H` am Boole

6 D A I SO ˆ´ BOOLE

6.4 H` am Boole

Phˆ` n nà ay chúng ta s˜e d¯i.nh ngh˜ıa mô.t cách tô˙’ng quát vê` “hàm Boole”, d¯ˆ`ng thò o.i mô ta˙’ các da.ng “ch´ınh quy” cu˙’a chúng. Nghiên cú.u hàm Boole tú.c là nghiên cú.u các ánh xa. Boole tù. mô.t d¯a.i sô´ Boole vào ch´ınh ba˙’n thân nó. Mô˜i phâ` n tu.˙’ cu˙’a d¯a.i sô´ Boole go.i là “hˇa`ng sô´”. Mô˜i mô.t ký hiê.u biê˙’u diêñ mô.t trong các phâ` n tu.˙’ cu˙’a d¯a.i sô´ Boole go.i là “biêń Boole”.

D- i.nh ngh˜ıa 6.4.1. Anh xa.´

f:Bn −→B, (x1, x2, . . . , xn)7→f(x1, x2, . . . , xn),

d¯u.o.. c go.i là hàm Boolen biêń nêú nó d¯u.o.. c câú ta.o theo nguyên tˇać sau d¯ây

(a) Hàm hˇa`ng f(x) = a, a∈ B, và phép chiêú lên thành phˆ` n thá u. i : f(x) = xi là hàm Boole.

(b) Nêúf là hàm Boole th`ı hàm phu˙’ d¯i.nh f0 c˜ung là hàm Boole. (c) Nêú f và g là các hàm Boole th`ıf∨g vàf ∧g c˜ung là hàm Boole.

(d) Mo.i hàm sô´ d¯u.o..c câú ta.o bˇa`ng cách áp du.ng mô.t sô´ h˜u.u ha.n lâ`n các quy luâ.t kê˙’ trên d¯ˆ` u lè a hàm Boole.

Nhâ.n xét 13. Theo d¯i.nh ngh˜ıa trên th`ı hàm Boole là mô.t hàm sô´ d¯u.o..c câú ta.o tù. các hˇa`ng sô´ và các phép chiêú bˇa`ng cách ú.ng du.ng mô.t sô´ h˜u.u ha.n lâ`n các phép toán hô.i, tuyê˙’n và phu˙’ d¯i.nh.

V´ı du. 6.4.1. (a) Các hàm du.ó.i d¯ây là các hàm Boole theo ba biêń x, y, z:

(x∨y)∧(x0∨z)∧y, y0∨(x∨z0), x∨y, z.

(b) Hàm Boole n biêń

(x1∧x2∧. . .∧xn)∨(x01∧x2∧. . .∧xn)∨(x1∧x02∧. . .∧xn).

D- ê˙’ gia˙’n tiê.n, ta su.˙’ du.ng các ký hiê.u + (cô.ng) và . (nhân) thay cho ∨ và ∧.

Mô.t trong nh˜u.ng cách thuâ.n tiê.n nhâ´t d¯ê˙’ mô ta˙’ hàm Boole là cho tu.o.ng ú.ng mô.t-mô.t vó.i ba˙’ng chân tri. (hay ba˙’ng giá tri. thâ.t), tú.c là ba˙’ng giá tri. cu˙’a hàm sô´ ú.ng vó.i nh˜u.ng tô˙’ ho.. p giá tri. khác nhau cu˙’a các biêń.

V´ı du. 6.4.2. Ba˙’ng chˆan tri. cu˙’a h`am

l`a x y z y0 x∨z f 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0

Nhâ.n xét 14. Mô˜i hàm Boole có duy nhâ´t mô.t ba˙’ng chân tri.. Ngu.o..c la.i, ta luôn luôn có thê˙’ xây du.. ng d¯u.o.. c vô sô´hàm Boole n biêń có ba˙’ng chân tri. gô`m 2n hàng cho truó.c.

V´ı du. 6.4.3. X´et ba˙’ng chˆan tri. x y z f 0 0 0 1 x 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 x 1 0 0 0 1 0 1 1 x 1 1 0 0 1 1 1 1 x

D- ê˙’ t`ım hàm Boole f(x, y, z) có ba˙’ng chân tri. trên, chúng ta tiêń hành theo các bu.ó.c sau + D- â` u tiên, d¯ánh dâú mô˜i hàng mà có cô.t cuôí bˇa`ng 1.

+ Vó.i mô˜i hàng d¯u.o.. c d¯ánh dâú, ta d¯ˇa.t tu.o.ng ú.ng mô.t sô´ ha.ng da.ng:

e1∧e2∧e3,

trong d¯ó e1 =x nêú phˆ` n tu.a ˙’ trong cô.t d¯â` u cu˙’a hàng này bˇa`ng mô.t và e1 =x0 nêú ngu.o.. c la.i. Tu.o.ng tu..e2 = y nêú phˆ` n tu.a ˙’ trong cô.t thú. hai cu˙’a hàng này bˇa`ng 1 và e2 = y0 nêú ngu.o.. c la.i. Cuôí cùng e3 =z nêú phˆ` n tu.a ˙’ trong cô.t thú. ba cu˙’a hàng này bˇa`ng 1 và e3 =z0

nˆe´u ngu.o.. c la.i.

Do d¯ó các phˆ` n tu.a ˙’ tu.o.ng ú.ng vó.i bôń hàng d¯u.o.. c d¯ánh dâú là

x∧y∧z, x∧y0∧z, x0∧y∧z, x0∧y0∧z0.

+ Cuôí cùng, ta tuyê˙’n các biê˙’u thú.c này d¯ê˙’ có hàm

f(x, y, z) = (x∧y∧z)∨(x∧y0∧z)∨(x0∧y∧z)∨(x0∧y0∧z0).

Nêú cô.t cuôí cu˙’a ba˙’ng chân tri. gô`m toàn sô´ 0, th`ı phu.o.ng pháp trên không làm viê.c; tuy nhiên, hàm Boole f ≡0 là hàm có ba˙’ng chân tri. nhu. vâ.y.

D- i.nh ngh˜ıa 6.4.2. Hai hàm Boole d¯u.o.. c go.i làtu.o.ng d¯u.o.ng vó.i nhau nêú chúng có cùng mô.t ba˙’ng chân tri..

V´ı du. 6.4.4. Các biê˙’u thú.c x(y∨z) và xy∨xz là tu.o.ng d¯u.o.ng.

D- i.nh lý sau cho chúng ta sô´ các phâ`n tu.˙’ cu˙’a tâ.p tâ´t ca˙’ các hàm Boolenbiêń: Fun(Bn,B) :=

{f :Bn →B}.

D- i.nh l´y 6.4.3. C´o 22n

anh xa. t`u.Bn v`ao B.

Chú.ng minh. Rõ ràng #Bn = 2n. Mˆ˜i hàm tò u.Bn vào B có thê˙’ lâý mô.t trong hai giá tri. d¯ô.c lâ.p là 0 và 1. Do vâ.y ta có 22n tô˙’ ho.. p kha˙’ nˇang khác nhau; ngh˜ıa là có 22n ánh xa. khác

nhau. 2

V´ı du. 6.4.5. (a) Tru.ò.ng ho.. p n= 1 ta có bôń hàm Boole:

f1 = 0, f2 =x, f3 =x0, f4 = 1.

(b) Tru.ò.ng ho.. pn = 2 ta có 16 hàm sô´ Boole d¯u.o.. c liê.t kê trong ba˙’ng sau

STT f Tˆen go.i

1 0 H`am hˇa`ng 0

2 x1x2 H`am AND

3 x1x0

2 Hàm kéo theo không d¯iˆ` u kiê.ne 4 x1 Phép chiêú lên biêń thú. nhâ´t

5 x01x2 Hàm kéo theo không d¯a˙’o

6 x2 Phép chiêú lên biêń thú. hai

7 x1x0 2+x0 1x2 Hàm cô.ng modulo 2 8 x1+x2 Hàm OR 9 x0 1x0 2 Hàm NOR 10 x1x2+x0 1x0 2 Hàm tu.o.ng d¯u.o.ng 11 x02 Hàm phu˙’ d¯i.nh x2 12 x1+x0 2 Hàm kéo theo d¯a˙’o 13 x01 Hàm phu˙’ d¯i.nh x1 14 x0

1+x2 Hàm kéo theo có d¯iˆ` u kiê.ne

15 x0

1+x0

2 H`am NAND (Sheffer)

16 1 H`am hˇa`ng 1

Hê. qua˙’ 6.4.4. Fun(Bn,B)vó.i các phép toán +, .,−là mô. t d¯a. i sô´ Boole d¯ˇa˙’ng câú vó.iB2n.

B`ai tˆa. p

1. Chú.ng minh các biê˙’u thú.c du.ó.i d¯ây là các hàm Boole và t`ım giá tri. cu˙’a các hàm này khi x= 1, y= 1, z = 0 :

(a) (x∧y)∨(y0∧z).

(b) (x∧y)0.

(c)x∨(y0∧z).

(d) (x∧y0)∨(y∧z0).

(e) (x∧(y∨(x∧y0)))∨((x∧y0)∨(x∧z0)0).

2. Các biê˙’u thú.c nào là hàm Boole: (a) x∧(y∧z). (b) x∧(y0∧z). (c) (x). (d) (x∧y)∨z0. (e) ((x)). 3. T`ım hàm Boole f: B3 →B nêú f(0,0,0) =f(0,0,1) =f(1,1,0) = 1 và f(a, b, c) = 0 vó.i tâ´t ca˙’ (a, b, c)∈B3 khác.

4. Kiê˙’m tra các d¯ˇa˙’ng thú.c sau: (a) x∨x=x.

(b) x∨(x∧y) =x.

(c)x∧y0= (x0∨y)0.

(d) x∧(y∧z)0= (x∧y0)∨(x∧z0).

(e)x0∧((y∧z)∨(x∧y∧z)) =x∧z.

5. D- ´ung hay sai:

(a) (x∧y)∨(x0∧z)∨(x0∧y∧z0) =y∨(x0∧z).

(b) (x∧y∧z)∨(x∧z)0 = (x∧z)∨(x0∧z0).

6. Chú.ng minh nêú f1 và f2 là các hàm Boole theo các biêń x1, x2, . . . , xn th`ıf1 ∨f2

tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i f2∨f1.

7. Các hàm Boole nhu. x hay y0 gˆ`m mô o.t biêń d¯o.n hoˇa.c phâ`n bù cu˙’a nó d¯u.o..c go.i là

literal.

(a) Chú.ng minh x0z∨y0z không tu.o.ng d¯u.o.ng vó.i t´ıch các literal.

(b) Chú.ng minh x0z∨y0z không tu.o.ng d¯u.o.ng vó.i tuyê˙’n cu˙’a các t´ıch cu˙’a các literal mà trong d¯ó mô.t t´ıch là mô.t literal d¯o.n. (Phâ`n (a) và (b) chı˙’ ra rˇa`ng x0z∨y0z là tôí u.u).

(c) Nhóm ba sô´ ha.ng xyz∨xyz0∨xy0z da.ng các cˇa.p d¯ê˙’ nhâ.n d¯u.o..c mô.t biê˙’u thú.c tu.o.ng d¯u.o.ng da.ng tuyê˙’n cu˙’a hai t´ıch mà mô˜i t´ıch gô`m hai literal.

6.5 Biê˙’u diˆeñ c´ac hàm Boole qua hê. tuyê˙’n, hô.i và phu˙’ d¯i.nh

Nhu. chúng ta d¯ã biê´t, mô.t trong nh˜u.ng cách cho hàm Boole là dùng ba˙’ng chân tri.. Mô˜i ba˙’ng chân tri. có thê˙’ biê˙’u diêñ nhiê` u hàm sô´ khác nhau, nhu.ng các hàm sô´ này pha˙’i tu.o.ng d¯u.o.ng vó.i nhau. Nói mô.t cách khác có thê˙’ dùng ba˙’ng chân tri. d¯ê˙’ kiê˙’m tra các hàm Boole có tu.o.ng d¯u.o.ng vó.i nhau hay không?

Ngoài ra, d¯ê˙’ so sánh các hàm Boole vó.i nhau ngu.ò.i ta d¯u.a ra da.ng ch´ınh quy(hay da.ng chuâ˙’n). Hai cách biê˙’u diêñ khác nhau cu˙’a hàm Boole có cùng mô.t da.ng ch´ınh quy nêú và chı˙’ nêú chúng tu.o.ng d¯u.o.ng vó.i nhau. Nói cách khác, da.ng ch´ınh quy cu˙’a mô.t cách biê˙’u diˆñ hàm Boole là duy nhâ´t. Có hai da.ng ch´ınh quy thu.ò.ng dùng, d¯ó là da.nge tuyê˙’n ch´ınh quy (hay da.ng tô˙’ng cu˙’a các t´ıch) vàda.ng hô.i ch´ınh quy (hay da.ng t´ıch cu˙’a các tô˙’ng).

D- ê˙’ tiê.n tr`ınh bày, ta d¯u.a vào quy u.ó.c sau. Gia˙’ su.˙’x là mô.t biêń và e∈B. Ký hiê.u

xe :=

(

x nêú e= 1, x0 nêú ngu.o.. c la.i.

T`u. d¯i.nh ngh˜ıa ta c´o

xe= 1 nêú và chı˙’ nêú x=e.

D- i.nh ngh˜ıa 6.5.1. Gia˙’ su.˙’ f là hàm Boole n biêń. Tâ.p

Tf :={x= (x1, x2, . . . , xn)∈Bn | f(x) = 1}

d¯u.o.. c go.i l`a tˆa.p d¯ˇa.c tru.ng cu˙’a f.

T´ınh chˆa´t 6.5.2. (a) Tf0 = [Tf]0={x= (x1, x2, . . . , xn)∈Bn | f(x0) = 1}.

(b) Tf+g =Tf ∪Tg.

Chú.ng minh. Hiê˙’n nhiên theo d¯i.nh ngh˜ıa. 2

Ho.n n˜u.a có mô.t tu.o.ng ú.ng mô.t-mô.t gi˜u.a các hàm Boole và tâ.p d¯ˇa.c tru.ng cu˙’a nó. Các t´ınh châ´t này cho phép chuyê˙’n chú.ng minh trên d¯a.i sô´ logic sang các chú.ng minh tu.o.ng ´

u.ng trên d¯a.i sô´ tâ.p ho. p..

D- i.nh lý 6.5.3. Cô´ d¯i.nh i∈ {1,2, . . . , n}. Khi d¯ó mo. i hàm Boole n biêń f d¯ˆ` u cé o thê˙’ biê˙’u diêñ du.ó.i da. ng tuyê˙’n ch´ınh quy

f(x) =X

f(e1, e2, . . . , ei, xi+1, xi+2, . . . , xn)xe1

1 ∧xe2

2 ∧. . .∧xei

hoˇa. c du.´o.i da.ng hˆo.i ch´ınh quy f(x) =Y f(e1, e2, . . . , ei, xi+1, xi+2, . . . , xn)xe1 1 ∨xe2 2 ∨. . .∨xei i , (6.6)

trong d¯ó tuyê˙’n, hô. i lâý trên tâ. p (e1, e2, . . . , ei)∈Bi.

Chú.ng minh. Bˇa`ng luâ.t d¯ôí ngâ˜u, ta chı˙’ câ` n chú.ng minh biê˙’u diêñ da.ng (6.5). Gia˙’ su.˙’ (x1, x2, . . . , xn)∈ Tf. Khi d¯ó sô´ ha.ng ú.ng vó.i bô. giá tri. e1 = x1, e2 = x2, . . . , ei = xi trong tuyê˙’n vê´ pha˙’i cu˙’a (6.5)

xe1

1 xe2

2 . . . xei

i f(e1, e2, . . . , ei, xi+1, xi+2, . . . , xn) s˜e bˇa`ng 1. D- iê` u này kéo theo toàn bô. vê´ pha˙’i bˇa`ng 1.

Ngu.o.. c la.i, nêú vê´ pha˙’i bˇa`ng 1 th`ı pha˙’i xa˙’y ra ta.i sô´ ha.ng nào d¯ó, chˇa˙’ng ha.n ta.i sô´ ha.ng tu.o.ng ú.ng vó.i bô. giá tri. (e1, e2, . . . , ei) và do d¯ó (x1, x2, . . . , xn)∈Tf. 2

Cho i= 1 trong d¯i.nh lý và nhâ.n xét rˇa`ng vai trò cu˙’a các biêńxi là nhu. nhau, ta d¯u.o.. c

Hê. qua˙’ 6.5.4. Hàm Boole f có thê˙’ d¯u.o.. c khai triê˙’n theo mô. t d¯ôí sô´xi

f(x) =x0if(x1, . . . , xi−1,0, xi+1, . . . , xn)∨xif(x1, . . . , xi−1,1, xi+1, . . . , xn), (6.7)

hoˇa. c

f(x) =x0if(x1, . . . , xi−1,0, xi+1, . . . , xn)∧xif(x1, . . . , xi−1,1, xi+1, . . . , xn). (6.8) Cho i=n trong d¯i.nh lý và bo˙’ d¯i các phâ` n tu.˙’ bˇa`ng 1 trong mô.t t´ıch, ta d¯u.o..c

Hê. qua˙’ 6.5.5. Mo. i hàm Boole có thê˙’ d¯u.o.. c khai triê˙’n du.ó.i da. ng tuyê˙’n ch´ınh quy f(x) = X e∈Tf xe1 1 xe2 2 . . . xen n (6.9)

hoˇa. c du.´o.i da.ng hˆo.i ch´ınh quy

f(x) = Y e∈Tf xe1 1 ∨xe2 2 ∨. . .∨xen n (6.10)

Công thú.c khai triê˙’n (6.9) còn d¯u.o.. c go.i làda.ng tuyê˙’n chuâ˙’n tˇać hoàn toàn cu˙’a f và mô˜i sô´ ha.ng cu˙’a nó d¯u.o..c go.i là mô.t câú ta.o d¯o.n vi. (hay phˆ` n tu.a ˙’ tôí thiê˙’u)cu˙’a f.

V´ı du. 6.5.1. Da.ng tuyê˙’n ch´ınh quy và da.ng hô.i ch´ınh quy cu˙’a hàm Boole có ba˙’ng chân tri. x1 x2 x3 f(x1, x2, x3) 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 tu.o.ng ú.ng là fΣ =x01x02x30 +x01x2x03+x01x2x3+x1x20x3+x1x2x3, fΠ = (x1+x2+x03)(x01+x2+x3)(x01+x02+x3).

Nhu. vâ.y da.ng ch´ınh quy không nh˜u.ng giúp chúng ta so sánh các hàm sô´ mà còn giúp chúng ta trong viê.c biê˙’u diêñ hàm Boole du.ó.i da.ng biê˙’u thú.c d¯a.i sô´ tù. ba˙’ng chân tri. và trong viê.c d¯o.n gia˙’n hóa tôí thiê˙’u các hàm Boole. Tù. Hê. qua˙’ 6.5.5, ta nhâ.n d¯u.o..c

Hê. qua˙’ 6.5.6. Mo. i hàm Boole d¯ˆ` u cé o thê˙’ xây du.. ng tù. các biêń nhò. các hàm OR, AND, và NOT.

Ngoài hê. tuyê˙’n, hô.i và phu˙’ d¯i.nh, tô`n ta.i nhiê` u hê. khác c˜ung có t´ınh châ´tmo.i hàm Boole d¯ˆ` u biê˙’u diêe ñ qua các thành viên cu˙’a hê.. Mô.t hê. hàm nhu. vâ.y d¯u.o..c go.i là hê. d¯â` y d¯u˙’.

Hê. qua˙’ 6.5.7. Các hê. (a) {AND, NOT};và

(b) {OR, NOT} là nh˜u.ng hê. hàm d¯â` y d¯u˙’ hai biêń. Chú.ng minh. (a) Thâ.t vâ.y, do

x∨y= (x0)0∨(y0)0 = (x0y0)0

nên hàm OR d¯u.o.. c thay bˇa`ng hai hàm AND và NOT. Kê´t luâ.n d¯u.o..c suy tù. Hê. qua˙’ 6.5.6. (b) Bài tâ.p. 2

Viê.c nghiên cú.u t´ınh d¯â`y d¯u˙’ cu˙’a mô.t hê. hàm có ý ngh˜ıa thu..c tiêñ quan tro.ng, nó tra˙’ lò.i câu ho˙’i có thê˙’ xây du.. ng mô.t hàm Boole tù. mô.t sô´ hàm d¯o.n gia˙’n cho.n tru.ó.c hay không?

B`ai tˆa. p

1. Chú.ng minh các khai triê˙’n trong Hê. qua˙’ 3.5.5 là duy nhâ´t. 2. T`ım da.ng tuyê˙’n ch´ınh quy cu˙’a hàm Boole ba biêń:

(a) xy. (b) z0. (c) xz∨(y0∨y0z)∨xy0z0. (d) x∨yz. (e) [(xy∨xyz)∨xz]∨z. (f) xy∨z0. (g) [(x∨y)0∨z]0. (h) (x∨y)0∨z∨x(yz∨y0z0).

3. Tr`ınh bày phu.o.ng pháp t`ım da.ng hô.i ch´ınh quy. Cho v´ı du. minh ho.a.

4. Su.˙’ du.ng các phu.o.ng pháp d¯a.i sô´, t`ım da.ng tuyê˙’n ch´ınh quy cu˙’a các hàm Boole sau: (a) x∨xy.

(b) (x∨y)(x0∨y0).

(d) (x0y∨x0z0)(x∨yz)0.

(e)x∨(y0∨(xy0∨xz0)).

5. Chú.ng minh nêúm1∨m2∨· · ·∨mk là da.ng tuyê˙’n ch´ınh quy cu˙’af th`ım01∧m02∧· · ·∧m0k

l`a da.ng hˆo.i ch´ınh quy cu˙’a f0. Cho v´ı du. minh ho.a.

6. Chú.ng minh các hê. hàm sau là d¯â` y d¯u˙’: {OR, NOT}, {NOR}, và {NAND}. (Hàm NAND và NOR còn ký hiê.u tu.o.ng ú.ng là ↑và ↓).

7. Chú.ng minh các hê. hàm sau không d¯â` y d¯u˙’: {AND},{OR},{NOT}, và{AND, OR}. 8. Chú.ng minh hoˇa.c t`ım pha˙’n v´ı du.: x↑(y ↑z) = (x↑y)↑z vó.i mo.i x, y, z∈B.

9. Biê˙’u diêñ hàm XOR qua hê. hàm NAND.

6.6 Biê˙’u diˆeñ tˆoí thiê˙’u cu˙’a hàm Boole

6.6.1 Kh´ai niˆe.m

Biê˙’u diêñ hàm Boole qua mô.t hê. hàm d¯â` y d¯u˙’ H là không duy nhâ´t. V´ı du. hàm Sheffer d¯i.nh ngh˜ıa bo˙’ i.

x↑y:=

(

0 nˆe´u x=y= 1,

1 nêú ngu.o.. c la.i, khi biê˙’u diêñ qua hê. tuyê˙’n, hô.i và phu˙’ d¯i.nh, có thê˙’ có các cách

Mô˜i mô.t biê˙’u diêñ f tu.o.ng ú.ng vó.i mô.t cách “ghép” các thành viên cu˙’a H (mà ta go.i là

các yêú tô´ co. ba˙’n) d¯ê˙’ thu d¯u.o.. c f.Hiê˙’n nhiên, mô.t vâń d¯ê` có ý ngh˜ıa thu.. c tiêñ quan tro.ng là t`ım mô.t biê˙’u diêñ sao cho viê.c ghép nhu. thê´ tôń ´ıt yêú tô´ co. ba˙’n nhâ´t. Theo mô.t ngh˜ıa nào d¯ó, d¯iˆ` u nè ay dâñ vê` viê.c t`ım mô.t công thú.c trên hê. H biê˙’u diêñ hàm f vó.i sô´ ký hiê.u

Khoa˙’ng c´ ach Hamming