙’a tro.ng lu.o..ng chˇa˜n v`a mˆo.t nu.˙’a tro.ng lu.o..ng le˙’. 11. T´ınh khoa˙’ng c´ach cu˙’a m˜a En (gˆ`m tˆo a´t ca˙’ vector d¯ˆo. d`ai n c´o tro.ng lu.o..ng chˇa˜n). 12. Ch´u.ng minh v´o.i mo.i x, y∈Bn ta c´o:
" n X i=1 (xi−yi)2 #1/2 =p d(x, y).
13. Gia˙’ su.˙’ xv`ay l`a c´ac vector nhi. phˆan v´o.id(x, y) =d. Ch´u.ng minh rˇa`ng sˆo´ c´ac vectorz
sao cho d(x, z) =r v`a d(y, z) =s l`aC(d, i)C(n−d, r−i),trong d¯´o i= (d+r−s)/2.
Nˆe´u d+r−s le˙’ th`ı sˆo´ n`ay bˇa`ng 0, trong khi nˆe´u r+s=d, n´o bˇa`ng C(d, r).
14. Ch´u.ng minh rˇa`ng hx, yi:= n X i=1 xiyi = 0 (mod 2)
nˆe´u v`a chı˙’ nˆe´uwt(x∗y) chˇ˜n v`a bˇa`ng 1 nˆe´u v`a chı˙’ nˆe´ua wt(x∗y) le˙’. Suy ra hx, xi= 0 nˆe´u v`a chı˙’ nˆe´u wt(x) chˇa˜n.
15. Gia˙’ su.˙’ u, v, w, x l`a bˆo´n vector d¯ˆoi mˆo.t c´o khoa˙’ng c´achd (d pha˙’i l`a sˆo´ chˇa˜n).
(a) Ch´u.ng minh rˇa`ng tˆo`n ta.i ch´ınh x´ac mˆo.t vector m`a khoa˙’ng c´ach d¯ˆe´n c´ac vector
u, v, w bˇa`ng d/2.
(b) Ch´u.ng minh rˇa`ng tˆo`n ta.i nhiˆe` u nhˆa´t mˆo.t vector m`a khoa˙’ng c´ach d¯ˆe´n c´ac vector
u, v, w, x bˇa`ng d/2.
16. Gia˙’ su.˙’ C l`a [n, k]-m˜a v´o.i ma trˆa.n kiˆe˙’m tra chˇa˜n le˙’ H = (A In−k) v`a 1 ≤ t ≤ k. M˜a
Ct tu.o.ng ´u.ng ma trˆa.n kiˆe˙’m tra chˇa˜n le˙’ Ht = (At In−k) trong d¯´o At l`a ma trˆa.n cˆa´p (n−k)×(k−t) nhˆa.n d¯u.o..c t`u. A bˇa`ng c´ach x´oa d¯i t cˆo.t d¯ˆa` u tiˆen.
(a) Ch´u.ng minh Ct gˆ`m tˆo a´t ca˙’ c´ac t`u. m˜a cu˙’aC v´o.i tto.a d¯ˆo. d¯ˆa` u tiˆen bˇa`ng 0 bi. xo´a. (b) Ch´u.ng minh Ct l`a [n−t, k−t]-m˜a.
(c) Ch´u.ng minh d(Ct)≥d(C).
17. V´o.i mˆo˜i n∈N, miˆeu ta˙’ m˜a C v´o.i hˆe. sˆo´k/n l´o.n nhˆa´t v`a d(C) = 2. Tˆ`n ta.i duy nhˆa´to
C?
18. Ch´u.ng minh rˇa`ng hai m˜a tu.o.ng d¯u.o.ng c´o c`ung khoa˙’ng c´ach.
19. K´y hiˆe.u [n, k, d]-m˜a c´o ngh˜ıa [n, k]-m˜a v´o.i d¯ˆo. d`ai d. Ch´u.ng minh rˇa`ng nˆe´u tˆo`n ta.i [n, k,2d]-m˜a th`ı tˆ`n ta.i m˜a v´o.i c`ung tham sˆo´ nhu.ng tˆa´t ca˙’ c´ac t`u. m˜a c´o d¯ˆo. d`ai chˇa˜n.o 20. Ch´u.ng minh rˇa`ng nˆe´u H l`a ma trˆa.n kiˆe˙’m tra chˇa˜n le˙’ cu˙’a m˜a C c´o d¯ˆo. d`ai n th`ıC c´o khoa˙’ng c´ach tˆo´i thiˆe˙’u d nˆe´u v`a chı˙’ nˆe´u mo.i tˆa.p gˆo`m d−1 cˆo.t cu˙’a H d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh, nhu.ng tˆ`n ta.i tˆa.p gˆoo `md cˆo.t phu. thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh. T`u. d¯´o suy ra:
(a) Nˆe´uC l`a [n, k, d]-m˜a th`ıd≤n−k+ 1.
(b) Khoa˙’ng c´ach tˆo´i thiˆe˙’u cu˙’a m˜a c´o ma trˆa.n sinh:
I7 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 .
21. (a) Ch´u.ng minh rˇa`ng tˆo`n ta.i m˜a tuyˆe´n t´ınh gˆo`m M phˆ` n tu.a ˙’ , c´o d¯ˆo. d`ain, nhiˆ` u nhˆe a´t
r bit kiˆe˙’m tra chˇa˜n le˙’, v`a khoa˙’ng c´ach tˆo´i thiˆe˙’u d,nˆe´u
d−2 X
i=0
(M −1)iC(n−1, i)< Mr.
(b) Ch´u.ng minh rˇa`ng nˆe´u
2k
d−2 X
i=0
C(n−1, i)<2n.
th`ı tˆ`n ta.i m˜a tuyˆe´n t´ınh [o n, k] v´o.i khoa˙’ng c´ach tˆo´i thiˆe˙’u d.
22. Gia˙’ su.˙’ C l`a [n, k, d]-m˜aC v´o.i n <2d. Ch´u.ng minh 2k(2k −1)d ≤ X
x,y∈C
d(x, y)≤n22k−1.
23. Nˆeu c´ach xˆay du.. ng [30,11,6]-m˜a? Bˆo. m˜a n`ay c´o bao nhiˆeu t`u. m˜a v`a kha˙’ nˇang ph´at hiˆe.n lˆo˜i l`a bao nhiˆeu?
24. K´y hiˆe.u (n, M, d)-m˜a ngh˜ıa l`a [n, k, d]-m˜a, trong d¯´o M := 2k l`a sˆo´ c´ac t`u. m˜a. Xˆay du.. ng, nˆe´u tˆ`n ta.i, c´ac (o n, M, d)-m˜a v´o.i c´ac tham sˆo´ sau:
(6,2,6),(3,8,1),(4,8,2),(5,3,4),(8,4,5),(8,30,3).
(Nˆe´u khˆong tˆ`n ta.i, gia˙’i th´ıch ta.i sao).o
25. (a) Gia˙’ su.˙’ dle˙’. Ch´u.ng minh tˆ`n ta.i (o n, M, d)-m˜a nˆe´u v`a chı˙’ nˆe´u tˆ`n ta.i (o n+1, M, d+1)- m˜a.
(b) Ch´u.ng minh nˆe´u tˆ`n ta.i (o n, M, d)-m˜a th`ı tˆ`n ta.i (o n−1, M0, d)-m˜a v´o.i M0≥M/2.
26. (Tˆo˙’ ho.. p hai m˜a) Gia˙’ su.˙’ G1, G2 l`a hai ma trˆa.n sinh tu.o.ng ´u.ng c´ac m˜a [n1, k, d1] v`a [n2, k, d2].Ch´u.ng minh rˇa`ng c´ac ma trˆa.n
G1 0
0 G2