2. Giải một số ph−ơng trình vi phân cấp 1
3.3 Nghiệm của ph−ơng trình vi phân tuyến tính không thuần nhất
nhất
Ta l-u ý rằng, giống nh- các kết quả trong đại số tuyến tính, nghiệm của ph-ơng trình vi phân tuyến tính không thuần nhất có quan hệ chặt chẽ với nghiệm của ph-ơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất t-ơng ứng. Cụ thể, ta có thể kiểm tra dễ dàng các tính chất sau:
i) Hiệu hai nghiệm của ph-ơng trình vi phân tuyến tính không thuần nhất là một nghiệm của ph-ơng trình thuần nhất t-ơng ứng.
ii) Tổng của một nghiệm của ph-ơng trình không thuần nhất và một nghiệm của ph-ơng trình thuần nhất t-ơng ứng là nghiệm của ph-ơng trình không thuần nhất.
Hơn thế nữa, định lý sau mô tả cấu trúc nghiệm của ph-ơng trình không thuần nhất.
Định lý 9. Giả sử các hàm hệ số trong ph-ơng trình(29)liên tục trên(a, b). Khi
đó nghiệm tổng quát của ph-ơng trình vi phân tuyến tính không thuần nhất (29)
bằng tổng của một nghiệm riêng nào đó của nó và nghiệm tổng quát của ph-ơng trình thuần nhất t-ơng ứng.
Ví dụ. Cho ph-ơng trìnhy00+ 4y = 5ex. Dễ thấy cos 2x và sin 2x là hai nghiệm độc lập tuyến tính của ph-ơng trình thuần nhất t-ơng ứng y00+ 4y = 0. Một nghiệm riêng của ph-ơng trình đã cho là yr = ex. Do đó nghiệm tổng quát của ph-ơng trình đã cho là
y=C1cos 2x+C2sin 2x+ex,
trong đó C1, C2 là hai hằng sồ tùy ý.
Ph-ơng pháp biến thiên hằng số Lagrange tìm nghiệm riêng của ph-ơng trình không thuần nhất:
Giả sử nghiệm tổng quát của ph-ơng trình thuần nhất (30) là:
y=C1φ1(x) +C2φ2(x)
Ta xem C1, C2 nhu là các hàm theo x và tìm nghiệm riêng của ph-ơng trình không thuần nhất d-ới dạng:
yr =C1(x)φ1(x) +C2(x)φ2(x).
Ta có
y0r=C1(x)φ01(x) +C2(x)φ02(x) +C10(x)φ1(x) +C20(x)φ2(x).
Cho C0
1(x)φ1(x) +C0
2(x)φ2(x) = 0 và tiếp tục tính đạo hàm cấp hai rồi thay vào ph-ơng trình (29) ta đ-ợc:
C10(x)φ01(x) +C20(x)φ02(x) = f(x).
Vậy C10 vàC20 là nghiệm của hệ:
(
C0
1(x)φ1(x) +C0
2(x)φ2(x) = 0, C10(x)φ01(x) +C20(x)φ02(x) =f(x).
Hệ ph-ơng trình này có định thức khác không nên có nghiệm duy nhất C0
1 và
C20. Từ đó , bằng cách tích phân ta có thể tìm C1(x) và C2(x). Ví dụ. Tìm một nghiệm riêng của ph-ơng trình
y00+y = 1 sinx.
Ph-ơng trình thuần nhất t-ơng ứng y00 +y = 0 có nghiệm tổng quát là y =
C1cosx+C2sinx. Nghiệm riêng có dạng
trong đó C10, C20 thỏa hệ ph-ơng trình ( C10cosx+C20sinx= 0, −C0 1sinx+C0 2cosx= 1 sinx. Từ đó, C10 = −1 và C20 = cosx sinx = (ln|sinx|) 0
. Vậy một nghiệm riêng thu đ-ợc là
yr=−xcosx+ ln|sinx|.sinx.
Khi đó nghiệm tổng quát của ph-ơng trình đã cho là:
y=C1cosx+C2sinx+−xcosx+ ln|sinx|.sinx
3.4 Ph-ơng trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng
Trong tiểu mục này ta xét tr-ờng hợp các hàm hệ số p(x)và q(x)là các hằng số thực:
y00+py0+qy =f(x) (32)
y00+py0+qy = 0 (33) Các tính chất và định lý trong mục tr-ớc đ-ợc vận dụng trong tr-ờng hợp nàỵ Ta nhấn mạnh rằng trong tr-ờng hợp này, nghiệm tổng quát của ph-ơng trình thuần nhất (33) luôn luôn thiết lập đ-ợc. Thật vậy, ta tìm nghiệm d-ới dạng
y=eλx
Thay vào ph-ơng trình thủn nh?t (33) ta đ-ợc:
λ2+pλ+q= 0. (34) Đây là ph-ơng trình bậc hai, đ-ợc gọi là ph-ơng trình đặc tr-ng của ph-ơng trình (33). Ta xét ∆ =p2−4q với các tr-ờng hợp sau:
∆>0: Ph-ơng trình đặc tr-ng có 2 nghiệm thực phân biệt λ1 và λ2. Khi đó ph-ơng trình vi phân (33) có hệ nghiệm độc lập tuyến tính là {eλ1x, eλ2x}. Do đó nghiệm tổng quát là:
y =C1eλ1x
+C2eλ2x
∆ = 0: Ph-ơng trình đặc tr-ng có nghiệm (thực) kép λ0. Khi đó, ph-ơng trình vi phân (33) có hệ nghiệm độc lập tuyến tính là {eλ0x, xeλ0x}. Do đó nghiệm tổng quát là:
y= [C1 +C2x]eλ0x
∆<0: Ph-ơng trình đặc tr-ng cú 2 nghiệm phức liên hợp α±iβ. Khi đó, tách phần thực và phần ảo ta thấy ph-ơng trình vi phân (33) có hệ nghiệm độc lập tuyến tính là {cosβxeα,sinβxαx}. Do đó nghiệm tổng quát là:
y = [C1cosβx+C2sinβx]eαx.
Ví dụ.
• Ph-ơng trình y00+y = 0 có ph-ơng trình đặc tr-ng λ2 + 1 = 0. Ph-ơng trình này có 2 nghiệm phức ±i. Do đó nghiệm tổng quát là
y=C1cosx+C2sinx.
• Ph-ơng trình y00+y0−6y= 0 có ph-ơng trình đặc tr-ng λ2+λ−6 = 0. Ph-ơng trình này có hai nghiệm thực là 2 và−3. Do đó nghiệm tổng quát là:
y =C1e2x+C2e−3x.
• Ph-ơng trình y00+ 4y0+ 4y= 0 có ph-ơng trình đặc tr-ngλ2+ 4λ+ 4 = 0. Ph-ơng trình này có nghiệm kép là −2. Do đó nghiệm tổng quát là:
y= [C1+C2x]e−2x.
Ph-ơng pháp hệ số bất định tìm nghiệm riêng của ph-ơng trình không thuần nhất: Trong tr-ờng hợp ph-ơng trình vi phân tuyến tính hệ số hằng không thuần nhất mà f(x) có dạng đặc biệt ta có thể xác định dạng của nghiệm riêng. Từ đó có thể tìm đ-ợc chính xác nghiệm riêng nàỵ
Tr-ờng hợp 1: f(x) =eaxP(x) , với P(x) là đa thức bậc n nào đó.
• Nếu a không là nghiệm của ph-ơng trình đặc tr-ng (34) thì:
yr =eaxQ(x),
vớiQ(x) là một đa thức cùng bậc với P(x).
• Nếu a là nghiệm bộik của ph-ơng trình đặc tr-ng (34) thì:
yr =xkeaxQ(x),
Tr-ờng hợp 2: f(x) = eax[P1(x) cosbx+P2(x) sinbx], với P1(x) và P2(x) là hai đa thức bậc nào đó.
• Nếu a+ibkhông là nghiệm của ph-ơng trình đặc tr-ng (34) thì:
yr=eax[Q1(x) cosbx+Q2(x) sinbx],
với Q1(x), Q2(x) là các đa thức có bậc bằng bậc lớn nhất của P1(x)
và P2(x).
• Nếu a+iblà nghiệm phức của ph-ơng trình đặc tr-ng (34) thì:
yr =xeax[Q1(x) cosbx+Q2(x) sinbx]
vớiQ1(x), Q2(x)nh- trên.
Ví dụ. Tìm nghiệm riêng của ph-ơng trình
y00−3y0+ 2y= (3−4x)ex
Ph-ơng trình đặc tr-ng là
λ2−3λ+ 2 = 0
có hai nghiệm là λ1 = 1 và λ2 = 2, trong đó α = 1 là nghiệm đơn của nó nên nghiệm riêng có dạng
yr=xex(Ax+B).
Thay vào ph-ơng trình đã cho và cân bằng các hệ số ta thu đ-ợc
−2A= 4,
2A−B = 1,
Giải ra ta đ-ợc A = 2 vàB = 1, khi đó nghiệm riêng làyr =xex(2x+ 1). Cuối cùng, nghiệm tổng quát của ph-ơng trình đã cho lày=C1ex+C2e2x+xex(2x+1).
Ví dụ. Tìm nghiệm tổng quát của ph-ơng trình y00+y = 4xsinx. Ph-ơng trình đặc tr-ng có nghiệm là ±i vàa+ib=i. Khi đó nghiệm riêng có dạng:
yr =x[(Ax+B) cosx+ (Cx+D) sinx].
Thay vào ph-ơng trình đã cho và cân bằng các hệ số ta đ-ợc
−2A= 2 C−B = 0 D+A= 0 2C = 0 ⇔ A=−1 B = 0 C = 0 D = 1.
Vì thế, nghiệm riêng là yr =x(−xcosx+ sinx)và nghiệm tổng quát của ph-ơng trình đã cho là
4 Hệ ph-ơng trình vi phân
4.1 Các khái niệm
Hệ ph-ơng trình vi phân cấp I hai ầny1(x), y2(x) tổng quát có dạng
F1(x, y1, y2, y0 1, y0 2) = 0 F2(x, y1, y2, y0 1, y0 2) = 0,
hoặc dạng chính tắc (đã giải ra đối với đạo hàm):
y10 =f1(x, y1, y2)
y0
2 =f2(x, y1, y2). (35)
Mỗi ph-ơng trình vi phân cấp hai:
y00 =f(x, y, y0)
đều có thể viết thành một hệ bậc nhất bằng cách đặt y=y1, y0=y2:
y10 =y2
y20 =f(x, y1, y2).
Ng-ợc lại, mỗi hệ ph-ơng trình vi phân cấp I hai ẩn đều có thể đ-a về ph-ơng trình vi phân cấp IỊ Từ đó, ta có thể giải hệ ph-ơng trình bằng cách đ-a về giải ph-ơng trình vi phân cấp IỊ Ví dụ. Giải hệ sau
dx dt =y,
dy dt =x.
Đạo hàm hai vế của ph-ơng trình đầu rồi kết hợp với ph-ơng trình sau ta đ-ợc ph-ơng trình d2x dt2 −x= 0. Từ đó nghiệm tổng quát là x=x(t) =C1e−t+C2et. Từ ph-ơng trình thứ nhất ta tính đ-ợc y=y(t) = −C1e−t+C2et.
Nhận xét. Hệ ph-ơng trình vi phân gồm hai ẩn nói chung có nghiệm phụ thuộc vào hai hằng số tùy ý. Nghiệm nh- thế ta cũng gọi là nghiệm tổng quát. Nghiệm suy
ra từ nghiệm tổng quát với các giá trị cụ thể của tham số đ-ợc gọi là nghiệm riêng. Bài toán Cauchy cho hệ ph-ơng trình (35) phát biểu nh- sau: Tìm nghiệm của hệ (35) thỏa điều kiện:
y1(x0) =ξ1, y2(x0) =ξ2.
Với một số giả thiết thích hợp, chẳng hạn các hàm f1, f2 trong (35) liên tục cùng với các đạo hàm riêng của chúng theo y1, y2 trong miền chứa (x0, ξ1, ξ2) thì bài toán Cauchy có nghiệm duy nhất.
4.2 Hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính cấp I hệ số hằng
Xem t là biến số độc lập, hệ tuyến tính hai ẩn hệ số hằng là hệ có dạng:
x0 =ax+by+g1(t)
y0 =cx+dy+g2(t)
Nếu các hàmg1 vàg2 đều bằng không thì ta gọi là hệ thuần nhất. Cấu trúc nghiệm của hệ thuần nhất và không thuuần nhất t-ơng tự nh- trong mục tr-ớc hoặc có thể thiết lập bằng cách đ-a về ph-ơng trình vi phân cấp IỊ
Ta tìm nghiệm của hệ thuần nhất d-ới dạng hàm mũ
x y = v1 v2 eλt.
Khi đó λ và v= (v1, v2) chính là giá trị riêng và vector riêng t-ơng úng của ma trận A = a b c d. Hai nghiệm φ1(t) = φ11(t) φ21(t) và φ2(t) = φ12(t) φ22(t)
của hệ thuần nhất đ-ợc gọi là độc lập tuyến tính trên t ∈(a, b) nếu ma trận(φij)không suy biến.
Định lý 10. Nếu φ1(t) và φ2(t) là hai nghiệm độc lập tuyến tính của hệ thuần nhất thì nghiệm tổng quát của hệ là
x y
Cuối cùng để có nghiệm tổng quát của hệ không thuần nhất, ta lấy một nghiệm riêng nào đó của nó cộng với nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất t-ơng ứng.
Ví dụ. Giải hệ dx dt =−x−2y dy dt = 3x+ 4ỵ
Đây là hệ thuần nhất với ma trận A= −1 −2 3 4 . Ph-ơng trình đặc tr-ng −1−λ −2 3 4−λ =λ2−3λ+ 2 = 0 có các nghiệm là λ1 = 1, λ2 = 2. ứng vớiλ1 = 1 ta có hệ −2γ1−2γ2 = 0 3γ1+ 3γ2 = 0. Chọn nghiệm γ1 = 1, γ2 =−1 ta đ-ợc một nghiệm x1 =et, y1 =−et.
T-ơng tự, với λ2 = 2 ta cũng tìm đ-ợc nghiệm
x2 =e2t, y2 =−3 2e
2t
.
Vậy nghiệm tổng quát là
( x=C1et+C2e2t y =−C1et− 3 2C2e 2t, trong đó C1, C2 là các hằng số tuỳ ý.
IIỊ Ph-ơng trình đạo hàm riêng
1 Ph-ơng trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp một 1.1 Khái niệm ph-ơng trình đạo hàm riêng
Định nghĩa 1. Ph-ơng trình đạo hàm riêng là ph-ơng trình mà ẩn cần tìm là
một hàm nhiều biến và nhất thiết phải có sự hiện diện của đạo hàm riêng của ẩn trong ph-ơng trình.
Ví dụ. Các ph-ơng trình sau đây là ph-ơng trình đạo hàm riêng
∂2u ∂x∂y =x−ỵ ∂2u ∂x2 + ∂ 2 u ∂y2 =f(x, y). x∂u ∂y +y ∂u ∂x 2 = 0.
• Dạng tổng quát của ph-ơng trình đạo hàm riêng là
F(x, y, . . . , u, ux, uy, . . .) = 0, (1) trong đó x, y, . . . là các biến độc lập vàulà hàm của các biến này và là ần hàm cần tìm.
• Ta gọi nghiệm của ph-ơng trình đạo hàm riêng (1) là tất cả các hàm u mà thỏa mãn đẳng thức nàỵ Chẳng hạn, ph-ơng trình đầu tiên trong ví dụ trên có nghiệm là u(x, y) = 1 2(x 2 y−xy2). Dĩ nhiên nó cũng có nghiệm là u(x, y) = 1 2(x 2 y−xy2) +f(x) +g(y),
• Nghiệm phụ thuộc vào các hàm tùy ý đ-ợc gọi là nghiệm tổng quát của ph-ơng trình đạo hàm riêng. Nghiệm riênglà nghiệm nhận đ-ợc từ nghiệm tổng quát với các biểu thức cụ thể của các hàm tùy ý. Nghiệm kỳ dị là nghiệm mà không chứa trong nghiệm tổng quát.
• Ta gọi cấp của ph-ơng trình đạo hàm riêng là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong ph-ơng trình đó. Trong các ví dụ trên, cấp của ph-ơng trình thứ ba là một, trong khi các ph-ơng trình còn lại cấp haị
• Ta nói ph-ơng trình đạo hàm riêng (1) là tuyến tính nếu F là tuyến tính theo ẩn hàm và các đạo hàm riêng của ẩn hàm. Trong ví dụ trên, ph-ơng trình thứ ba không tuyến tính, trong khi các ph-ơng trình còn lại là tuyến tính.
1.2 Ph-ơng trình đạo hàm riêng tuyến tính câp I
• Dạng tổng quát của ph-ơng trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp I là:
a(x, y)ux+b(x, y)uy =c0(x, y)u+c1(x, y), (2) trong đó các hàm hệ số xác định trên miền D nào đó.
• Tổng quát hơn, nếu sự phụ thuộc vào u là phi tuyến, ta có dạng tổng quát của ph-ơng trình tựa tuyến tính:
a(x, y, u)ux+b(x, y, u)uy=c(x, y, u). (3)
Ví dụ. Xét ph-ơng trình
ux=ku+d(x, y),
với k là một hằng số. Nếu xem y là tham số, ta có thể xét ph-ơng trình trên nh- là ph-ơng trình vi phân th-ờng theo x. Nghiệm tổng quát khi đó có dạng:
u(x, y) =ekx C(y) + Z e−kxd(x, y)dx .
Ta có thể xét bài toán giá trị ban đầu với điều kiện ban đầu:
u(0, y) =f(y).
Khi đó nghiệm riêng có dạng:
u(x, y) =ekx f(y) + Z x 0 e−ksd(s, y)ds .
Nhận xét. Nghiệm của ph-ơng trình đạo hàm riêng tùy vào điều kiện ban đầu có thể không tồn tại hoặc nếu tồn tại có thể không duy nhất. Chẳng hạn, xét ph-ơng trình trên khi d≡0 với điều kiện ban đầu:
u(x,0) =x.
Nghiệm cần tìm có dạng u(x, y) =ekxC(y). Từ đó
C(0) =xe−kx.
Điều này không thể vì vế trái là hằng số trong khi vế phải là hàm khác hằng số. Nếu điều kiện ban đầu là:
u(x,0) =ekx,
thì C(0) = 1. Ta thấy có vô số hàmC(y) thỏa điều kiện nàỵ Nói cách khác, bài toán với điều kiện ban đầu nhu vậy có vô số nghiệm.
1.3 Phuong pháp đặc tr-ng
Xét ph-ơng trình tựa tuyến tính (3), giả sử u = u(x, y) là một nghiệm của nó. Khi đó ta gọi mặt S trong không gianOxyu cho bởi ph-ơng trình:
F(x, y, u) :=u(x, y)−u= 0
là mặt tích phâncủa ph-ơng trình (3). Ta có vector gradient của F là∇F = [u0
x, u0
y,−1]trực giao với vector (a, b, c)vì:
h∇F,(a, b, c)i=aux0 +bu0y−c= 0.
Vì vậy vector (a, b, c) phải nằm trong mặt phẳng tiếp xúc với mặt S tại những điểm (x, y, u) mà vector gradient ∇F 6= 0.
H-ớng của vector(a, b, c)đ-ợc gọi là h-ớng đặc tr-ng, chúng tạo nên một tr-ờng các h-ớng trên mặt S và có thể mô tả họ đ-ờng cong xác định bởi chúng nh- sau: Giả sử tham số hóa đ-ờng cong là
Γ :x=x(s), y=y(s), u=u(s).
Khi đó, x(s), y(s) vàu(s) phải thỏa hệ ph-ơng trình vi phân:
dx dt =a(x, y, u), dy dt =b(x, y, u), du dt =c(x, y, u). (4)
Các đ-ờng cong cho bởi hệ ph-ơng trình (4) đ-ợc gọi là đ-ờng cong đặc tr-ng. Để xác định một đ-ờng cong đặc tr-ng nào đó ta cần điều kiện ban đầu(x0, y0, u0)
và ta gọi đó là đ-ờng cong đặc tr-ng ban đầụ
Vì mỗi đ-ờng cong đặc tr-ng (x(t), y(t), u(t)) di qua các điểm khác nhau của đ-ờng cong ban đầu Γ(s), nên ta sẽ viết x=x(t, s), y=y(t, s), u=u(t, s). Khi