Các vấn đề cơ bản và phổ biến của giải tích hàm : 1) hàm bị chắn : G/s X : tập bất kỳ ; E kg định chuẩn. f: X → E . hàm f đgl bị chặn trên X nếu tồn tại hằng số c sao cho : ||f(x)|| ≤ c . ∀ x X∈ . 2) không gian các hàm bị chắn : B E (X) ={ hàm bị chắn X → E} đgl không gian các hàm bị chắn . ( K=R ,K=C). Cũng là kg đc với chuẩn ||f|| =sup ||f(x)|| ,f ∈ B E (X). x X∈ 3) Các kí hiệu : G/s X : kg tô pô ,E : không gian định chuẩn . C E ∞ ={liên tục , bị chặn X → E} : B E (X) ={ hàm ltuc X → E}. 4)Dãy hàm hội tụ điểm : {f n } hội tụ điểm về hàm f trên X . Kí hiệu : f n → f trên X nếu : 00 );;(,0 nnxn >∀∃>∀ εε ta có : | f n (x)- f(x)|< ε Xx ∈∀ 5) Hội tụ đều : Dãy {f n } hội tụ đều về f , khí hiệu : f n → f trên X nếu : XxnnNn o ∈∀≥∀∈∃>∀ ;:,0 0 ε ta có : | f n (x)- f(x)|< ε Xx ∈∀ . 6 ) Hội tụ theo chuẩn sup : Ta nói dãy {f n } hội tụ theo chuẩn sup trong B K (X) đến f nếu : Sup | f n (x)- f(x)| → o khi n → ∞ . 7) Đại số : G/S X : kg tt trên trường K ( K =R; K = C) ; X đgl một đại số nếu trên X xác định thêm một phép toán nhân . X x X → X (x;y) → x.y Sao cho : - phép nhân có tính kết hợp . - phép nhân có tính phân phối : 1) x(y+z) = xy + xz . 2) ( y+z)x = y x + zx . 3) ( α x)y =x( α y)= α (xy) : = α xy. 8) Đại số sinh bởi chuẩn: X Đại số sinh bởi chuẩn nếu X là một đại số và X là kg đc tm : 4) ||xy|| ≤ ||x||.||y||. 9) Đại số ban nach : X đgl Đại số ban nach nếu X là đại số định chuẩn và X là kg ban nach. 1 10) Đại số giao hoán : Nếu phép toan trên đó giao hoán . 11) Đại số có đơn vi : nếu phép nhân có đơn vị . 12) Đại số con . G/s Y ⊂ X( đ số đc ) . Y đgl đ số con nếu Y là đs với 3 phép toán trên X . 13) Hàm tách các điểm của một tập : G/s H = { hàm X → Y } .H đgl tách các điểm của X nếu Xyx ∈∀ ; mà x y≠ thì tồn tại f H∈ sao cho f(x) ≠ f(y) . II) Các định lý quan trọng : 1) Định ly Di ni : G/s X là không gian tô pô com pac , {f n } ⊆ C R (X) . Nếu f n hội tụ tăng về f trên X thì f n hội tụ đều về f trên X . 2) Định lý Stone – wei rs tras : G/s X : kg cp . A : đai số con của C R (X) tm : i) A chứa các hằng . ii) A tách các điểm của X . Thì bao đóng của A = C R (X). 2 . bị chặn X → E} : B E (X) ={ hàm ltuc X → E}. 4)Dãy hàm hội tụ điểm : {f n } hội tụ điểm về hàm f trên X . Kí hiệu : f n → f trên X nếu : 00 );;(,0 nnxn > ∀∃ > ∀ εε ta có : | f n (x)-. giải tích hàm : 1) hàm bị chắn : G/s X : tập bất kỳ ; E kg định chuẩn. f: X → E . hàm f đgl bị chặn trên X nếu tồn tại hằng số c sao cho : ||f(x)|| ≤ c . ∀ x X∈ . 2) không gian các hàm bị chắn. sao cho : ||f(x)|| ≤ c . ∀ x X∈ . 2) không gian các hàm bị chắn : B E (X) ={ hàm bị chắn X → E} đgl không gian các hàm bị chắn . ( K=R ,K=C). Cũng là kg đc với chuẩn ||f|| =sup ||f(x)|| ,f ∈