tuyen tap cac dang bai thi DH hinh hoc giai tich

G I PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Phần 1: Hệ toạ độ trong không gian A. Lý thuyết cần nhớ 1. Diện tích của hình bình hành ABCD [ ] ADABS , = 2. Diện tích tam giác ABD [ ] ADABS , 2 1 = 3. Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ 3’. Thể tích tứ diện ABCD. [ ] 'A., AADABV = [ ] 'A., 6 1 AADABV = 4. Một số tính chất của tích vô hướng và tích có hướng 0. =⇔⊥ vuvu vu vµ cùng phương [ ] 0, =⇔ vu w vµ vu, đồng phẳng [ ] 0., =⇔ wvu 5. Toạ độ trọng tâm của tam giác và trung điểm của đoạn thẳng B. Bài tập 1. Cho ba vectơ )2;7;1();1;2;0();3;5;2( =−=−= cba . Tìm toạ độ các vectơ sau đây: cbad 3 3 1 4 +−= và cbae 24 −−= 2. Tìm toạ độ của vectơ x biết rằng a) 0 =+ xa và )1;2;1( −= a b) axa 4 =+ và )1;2;0( −= a c) bxa =+ 2 và )1;4;5( −= a ; )3;5;2( −= b 3. a) Cho 3 điểm không thẳng hàng: );;( AAA zyxA ; );;( BBB zyxB ; );;( CCC zyxC . Tìm toạ độ trọng tâm của tam giác ABC. b) Cho 4 điểm không đồng phẳng );;( AAA zyxA ; );;( BBB zyxB ; );;( CCC zyxC ; );;( DDD zyxD . Tìm toạ độ trọng tâm tứ diện ABCD. 4. Cho điểm M có toạ độ (x; y; z). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của M: a) Trên các mặt phẳng Oxy, Oxz, Oyz. b) Trên các trục toạ độ Ox, Oy, Oz. c) Tìm toạ độ của điểm đối xứng với điểm M qua gốc toạ độ O (M 1 ), qua trục Ox (M 2 ), qua trục Oy (M 3 ), qua trục Oz (M 4 ), qua mặt phẳng Oxy(M 5 ), qua mặt phẳng Oxz(M 6 ), qua mặt phẳng Oyz (M 7 ). 5. Trong hai bộ ba điểm sau, bộ ba điểm nào thẳng hàng: )1;3;1(A ; )2;1;0(B ; )1;0;0(C và )1;1;1('A ; )1;3;4(' − B ; )1;5;9( − C 6. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết: )1;0;1(A ; )2;1;2(B ; )1;1;1( − D ; )5;5;4(' − C . Tìm toạ độ các đỉnh còn lại. Tương tự nếu );;( 111 zyxA ; );;( 333 zyxC ; );;(' ' 2 ' 2 ' 2 zyxB ; );;(' ' 4 ' 4 ' 4 zyxD . 7. Cho bốn điểm )1;2;5( − A ; )4;3;1( − B ; )3;1;2( − C ; )2;6;2( − D . a) Chứng minh ABCD là hình bình hành. b) Tính AB, AD và diện tích hình bình hành ABCD. 8. Cho 3 điểm: )2;1;1( − A ; )2;6;5( − B ; )1;3;1( − C . a) Tính AB, BC, CA và diện tích tam giác ABC. b) Tìm toạ độ trung điểm của AB, BC, CA và toạ độ trọng tâm tam giác ABC. 9. Cho tam giác ABC với )1;2;0( − A ; )2;2;3(B ; )2;1;4( − C . a) Tính AB, BC, CA và diện tích tam giác ABC. b) Tìm toạ độ trung điểm của AB, BC, CA và toạ độ trọng tâm tam giác ABC. c) Tìm chân D của đường phân giác trong AD của góc A. 10. Cho ba vectơ: )1;1;1( −= a ; )1;0;4( −= b ; )1;2;3( −= c . Tìm: A B C D u v A B C D A' B' C' D' A(x A , y A , z A ) B C I G 3 CBA G xxx x ++ = 3 CBA G zzz z ++ = 3 CBA G yyy y ++ = 2 BA I xx x + = 2 BA I yy y + = 2 BA I zz z + = a) ( a . b ). c b) 2 a .( b . c ) c) 2 a . b + 2 b . c + 2 c . a d) 3 a -2( a . b ). b + 2 c . b e) 4 a . c + 2 b -5 c 11. Tìm góc giữa hai vectơ sau: a) )1;3;4( = a ; )3;2;1( −= b b) )4;5;2( = a ; )3;0;6( = b c) )1;1;1( −= a ; )3;1;0( = b 12. a) Trên trục Oy, tìm điểm cách đều hai điểm: )0;1;3(A ; )1;4;2( − B . b) Trên mặt phẳng Oxy, tìm điểm cách đều ba điểm: )1;1;1(A ; )0;1;1( − B ; )1;1;3( − C . 13. Xét sự đồng phẳng của ba vectơ sau: a) )1;1;1( −= a ; )2;1;0( = b ; )3;2;4( = c . b) )4;3;4( = a ; )2;1;2( −= b ; )1;2;1( = c . c) )5;2;4( = a ; )3;1;3( = b ; )1;0;2( = c . d) )2;1;3( −−= a ; )1;1;1( = b ; )1;2;2( −= c . e) ))1)(1(,1,( 22 ++−+= cbbccbp ; ))1)(1(,1,( 22 ++−+= accaacq ; ))1)(1(,1,( 22 ++−+= baabbar 14. Cho 3 điểm )0;0;1(A ; )1;0;0(B ; )1;1;2(C a) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác (Chứng minh A, B, C không thẳng hàng). b) Tính chu vi và diện tích tam giác. c) Tìm toạ độ đỉnh D để tứ giác ABCD là hình bình hành. d) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC hạ từ đỉnh A. e) Tính các góc của tam giác ABC. f) Tìm tọa độ chân D 1 đường phân giác trong AD 1 và chân D 2 đường phân giác ngoài AD 2 của .ABC ∆ 15. Cho bốn điểm: )0;0;1(A ; )0;1;0(B ; )1;0;0(C ; )1;1;2( −− D a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện. b) Tính góc tạo bởi các cạnh đối của tứ diện ABCD. c) Tính thể tích tứ diện và tính độ dài đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A. 16. Cho tam giác ABC biết: )3;1;2( − A ; )1;0;4(B ; )3;5;10( − C . Tìm độ dài các đường phân giác trong. 17. Chứng minh các tính chất của tích có hướng của hai vectơ sau: a) [ ] [ ] abba ,, −= b) [ ] [ ] [ ] .,,,, Rbababa ∈== λλλλ c) [ ] [ ] [ ] bcacbac ,,, +=+ 18. Cho tam giác ABC với: )2;1;1( − A ; )3;0;1( − B ; )1;2;0(C a) Tính chu vi và diện tích tam giác. b) Tìm toạ độ đỉnh D để tứ giác ABCD là hình bình hành. c) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC hạ từ đỉnh A. d) Tính các góc của tam giác ABC. e) Tìm tọa độ chân D 1 đường phân giác trong AD 1 và chân D 2 đường phân giác ngoài AD 2 của .ABC ∆ 19. Cho bốn điểm: )1;3;2(A ; )2;1;4( − B ; )7;3;6(C ; )8;4;5( −− D a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện (Chứng minh A, B, C, D không đồng phẳng). b) Tính góc tạo bởi các cạnh đối của tứ diện ABCD. c) Tính thể tích tứ diện và tính độ dài đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A. d) Tìm toạ độ tâm hình tứ diện ABCD. e) Tìm tọa độ của điểm I cách đều bốn điểm A, B, C, D. f) Tìm toạ độ hình chiếu K của D lên mặt phẳng (ABC). 20. Cho ba điểm: )1;2;1(A ; )4;3;5(B ; )2;3;8( − C . a) Chứng minh ABC là tam giác vuông. b) Tìm toạ độ chân của đường phân giác trong của tam giác xuất phát từ B. c) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC. 21. Cho bốn điểm: )1;1;1( − A ; )2;1;3( − B ; )4;2;1( − C ; )9;6;5( − D a) Chứng tỏ D nằm ngoài mặt phẳng (ABC). b) Tìm toạ độ trọng tâm của tứ diện ABCD. c) Tính diện tích tứ diện ABCD và tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh A. 22. Cho bốn điểm: )2;7;5( − A ; )1;1;3( − B ; )4;4;9( − C ; )0;5;1(D a) Chứng minh A, B, C, D nằm trên cùng mặt phẳng. b) Tìm toạ độ giao điểm I của AC và BD. 23. Cho tam giác CDE với: )1;4;0( − C ; )3;1;1( −− D ; )3;2;1( − E . Tính độ dài đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác xuất phát từ đỉnh E của tam giác. 24. Cho tứ bốn điểm )1,2,1( − P ; )1,4,2(A ; )1,0,1( − B ; )2,4,1( − C . Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc H của P lên mặt phẳng ABC. 25. Cho bốn điểm: )4,2,3( − A ; )2,5,2( − B ; )2,2,1( − C ; )3,2,4(D a) Tính cosin của góc tạo bởi AB và CD . b) Tính diện tích tam giác BCD. c) Tính độ dài đường cao của hình tứ diện ABCD xuất phát từ đỉnh A. Phần 2: Phương trình mặt cầu. A. Kiến thức cần nhớ 1. Phương trình mặt cầu tâm );;( 000 zyxI , bán kính R: Dạng chính tắc: 22 0 2 0 2 0 )()()( Rzzyyxx =−+−+− Dạng khai triển: 0222 222 =++++++ dczbyaxzyx (Với 0 222 >−++ dcba ) - Tâm: );;( cbaI −−− - Bán kính: dcbaR −++= 222 2. Một mặt phẳng (P) cắt mặt cầu bởi thiết diện là một đường tròn C tâm I’, bán kính r: C(I’,r) - d là khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng P: )).(,( PId - Tâm I’ là giao điểm của đường thẳng (d) (qua tâm I của mặt cầu và vuông góc với mặt phẳng (P)) và mặt phẳng (P). - Bán kính: 22 dRr −= * Nếu (P) đi qua tâm I của mặt cầu thì: I ≡ I’ và R=r. 3. Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(I, R): 222 ))(,( CBA CcBbAa PId ++ ++ = B. Bài tập: Phương trình mặt cầu 1. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau: a) 0128 222 =++−++ yxzyx b) 04284 222 =−−++++ zyxzyx b) 021536333 222 =−+−+++ zyxzyx c) 086246 222 =−−+−++ zyxzyx e) 0246412 222 =+−+−++ zyxzyx f) 07212126 222 =++−−++ zyxzyx g) 04248 222 =−++−++ zyxzyx h) 043 222 =+−++ yxzyx i) 076 222 =−−++ zzyx j) 0442 222 =+−−++ zyxzyx 2. Viết phương trình của mặt cầu đường kính AB với A, B có toạ độ: a) )1,3,1( −− A ; )5,1,3( − B . b) )5,2,6( − A ; )7;0;4( − B . 3. Cho hai mặt cầu: 064:)( 222 1 =−++ zyxS và 07212126:)( 222 2 =++−−++ zyxzyxS . Chứng minh rằng (S1) và (S2) cắt nhau theo một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của nó. 4. Cho bốn điểm )0;1;0(A ; )1,3,2(B ; )2,2,2( − C ; )2,1,1( − D a) Chứng minh rằng ABCD là tứ diện có ba mặt vuông tại A. b) Tìm phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. 5. Tìm phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCO với )0;0;(aA ; )0,,0( bB ; ),0,0( cC ; )0;0;0(O . 6. Cho )4;1;3( −− S ; )0;1;3( − A ; )0;3;1(B ; )0;1;3( − C ; )0;3;1( −− D . a) Chứng minh rằng ABCD là hình vuông và SA là đường cao của hình chóp S.ABCD. b) Tìm phương trình mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD. 7. Cho hai mặt cầu 09:)( 222 1 =−++ zyxS và 07212126:)( 222 2 =++−−++ zyxzyxS . Tìm phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường nối tâm của 2 mặt cầu trên, tiếp xúc với hai mặt cầu trên và có bán kính lớn nhất. Mặt cầu đi qua các điểm 8. Viết phương trình mặt cầu nếu biết: a) Tâm I(1; -3; 5), bán kính 3 = R . b) Tâm I(5; -3; 7). bán kính R = 2. c) Tâm I(3; -2; 1) và qua điểm A(2; 1; -3). 5x - 4y + 3z + 20 = 0 3x - 4y + z - 8 = 0 2x + 4y -z - 7 = 0 4x +5y +z - 8 = 0 d) Tâm I(4; -4; -2) và đi qua gốc toạ độ. e) Tâm I(4; -1; 2) và qua điểm A(1; -2; -4) f) Hai đầu đường kính là A(4; -3; -3) và B(2; 1; 5). g) Hai đầu đường kính là A(2; -3; 5) và B(4; 1; -3). h) Nhận AB làm đường kính với A(6; 2; -5) và B(-4; 0; 7). i) Đi qua bốn điểm: A(1; -2; -1), B(-5; 10; -1), C(4; 1; 1), D(-8; -2; 2). j) Đi qua bốn điểm: A(6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; -1), D(4; 1; 0). k) Qua ba điểm: A(0; 0; 4), B(2; 1; 3), C(0; 2; 6) và có tâm nằm trên mặt phẳng (Oyz). 9. Cho các điểm: A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) trong đó a, b, c là các hằng số dương. a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác nhọn. b) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. c) Tìm toạ độ O’ đối xứng với O qua mặt phẳng (ABC). 10. Lập phương trình mặt cầu tâm I(2; 3; -1) và cắt đường thẳng (d): tại hai điểm A, B sao cho AB = 16. 11. Cho các điểm: A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 4). a) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu đó. b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Viết phương trình tham số của đường thẳng qua I và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu 12. Xét vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng sau: a) 05426 222 =+++−++ zyxzyx , x + 2y + z -1 = 0. b) 010226 222 =+−+−++ zyxzyx , x + 2y + 2z = 0. c) 04284 222 =−−++++ zyxzyx , x + y -z - 10 = 0. d) 0221626 222 =+−+−++ zyxzyx , z - 3 = 0. e) 014624 222 =+−−+++ zyxzyx , y - 1 = 0. f) 04242 222 =−−+−++ zyxzyx , x- 5 = 0. g) 02042 222 =−−−++ yxzyx , x + 2y - z - 8 = 0. h) 032 222 =−−++ zzyx , x - 2y - z + 5 = 0. i) 082 222 =−−++ xzyx , x - 2y - 3 = 0. j) 4)1( 222 =++− zyx , x - 2 = 0. k) 0242 222 =−−−−++ mzyxzyx , 2x - 4y - 2z + 5 = 0. l) 4)2()1( 222 =−++− zyx , 2x + y - z + m = 0. m) 024 222 =−−+++ mzxzyx , x + y - z - 4 = 0. 13. Cho điểm D(-3; 1; 2) và mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1; 0; 11), B(0; 1; 10), C(1; 1; 8). a) Viết phương trình đường thẳng AC. b) Viết phương trình mặt phẳng (P). c) Viết phương trình mặt cầu tâm D bán kính R = 5. Chứng minh rằng mặt cầu này cắt AC. d) Xét vị trí tương đối của mặt phẳng (P) và mặt cầu tâm D bán kính R khi R thay đổi. Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng 14. Viết phương trình mặt cầu: a) Tâm I(3; -5; -2) và tiếp xúc với mặt phẳng 2x - y -3z + 1 = 0. b) Tâm I(1; 4; 7) và tiếp xúc với mặt phẳng 6x +6y -7z +42 = 0. c) Tâm I(1; 1; 2) và tiếp xúc với mp(P): x + 2y + 2z + 3 = 0. d) Tâm I(-2; 1; 1) và tiếp xúc với mặt phẳng: x + 2y - 2z + 5 = 0. e) Bán kính R = 3 và tiếp xúc với mặt phẳng x + 2y + 2z + 3 = 0 tại điểm M(1; 1; -3). f) Tiếp xúc với các mp: 6x -3y -2z -35 = 0, 6x -3y -2z+63 = 0 và với 1 trong 2 mp ấy tại M(5; -1; -1). g) Tâm I nằm trên (d): và tiếp xúc với 2 mp (P): x+2y-2z-2=0, (Q): x +2y-2z+4= 0. h) Tâm I nằm trên (d): y = x - 4, z = 2x - 6 và tiếp xúc với 2 mặt phẳng Oxy và Oyz. 15. Cho 4 điểm: A(3; -2; -2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1), D(-1; 1; 2). a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện. b) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCD). Tìm toạ độ tiếp điểm. 2x - y - 1 = 0 z - 1 = 0 x - 2y - z - 1 = 0 x + y + 2 = 0 x - 2y - z + m = 0 x + y + 2 = 0 16. Cho 4 điểm A(-2; 0; 1), B(0; 10; 3), C(2; 0; -1) và D(5; 3; -1). a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C. b) Viết phương trình đường thẳng qua D và vuông góc với mp(P). c) Viết phương trình mặt cầu tâm D và tiếp xúc với mp(P). 17. Cho mặt phẳng (P): 2x + 3y + 6z - 18 = 0 cắt Ox tại A, Oy tại B, Oz tại C. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (tiếp diện) 18. Viết phương trình mặt phẳng: a) Tiếp xúc với mặt cầu: 24)2()1()3( 222 =++−+− zyx tại điểm M(-1; 3; 0). b) Tiếp xúc với mặt cầu: 05426 222 =++−−++ zyxzyx tại M(4; 3; 0). c) Tiếp xúc với mặt cầu: 49)2()3()1( 222 =−+++− zyx tại M(7; -1; 5). d) Tiếp xúc với mặt cầu: 2222 )()()( Rczbyax =−+−+− và song song với mp: Ax+By+Cz+D=0. e) Tiếp xúc với mặt cầu: 022222 222 =−−−−++ zyxzyx và song song với mp: 3x-2y+6z+14=0. f) Tiếp xúc với mặt cầu: 011246 222 =−++−++ zyxzyx và song song với mp: 4x +3z -17 = 0. g) Tiếp xúc với mặt cầu: 0442 222 =+−−++ zyxzyx và song song với mp: x +2y +2z +5 = 0. h) Chứa đường thẳng: x=4t+4, y=3t+1, z=t+1 và tiếp xúc với mc: .08262 222 =+++−++ zyxzyx i) Tiếp xúc với mặt cầu ngoại tiếp ABCD tại A với A(6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; -1), D(4; 1; 0). j) Tiếp xúc với mặt cầu: 011326210 222 =−++−++ zyxzyx và song song với 2 đường thẳng: 2 13 3 1 2 5 + = − − = + zyx ; 0 8 2 1 3 7 − = − + = + zyx . k) Chứa đường thẳng (d): và tx với mc: 015262 222 =−+−+++ zyxzyx . l) Tiếp xúc với mặt cầu 05642 222 =++−−++ zyxzyx và vuông góc với đường thẳng (d): 19. Với giá trị nào của a thì mặt phẳng x +y +z +a = 0 tiếp xúc với mặt cầu 12 222 =++ zyx . Xác định tiếp điểm. 20. Cho mặt cầu (S): 26)1()2( 222 =+−++ zyx và đường thẳng (d): x = 1, y = 2 -5t, z = -4 +5t. a) Tìm giao điểm A, B của đường thẳng và mặt cầu. Tính khoảng cách từ tâm (S) đến (d). b) Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại A, B. 21. Cho mặt cầu (S): 05642 222 =+−−+++ zyxzyx . Viết phương trình tiếp diện của (S): a) Đi qua T(1; 1; 1). b) Đi qua đường thẳng: c) Đi qua đường thẳng: 34 1 1 zyx = − − = . d) Vuông góc với đường thẳng: 2 2 1 1 2 3 − − = + = − zyx . Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu 22.Cho mặt cầu (S): 02642 222 =−+−−++ zyxzyx . Xét vị trí tương đối của (S) với (d): a) (d): (x = 1 - 2t; y = 2 + t; z = t + 3). b) (d): (x = 1 - t; y = 2 - t; z = 4). c) (d): 0 3 2 2 2 1 − = − − = − zyx . 23. Tìm vị trí tương đối của đường thẳng (d) với mỗi mặt cầu (S) sau: a) (S): 01422 222 =−+−++ yxzyx b) (S): 081024 222 =−−−+++ zyxzyx c) (S): 25)1()2()1( 222 =−+−+− zyx 24. Tuỳ theo m, xét vị trí tương đối của (d): với mặt cầu (S): 8)1()2()1( 222 =++−+− zyx 25. Tìm vị trí tương đối của mặt cầu và đường thẳng sau: 2x + y - z - 1 = 0 x - 2z - 3 = 0 x - 2y - 3 = 0 2x + z - 1 = 0 x - 2y + 3z - 2 = 0 x + y - z = 0 x - 2y - 1=0 z - 1 = 0 a) 0142 222 =++−++ zxzyx , 1 2 1 1 2 − − = − = zyx . b) 16)2()1( 222 =+−+− zyx , c) 02242 222 =−+−−++ zyxzyx , (x = -2 - t; y = t; z = 3 - t). d) 0142 222 =++−++ zxzyx , (x = 1 - t; y = m + t; z = 2 + t). e) 0422 222 =++−+++ mzyxzyx , Đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu (tiếp tuyến) 26. Cho mặt cầu (S), tâm I(2; 1; 3), bán kính R = 3. a) Chứng minh rằng T(0, 0, 5) nằm trên mặt cầu (S). b) Viết phương trình tiếp tuyến của (S) tại T, biết rằng tiếp tuyến đó: - có vectơ chỉ phương là: ).2;2;1( = a - vuông góc với mặt phẳng: .03223:)( =++− zyx α - Song song với đường thẳng (d’): 27) Cho mặt cầu (S): 03242 222 =−+−−++ zyxzyx . Viết phương trình tiếp tuyến của (S): a) Có vectơ chỉ phương )1;1;4( = a và đi qua A(-4; 3; m). b) Đi qua A(-2; 1; 3) và B(-4; -2; n). 28. Viết phương trình mặt cầu tâm I(1; 2; -1) tiếp xúc với đường thẳng: a) x = 1 - t; y = 2; z = 2t. b) 3 2 12 1 − = − = − zyx c) Vị trí tương đối của hai mặt cầu 29. Xét vị trí tương đối của hai mặt cầu (S 1 ) và (S 2 ) sau: a) 0142 222 =++−++ zxzyx , 05462 222 =+−−−++ zyxzyx b) 02642 222 =−+−−++ zyxzyx , 02222 222 =+−+−++ zyxzyx c) 02622 222 =−+−−++ zyxzyx , 04622 222 =−+−−++ zyxzyx d) 01422 222 =−+−++ yxzyx , 010226 222 =+−−−++ zyxzyx e) 081024 222 =−−−+++ zyxzyx , 0662 222 =−−−++ zyzyx f) 015262 222 =−+−+++ zyxzyx , 0222 222 =−−−++ yxzyx Đường tròn trong không gian Phương trình: 0 )()()( 2222 =+++ =−+−+− DCzByAx Rczbyax hoặc 2222 2222 ')'()'()'( )()()( Rczbyax Rczbyax =−+−+− =−+−+− Điều kiện: (Aa + Bb + Cc) 2 < R 2 (A 2 + B 2 + C 2 ) hay (R- R’) 2 <(a- a’) 2 + (b- b’) 2 + (c- c’) 2 < (R+ R’) 2 30. Tìm tâm và bán kính các đường tròn sau: a) 093 16)1()7()4( 222 =−−+ =++−+− zyx zyx b) 014623 022)(2 222 =++− =−++−++ zyx zyxzyx c) 0122 010226 222 =+−+ =+−+−++ zyx zyxzyx d) 0122 0246412 222 =+++ =+−+−++ zyx zyxzyx e) 0122 5)3()3()2( 222 =++− =++++− zyx zyx f) 0122 010226 222 =+−− =+−+−++ zyx zyxzyx g) 0922 086246 222 =+−− =−−+−++ zyx zyxzyx h) 0922 100)11()2()3( 222 =+−− =−+++− zyx zyx 31. Cho ba điểm A(2; 4; 1), B(-1; 4; 0), C(0; 0; -3). a)Định tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Từ đó viết phương trình đường tròn. b)Cho (d): x = 2 - 5t, y = 4 + 2t, z = 1. Chứng minh (d) cắt đường tròn đã cho tại 2 điểm. Tìm toạ độ. 32.Cho đường tròn (C) có phương trình: 0422 49)2()2()1( 222 =+−+ =++−+− zyx zyx . Viết phương trình mặt cầu chứa (C) và đi qua gốc O. 33. Cho đường tròn (C) và đường thẳng (d) có phương trình là: (d): zy x = = 0 (C): 0 02 22 = =−+ z Rxyx Tìm phương trình đường thẳng (d) tựa trên (C), cắt (d) và vuông góc với (d). 34.Cho đường tròn (C) xác định bởi: (C): 0122 017664 222 =++− =+++−++ zyx zyxzyx a) Tìm toạ độ tâm và tính bán kính đường tròn (C). b) Lập phương trình mặt cầu chứa đường tròn (C) và có tâm thuộc mặt phẳng x + y + z + 3 = 0. Phần 3: Phương trình mặt phẳng I. Phương trình mặt phẳng A. Kiến thức cần nhớ a) Phương trình tổng quát: Ax + By + Cz + D = 0 với 0C B A 222 ≠++ , );;( CBAn = là vtpt của mp. b) Phương trình mặt phẳng đi qua ( ) 000 ;; zyxM và có vectơ pháp tuyến );;( CBAn = có dạng: 0)()()( 000 =−+−+− zzCyyBxxA c) Phương trình mp theo đoạn chắn, đi qua A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) có dạng: 1 =++ c z b y a x d) Mặt phẳng đi qua ( ) 000 ;; zyxM và có cặp vectơ chỉ phương ),,( 1 cbau = và )',','( 2 cbau = thì có vectơ pháp tuyến         = '' ; '' ; '' b b a a a a c c c c b b n và phương trình: .0)( '' )( '' )( '' 000 =−+−+− zz b b a a yy a a c c xx c c b b e) Phương trình pháp dạng của mặt phẳng: 0 000 =+++ DzCyBxA với .1 2 0 2 0 2 0 =++ CBA B. Bài tập 1. Mặt phẳng (P) có phương trình 3x - 5y+ z - 15 = 0 a) Tìm một vectơ pháp của mặt phẳng đó. b) Tìm toạ độ giao điểm của mặt phẳng với các trục toạ độ. 2. Mặt phẳng (P) có phương trình 2x - 3y + 5z - 1 = 0. a) Tìm toạ độ một vetcơ pháp của mặt phẳng đó. b) Tìm toạ độ giao điểm của mặt phẳng với các trục toạ độ Ox, Oy, Oz. 3. Viết phương trình mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) và phương trình mặt phẳng đi qua M(2; -1; 3) và lần lượt song song với các mặt phẳng toạ độ đó. 4. Viết phương trình mặt phẳng: a) Đi qua điểm M(3; 2; -5) và có vectơ pháp tuyến )1;4;3( −= n . b) Đi qua M(1; -3; 7) và có vectơ pháp )0;2;3( = n . c) Đi qua );;( 0000 zyxM và song song với các mặt phẳng toạ độ (Oxy), (Oyz), (Ozx). d) Đi qua M(1; 3; -2) và vuông góc với trục Oy. e) Đi qua điểm M(1; 3; -2) và vuông góc với đường thẳng M 1 M 2 với M 1 (0; 2; -3) và M 2 (1; -4; 1). f) Đi qua M(1; 3; -2) và song song với mặt phẳng 2x - y + 3z + 4 = 0. g) Qua P(3; 1; -1), Q(2; -1; 4) và vuông góc với mặt phẳng 2x - y + 3z - 1= 0. h) Qua các hình chiếu của A(2; 3; 4) lên các trục toạ độ. i) Qua M(2; -1; 2) song song với Oy và vuông góc với mặt phẳng 2x - y + 3z + 4 = 0. j) Qua P(2; -1; 3), Q(3; 1; 2) và song song với vectơ ( ) 4;1;3 −−= a . k) Qua A(3; 4; -5) và song song với 2 vectơ ( ) 1;1;3 −= u và ( ) 1;2;1 −= v . l) Qua P(8; -3; 1), Q(4; 7; 2) và vuông góc với mặt phẳng 3x + 5y - 7z - 21 = 0. m) Qua I(3; -1; 5) và vuông góc với MN, trong đó M(4; 2; -1), N(1 ; -2, 3). n) Qua K(-1; -2; 5) đồng thời vuông góc với 2 mp (P 1 ):x + 2y - 3z + 1 = 0 và (P 2 ):2x - 3y + z + 1 = 0. o) Qua A(-1; 1; 2) và vuông góc với BC, trong đó B(3; -1; 0), C(2; 1; 1). p) Qua M(1; -2; 3) và song song với mặt phẳng x - 3y + 2z + 13 = 0. 000 000 114 OBOAOC OBOAOC += += q) Qua M(1; 0; -2) và vuông góc với 2mp (P 1 ): 2x + y - z - 2 = 0 và (P 2 ): x - y - z - 3 = 0. r) Qua A(2; 1; 1), B(3; 2; 2) và vuông góc với mặt phẳng x + 2y - 5z - 3 = 0. s) Qua A( 1; 0; 2), song song với ( ) 1;3;2 = a và vuông góc với mặt phẳng 2x - y - 5z = 0. t) Qua M(2; -1; 4) và cắt các trục toạ độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại P, Q, R sao cho OR = 2OP = 2OQ. u) Qua các hình chiếu vuông góc của M(2; 3; -5) lên các mặt phẳng toạ độ (Oxy), (Oyz), (Ozx). v) Qua AB và song song với CD với A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6). w) Qua A(2; 0; 0), B(1; 2; 0), C(2; 1; -2). x) Qua A(1; 2; 1), B(0; 1; 2) và vuông góc với mặt phẳng x - 2y + z + 3 = 0. y) Chứa Oz và qua R(2; 1; 0). z) Qua M(1; 0; 0), N(0; 1; -1) và vuông góc với mặt phẳng x + y - z = 0. 5. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của các đoạn thẳng sau: a) PQ với P(3; -1; -2), Q(-3; 1; 2). b) MN với M(1; 3; 2), N(-3; 5; 6). c) EF với E(1; 2; -4), F(5; 4; 2). d) IJ với I(0; 0; 1), J(0; 0; -1). e) M 1 M 2 với M 1 (2; 3; -4), M 2 (4; -1; 0). f) AB với A(-1; 2; 3), B(0; 3; -1). 6. Với mỗi tam giác sau, viết phương trình mặt phẳng đi qua một đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện. a) Tam giác ABC với A(3; -5; 2), B(1; -2; 0), C(0; -3; 7) . b) Tam giác MNP với M(-3; 5; 7), N(0; -1; 1), P(3; 1; -2). 7. Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Với: a) A(-1; 2; 3), B(2; -4; 3), C(4; 5; 6). b) A(3; -1; 5), B(4; 2; -1), C(1 ; -2, 3). c) A(-1; 1; 2), B(3; -1; 0), C(2; 1; 1). d) A(2; 1; 3), B(-1; -2; 4), C(4; 2; 1). e) A(2; -3; 1), B(-2; 0; 5), C(3; 2; 0). f) A(2; -4; 0), B(5; 1; 7), C(-1; -1; -1). g)A(1; -1; 2), B(-3; 0; 4), C(1; 1; 0). h) A( 5; 0; 0), B(0; -3; 0), C(0; 0; -5). 8.a) Tìm phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm M(-4; -9; 12), A(2; 0; 0) và cắt Oy, Oz lần lượt tại B và C sao cho OB = 1 + OC (B, C không trùng với gốc O). b) Tìm phương trình mp(Q) đi qua M và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A 0 , B 0 , C 0 sao cho: 9. Cho tứ diện ABCD với các đỉnh A(7; 9; 1), B(-2; -3; 2), C(1; 5; 5), D(-6; 2; 5). G là trọng tâm của tứ diện, I là điểm cách đều 4 đỉnh của tứ diện. Tìm phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm B, G, I. 10. Cho tứ diện ABCD với A(2; 1; 3), B(3; -2; 1), C(-4; 1; 1), D(1; 1; -3). Gọi I là điểm cách đều 4 đỉnh của tứ diện, U, V, R lần lượt là những hình chiếu vuông góc của I lên các trục Ox, Oy, Oz. Tìm phương trình của mặt phẳng (UVR). 11. Cho A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > 0. a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC). b) Xác định toạ độ hình chiếu H của O lên mặt phẳng (ABC). Tính OH. c) Tính diện tích S của tam giác ABC. d) Giả sử a, b, c thay đổi nhưng thoả mãn 2222 kcba =++ không đổi. Khi nào S đạt giác trị lớn nhất? Chứng tỏ rằng khi đó OH cũng lớn nhất. 12. Cho tứ diện ABCD với A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6). a) Viết phương trình các mặt của tứ diện. b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua CD và song song với AB. 13. Tìm phương trình của mp(P) biết phương trình pháp dạng của nó là: 02 000 =−++ zCyBxA và A 0 , B 0 , C 0 thoả mãn điều kiện: . 841 000 CBA == − II. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng - chùm của mặt phẳng. A. Lý thuyết cần nhớ Cho hai mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0 1. '''' )//()( D D C C B B A A QP ≠==⇔ 2. '''' )()( D D C C B B A A QP ===⇔≡ 3. .CC'BB'AA'(Q)(P) 0 =++⇔⊥ 4. '' )()( B B A A QP ≠⇔∩ hoặc '' C C B B ≠ hoặc '' C C A A ≠ x + 2y - z -6 = 0 2x - y + 3z + 13 = 0 3x - 2y + 3z + 16 = 0 Chùm mặt phẳng là tập hợp tất cả các mặt phẳng cùng đi qua một đường thẳng. Có dạng: 0)''''()( =+++++++ DzCyBxADCzByAx βα với 0 22 ≠+ βα B. Bài tập 1. Xác định m, n, λ để các cặp đường thẳng sau song song với nhau: a) 3x + my - 2z - 7 = 0; nx + 7y - 6z + 4 = 0. b) 5x - 2y + mz - 11 = 0; 3x + ny + z - 5 = 0. c) 2x + my + 3z - 5 = 0; nx - 6y - 6z + 2 = 0. d) 3x - y + mz - 9 =0; 2x + ny + 2z - 3 = 0. e) 2x + λ y + 3z - 5 = 0; mx - 6y - 6z - 2 = 0. f) ( λ -2)x + ( λ +1)y+ λ z+ λ =0; x+my+ λ (m+ λ )z+1=0 g) 3x - 5y + mz - 3 = 0; 2x + λ y - 3z + 1 = 0.h) mx + 3y - 2z - 1 = 0; 2x - 5y - λ z = 0. 2. Viết phương trình mặt phẳng: a) Qua M(1; 3; -2) và song song với mặt phẳng 2x + 2y - 5z + 1 = 0 b) Qua gốc toạ độ và song song với mặt phẳng 6x - 5y + z - 7 = 0. c) Qua M(2; -3; 1) và song song với mặt phẳng (Oyz). d) Qua M(1; 3; -2) và vuông góc với 2 mp x - 3y + 2z + 5 = 0; 3x - 2y + 5z + 4 = 0. e) Qua M(3; -3; 1) và vuông góc với 2 mp 3y - 2z + 11 = 0; z = 0. f) Qua M(3; -2; -7) và song song với mặt phẳng 2x + y - 3z + 5 = 0. g) Qua M(1; 4; -2) và song song với mp (Oxz). h) Qua M (3; -1; -5) và vuông góc với 2 mp: 3x - 2y + 2z + 7 = 0; 5x - 4y + 3z + 1 = 0. i) Qua A(2; -1; 1) và vuông góc với 2 mp: 2x - z + 1 = 0; y = 0. 3. Xác định m để các cặp mặt phẳng sau vuông góc: a) 2x - 7y + mz + 2; 3x + y - 2z + 15. b) 4x - 3y - 3z = 0; mx + 2y - 7z - 1 = 0. c) 3x - 5y + mz - 3 = 0; x + 3y + 2z + 5 = 0. d) 7x - 2y - z = 0; mx + y - 3z - 1 = 0. 4. Cho ba mp:(P):(4 - λ )x- ( λ -5)+ λ z+ λ = 0,(Q):2x + 3y + mz + 5 = 0,(R): .0)(3 =+−++ lzllyx λλ a) Định m, λ để (P)//(Q). b) Định l , λ để (P)//(R). 5. Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng có phương trình sau: a) x + 2y - z + 5 = 0; 2x + 3y - 7z - 4 = 0. b) x - 2y + z + 3 = 0; 2x - y + 4z - 2 = 0. c) x + y + z - 1 = 0; 2x + 2y - 2z + 3 = 0. d) 3x - 2y -3z + 5 = 0; 9x - 6y -9z - 5 = 0. e) x - y + 2z + 4 = 0; 10x - 10y + 20z + 40 = 0. f) 5x + 6y - 3z + 8 = 0; -5x + 6y - 12 = 0. g) 2x - 2y - 4z + 5 = 0; 5x - 5y - 10z + 25/2 = 0. h) 3x - 4y + 3z + 6 = 0; 3x - 2y + 5z - 3 = 0. 6. Cho hai mặt phẳng có phương trình: 2x - my + 3z - 6 = 0; (m+3)x - 2y + (5m+1)z - 10 = 0. Với giá trị nào của m thì hai mặt phẳng đó: a) Song song? b) Trùng nhau? c) Cắt nhau? Tương tự với hai mặt phẳng: 3x - (m-3)y + 2z - 5 = 0; (m+2)x - 2y + mz - 10 = 0. 7. Viết phương trình của mặt phẳng trong các trường hợp sau đây: a) Đi qua điểm M(1; 2; -3) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng 2x - 3y + z - 5 = 0; 3x - 2y + 5z - 1 = 0 b) Qua giao tuyến của hai mp: 2x + 3y - 4 = 0; 2y - 3z - 5 = 0 và vuông góc với mp: 2x + y - 3z - 2 = 0. c) Đi qua trục Oz và điểm M(2; 3; -1). d) Đi qua giao tuyến của hai mp: x - 4y +2z - 5 = 0; y + 4z- 5 = 0 và song song với mp: 2x - y+ 19 = 0. e) Đi qua M(2; 1; -1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng sau: x - y + z - 4 = 0; 3x - y + z - 1 = 0. f) Qua giao tuyến của hai mp: y + 2z - 4; x + y - z + 3 và vuông góc với mp: x + y + z - 2 = 0. g) Đi qua trục Oy và điểm M(1; 1; -1). h) Qua giao tuyến của hai mp: 3x- y+ z- 2 = 0; x + 4y - 5 = 0 và song song với hai mp: 2x - z + 7 = 0. i) Qua M(0; 0; 1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng: 5x - 3y + 2z - 5 = 0; 2x - y - z - 1 = 0. j) Qua M(3; 4; 1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng: 19x - 6y - 4z + 27 = 0; 42x - 8y + 3z + 11 = 0. k) Qua giao tuyến của 2mp: x +2y - z - 4 = 0; 2x +y +z + 5 = 0 và vuông góc với mp: x- 2y- 3z+ 6 = 0. 8. Xác định m, n để mp: 5x + ny + 4z + m = 0 thuộc chùm .0)529()373( =+−−+−+− zyxzyx βα 9. Gọi (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng: x + 2y - 3z + 1 = 0 và 2x - 3y + z + 1 = 0. a) Với m cho trước lập phương trình mặt phẳng (P) qua (d) và song song với vectơ ).3;2;( −= ma b) Xác định m để có mặt phẳng (Q) đi qua (d) và vuông góc với ).3;2;( −= ma 10. Cho ba mặt phẳng có phương trình: (P): (1+m)x - y + mz - m = 0 (Q): x + 2y - mz + 1 = 0 (R): (m+2)x + y = 0 Với giá trị nào của m thì ba mặt phẳng đó cùng đi qua một đường thẳng. 11. Với giác trị nào của lm, để ba mặt phẳng sau đây cùng đi qua một đường thẳng. (P): .045 =+++ mzlyx (Q): 3x - 7y + z - 3 = 0(R): x - 9y - 2z + 5 = 0. 12. Tìm điểm chung của ba mặt phẳng: 13. a, b, c là ba số khác 0. a) Tìm phương trình của mặt phẳng (P) qua điểm (1; 1; 1) và chứa trục Ox. b) Tìm phương trình (S) qua điểm (a; b; c) và chứa trục Oy. c) Tìm phương trình của mặt phẳng (Q) qua ba điểm (0; b; c), (a; 0; c), (a; b; 0). d) Tìm phương trình của mặt phẳng (R) qua điểm (a; 0; ) 1 c a − và có vectơ pháp tuyến ).;;( cban = e) Giả sử 0 ≠+ cb và bca ≠ 2 , tìm điểm chung của ba mặt phẳng (P), (Q), (R). 14. Cho hình tứ diện ABCD với các đỉnh A(3; 2; 1), B(1; 3; 2), C(1; -2; 3), D(-1; 2; 2). a) Tìm phương trình của mặt phẳng (ABC). b) Tìm phương trình của mặt phẳng (P) qua C và có cặp vectơ chỉ phương CDv = 1 , ).2;1;( 2 λλλ += v c) Với giá trị nào của λ thì ).()( ABCP ⊥ d) Định l, λ để (P) song song với mặt phẳng .014 =+++ lzyx 15. Chứng tỏ bốn mặt phẳng sau đây là bốn mặt bên của hình hộp chữ nhật: 7x + 4y - 4z + 30 = 0, 36x - 51y + 12z + 17 = 0 14x + 8y - 8z - 12 = 0, 12x - 17y + 4z - 3 = 0 16. Cho mặt phẳng (P) qua (-1; 3 1 ; 0) có vectơ pháp tuyến );3;2( mn = và mặt phẳng (Q) qua 3 điểm (-3; 2; 1), (1; 3; -4), (3; -1; λ ). a) Tìm phương trình tổng quát của (P) và (Q). b) Định λ , m để (P)//(Q). c) Tìm hệ thức giữa λ , m để ).()( QP ⊥ III. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. A. Kiến thức cần nhớ 1. Khoảng cách từ );;( 000 zyxM đến mặt phẳng )( α có phương trình Ax + by + Cz + D = 0 là: . 222 000 CBA DCzByAx d(M,(P)) ++ +++ = 2. Khoảng cách giữa hai mp // là khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. 3. Vị trí của hai điểm );;( AAA zyxA và );;( BBB zyxB đối với mặt phẳng )( α : - Nếu 0)).(( >++++++ DCzByAxDCzByAx BBBAAA thì A và B nằm về cùng một phía của )( α . - Nếu 0)).(( <++++++ DCzByAxDCzByAx BBBAAA thì A và B nằm về hai phía của )( α . B. Bài tập 1. Cho bốn điểm A(-1; -2; 4), B(-4; -2;0), C(3; -2; 1), D(1; 1; 1). Tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh D của tứ diện ABCD. 2. Cho hình hộp chữ nhật với các đỉnh A(3; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 5), O(0; 0; 0) và D là đỉnh đối diện với O. Xác định toạ độ đỉnh D. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABD). Tính khoảng cách từ C tới mặt phẳng (ABD). 3. Tìm quỹ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng: a) x - 2y + 3z + 1 =0 và 2x - y + 3z + 5 = 0. b) 6x - 2y + z + 1 = 0 và 6x - 2y + z - 3 = 0. c) 2x - y + 4z + 5 = 0 và 3x + 5y - z - 1 = 0. d) 4x - y + 8z + 1 và 4x - y + 8z + 5 = 0. e) 2x - y + 4z + 5 = 0 và 3x + 5y - z - 1 = 0. f) 3x + 6y - 3z + 7 và x + 2y - z + 1 = 0. 4. a) Tìm điểm M trên trục Oz cách đều điểm (1; 2; -2) và mặt phẳng 2x + 2y + z - 5 = 0. b) Tìm M trên trục Oy và cách đều hai mặt phẳng: x + y - z + 1 = 0 và x - y + z - 5 = 0. c) Tìm M trên trục Oz cách đều điểm (2; 3; 4) và mặt phẳng 2x + 3y + z - 17 = 0. d) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng: 7x - 5y + 11z - 3 = 0 và 7x - 5y + 11z - 5. e) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng: 5x - 2y + 3z = 0 và 5x - 2y + 3z - 11 = 0. f) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0 và Ax + By + Cz + D’ = 0. g)Tính khoảng cách từ các điểm M 1 (1; -1; 2), M 2 (3; 4;1), M 3 (-1;4; 3) đến mặt phẳng x +2y +2z -10= 0. h) Tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến mặt phẳng (P): 2x + y - z - 6 = 0. [...]... y − z −5 = 0 4 x − 2 y +5z − 4 = 0 x − 7 y − 3 z − 9 x − 3 y −1 z −1 = = = = ; 1 2 −1 −7 2 3 » - « +> Cám ơn bạn đã tải và sử dụng Ebook, Đề thi, Đề Kiểm tra miễn phí từ CtnSharing.Com +> CtnSharing.Com, trang tải Ebook, Đề thi, Đề Kiểm tra Update liên tục trong ngày » - « InFo » - « Admin Họ và tên: Nguyễn Lê Hoàng Yahoo: CtnSharing@yahoo.com . (Với 0 222 >−++ dcba ) - Tâm: );;( cbaI −−− - Bán kính: dcbaR −++= 222 2. Một mặt phẳng (P) cắt mặt cầu bởi thi t diện là một đường tròn C tâm I’, bán. bạn đã tải và sử dụng Ebook, Đề thi, Đề Kiểm tra miễn phí từ CtnSharing.Com +> CtnSharing.Com, trang tải Ebook, Đề thi, Đề Kiểm tra Update liên tục