2. Giải một số ph−ơng trình vi phân cấp 1
2.5 Ph−ơng trình Bernoully
Ph-ơng trình có dạng
y0+p(x)y=q(x)yα, (21) trong đó α là số thực nào đó, đ-ợc gọi là ph-ơng trình Bernoully.1
Để giải ph-ơng trình này ta đ-a về giải ph-ơng trình tuyến tính (15) đã xét trong mục tr-ớc. Rõ ràng vớiα = 0 hay α= 1 thì (21) đã cú dạng ph-ơng trình tuyến tính.
Nếu α6= 0 vàα6= 1, thì đặt
z =y1−α.
Khi đó
z0= (1−α)y−αy0
Chia hai vế của (21) cho yα, rồi thay biểu thức của z và z0 vào đẳng thức đó ta đ-ợc ph-ơng trình vi phân tuyến tính theo z:
z0+ (1−α)p(x)z = (1−α)q(x). (22)
Nhận xét. Chú ý rằng ta phải xét riêng tr-ờng hợp y = 0 tr-ớc khi chia hai vế cho yα để tránh làm mất nghiệm nàỵ
Ví dụ. Giải ph-ơng trìnhxy0−4y=x2√
y. Rõ ràng đây là ph-ơng trình Bernoully vớiα= 1/2 vày = 0 là một nghiệm của ph-ơng trình đã chọ Giả sửy6= 0, chia hai vế cho xy1/2 ta đ-ợc y−1/2y0− 4 xy 1 2 =x. Đặt z =y 1 2 ta có z0 = 1 2y −1/2
y0. Khi đó, ph-ơng trình đã cho trở thành ph-ơng trình vi phân tuyến tính không thuần nhất
z0− 2
xz = x
2.
Giải ph-ơng trình này, ta tìm đ-ợc nghiệm
z =x2 1 2ln|x|+C .
Do đó ph-ơng trình đã cho có nghiệm tổng quát là y=x4 1 2ln|x|+C 2 và nghiệm y= 0. 2.6 Ph-ơng trình Clairaut
Ph-ơng trình Clairaut2 là lớp các ph-ơng trình vi phân dạng:
y=xy0+f(y0), (23) trong đó, nói chung, f là một hàm phi tuyến.
Cách giải: Đặt p=y0. Khi đó
y =px+f(p).
Vi phân hai vế đẳng thức này, với chú ý rằng dy=pdx ta đ-ợc
pdx=pdx+ (x+f0(p))dp,
hay (x+f0(p))dp= 0.
Từ đó ta suy ra dp= 0 hay x+f0(p) = 0.
Nếu dp= 0 thì p=C, thay vào (23) ta đ-ợc nghiệm tổng quát
y=Cx+f(C). (24) Đây là một họ đ-ờng thẳng.
Nếux+f0(p) = 0, cùng với (23), ta thu đ-ợc một nghiệm cho d-ới dạng tham số
x=−f0(p),
y=−pf0(p) +f(p).
Ng-ời ta chứng minh đ-ợc rằng nếuf00(p)liên tũc và khác không thì nghiệm cho d-ới dạng tham số là bao hình của họ đ-ờng thẳng (24).
Ví dụ. Xét ph-ơng trình y = (x−1)y0−y02
. Đây là ph-ơng trình Clairaut với
f(t) =−t2−t. Thay thế y0 bởiC ta đ-ợc nghiệm tổng quát là họ đ-ờng thẳng
y=C(x−1)−C2.
Để tìm nghiệm kỳ dị, tức là bao hình của họ đ-ờng thẳng trên ta xét hệ
x = 2C+ 1,
y =C(x−1)−C2.
Khử C từ hệ ph-ơng trình này ta đ-ợc bao hình là parabol y= (x−1)
2
4 .
2.7 Ph-ơng trình Lagrange
Ph-ơng trình vi phân cấp I tuyến tính đối với x vày dạng:
y=ϕ(y0)x+ψ(y0), (25) đ-ợc gọi là ph-ơng trình Lagrange3.
Cách giải: Giả sử ϕ(y0) 6= y0, nếu không ph-ơng trình đã cho là ph-ơng trình Clairaut mà ta đã xét trên đâỵ Cũng t-ơng tự nh- tr-ờng hợp ph-ơng trình Clairaut, ta đặt p=y0. Khi đó ph-ơng trình (25) trở thành
y=ϕ(p)x+ψ(p). (26) Vi phân hai vế theo x ta đ-ợc
p= dy
dx =ϕ(p) + [ϕ
0
(p)x+ψ0(p)]dp
dx
Xem p là biến số độc lập ta có ph-ơng trình tuyến tính mà ẩn là x = x(p) nh- sau: dx dp + ϕ0(p) ϕ(p)−px= ϕ0(p) p−ϕ(p).
Tích phân ph-ơng trình tuyến tính này theo ph-ơng pháp đã biết ta đ-ợc nghiệm tổng quát x=h(p, C), vớiC là tham số tùy ý.
Kết hợp với (26) ta có nghiệm tổng quát của (25) cho d-ới dạng tham số (tham số hóa theo tham số p):
y=ϕ(p)h(p, C) +ψ(p), x=h(p, C).
Nhận xét. Chú ý rằng ứng với các giá trị của tham số p = pi (trong đó pi là nghiệm của ph-ơng trìnhϕ(p)−p= 0) ta cũng nhận đ-ợc các nghiệm của ph-ơng
trình (25). Tùy theo từng tr-ờng hợp nghiệm này có thể là nghiệm kỳ dị hoặc không.
Ví dụ. Giải ph-ơng trình y=xy02
−y0. Đặ t p=y0, khi đó
y=xp2−p.
Vi phân hai vế của đẳng thức này theo x với chú ý dy=pdx, sau khi thu gọn ta đ-ợc (p2−p)dx+ (2px−1)dp= 0. Giả sử p2−p6= 0 ta có dx dp + 2 p−1x= 1 p(p−1).
Giải ph-ơng trình này ta đ-ợc:
x= C+p−lnp (p−1)2
Thay vào biểu thức của y ta đ-ợc nghiệm tổng quát dạng tham số:
x= C+p−lnp (p−1)2 y= (C+p−lnp)p 2 (p−1)2 −p.
Các nghiệm ứng với p= 0 và p= 1 là y= 0 vày=x−1t-ơng ứng.
3 Ph-ơng trình vi phân tuyến tính cấp hai
3.1 Khái niệm ph-ơng trình vi phân cấp hai
Dạng tổng quát của ph-ơng trình vi phân cấp II là
F(x, y, y0, y00) = 0. (27) Dạng đã giải ra đối với đạo hàm cấp hai:
y00=f(x, y, y0). (28) Bài toán Cauchy cho ph-ơng trình (28) đ-ợc phát biểu nhu sau: Tìm nghiệm của ph-ơng trình (28) thỏa điều kiện:
Định lý 3. Nếu trong miền G 3 (x0, y0, y00) hàm số f(x, y, y0) liên tục cùng với các đạo hàm riêng f0
y, f0
y0 thì bài toán Cauchy có một nghiệm duy nhất.
Ta hiểu nghiệm tổng quát của ph-ơng trình vi phân cấp hai là nghiệm chứa2hằng số C1 và C2 tùy ý. Chẳng hạn ph-ơng trình y00+y = 0 có nghiệm tổng quát là
y =C1cosx+C2sinx.
Nghiệm riêng của ph-ơng trình vi phân là nghiệm suy từ nghiệm tổng quát ứng với các giá trị cụ thể của hằng số.
3.2 Nghiệm của ph-ơng trình vi phân tuyến tính cấp hai
Ta gọi ph-ơng trình vi phân tuyến tính cấp hai là ph-ơng trình có dạng:
y00+p(x)y0+q(x)y=f(x), (29) trong đó p(x), q(x) và f(x) là các hàm liên tục trên khoảng (a, b) nào đó. Nếu
f(x)≡0
y00+p(x)y0+q(x)y= 0, (30) ta gọi là ph-ơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất:
Định lý 4. Nếuφ1(x)vàφ2(x)là hai nghiệm của ph-ơng trình (30) thìC1φ1(x)+
C2φ2(x) cũng là nghiệm của ph-ơng trình (30). Nói cách khác, tập nghiệm của ph-ơng trình (30) có cấu trúc không gian vector.
Chứng minh. Kiểm tra trực tiếp. 2
Hệ nghiệm cơ bản:
Hai hàm φ1(x) vàφ2(x)đ-ợc gọi là độc lập tuyến tính trên (a, b)nếu:
α1φ1(x) +α2φ2(x) = 0,∀x∈(a, b) =⇒α1 = 0 vàα2 = 0.
Ng-ợc lại, nếu hai hàm không độc lập tuyến tính thì ta nói phụ thuộc tuyến tính. Vậy φ1(x) và φ2(x) phụ thuộc tuyến tính trên (a, b) khi và chỉ khi tỉ số φ1
φ2 là
hằng số trên (a, b).
Ví dụ. Hệ hàm {cosx,sinx}độc lập tuyến tính trên R.
Định thức Wronski: Cho hai hàm khả vi φ1(x) và φ2(x), ta gọi định thức sau đây là định thức Wronski của φ1(x)và φ2(x):
W[φ1, φ2](x) = φ1φ01 φ2φ02 (31)
Định lý 5. Nếu hai hàm khả vi φ1(x) và φ2(x) phụ thuộc tuyến tính trên (a, b)
thì
W[φ1, φ2](x)≡0, trên (a, b).
Nhu vậy, nếu định thức Wronski của hai hàm khác không tại x0 ∈ (a, b) thì chúng độc lập tuyến tính trên khoảng nàỵ
Định lý 6. Giả sử W(x) là định thức Wronski của hai nghiệm φ1(x) và φ2(x)
của ph-ơng trình (30). Khi đó
W(x) =W(x0)e − Z x x0 p(x)dx , v?i x0 ∈(a, b). Chứng minh. Dành cho bạn đọc. 2
Hệ gồm hai nghiệm độc lập tuyến tính của ph-ơng trình (30) đ-ợc gọi là hệ nghiệm cơ bản của ph-ơng trình đó.
Định lý 7. Giả sử φ1(x) và φ2(x) là hai nghiệm của ph-ơng trình (30) với các hệ số liên tục trên (a, b). Khi đó
{φ1(x), φ2(x)}là hệ nghiệm cơ bản ⇔W(x)6= 0, với mỗi x∈(a, b).
Định lý 8. Giả sử {φ1(x), φ2(x)}là hệ nghiệm cơ bản của ph-ơng trình (30) với các hệ số liên tục trên (a, b). Khi đó, nghiệm tổng quát của ph-ơng trình (30) là:
y=C1φ1(x) +C2φ2(x).
Ví dụ. Ph-ơng trình y00+y = 0 cú hai nghiệm φ1 = cosx, φ2 = sinx. Hai nghiệm này độc lập tuyến tính trênR. Do vậy nghiệm tổng quát của ph-ơng trình đã cho là:
y=C1cosx+C2sinx.
T-ơng tự, ph-ơng trình y00−y= 0có hai nghiệm φ1 =ex, φ2 =e−x. Hai nghiệm này độc lập tuyến tính trênR. Do vậy nghiệm tổng quát của ph-ơng trình đã cho là:
y=C1ex+C2e−x.
Mệnh đề 1. Nếu φ1 6= 0 là một nghiệm của ph-ơng trình (30) thì một nghiệm độc lập tuyến tính với nó cho bởi:
φ2 =φ1 Z e − Z p(x)dx φ2 1 dx.
Ví dụ. Tìm nghiệm tổng quát của ph-ơng trình
2x2y00+ 3xy0−y= 0
trên (0,+∞) biết nó có một nghiệm là φ1(x) = 1/x.
Theo công thức trên, nghiệm độc lập tuyến tính với φ1 cho bởi
φ2(x) = 1 x Z x2e − Z 3 2xdxdx.
Tính toán tích phân, ta thu đ-ợc
y2(x) = 2/3x1/2.
Vậy nghiệm tổng quát của ph-ơng trình đã cho trên (0,+∞) là
y(x) = C1
x +C2
√
x.
3.3 Nghiệm của ph-ơng trình vi phân tuyến tính không thuầnnhất nhất
Ta l-u ý rằng, giống nh- các kết quả trong đại số tuyến tính, nghiệm của ph-ơng trình vi phân tuyến tính không thuần nhất có quan hệ chặt chẽ với nghiệm của ph-ơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất t-ơng ứng. Cụ thể, ta có thể kiểm tra dễ dàng các tính chất sau:
i) Hiệu hai nghiệm của ph-ơng trình vi phân tuyến tính không thuần nhất là một nghiệm của ph-ơng trình thuần nhất t-ơng ứng.
ii) Tổng của một nghiệm của ph-ơng trình không thuần nhất và một nghiệm của ph-ơng trình thuần nhất t-ơng ứng là nghiệm của ph-ơng trình không thuần nhất.
Hơn thế nữa, định lý sau mô tả cấu trúc nghiệm của ph-ơng trình không thuần nhất.
Định lý 9. Giả sử các hàm hệ số trong ph-ơng trình(29)liên tục trên(a, b). Khi
đó nghiệm tổng quát của ph-ơng trình vi phân tuyến tính không thuần nhất (29)
bằng tổng của một nghiệm riêng nào đó của nó và nghiệm tổng quát của ph-ơng trình thuần nhất t-ơng ứng.
Ví dụ. Cho ph-ơng trìnhy00+ 4y = 5ex. Dễ thấy cos 2x và sin 2x là hai nghiệm độc lập tuyến tính của ph-ơng trình thuần nhất t-ơng ứng y00+ 4y = 0. Một nghiệm riêng của ph-ơng trình đã cho là yr = ex. Do đó nghiệm tổng quát của ph-ơng trình đã cho là
y=C1cos 2x+C2sin 2x+ex,
trong đó C1, C2 là hai hằng sồ tùy ý.
Ph-ơng pháp biến thiên hằng số Lagrange tìm nghiệm riêng của ph-ơng trình không thuần nhất:
Giả sử nghiệm tổng quát của ph-ơng trình thuần nhất (30) là:
y=C1φ1(x) +C2φ2(x)
Ta xem C1, C2 nhu là các hàm theo x và tìm nghiệm riêng của ph-ơng trình không thuần nhất d-ới dạng:
yr =C1(x)φ1(x) +C2(x)φ2(x).
Ta có
y0r=C1(x)φ01(x) +C2(x)φ02(x) +C10(x)φ1(x) +C20(x)φ2(x).
Cho C0
1(x)φ1(x) +C0
2(x)φ2(x) = 0 và tiếp tục tính đạo hàm cấp hai rồi thay vào ph-ơng trình (29) ta đ-ợc:
C10(x)φ01(x) +C20(x)φ02(x) = f(x).
Vậy C10 vàC20 là nghiệm của hệ:
(
C0
1(x)φ1(x) +C0
2(x)φ2(x) = 0, C10(x)φ01(x) +C20(x)φ02(x) =f(x).
Hệ ph-ơng trình này có định thức khác không nên có nghiệm duy nhất C0
1 và
C20. Từ đó , bằng cách tích phân ta có thể tìm C1(x) và C2(x). Ví dụ. Tìm một nghiệm riêng của ph-ơng trình
y00+y = 1 sinx.
Ph-ơng trình thuần nhất t-ơng ứng y00 +y = 0 có nghiệm tổng quát là y =
C1cosx+C2sinx. Nghiệm riêng có dạng
trong đó C10, C20 thỏa hệ ph-ơng trình ( C10cosx+C20sinx= 0, −C0 1sinx+C0 2cosx= 1 sinx. Từ đó, C10 = −1 và C20 = cosx sinx = (ln|sinx|) 0
. Vậy một nghiệm riêng thu đ-ợc là
yr=−xcosx+ ln|sinx|.sinx.
Khi đó nghiệm tổng quát của ph-ơng trình đã cho là:
y=C1cosx+C2sinx+−xcosx+ ln|sinx|.sinx
3.4 Ph-ơng trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng
Trong tiểu mục này ta xét tr-ờng hợp các hàm hệ số p(x)và q(x)là các hằng số thực:
y00+py0+qy =f(x) (32)
y00+py0+qy = 0 (33) Các tính chất và định lý trong mục tr-ớc đ-ợc vận dụng trong tr-ờng hợp nàỵ Ta nhấn mạnh rằng trong tr-ờng hợp này, nghiệm tổng quát của ph-ơng trình thuần nhất (33) luôn luôn thiết lập đ-ợc. Thật vậy, ta tìm nghiệm d-ới dạng
y=eλx
Thay vào ph-ơng trình thủn nh?t (33) ta đ-ợc:
λ2+pλ+q= 0. (34) Đây là ph-ơng trình bậc hai, đ-ợc gọi là ph-ơng trình đặc tr-ng của ph-ơng trình (33). Ta xét ∆ =p2−4q với các tr-ờng hợp sau:
∆>0: Ph-ơng trình đặc tr-ng có 2 nghiệm thực phân biệt λ1 và λ2. Khi đó ph-ơng trình vi phân (33) có hệ nghiệm độc lập tuyến tính là {eλ1x, eλ2x}. Do đó nghiệm tổng quát là:
y =C1eλ1x
+C2eλ2x
∆ = 0: Ph-ơng trình đặc tr-ng có nghiệm (thực) kép λ0. Khi đó, ph-ơng trình vi phân (33) có hệ nghiệm độc lập tuyến tính là {eλ0x, xeλ0x}. Do đó nghiệm tổng quát là:
y= [C1 +C2x]eλ0x
∆<0: Ph-ơng trình đặc tr-ng cú 2 nghiệm phức liên hợp α±iβ. Khi đó, tách phần thực và phần ảo ta thấy ph-ơng trình vi phân (33) có hệ nghiệm độc lập tuyến tính là {cosβxeα,sinβxαx}. Do đó nghiệm tổng quát là:
y = [C1cosβx+C2sinβx]eαx.
Ví dụ.
• Ph-ơng trình y00+y = 0 có ph-ơng trình đặc tr-ng λ2 + 1 = 0. Ph-ơng trình này có 2 nghiệm phức ±i. Do đó nghiệm tổng quát là
y=C1cosx+C2sinx.
• Ph-ơng trình y00+y0−6y= 0 có ph-ơng trình đặc tr-ng λ2+λ−6 = 0. Ph-ơng trình này có hai nghiệm thực là 2 và−3. Do đó nghiệm tổng quát là:
y =C1e2x+C2e−3x.
• Ph-ơng trình y00+ 4y0+ 4y= 0 có ph-ơng trình đặc tr-ngλ2+ 4λ+ 4 = 0. Ph-ơng trình này có nghiệm kép là −2. Do đó nghiệm tổng quát là:
y= [C1+C2x]e−2x.
Ph-ơng pháp hệ số bất định tìm nghiệm riêng của ph-ơng trình không thuần nhất: Trong tr-ờng hợp ph-ơng trình vi phân tuyến tính hệ số hằng không thuần nhất mà f(x) có dạng đặc biệt ta có thể xác định dạng của nghiệm riêng. Từ đó có thể tìm đ-ợc chính xác nghiệm riêng nàỵ
Tr-ờng hợp 1: f(x) =eaxP(x) , với P(x) là đa thức bậc n nào đó.
• Nếu a không là nghiệm của ph-ơng trình đặc tr-ng (34) thì:
yr =eaxQ(x),
vớiQ(x) là một đa thức cùng bậc với P(x).
• Nếu a là nghiệm bộik của ph-ơng trình đặc tr-ng (34) thì:
yr =xkeaxQ(x),
Tr-ờng hợp 2: f(x) = eax[P1(x) cosbx+P2(x) sinbx], với P1(x) và P2(x) là hai đa thức bậc nào đó.
• Nếu a+ibkhông là nghiệm của ph-ơng trình đặc tr-ng (34) thì:
yr=eax[Q1(x) cosbx+Q2(x) sinbx],
với Q1(x), Q2(x) là các đa thức có bậc bằng bậc lớn nhất của P1(x)
và P2(x).
• Nếu a+iblà nghiệm phức của ph-ơng trình đặc tr-ng (34) thì:
yr =xeax[Q1(x) cosbx+Q2(x) sinbx]
vớiQ1(x), Q2(x)nh- trên.
Ví dụ. Tìm nghiệm riêng của ph-ơng trình
y00−3y0+ 2y= (3−4x)ex
Ph-ơng trình đặc tr-ng là
λ2−3λ+ 2 = 0
có hai nghiệm là λ1 = 1 và λ2 = 2, trong đó α = 1 là nghiệm đơn của nó nên nghiệm riêng có dạng
yr=xex(Ax+B).
Thay vào ph-ơng trình đã cho và cân bằng các hệ số ta thu đ-ợc
−2A= 4,
2A−B = 1,
Giải ra ta đ-ợc A = 2 vàB = 1, khi đó nghiệm riêng làyr =xex(2x+ 1). Cuối cùng, nghiệm tổng quát của ph-ơng trình đã cho lày=C1ex+C2e2x+xex(2x+1).
Ví dụ. Tìm nghiệm tổng quát của ph-ơng trình y00+y = 4xsinx. Ph-ơng trình đặc tr-ng có nghiệm là ±i vàa+ib=i. Khi đó nghiệm riêng có dạng:
yr =x[(Ax+B) cosx+ (Cx+D) sinx].
Thay vào ph-ơng trình đã cho và cân bằng các hệ số ta đ-ợc
−2A= 2 C−B = 0 D+A= 0 2C = 0 ⇔ A=−1 B = 0 C = 0 D = 1.
Vì thế, nghiệm riêng là yr =x(−xcosx+ sinx)và nghiệm tổng quát của ph-ơng trình đã cho là