6 D A I SO ˆ´ BOOLE
6.3 D a.i sˆo´ Boole
D- i.nh ngh˜ıa 6.3.1. D- a.i sˆo´ Boole (c`on go.i l`a lattice Boole) l`a mˆo.t lattice phˆan bˆo´ kha˙’ b`u.
Nhˆa.n x´et 12. (a) D- a.i sˆo´ Boole l`a mˆo.t lattice phˆan bˆo´ c´o phˆa`n tu.˙’ l´o.n nhˆa´t 1, phˆa`n tu.˙’ nho˙’ nhˆa´t 0 (1 6= 0), v`a mo.i phˆa` n tu.˙’ cu˙’a n´o luˆon tˆ`n ta.i duy nhˆa´t phˆao ` n tu.˙’ b`u. C´ac ph´ep to´an hai ngˆoi
(x, y)7→ x∨y, (x, y)7→x∧y
v`a ph´ep to´an mˆo.t ngˆoi
x7→x0
d¯u.o.. c go.i l`a c´acph´ep to´an Boole. (b) Ta thu.`o.ng k´y hiˆe.u (x0)0=x00.
(c) Trong d¯a.i sˆo´ Boole : (x0)0=x.
V´ı du. 6.3.1. Lattice P(S) trong V´ı du. 6.1.1 l`a lattice phˆan bˆo´, trong d¯´o 1 = S,0 = ∅ v`a v´o.i mo.i A⊂ S ta c´o
A∪Ac =S, A∩Ac =∅.
Nˆen P(S) l`a d¯a.i sˆo´ Boole.
V´ı du. 6.3.2. Lattice Σ trong V´ı du. 6.1.2 l`a lattice phˆan bˆo´ trong d¯´o + phˆ` n tu.a ˙’ l´o.n nhˆa´t l`a 1 = [True].
+ phˆ` n tu.a ˙’ phˆ` n tu.a ˙’ nho˙’ nhˆa´t l`a 0 = [False]. + v´o.i mo.i mˆe.nh d¯ˆe` p,
[p] or [notp] = [True]; [p] and [not p] = [False].
T´u.c l`a
p0= not p.
Nˆen l`a d¯a.i sˆo´ Boole.
V´ı du. 6.3.3. (a) X´et lattice Fun(S,B) trong V´ı du. 6.1.4 (b).
+ Fun(S,B) l`a lattice phˆan bˆo´ v`ı max,min phˆan bˆo´ v´o.i nhau.
+ C´o phˆ` n tu.a ˙’ l´o.n nhˆa´t l`a 1 d¯i.nh ngh˜ıa bo˙’ i 1(. x) = 1 v´o.i mo.i x∈S.
+ C´o phˆ` n tu.a ˙’ nho˙’ nhˆa´t l`a 0 d¯i.nh ngh˜ıa bo˙’ i 0(. x) = 0 v´o.i mo.i x∈S.
+ V´o.i mo.i f ∈Fun(S,B) ta c´o [f(x)]0= 1 nˆe´u v`a chı˙’ nˆe´u f(x) = 0 v´o.i mo.i x∈S.V`ı (f0∨f)(x) = max([f(x)]0, f(x)) = 1,
Nˆen Fun(S,B) l`a d¯a.i sˆo´ Boole.
(b) Trˆen Bn:={(x1, x2, . . . , xn) | xi ∈B, i= 1,2, . . . , n} x´et c´ac ph´ep to´an
x∨y := (max(x1, y1),max(x2, y2), . . . ,max(xn, yn)), x∧y := (min(x1, y1),min(x2, y2), . . . ,min(xn, yn)).
Khi d¯´oBn l`a d¯a.i sˆo´ Boole v´o.i phˆa`n tu.˙’ l´o.n nhˆa´t l`a 1 = (1,1, . . . ,1) v`a phˆ` n tu.a ˙’ nho˙’ nhˆa´t l`a 0 = (0,0, . . . ,0).
D- i.nh l´y 6.3.2. (Luˆa.t de Morgan) Nˆe´u A l`a d¯a. i sˆo´ Boole th`ı v´o.i mo. i x, y∈A ta c´o
(a) (x∨y)0=x0∧y0; (b) (x∧y)0=x0∨y0. Ch´u.ng minh. (a) Ta c´o
(x∨y)∨(x0∧y0) = [(x∨y)∨x0]∧[(x∨y)∨y0] (do t´ınh phˆan bˆo´)
= [y∨(x∨x0)]∧[x∨(y∨y0)] (do t´ınh kˆe´t ho.. p v`a giao ho´an) = [y∨1]∧[x∨1] = 1∧1 = 1. Tu.o.ng tu.. (x∨y)∧(x0∧y0) = 0. T`u. d¯´o c´o (a). (b) V`ı x∧y= (x0)0∧(y0)0 = (x0∨y0)0. Nˆen (x∧y)0= (x0∨y0)00 =x0∨y0. 2
D- i.nh l´y 6.3.3. Gia˙’ su.˙’ Al`a d¯a. i sˆo´ Boole h˜u.u ha. n v´o.i tˆa. p c´ac nguyˆen tu.˙’ S :={a1, a2, . . . , an}. V´o.i mˆo˜i x∈A, x6= 0, ta c´o thˆe˙’ viˆe´t du.´o.i da. ng tuyˆe˙’n c´ac nguyˆen tu.˙’ kh´ac nhau nhu. sau
x=ai1 ∨ai2 ∨. . .∨aik. (6.3)
Ho.n n˜u.a biˆe˙’u th´u.c trˆen l`a duy nhˆa´t khˆong kˆe˙’ th´u. tu.. cu˙’a c´ac nguyˆen tu.˙’ trong biˆe˙’u th´u.c, v`a ai1, ai2, . . . , aik l`a c´ac nguyˆen tu.˙’ ≤x.
Nˆe´ux= 0 hoˇa.cxl`a nguyˆen tu.˙’ th`ı hiˆe˙’n nhiˆen. Ngu.o.. c la.i, tˆ`n ta.io y∈Asao cho 0< y < x. Ta c´o x=x∨y = (x∨y)∧1 = (x∨y)∧(y0∨y) = (x∧y0)∨y.
Mˇa.t kh´ac x∧y0< x. V`ı nˆe´u ngu.o.. c la.i, th`ıx∧y0=x. Do d¯´o
y < x=x∧y0≤y0.
Vˆa.y
0< y=y∧y0.
M`a khˆong thˆe˙’.
Vˆa.y ta phˆan t´ıch x da.ng tuyˆe˙’n c´ac phˆa` n tu.˙’ nho˙’ ho.n l`a x∧y0 v`a y. (L´y luˆa.n n`ay ch´u.ng to˙’ chı˙’ c´o c´ac nguyˆen tu.˙’ v`a phˆ` n tu.a ˙’ nho˙’ nhˆa´t 0 l`a bˆa´t kha˙’ quy). Nˆe´u ca˙’ hai y v`a x∧y0
l`a nguyˆen tu.˙’ , ch´u.ng minh xong. Ngu.o.. c la.i, bˇa`ng phu.o.ng ph´ap trˆen ta phˆan t´ıch ch´ung o.˙’ da.ng tuyˆe˙’n c´ac phˆa` n tu.˙’ nho˙’ ho.n.
V`ıA h˜u.u ha.n, nˆen cuˆo´i c`ung qu´a tr`ınh trˆen pha˙’i d`u.ng v`a phˆan t´ıch x da.ng tuyˆe˙’n c´ac nguyˆen tu.˙’ .
Ch´u ´y rˇa`ng phu.o.ng ph´ap trˆen cho ch´ung ta thuˆa.t to´an d¯ˆe. quy t`ım biˆe˙’u diˆe˜n cu˙’a mˆo.t phˆa` n tu.˙’ qua c´ac nguyˆen tu.˙’ .
+ Ta ch´u.ng minh rˇa`ng v´o.i mo.i x∈A d¯ˆ` u tho˙’ae
x=∨{a∈S |a ≤x}. (6.4)
K´y hiˆe.u bˆen pha˙’i chı˙’ phˆa` n tu.˙’ l`a tuyˆe˙’n c´ac phˆ` n tu.a ˙’ trong tˆa.p {a ∈ S | a ≤ x}. V`ı c´o thˆe˙’ xem phˆ` n tu.a ˙’ 0 l`a tuyˆe˙’n cu˙’a tˆa.p trˆo´ng cu˙’a c´ac nguyˆen tu˙’ , nˆen c´. o thˆe˙’ gia˙’ su.˙’ x6= 0. T`u. (6.3) ta dˆe˜ d`ang suy ra 1 =∨{a∈S |a ≤1}=a1∨a2∨. . .∨an. Nˆen x=x∧1 =x∧(a1∨a2∨. . .∨an) = (x∧a1)∨(x∧a2)∨. . .∨(x∧an). Mˇa.t kh´ac x∧ai = ( ai nˆe´u ai ≤x,
0 nˆe´u ngu.o.. c la.i, do ai l`a nguyˆen tu.˙’ . Vˆa.y xc´o biˆe˙’u diˆe˜n da.ng (6.4).
x=b1∧b2∧. . .∧bm,
trong d¯´o bi l`a c´ac nguyˆen tu.˙’ . Khi d¯´o bi ≤x, i= 1,2, . . . , m.
Vˆa.y
bi ∈ {a∈S |a ≤x}, i= 1,2, . . . , m.
Mˇa.t kh´ac, nˆe´ua ∈S, a≤x,th`ı 06=a=a∧x
=a∧(b1 ∨b2∨. . .∨bm)
= (a∧b1)∨(a∧b2)∨. . .∨(a∧bm).
Vˆa.y tˆo`n ta.i chı˙’ sˆo´i sao cho
a∧bi 6= 0.
Do a v`abi l`a c´ac nguyˆen tu.˙’ , nˆen
a∧bi =a=bi.
N´oi c´ach kh´ac,a l`a phˆ` n tu.a ˙’ bi n`ao d¯´o. D- iˆe` u pha˙’i ch´u.ng minh. 2
Kˆe´t qua˙’ sau d¯ˆay s˜e ch´u.ng to˙’ d¯a.i sˆo´ Boole d¯u.o..c ho`an to`an x´ac d¯i.nh bo.˙’i sˆo´ c´ac nguyˆen tu.˙’ cu˙’a n´o.
D- i.nh l´y 6.3.4. Cho A, B l`a c´ac d¯a. i sˆo´ Boole h˜u.u ha. n v´o.i tˆa. p c´ac nguyˆen tu.˙’ S :=
{a1, a2, . . . , an} v`a T := {b1, b2, . . . , bn} tu.o.ng ´u.ng. Khi d¯´o tˆ`n ta.i mˆo.t d¯ˇa˙’ng cˆa´u d¯a.i sˆo´o Boole t`u.A lˆen B; t´u.c l`a tˆ`n ta.i ´anh xa. mˆo.t-mˆo.t lˆeno f: A→B sao cho
(a) f(x∨y) = f(x)∨f(y); (b) f(x∧y) =f(x)∧f(y); (c) f(x0) = [f(x)]0.
Ngo`ai ra
f(ai) =bi, i= 1,2, . . . , n.
Ch´u.ng minh. Theo D- i.nh l´y 6.3.3, mo.ix ∈A c´o thˆe˙’ biˆe˙’u diˆe˜n duy nhˆa´t du.´o.i da.ng
x=ai1 ∨ai2 ∨. . .∨aik.
Ta d¯i.nh ngh˜ıa
f(x) =bi1 ∨bi2 ∨. . .∨bik.
D- ˇa.c biˆe.t
Theo d¯i.nh ngh˜ıa cu˙’a f v`a do D- i.nh l´y 6.3.3, ta c´o
f(x) =∨{f(a) |a ∈S, a≤x}
v`a
f(x) =∨{b∈T | b≤f(x)}.
V`ı biˆe˙’u diˆe˜n cu˙’a f(x) l`a duy nhˆa´t, nˆen v´o.i mo.i a∈S ta c´o
a≤x nˆe´u v`a chı˙’ nˆe´u f(a)≤f(x).
D- ˆe˙’ ch´u.ng minh (a), lˆa´y x, y∈A v`a ch´u ´y rˇa`ng a ∈S,ta c´o
f(a)≤ f(x∨y)⇔a≤(x∨y)
⇔a≤x hoˇa.c a≤y
⇔f(a)≤f(x) hoˇa.cf(a)≤f(y).
T´u.c l`a, v´o.i mˆo˜ib∈T ta c´o
b≤f(x∨y)⇔b≤f(x) hoˇa.c b≤f(y)
⇔b≤f(x)∨f(y).
´
Ap du.ng D- i.nh l´y 6.3.3, suy ra
f(x∨y) =f(x)∨f(y).
Vˆa.y khˇa˙’ng d¯i.nh (a) d¯u.o..c ch´u.ng minh. Tu.o.ng tu.. ta c˜ung c´o (b). Ch´u.ng minh (c). Ta c´o
f(x)∨f(x0) =f(x∨x0) =f(1) = 1, f(x)∧f(x0) =f(x∧x0) =f(0) = 0.
Vˆa.y [f(x)]0=f(x0). 2
Nˆe´u S l`a tˆa.p c´o n phˆ` n tu.a ˙’ th`ıP(S) l`a mˆo.t d¯a.i sˆo´ Boole (tu.o.ng ´u.ng v´o.i c´ac ph´ep to´an ho.. p, giao v`a lˆa´y phˆ` n b`a u) c´on nguyˆen tu.˙’ , cu. thˆe˙’{x}, x∈S. Vˆa.y
Hˆe. qua˙’ 6.3.5. Mˆo. t d¯a. i sˆo´ Boole h˜u.u ha. n c´o n nguyˆen tu.˙’ th`ı d¯ˇa˙’ng cˆa´u d¯a. i sˆo´ Boole v´o.i
P(S),#S =n, v`a v`ı vˆa. y c´o d¯´ung 2n phˆ` n tu.a ˙’ .
B`ai tˆa. p
1. (a) Kiˆe˙’m traB:={1,0} v´o.i hai ph´ep to´an ∨,∧ thˆong thu.`o.ng v`a 00= 1,10 = 0, l`a d¯a.i sˆo´ Boole.
(b) Kiˆe˙’m tra tˆa.p Fun(S,B) c´ac h`am t`u.S lˆen Bv´o.i hai ph´ep to´an (f∨g)(x) :=f(x)∨g(x),
(f∧g)(x) :=f(x)∧g(x),
(f0)(x) := [f(x)]0,
l`a d¯a.i sˆo´ Boole.
2. (a) D- ˇa.t S:={a, b, c, d, e}.Viˆe´t {a, c, d} nhu. tuyˆe˙’n cu˙’a c´ac nguyˆen tu.˙’ trong P(S).
(b) Biˆe˙’u diˆe˜n phˆa` n tu.˙’ (1,0,1,1,0) da.ng tuyˆe˙’n c´ac nguyˆen tu˙’ trong. B5.
(c) Gia˙’ su.˙’ f ∈Fun(S,B) sao cho f(a) =f(c) =f(d) = 1, f(b) = f(e) = 0. Biˆe˙’u diˆe˜n
f da.ng tuyˆe˙’n c´ac nguyˆen tu˙’ trong Fun(. S,B).
3. Trˆen tˆa.p D6 :={1,2,3,6} x´et c´ac ph´ep to´an:
x+y := BSCNN(x, y), x.y := USCLN(x, y), x0:= 6
x.
Ch´u.ng minh rˇa`ng (D6,+,·,0) l`a d¯a.i sˆo´ Boole. T`ım c´ac phˆa` n tu.˙’ nho˙’ nhˆa´t v`a phˆ` n tu.a ˙’ l´o.n nhˆa´t.
4. Trˆen tˆa.p D8 :={1,2,4,8} x´et c´ac ph´ep to´an + v`a· nhu. trong B`ai tˆa.p 3 v`a x0= 8/x.
Ch´u.ng minh (D8,+,·,0) khˆong pha˙’i d¯a.i sˆo´ Boole. 5. Lattice (D30,|) l`a d¯a.i sˆo´ Boole.
(a) V˜e lu.o.. c d¯ˆ` Hasse cu˙’a lattice n`o ay. (b) Liˆe.t kˆe c´ac nguyˆen tu˙’ cu˙’a. D30.
(c) T`ım tˆa´t ca˙’ c´ac d¯a.i sˆo´ Boole con cu˙’a D30. Ch´u ´y rˇa`ng, c´ac d¯a.i sˆo´ con cˆa` n ch´u.a 1 v`a 30.
(d) T`ım lattice con c´o bˆo´n phˆ` n tu.a ˙’ nhu.ng khˆong pha˙’i l`a d¯a.i sˆo´ Boole con.
6. Lattice (D210,|) l`a d¯a.i sˆo´ Boole. T`ım tˆa.p S sao choP(S) v`aD210 l`a d¯ˇa˙’ng cˆa´u d¯a.i sˆo´ Boole v`a t`ım d¯ˇa˙’ng cˆa´u n`ay.
7. V´o.i nh˜u.ng gi´a tri.m n`ao th`ı lattice (Dm,|) l`a d¯a.i sˆo´ Boole? 8. Trˆen tˆa.p Sn :={1,2, . . . , n} x´et c´ac ph´ep to´an:
x+y:= max(x, y), x.y:= min(x, y).
(a) Ch´u.ng minh trˆenSnc´ac ph´ep to´an n`ay tho˙’a m˜an c´ac t´ınh chˆa´t giao ho´an, kˆe´t ho.. p v`a hˆa´p thu..
(b) Ch´u.ng minh c´o thˆe˙’ d¯i.nh ngh˜ıa phˆa` n tu.˙’ nho˙’ nhˆa´t 0, phˆ` n tu.a ˙’ l´o.n nhˆa´t 1 v`a ph´ep to´an phu˙’ d¯i.nh 0sao choSnv´o.i c´ac ph´ep to´an n`ay l`a d¯a.i sˆo´ Boole nˆe´u v`a chı˙’ nˆe´un = 2.
9. Gia˙’ su.˙’ (A,∨,∧) l`a d¯a.i sˆo´ Boole v`a S l`a tˆa.p con cu˙’a A. Ch´u.ng minhS v´o.i c´ac ph´ep to´an ∨,∧ca˙’m sinh l`a d¯a.i sˆo´ Boole nˆe´u v`a chı˙’ nˆe´u 1∈S v`ax∧y0∈S v´o.i mo.ix, y∈S.
10. (a) Ch´u.ng minh trong d¯a.i sˆo´ Boole, [x(x0+y))]0=x0+y0 v´o.i mo.i x, y.
(b) Viˆe´t d¯ˆo´i ngˆa˜u v`a ch´u.ng minh biˆe˙’u th´u.c trˆen.
11. Gia˙’ su.˙’ Pl`a tˆa.p c´ac sˆo´ nguyˆen du.o.ng v`a Sl`a ho. c´ac tˆa.p con h˜u.u ha.n cu˙’a P.Gia˙’i th´ıch ta.i sao S v´o.i c´ac ph´ep ho.. p, giao v`a lˆa´y phˆ` n b`a u khˆong l`a d¯a.i sˆo´ Boole.
12. T`ım tˆa.p S sao choP(S) v`aB5 l`a d¯ˇa˙’ng cˆa´u d¯a.i sˆo´ Boole v`a t`ım d¯ˇa˙’ng cˆa´u n`ay. 13. Mˆo ta˙’ c´ac nguyˆen tu.˙’ cu˙’a Fun(S,B), S :=N. D- iˆe` u n`ay c`on d¯´ung nˆe´u S:=R? 14. (a) Tˆ`n ta.i d¯a.i sˆo´ Boole v´o.i 6 phˆao ` n tu.˙’ ? Gia˙’i th´ıch.
(b) Mo.i d¯a.i sˆo´ Boole h˜u.u ha.n phˆa`n tu.˙’ d¯ˇa˙’ng cˆa´u v´o.i d¯a.i sˆo´ Boole Jn cu˙’a c´ac h`am Boole? Gia˙’i th´ıch.
15. (a) Mˆo ta˙’ c´ac nguyˆen tu.˙’ cu˙’a latticeP(N).
(b) Mˆo˜i phˆa` n tu.˙’ cu˙’a lattice l`a tuyˆe˙’n cu˙’a c´ac nguyˆen tu.˙’ ? Tha˙’o luˆa.n. 16. Gia˙’ su.˙’ x, y l`a c´ac phˆ` n tu.a ˙’ cu˙’a d¯a.i sˆo´ Boole, v`a a l`a mˆo.t nguyˆen tu˙’ ..
(a) Ch´u.ng minh rˇa`ng a≤x∨y nˆe´u v`a chı˙’ nˆe´u a≤x hoˇa.c a≤y.
(b) Ch´u.ng minh rˇa`ng a≤x∧ynˆe´u v`a chı˙’ nˆe´u a≤x v`a a≤y.
(c) Ch´u.ng minh rˇa`ng hoˇa.c a≤x hoˇa.c a≤x0 v`a khˆong d¯ˆ`ng th`o o.i ca˙’ hai.
17. Gia˙’ su.˙’ x, y l`a c´ac phˆ` n tu.a ˙’ cu˙’a d¯a.i sˆo´ Boole h˜u.u ha.n m`a d¯u.o..c viˆe´t du.´o.i da.ng tuyˆe˙’n c´ac nguyˆen tu.˙’
x =a1∨a2∨ · · · ∨an, v`a y =b1∨b2 ∨ · · · ∨bm.
18. (a) Gia˙’i th´ıch c´ach viˆe´t x∨y v`ax∧yda.ng tuyˆe˙’n c´ac nguyˆen tu˙’ phˆ. an biˆe.t. Minh ho.a bˇa`ng v´ı du..
(b) Viˆe´t s0
da.ng tuyˆe˙’n c´ac nguyˆen tu˙’ phˆ. an biˆe.t.
19. Ch´u.ng minh rˇa`ng nˆe´u Φ l`a d¯ˇa˙’ng cˆa´u d¯a.i sˆo´ Boole gi˜u.a c´ac d¯a.i sˆo´ Boole A v`a B th`ı
x≤y nˆe´u v`a chı˙’ nˆe´u Φ(x)≤Φ(y).
20. Gia˙’ su.˙’ S := [0,1] v`a A gˆ`m tˆo a.p trˆo´ng v`a tˆa´t ca˙’ c´ac tˆa.p con cu˙’a S sao cho c´o thˆe˙’ viˆe´t o.˙’ da.ng ho..p h˜u.u ha.n c´ac khoa˙’ng c´o da.ng [a, b).
(a) Ch´u.ng minh rˇa`ng mˆo˜i phˆa` n tu.˙’ cu˙’aAc´o thˆe˙’ viˆe´t nhu. ho.. p h˜u.u ha.n cu˙’a c´ac khoa˙’ng r`o.i nhau da.ng [a, b).
(b) Ch´u.ng minhA l`a d¯a.i sˆo´ Boole tu.o.ng ´u.ng v´o.i c´ac ph´ep to´an giao (∩),ho.. p (∪) v`a lˆa´y phˆ` n b`a u.
(c) Ch´u.ng minh A khˆong c´o nguyˆen tu.˙’ .
21. Gia˙’ su.˙’ a → ¯a, a → ˜a l`a hai ph´ep to´an lˆa´y phˆ` n b`a u tu.o.ng ´u.ng v´o.i d¯a.i sˆo´ Boole (A,∨,∧).Ch´u.ng minh rˇa`ng ¯a= ˜a, v´o.i mo.i a∈A.