Toán Cao cấp C 2 potx

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT KHOA TOÁN - TIN HỌC Y  Z ĐỖ NGUYÊN SƠN - TRỊNH ĐỨC TÀI TOÁN CAO CẤP C2 (Bài Giảng Tóm Tắt) Lưu hành nội bộ Y Đà Lạt 2008 Z Mc lc I. Lý thuyết chuỗi 1. Các định nghĩa và ví dụ 1 1.1 Chuỗi số 1 1.2 Tiêu chuẩn hội tụ 3 1.3 Các tính chất của chuỗi 3 2. Chuỗi dơng 4 2.1 Chuỗi dơng 4 2.2 Các dấu hiệu hội tụ của chuỗi dơng 5 3. Chuỗi với dấu bất kỳ 8 3.1 Chuỗi đan dấu 8 3.2 Chuỗi hội tụ tuyệt đối 8 4. Chuỗi hàm 9 4.1 Khái niệm chuỗi hàm, sự hội tụ, hội tụ đều 9 4.2 Các tính chất của chuỗi hàm hội tụ đều 10 5. Chuỗi luỹ thừa 12 5.1 Khái niệm chuỗi luỹ thừa, bán kính hội tụ 12 5.2 Các tính chất của chuỗi lũy thừa 13 5.3 Khai triển hàm thành chuỗi lũy thừa 15 5.4 Khai triển một số hàm sơ cấp thành chuỗi lũy thừa 15 6. Khai triển Fourier 16 6.1 Chuỗi lợng giác 16 6.2 Khai triển Fourier của hàm chẵn, hàm lẻ 17 6.3 Khai triển Fourier của hàm tuần hoàn có chu kỳ khác 2 18 6.4 Thác triển tuần hoàn 18 6.5 Tích phân Fourier 19 II. Phơng trình vi phân 1. Khái niệm phơng trình vi phân 21 1.1 Vài mô hình dẫn đến phơng trình vi phân 21 1.2 Các khái niệm 22 1.3 Bài toán Cauchy 23 2. Giải một số phơng trình vi phân cấp 1 24 2.1 Phơng trình với biến số phân ly 24 2.2 Phơng trình vi phân thuần nhất 26 2.3 Phơng trình vi phân toàn phần 28 2.4 Phơng trình vi phân tuyến tính cấp 1 29 2.5 Phơng trình Bernoully 33 2.6 Phơng trình Clairaut 34 2.7 Phơng trình Lagrange 35 3. Phơng trình vi phân tuyến tính cấp 2 36 3.1 Khái niệm phơng trình vi phân cấp 2 36 3.2 Nghiệm của phơng trình vi phân tuyến tính cấp 2 37 3.3 Nghiệm của phơng trình vi phân tuyến tính không thuần nhất 39 3.4 Phơng trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng 41 4. Hệ phơng trình vi phân 44 4.1 Các khái niệm 44 4.2 Hệ phơng trình vi phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng 45 III. Phơng trình đạo hàm riêng 1. Phơng trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 1 49 1.1 Khái niệm phơng trình đạo hàm riêng 49 1.2 Phơng trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 1 50 1.3 Phơng pháp đặc trng 51 2. Phơng trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 52 2.1 Các định nghĩa 52 2.2 Phân loại phơng trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 53 2.3 Dạng chính tắc 54 3. Các phơng trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 cơ bản 57 3.1 Bài toán giá trị biên và giá trị ban đầu 57 3.2 Phơng pháp tách biến giải phơng trình đạo hàm riêng 58 3.3 Phơng trình truyền nhiệt một chiều 59 3.4 Phơng trình truyền sóng một chiều 61 3.4 Phơng trình Laplace 65 1 I. Lý thuyết chuỗi 1 Chuỗi số Chuỗi số l sự mở rộng tự nhiên của tổng cho tr-ờng hợp vô hạn số hạn. 1.1 Các định nghĩa và ví dụ Định nghĩa 1. Cho dãy số thực (a n ) nN . Khi đó tổng hình thức vô hạn k=0 a k = a 0 + a 1 + ããã+ a k + ããã (1) gọi là chuỗi số (thực). Số a k gọi là số hạng tổng quát thứ n của chuỗi (1). Tổng hữu hạn S n = n k=0 a k = a 0 + a 1 + ããã+ a n gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi. Nếu lim n S n = S hữu hạn, thì ta nói chuỗi (1) hội tụ. Khi đó, S gọi là tổng của chuỗi, và viêt S = k=0 a k = a 0 + a 1 + ããã+ a n + ããã Tr-ờng hợp ng-ợc lại, tức là lim n S n = hoặc không tồn tại lim n S n , thì ta nói chuỗi (1) phân kỳ. Ví dụ. 1) Xét chuỗi hình học k=0 x k =1+x + x 2 + ãããx k + ããã Ta có S n =1+x + x 2 + ãããx n = 1 x n+1 1 x nếu x =1 n +1 nếu x =1 1 (1) n+1 2 nếu x = 1 2 Vậy, nếu | x | 1, thì chuỗi k=0 x k phân kỳ. nếu | x |< 1, thì chuỗi k=0 x k hội tụ, và k=0 x k =1+x + x 2 + ãããx k + ããã= 1 1 x 2) Xét chuỗi điều hòa k=0 1 k =1+ 1 2 + 1 3 + ããã 1 k + ããã Tr-ớc hết ta có bất đẳng thức n1 n dx x 1 n 1 , n 2. Thật vậy, với n 1 x n, n 2, ta có 1 n 1 x 1 n 1 . Từ đó n1 n dx x n1 n dx n 1 = 1 n 1 Suy ra, S n =1+ 1 2 + ããã+ 1 n 2 1 dx x + 3 2 dx x + ããã+ n+1 n dx x = n+1 1 dx x = ln(n +1) Vậy, lim n S n = . Do đó, chuỗi k=0 1 k phân kỳ. 3) Xét chuỗi k=1 1 k(k 1) = 1 1 ã 2 + 1 2 ã 3 + ããã 1 k(k +1) + ããã Ta có S n = 1 1 ã 2 + 1 2 ã 3 + ããã+ 1 n(n +1) =1 1 2 + 1 2 1 3 + ããã+ 1 n 1 n +1 =1 1 n +1 . Suy ra, lim n S n =1. Vậy, chuỗi k=1 1 k(k 1) hội tụ và có tổng bằng 1. 3 1.2 Tiêu chuẩn hội tụ Dãy tổng riêng hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy. Từ đó, ta có tiêu chuẩn sau Định lý 1. (Tiêu chuẩn Cauchy) Chuỗi (??) hội tụ khi v chỉ khi >0, N N sao cho n>N,p N : |a n+1 + ããã+ a n+p | <. Hệ quả 1. (Điều kiện cần ) Nếu chuỗi (??) hội tụ, thì lim n a n =0. Ví dụ. 1) Chuỗi n=0 (1) n =1 1+11+ããã với a n =(1) n l phân kỳ vì lim n a n . 2) Chuỗi n=1 1 n mặc dù thỏa lim n a n =0nh-ng phân kỳ. Ta dùng tiêu chuẩn Cauchy để chứng minh sự phân kỳ của chuỗi điều hoà. Ta có |a n+1 + ããã+ a n+p | = 1 n +1 + ããã+ 1 n + p > p n + p =1/2; nếu chọn p = n. Do vậy, chuỗi ny phân kỳ vì không thỏa tiêu chuẩn Cauchy với =1/2. 1.3 Các tính chất của chuỗi Định lý 2. (Tính tuyến tính) Cho k=0 a k , k=0 b k là các chuỗi hội tụ và R. Khi đó, các chuỗi k=1 (a k + b k ), k=1 a k cũng hội tụ và k=0 (a k + b k )= k=0 a k + k=1 b k k=0 a k = k=0 a k . Chứng minh. Suy ra trực tiếp từ tính chất của giới hạn dãy. 4 Định lý 3. (Tính kết hợp) Giả sử chuỗi k=0 a k hội tụ và có tổng là S. Xét chuỗi k=0 b k có các số hạng b 0 = a 0 + a 1 + ããã+ a n 0 b 1 = a n 0 +1 + a n 0 +2 + ããã+ a n 1 . . . b k = a n k1 +1 + a n k1 +2 + ããã+ a n k Khi đó, chuỗi k=0 b k cũng hội tụ và có tổng bằng S. Chứng minh. Ta có S i = b 0 + b 1 + ãããb i = a 0 + ããã+ a n i = S n i . Vậy, dãy các tổng riêng của chuỗi k=0 b k là dãy con của dãy các tổng riêng của chuỗi k=0 a k . Từ sự hội tụ một dãy suy ra sự hội tụ của các dãy con và chúng có cùng giá trị giới hạn với dãy đó , ta có điều phải chứmg minh. 2 Chuỗi d-ơng Trong phần ny ta xét các chuỗi m tất cả các số hạng đều d-ơng. 2.1 Chuỗi d-ơng Chuỗi n=1 a n đ-ợc gọi là chuỗi d-ơng nếu a n > 0, với mọi n. Rõ rng chuỗi d-ơng có dãy các tổng riêng {S n } đơn điệu tăng nên sẽ hội tụ nếu thỏa thêm điều kiện bị chặn trên. Định lý 4. Chuỗi d-ơng n=1 a n hội tụ khi và chỉ khi dãy các tổng riêng {S n } bị chặn trên. Từ đó suy ra chuỗi d-ơng n=1 a n phân kỳ khi v chỉ khi lim n S n =+. 5 2.2 Các dấu hiệu hội tụ của chuỗi d-ơng Định lý 5. (Tiêu chuẩn so sánh) Cho hai chuỗi d-ơng n=1 a n và n=1 b n . 1) Giả sử a n b n , n N. Khi đó a) Nếu n=1 b n hội tụ, thì n=1 a n hội tụ. b) Nếu n=1 a n phân kỳ, thì n=1 b n phân kỳ. 2) Giả sử lim n a n b n = K. Khi đó a) Nếu K<+, thì n=1 b n hội tụ suy ra n=1 a n hội tụ. b) Nếu K>0, thì n=1 b n phân kỳ suy ra n=1 a n phân kỳ. c) Nếu 0 <K<+, thì n=1 b n và n=1 a n hoặc cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. Chứng minh. 1) Từ giả thiết suy ra dãy các tổng riêng {S (a) n } v {S (b) n } của các chuỗi n=1 a n v n=1 b n cũng thỏa bất đẳng thức S (a) n S (b) n . Từ đó, nếu n=1 b n hội tụ, thì {S (b) n } bị chặn trên, kéo theo {S (a) n } cũng bị chặn trên. Do đó n=1 a n hội tụ. Tr-ờng hợp còn lại lý luận t-ơng tự. 2) Sử dụng 1). Ví dụ. 1) Xét sự hội tụ của chuỗi n=0 1 2 n + sin 2 n . Đây l chuỗi d-ơng. Ta có 1 2 n + sin 2 n 1 2 n , n N. So sánh với chuỗi hội tụ n=0 1 2 n , suy ra chuỗi đã cho hội tụ. 6 2) Xét sự hội tụ của chuỗi n=1 1 n + n .Tacó lim n a n b n = lim n 1 n + n 1 n =1 So sánh với chuỗi (phân kỳ, xem ví dụ tr-ớc) n=1 1 n suy ra chuỗi đã cho phân kỳ. Khi dùng tiêu chuẩn so sánh ta th-ờng so sánh với chuỗi n=1 1 n s , s R (đ-ợc gọi là chuỗi Dirichlet) m sự hội tụ của nó đ-ợc cho bởi: Mệnh đề 1. Chuỗi n=1 1 n s hội tụ khi và chỉ khi s>1. Định lý 6. (Dấu hiệu Cauchy) Giả sử a n là chuỗi d-ơng và lim n n a n = K. Khi đó 1) Nếu K<1, thì chuỗi a n hội tụ. 2) Nếu K>1, thì chuỗi a n phân kỳ. Chú ý rằng nếu K =1ta ch-a thể kết luận gì về sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi. Ví dụ. 1) Chuỗi n=1 2 n n 2 phân kỳ vì K = lim n n a n = lim n 2 n n 2 =2> 1. 2) Chuỗi n=1 (1 1/n) n 2 hội tụ vì c = lim n n a n = lim n (1 1/n) n = e 1 =1/e < 1. Định lý 7. (Dấu hiệu D Alembert) Giả sử a n là chuỗi d-ơng và lim n a n+1 a n = K. Khi đó 7 1) Nếu K<1, thì chuỗi a n hội tụ. 2) Nếu K>1, thì chuỗi a n phân kỳ. Cũng nh- dấu hiệu Cauchy, khi K =1ta ch-a có thông tin về sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi. Ví dụ. Chuỗi n=1 n! n n hội tụ vì ta có a n+1 = (n + 1)! (n +1) n+1 và d = lim n a n+1 a n = lim n n n +1 n = lim n 1 (1 + 1/n) n =1/e < 1. Định lý 8. (Dấu hiệu tích phân) Cho hm số f(x) > 0 v đơn điệu giảm trên [1, ). Đặt a n = f(n), khi đó n=1 a n v + 1 f(x)dx hoặc cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. Ví dụ. 1) Xét chuỗi n=2 1 n ln n . Các số hạng a n chính l f(n), với hm f(x)= 1 x ln x xét trên [2, +).Tacó + 2 1 x ln x dx = ln(ln x) + 2 = Vậy tích phân + 1 f(x)dx phân kỳ. Do đó chuỗi phân kỳ. 2) Xét chuỗi Dirichlet (xem mệnh đề 1) n=1 1 n s . Chuỗi ny hội tụ khi v chỉ khi + 1 1 x s dx hội tụ. Ta cú + 1 1 x s dx = ln x 1 nếu s =1 x 1s 1 s 1 nếu s =1 Từ đó suy ra chuỗi Dirichlet hội tụ khi s>1, phân kỳ khi s 1. [...]... biểu th c ny kh c 0) M1 (x) N2 (y) dx + dy = 0 M2 (x) N1 (y) Do đó tích phân tổng quát l M1 (x) dx + M2 (x) N2 (y) dy = C N1 (y) Ví dụ Giải ph-ơng trình x(1 + y 2 )dx + y(1 + x2)dy = 0 Chia hai vế cho (1 + x2)(1 + y 2 ) ta đ- c ydy xdx + = 0 1 + x2 1 + y 2 Tích phân hai vế ta đ- c xdx + 1 + x2 t c l ydy = C 1 + y2 1 1 1 ln(1 + x2) + ln(1 + y 2 ) = C := ln C1 2 2 2 Vậy tích phân tổng quát c a ph-ơng... Dirichlet, f (x) bằng tổng c a chuỗi Fourier c a nó tại những điểm liên t c 6 .2 Khai triển Fourier c a hm chẵn, hm lẻ Rõ rng, nếu f (x) l hm lẻ thì c c hệ số Fourier am = 0; trong khi nếu f (x) l hm chẵn thì c c hệ số Fourier bn = 0 Vì vậy, Chuỗi Fourier c a c c hm chẵn không chứa c c hm sin, trong khi chuỗi Fourier c a c c hm lẻ thì không chứa c c hm cosin 18 6.3 Khai triển Fourier c a hm tuần hon c ... ứng c a hm f (x) 21 II Ph-ơng trình vi phân 1 Khái niệm ph-ơng trình vi phân Trong rất nhiều lĩnh v c ứng dụng, chuyển động c a một hệ đ- c mô hình hóa bởi c c ph-ơng trình vi phân, t c l ph-ơng trình c chứa c c đạo hm c a ẩn hm c n tìm Chẳng hạn, trong c h c cổ điển (định luật Newton), trong thiên văn h c (sự chuyển động c a c c hnh tinh), trong hóa h c (c c phản ứng hoá h c) , trong sinh h c (sự... tụ, bằng c ch hoán vị c c số hạng c thể lm cho chuỗi mới ho c có tổng bằng một số cho tr- c bất kỳ ho c phân kỳ 4 Chuỗi hm Trong bi ny ta nghiên c u chuỗi m c c số hạng l c c hm số x c định trên tập D R no đó 4.1 Khái niệm chuỗi hm - Sự hội tụ v hội tụ đều Cho dãy hm số {un (x)} x c định trên tập D R Tổng hình th c: n=1 un (x) = u1(x) + ã ã ã + un (x) + ã ã ã (2) n=1 đ- c gọi là chuỗi hm x c định... = 0 Ph-ơng trình ny chấp nhận nghiệm u = 1 v u = 2 Để tìm nghiệm tổng quát ta chia 2 vế cho 2 3u + u2 : (1 + u)du d + =0 2 3u + u2 d 3 2 + du = 0 u2 u1 Tích phân 2 vế ta đ- c ln || + ln hay |u 2| 3 = ln C1 (u 1 )2 (u 2) 3 =C (u 1 )2 Trở lại biến x, y ban đầu ta c nghiệm tổng quát (y 2x)3 = C( y x 1 )2 , c ng vói hai nghiệm y = x + 1 v y = 2x t-ơng ứng với u = 1 v u = 2 2.3 Ph-ơng trình vi... + a2x2 + ã ã ã (3) n=0 ho c, một c ch tổng quát, chuỗi lũy thừa tại x0 c dạng: an (x x0)n = a0 + a1(x x0 ) + a2(x x0 )2 + ã ã ã (4) n=0 C c an đ- c gọi là c c hệ số Chuỗi (4) dễ dng đ-a về (3) bằng c ch đặt X := x x0 Tập c c điểm x m chuỗi lũy thừa (3) hội tụ đ- c gọi là miền hội tụ c a nó Miền hội tụ c a chuỗi lũy thừa luôn kh c rỗng (vì ít nhất, chuỗi lũy thừa hội tụ tại 0) Mệnh đề 3 Nếu chuỗi... tích phân hai vế c a (10) ta thu đ- c tích phân tổng quát c a nó l M(x)dx + N (y)dy = C 25 Ví dụ Giải ph-ơng trìnhy 2y = x(1 + x2) Ph-ơng trình ny c dạng tách biến y 2dy x(1 + x2 )dx = 0 Tích phân hai vế ta thu đ- c nghiệm tổng quát l: y 3 x2 x4 =C 3 2 4 Nhận xét Ph-ơng trình dạng M1 (x)N1 (y)dx + M2 (x)N2 (y) = 0 (11) c ng đ-a đ- c về dạng (10) với biến số phân ly, bằng c ch chia hai vế cho M2... q(x)e dx + C Thay vo (18), ta thu đ- c nghiệm tổng quát c a (15) l: p(x)dx p(x)dx dx + C y=e q(x)e (20 ) trong đó C l hằng số tùy ý Ví dụ Tìm nghiệm c a ph-ơng trình vi phân y + 3xy = x đi qua điểm (0, 4) p(x)dx = 3x2 /2 Do đó nghiệm tổng quát l Ta c p(x) = 3x nên y = e3x 2 /2 = e3x 2 /2 xe3x 2 /2 dx + C 1 3x2 /2 e +C 3 = 1 2 + Ce3x /2 3 Thay x = 0 v y = 4 vo đẳng th c trên, ta tìm đ- c C = c n tìm... = a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + ã ã ã n=0 Hệ quả 3 Tổng c a chuỗi lũy thừa là khả vi vô và chuỗi c c đạo hm c p m tùy ý c a nó c c ng bán kính hội tụ với chuỗi ban đầu an xn với bán kính Định lý 20 (Tích phân chuỗi lũy thừa) Cho chuỗi lũy thừa n=0 hội tụ R > 0 Khi đó chuỗi c c tích phân c ng c bán kính hội tụ R v c thể tích phân từng từ: x an t 0 n n=0 dt = n=0 an n+1 x n+1 xn c bán kính hội tụ l... theo c thể 4) Hm cos x: Với mỗi x R ta c : cos x = 1 x2 x4 x2n + ã ã ã + (1)n + ããã 2! 4! (2n)! 5) Hm sin x: Với mỗi x R ta c : sin x = x 6 x3 x5 x2n+1 + ã ã ã + (1)n + ããã 3! 5! (2n + 1)! Khai triển Fourier Trong phần ny ta xét khai triển hm số thnh chuỗi c c hm l-ợng gi c l loại chuỗi hm đ- c dùng nhiều trong c c bi toán vật lý kỹ thuật 6.1 Chuỗi l-ợng gi c Chuỗi hm c dạng sau đ- c gọi là chuỗi . 20 08 Z Mc lc I. Lý thuyết chuỗi 1. C c định nghĩa và ví dụ 1 1.1 Chuỗi số 1 1 .2 Tiêu chuẩn hội tụ 3 1.3 C c tính chất c a chuỗi 3 2. Chuỗi dơng 4 2. 1 Chuỗi dơng 4 2. 2 C c dấu hiệu. một chuỗi bán hội tụ, bằng c ch hoán vị c c số hạng c thể lm cho chuỗi mới ho c có tổng bằng một số cho tr- c bất kỳ ho c phân kỳ. 4 Chuỗi hm Trong bi ny ta nghiên c u chuỗi m c c số hạng l c c. tính c p 1 50 1.3 Phơng pháp đ c trng 51 2. Phơng trình đạo hàm riêng tuyến tính c p 2 52 2. 1 C c định nghĩa 52 2. 2 Phân loại phơng trình đạo hàm riêng tuyến tính c p 2 53 2. 3 Dạng chính