Toán rời rạc-Chương 1: Khái niệm cơ bản pot

TOÁN R I R C CH NG I : KHÁI NI M C T p h p hàm B N Lecturer: PhD Ngo Huu Phuc Tel: 0438 326 077 Mob: 098 5696 580 Email: ngohuuphuc76@gmail.com @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University T P H P VÀ HÀM N I DUNG Khái ni m v t p h p T p h p b ng Các phép tốn Tính ch t c a phép toán Khái ni m v l c l ng c a t p h p Khái ni m hàm @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Khái ni m v t p h p (1/2) Khái ni m v t p h p: M t cách t n gi n có th hi u t p h p k t h p ng có b n ch t (hay thu c tính) tu ý, g i ph n t c a t p h p Ví d : Các s t nhiên m t t p h p, kí hi u N Các s nguyên kho ng t n 250 mà chia h t cho m t s nguyên t 2,3,5,7 m t t p h p H c viên K8 h c Toán r i r c m t t p h p @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University i Khái ni m v t p h p (2/2) Ký hi u: Ký hi u {a,b,c} ch t p h p t hay thành ph n) a,b,c t o nên it M i t p h p th ng có tên g i riêng, th ch hoa A, B, C, kí hi u ng (g i ph n ng dùng L u ý: T p h p m t khái ni m không mô t nh ngh a mà ch có th M tt ph p c xác nh ta a quy t c, quy lu t phân bi t i t ng ho c ph n t thu c ho c khơng thu c @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University T p h p b ng (1/5) Khái ni m: T pA c g i b ng t p B, n u m i ph n t c a A ph n t c a B ng c l i m i ph n t c a B t c a A ( x A) ( x B) M t s khái ni m khác: a b T p r ng c T p T p t p @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University u ph n T p h p b ng (2/5) – T p Khái ni m: T pA c g i t p c a t p h p X, n u m i ph n t c a A u ph n t c a X, kí hi u A X (A X) ( x A x X) Ví d : A = { a, b, c, d }, X = { a, b, c, d, x, y, z } ó A X Z2 = { T p s ch n }, Z = { T p s nguyên } ó Z2 N u A t p c a X A không b ng X, A kí hi u A X A X Z c g i t p th c s c a X, T p @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University T p h p b ng (3/5) – T p M t s ví d A B, có th minh ho sau: A A A B B B A = {1, 3, 5, } B = { 3, 5} A = {1, 3, 5, } B = { 2, 3, 4, 5} A = {1, 3, 5, } B = { 2, 4, } Các t p khác @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University T p h p b ng (4/5) – T p r ng Khái ni m: T p h p không ch a ph n t g i t p r ng, kí hi u T p r ng t p c a m i t p h p Ví d : A = { T p nghi m th c c a ph ó: A = ng trình x2 + = }, @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University T p h p b ng (5/5) – T p t p Khái ni m: Cho A m t t p h p, m t tr ng h p c bi t th ng c xem xét t p t p c a A bao g m c t p r ng A , kí hi u p(A), t p m i ph n t m t t p c a A Ví d : A = {2, 4, } Khi ó: p (A) = {{2} , {4}, {6}, {2,4}, {2,6}, {4,6}, {2,4,6}, { } } @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Các phép toán (1/7) Trong ph n này, xem xét m t s phép toán t p h p: a Phép h p b Phép giao c Phép hi u d Ph n bù e Hi u f 10 Tích i x ng @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Tính ch t c a phép tốn (2/6) III Tính phân ph i A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) IV Công th c De Morgan X \ (A (X \ B) X \ (A 18 B) = (X \ A) B) = (X \ A) (X \ B) @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Tính ch t c a phép tốn (3/6) Ví d , ch ng minh m t s công th c trên: Gi s ta c n ch ng minh công th c A (B C) = (A Quá trình ch ng minh g m hai b B B) c c h t ta ph i ch ng minh A (B C) t p c a (A Th t v y, gi s x m t ph n t c a A (B x B, t c x A B, n u x C, t c x x Nói cách khác A (B (A B) (A C) C), ngh a x A ng th i x A C, v y ta có B) C) t p c a (A B ho c x C N u (A C) B) (A C) c 2: B ng cách t C) ng t nh v y ta ch ng minh ng Gi s x (A B) (A C), ngh a x ng th i x B ho c x C, t ó ta có A x 19 C) c 1: Tr B (A c l i (A B ho c x A (B B) (A C) t p c a A A C, nh v y theo C) @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University nh ngh a x (B A Tính ch t c a phép tốn (4/6) Ví d , ch ng minh m t s cơng th c trên: Ta ch ng minh tính ch t A (B B C) = (A B) (A C) c 1: Gi s (x,y) ph n t b t k c a A (B C), ngh a x A y B C, ó ho c y B ho c y C N u y B, t c (x,y) A B ho c y C, (x,y) A C, v y ta có A (B C) (A B) (A C) B c 2: Ng c l i, n u (x,y) ph n t b t k c a (A ho c (x,y) A B ho c (x,y) (A C) suy x C, hay (x,y) A (B C), v y ta s có (A 20 B) (A C) A (B B) (A C) A y B ho c y C) @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Tính ch t c a phép tốn (5/6) Ví d , ch ng minh m t s công th c trên: Ch ng minh công th c De Morgan sau X \ (A B B) = (X \ A) (X \ B) c 1: Gi s t ph n t b t k x ng ng v i x x B X \ (A B), t c x X x không thu c c A B i u X , x A x X , x B có ngh a X \ A x X \ B hay x (X \ A) (X \ B) c 2: Ng c l i n u y ph n t b t k thu c (X \ A) (X \ B) y y X , y A y B hay y X y (A B) X \ A y X \ B t c M r ng phép toán cho nhi u t p ta kí hi u nh sau n n Ai 21 A1 A2 An n Ai A1 A A A A An @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University i 1 A n Tính ch t c a phép toán (6/6) V Các h qu A B B , A A (A B) = A , B A\B B A (A B) = B A A \ (A C) = ( A\ B ) (A \ C ) A \ (A C) = ( A\ B ) (A \ C ) A (B \ A) = A B A \ (A \ B ) = A B A \ (B 22 C) = (A \ B ) \ C @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Khái ni m v l c l ng c a t p h p (1/3) Khái ni m: ánh giá h p nh l ng s l c g i l c l ng ph n t c a m t t p ng c a t p h p Ký hi u l c l a So sánh l c l b 23 ng c a t p N(A) T p h p h u h n t p h p vô h n ng c a hai t p @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Khái ni m v l c l So sánh l c l ng c a t p h p (2/3) ng c a hai t p: Các khái ni m: Cho A, B t p, n u ng v i x v i x1, x2 A, (x1 A nh h n l c l x2) ng v i x1’, x2’ th ch n t A (x1 B, ó ta nói: l c l A có th ch n t x2) ng v i x1’, x2’ ng ng x A x1’, x2’ B; Ng 24 ng B ng c a ng (b ng) l c l ng ng x’ c l i, ng v i x’ B (x1’ x2’) ng v i x1, x2 ó ta nói r ng gi a t p A B xác l p phép t c at pAt ng ng x’ ng c a B Cho A, B t p, n u ng v i x v i x1, x2 A có th ch n t ng ng 1-1 L c l ng c a t p B @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University B B có A, ng Khái ni m v l c l ng c a t p h p (3/3) T p h p h u h n t p h p vô h n: T p h p có l c l Ví d : T= {a,b,c} T p ng h u h n g i t p h u h n N(T) = c s c a s 36 U = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 }, N(U) = T p h p có l c l ng vô h n g i t p vơ h n Ví d : Z= {T p s nguyên} , N(Z) m t s vô h n R= {T p s th c} , N(R) m t s vô h n phân bi t t p vô h n, s d ng khái ni m không m c T p h p A có l c l t p có l c l khơng m c 25 ng t ng ng m m c ng v i t p s nguyên N g i c, g i t p vô h n @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Khái ni m hàm (1/7) Nh c l i m t s khái ni m v hàm: a Hàm b Mi n xác c Các phép toán d nh, mi n giá tr n ánh toàn ánh e f 26 Hàm ng c H p thành c a hàm @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Khái ni m hàm (2/7) a Hàm: Cho hai t p X, Y b t k n u ta xác nh m t quy lu t (quy t c) f ng v i ph n t c a t p X ta có th xác nh t ng ng ph n t c a t p Y , ó ta nói có xác nh m t phép ánh x hàm t X sang Y ký hi u: f: X Y Ví d : X=Z= {t p s nguyên} Y=R = {T p s th c} ánh x f xác nh nh sau f(x) = 27 x @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Khái ni m hàm (3/7) b Mi n xác nh, mi n giá tr : N u f m t hàm t X t ng ng ph n t y T p ph n t y n Y, t p ph n t c a x Y g i mi n xác Y mà t n t i x X có nh c a f X cho y = f(x) g i mi n giá tr c a f, ó y nh c a x x ngh ch nh c a y 28 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Khái ni m hàm (4/7) c Các phép toán : f1 f2 hàm t X n R Khi ó f1+ f2 f1 f2 c ng hàm t X n R c xác nh nh sau: (f1+ f2 )(x) = f1 (x)+ f2 (x) (f1 f2 )(x) = f1 (x) f2 (x) Ví d : Cho f1 f2 hàm t R sang R v i f1 = x2 f2 = x - x2 ó: (f1+ f2 )(x) = f1 (x)+ f2 (x) = x2 + ( x - x2) = x (f1 f2 )(x) = f1 (x) f2 (x) = x2 ( x - x2) = x3 - x4 29 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Khái ni m hàm (5/7) d n ánh toàn ánh: Hàm f c g i n ánh (hay m t - m t) ch f(x1) = f(x2) suy x1 = x2 v i m i x1 , x2 n m mi n xác nh c a hàm Hàm f c g i toàn ánh ch v i m i y Y t n t i x X cho f(x) = y Hàm f c g i song ánh v a tồn ánh Ví d : Hàm f1 = x2 không ph i hàm song ánh; Hàm f2 = x +1 m t hàm song ánh 30 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University n ánh v a Khái ni m hàm (6/7) e Hàm ng c: Cho f hàm song ánh t X n Y Hàm ng c c a f m t hàm gán cho m i ph n t y Y m t ph n t nh t x X cho f ó f -1(y) = x (x)=y Hàm ng c c a f c ký hi u f -1 T f(x) = y f x = f 1(y) y = f(x) f Y X Hàm ng 31 c f -1 Ví d : • Hàm f2 = x +1 có hàm ng c f2-1 = y -1 • Hàm f : [ a, b, c] [ 1, 2, ] xác nh nh sau f(a) = 1, f(b) = 2, f(c) = Khi ó f -1 : [ 1, 2, ] [ a, b, c] xác nh nh sau f(1) = a, f(2) = b, f(3) = c @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Khái ni m hàm (7/7) e H p thành c a hàm: Cho g hàm t X hàm f g n Y f hàm t Y c ký hi u fog xác n Z H p thành c a nh nh sau: fog(x) = f(g(x)) fog g f x y=g(x) X Y H p thành c a hàm 32 z=f(g(x)) Z Ví d : Cho hai hàm f(x) = 2x + g(x) = 3x + Khi ó fog(x) = f(g(x)) = f(3x+2) = 2(3x +2)+3 = 6x + gof(x) =g(f(x)) = g(2x+3) = 3(2x +3)+2 = 6x + 11 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University ... DUNG Khái ni m v t p h p T p h p b ng Các phép toán Tính ch t c a phép tốn Khái ni m v l c l ng c a t p h p Khái ni m hàm @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Khái. .. t s khái ni m v hàm: a Hàm b Mi n xác c Các phép toán d nh, mi n giá tr n ánh toàn ánh e f 26 Hàm ng c H p thành c a hàm @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Khái. .. Technical University T p h p b ng (1/5) Khái ni m: T pA c g i b ng t p B, n u m i ph n t c a A ph n t c a B ng c l i m i ph n t c a B t c a A ( x A) ( x B) M t s khái ni m khác: a b T p r ng c T p