Để rèn luyện kỷ năng giải toán cho học sinh ngoài việc trang bị tốt kiến thức cơ bản cho các em giáo viên hớng dẫn học sinh khai thác,mở rộng kết quả các bài toán cơ bản có trong chơng t
Trang 1
i-đặt vấn đề:
1-ỡ trờng THCS dạy toán là dạy hoạt động toán học cho học sinh trong đó giải toán là hình thức chủ yếu Để rèn luyện kỷ năng giải toán cho học sinh ngoài việc trang bị tốt kiến thức cơ bản cho các em giáo viên hớng dẫn học sinh khai thác,mở rộng kết quả các bài toán cơ bản có trong chơng trình để các em có suy nghĩ tìm tòi những kết quả mới sau mỗi bài toán
2-Nhng tiếc rằng trong các nhà trờng hiện nay phần lớn các giáo viên cha có thói quen khai thác một bài toán thành chuỗi các bài toánliên quan cho học sinh Việc chỉ dừng lại ở các bài tập đơn lẻ làm cho học sinh thụ động, khó tìm đợc mối liên hệ giữa các kiến thức đã học Cho nên khi gặp một bài toán mới các em không biết xuất phát từ đâu? những kiến thức cần sử dụng là gì?
nó liên quan nh thế nào với các bài toán trứơc đó?
3-Trong quá trình giảng dạy và bồi dỡng học sinh giỏi chúng tôi thấy việc tìm tòi mở rộng các bài toán quen thuộc là phơng pháp học khoa học , có hiệu quả.Từ dễ đến khó là con đờng phù hợp cho học sinh khi rèn luyện kỹ năng giải toán Việc tìm tòi,mở rộng các bài toán làm tăng thêm hứng thú học tập, óc sáng tạo của học sinh Từ đó giúp các em có cơ sở khoa học khi phân tích , phán đoán tìm lời giải cho các bài toán khác và ngày càng tự tin hơn vào khả năng giải toán của mình
4-Bài viết này tôi xin đa ra một số ví dụ về cách khai thác một số bài toán trong chơng trình toán 8, xin đợc trao đổi cùng các bạn đồng nghiệp
-Để bài viết không quá dài nên một số lời giải chúng tôi không trình bày chi tiết
II-Nội Dung:
Ví dụ1(SGK-T8.Tr25)
Chứng minh rằng: n3 −n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n
Giải:
Ta có n3−n =n.(n-1).(n+1) Trong ba số nguyên liên tiếp n,n-1,n+1 luôn cómột số chia hết cho 2 , một số chia hết cho 3 và (2,3)=1 Do đó n3−n 6 Qua bài toán trên ta thấy n3và n đồng d khi chia cho các số 2,3 và6 từ đó
ta đề xuất một số bài toán tơng tự nh sau
Bài1:
Chứng minh rằng : n3 +m3 6 ⇔n+m 6 ( ∀m,n∈Z)
Giải: Tacó (n3 +m3 ) − (n+m) = (n3 −n) + (m3 −m) 6 , (theoVD1)
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.Tổng quát hoá ta đợc bài toán sau
Bài2: Chứng minh rằng:
) , 1 , (
, 6
6
3 1 2 3
3 3
3
2
3
Bài3: Cho A=1 3 + 2 3 + 3 3 + + 98 3 + 99 3 Hỏi A có chia hết cho 6 không?
Trang 2Hớng dẩn: Đặt S=1+2+3+4+ +98+99 Theo bài 2 ta có A-S chia hết
2
) 1 99 ( 99
S
⇒
=
6
Bài4:(Thi học sinh giỏi T.P-HCM năm học 2003-2004).
Chứng minh rằng: (x+ y+z) 3 −x3 −y3 −z3 6 với mọi số nguyên x,y,z
Giải:
)
(x+y+z 3 −x3 −y3 −z3 = x+ y+z 3 − x+y+z − x3 −x − y3 −y − z3 −z Theo VD1 ta thấy các hạng tử của VP đều chia hết cho 6, từ đó suy ra điều phải chứng minh
Bài5:
Viết số 2005 2004thành tổng của k số tự nhiên tuỳ ý a1,a2,a3, ,a k Tìm số d
3
3 2
3
1 a a a k
3
3 2
3
1 a a a k
a + + + + và 2005 2004 =a1+a2 +a3 + +a k
Ta có N- 2005 2004 = (a13 −a1) + (a23 −a2) + (a33 −a3) + + (a k3 −a k) 3,(VD1) Mặt khác 2005 2004chia cho 3 d 1, do đó N chia cho 3 d 1
Kết hợp với hằng đẳng thức đã học VD1đợc phát triển thành các bài toán thú
vị sau
Bài 6:
Cho P= (a2 −ab+ 1 ) 3 + (b2 + 3ab− 1 ) 3 − (a+b) 2 Chứng minh rằng P chia hết cho 6 với mọi số nguyên a,b
Giải:
Đặtx=a2 −ab+ 1 ;y=b2 + 3ab− 1 ⇒ x+y= (a+b) 2 Khi đó ta có
P=x3 + y3 − (x+y) = (x3 −x) + (y3 −y) 6
Bài7: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x,y thì:
3 3
) 3 ( )
3
(x3 + xy2 3 + y3 + x2y ⇔ x+ y
Gợi ý: Đặt a= x3 + 3xy2 ;b= y3 + 3x2y⇒ a+b= (x+ y) 3 :,
1 3
3 b a b BT x y x y
tố)
Bài8: Cho các số nguyên x, y , z thoả mãn : x+y+z=3 2006 2007
Chứng minh rằng: M= (x2 +xy+yz) 3 + (y2 +xy+xz) 3 + (z2 +yz+xz) 3 chia hết cho 6
Giải:
Đặt a=x2 +xy+yz;b= y2 +xy+xz;c= z2 +yz+xz⇒M =a3 +b3 +c3
Ta có: a+b+c=x2 + y2 +z2 + 2 (xy+yz+zx) = (x+y+z) 2 6 (Theo−gt)
Kết hợp ví dụ 1 với bài toán tìm nghiệm nguyên ta có một số bài toán sau
Bài 9: Tìm nghiệm nguyên dơng của các phơng trình sau:
a) (x+y) 3 + (y+z) 3 = x+ 2y+z+ 2005 3 (1)
Trang 3b) (x2 + y2 − 1 ) 3 + ( 2xy+ 1 ) 3 = 189 (2)
Giải:
a) ( 1 ) ⇔[(x+ y) 3 − (x+y)] [+ (y+z) 3 − (y+z)]= 2005 3 (3)
Dễ thấy VT của (3) chia hết cho 6 (theo-VD1).Nhng 2005 3 không chia hết
cho 6,do đó phơng trình đã cho không có nghiệm nguyên
b) Đặt p= x2 + y2 − 1 ;q= 2xy+ 1 ⇒ p+q= (x+y) 2 Khi đó phơng trình (2) trở
thành : p3 +q3 = 189 Vì 189 3 nên p3 +q3 3 ⇒ p+q 3 (theo−BT1).Từ
đó suy ra p+q là số chính phơng chia hết cho 3
Mặt khác p3 +q3 = 189 ⇔ (p+q)(p2 − pq+q2 ) = 9 3 7.Do đó p+q chỉ có thể
bằng 9⇒ (x+ y) 2 = 9 ⇒x+ y= 3 (x,y∈Z+ ), từ đó suy ra phơng trình có hai nghiệm (x,y)=(1,2)hoặc (2,1) Thử lại thấy thoã mãn