Chuyên đề "Các phương pháp giải Toán chia hết trong Z".

@ Trường THCS Thạnh Tân GV: Di Thanh Tuấn Chuyên đề 1: PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CHIA HẾT TRONG Z I. Kiến thức cơ bản: 1/ Định lý phép chia có dư: Với , , 0, ! , : .a b Z b q r Z a bq rÎ ¹ $ Î = + với 0 r b≤ < Khi 0r = ta nói a bM . Tóm lại : : .a b q Z a bqÛ $ Î =M . 2/ Tính chất: i) a b a c b c ì ï ï Þ í ï ï î M M M ii) a b a b b a ì ï ï Þ = ± í ï ï î M M iii) ( ) , 1 a b a c a bc b c ì ï ï ï ï ï Þ í ï ï ï = ï ï î M M M iv) ( ) , 1 ab c a c b c ì ï ï ï Þ í ï = ï ï î M M II. Một số phương pháp chứng minh chia hết: 1/ Phương pháp 1: Sử dụng tính chất : “Trong n số nguyên liên tiếp ( ) 1n ³ có một và chỉ một số chia hết cho n ”. Chứng minh: Lấy n số nguyên liên tiếp : ; 1; 2; ; 1a a a a n+ + + - chia cho n ta có n số dư là 0 , 1 ,… n -1 đôi một khác nhau, chắc chắn có một số chia cho n sẽ có số dư là 0 ⇒ đpcm. *Ví dụ 1: a/ CMR: Tích hai số chắn liên tiếp thì chia hết cho 8 . b/ CMR: Tích 5 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 120 . Giải: a/ Giả sử hai số chẵn liên tiếp là 2k và 2 2k + . Ta có : ( ) ( ) 2 2 2 4 1 8k k k k+ = + M (vì ( ) 1 2k k + M ). b/ Giả sứ tích 5 cố nguyên liên tiếp là P . Ta có: 3P M (vì P có tích của ba số nguyên liên tiếp). 8P M (vì P có tích của hai số chẵn liên tiếp). 5P M (vì P có tích của 5 số nguyên liên tiếp). Mà ( ) ( ) ( ) 3,5 3,8 5,8 1= = = 3.5.8PÞ M Hay 120P M . *Ví dụ 2: CM trong 1900 số tự nhiên liên tiếp có một số có tổng các chữ số chia hết cho 27 . Giải: Giả sử 1900 số tự nhiên liên tiếp là : ( ) , 1, , 1899 1n n n+ + Xét 1000 số tự nhiên từ : ( ) , 1, 999 2n n n+ + thuôc dãy số ( ) 1 Suy ra có một số chia hết cho 1000 . Giả sử số đó là 0 n và giả sử 0 n có tổng các chữ số là m . Khi đó ta xét 27 số tự nhiên gồm: ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , 1, 2, , 9, 19, 29, , 99, 199, 299, , 999 3n n n n n n n n n n+ + + + + + + + + Sẽ có tổng các chữ số gồm 27 số tự nhiên liên tiếp là: , 1, 2, , 26m m m m+ + + ⇒ đpcm. (Trong dãy ( ) 3 có một số tự nhiên có tổng các chữ số chia hết cho 27 ). 2/ Phương pháp 2: Muốn chứng minh ( ) A n mM ta phân tích .m pq= sao cho ( ) , 1p q = . Sử dụng hằng đẳng thức : + n chẵn: ( ) ( ) 1 2 1 n n n n n a b a b a a b b - - - - = - + + +  Kế hoạch bồi dưỡng học sinh giỏi – Phần Đại số - 1 - @ Trường THCS Thạnh Tân GV: Di Thanh Tuấn ( ) ( ) 1 2 1 n n n a b a a b b - - - = + - + - + n tuỳ ý: ( ) ( ) 1 2 1 n n n n n a b a b a a b b - - - - = - + + + *Ví dụ 3: CMR: với n chẵn thì 20 16 3 1 323 n n n + - - M Giải: Ta thấy: 323 17.19= Ta có: ( ) ( ) 1 2 1 20 3 20 3 20 20 .3 3 n n n n n- - - - = - + + + ( ) 1 2 1 17 20 3.20 3 17 n n n- - - = + + + M ( ) 1 2 16 1 17 16 16 1 17 n n n- - - = - + - M 20 3 16 1 17 n n Þ - + - M Tương tự : ( ) 1 2 20 1 19 20 20 1 19 n n n- - - = + + + M ( ) 1 2 1 16 3 19 16 16 .3 3 19 n n n n n- - - - = - + - M 20 1 16 3 19 n n n Þ - + - M Mà ( ) 17,19 1= 20 16 3 1 323 n n n ⇒ + − − M *Ví dụ 4: CMR: 2 2 1 11 12 133 n n+ + + M Giải: Ta có: 2 2 1 2 11 12 121.11 12.12 n n n n+ + + = + ( ) 121.11 144 133 121 n n = + - ( ) 121 11 144 133.144 n n n = - + ( ) ( ) 1 2 1 121 144 11 144 144 .11 11 133.144 n n n n- - - = - - + + + + ( ) 1 1 1 121.133 144 144 .11 11 133.144 133 n n n n- - - é ù = - + + + + ê ú ë û M 3/ Phương pháp 3: Dùng định lý phép chia có dư: Để chứng minh ( ) A n p n N" ÎM Xét các trường hợp khi chia n cho p . Ta có .n pq r= + với 0,1, 1r p= - Từ đây, xét các trường hợp ( ) A n pÞ M *Ví dụ 5: CMR: ( ) ( ) 2 2 , 1 4 5n Z n n n" Î + + M Giải: Đặt ( ) ( ) ( ) 2 2 1 4A n n n n= + + Lấy n chia cho 5 ta được ( ) 5 , 5 1, 5 2n k n k n k k Z= = ± = ± Î + Với ( ) 5 5n k A n= Þ M + Với ( ) ( ) 2 2 2 5 1 2 25 10 1 4 5 5 2 1 5 5n k n k k k k A n= ± Þ + = ± + + = ± + ÞM M + Với ( ) ( ) 2 2 2 5 2 1 25 20 4 1 5 5 4 1 5 5n k n k k k k A n= ± Þ + = ± + + = ± + ÞM M Vậy ( ) ( ) ( ) 2 2 1 4 5A n n n n n Z= + + " ÎM *Ví dụ 6: Chứng minh rằng : ( ) 2 2 , , . 3m n Z mn m n" Î - M Giải: Đặt ( ) ( ) 2 2 .A n mn m n= -  Kế hoạch bồi dưỡng học sinh giỏi – Phần Đại số - 2 - @ Trường THCS Thạnh Tân GV: Di Thanh Tuấn Lấy ,m n chia cho 3 ta được: 3 , 3 1; 3 , 3 1m p m p n q n q= = ± = = ± + Với ( ) 3 3 3 m p A n n q é = ê Þ ê = ê ë M + Với ( ) ( ) 2 2 3 1 3 3 3 1 m p m n A n n q é = ± ê Þ - Þ ê = ± ê ë M M Vậy ( ) ( ) 2 2 . 3 ,A n mn m n m n Z= - " ÎM 4/ Phương pháp 4: Nguyên tắc Drichlet: “ Có 1n + con thỏ nhốt vào n chuồng thì có ít nhất một chuồng có hai con thỏ trở lên (nhiều hơn một con thỏ). ⇒ Trong toán học: “Có 1n + số nguyên đem chia cho n thì có ít nhất hai số nguyên có cùng số dư”. *Ví dụ 7: CMR trong 8 số tự nhiên (mỗi số có ba chữ số) bao giờ cũng chọn được hai số mà khi viết liền nhau ta được một số có sáu chữa số chia hết cho 7 . Giải: Ta có: Trong 8 số tự nhiên (mỗi số có ba chữ số) khi chia cho 7 , ta được ít nhất hai số có cùng số dư r . Giả sử: 7 ; 7abc p r def q r= + = + Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 . 10 7 7 7 10 10 1 7 10 1001. 7abcdef p r q r p q r p q r é ù = + + + = + + + = + + ê ú ë û M ⇒ đpcm.  Kế hoạch bồi dưỡng học sinh giỏi – Phần Đại số - 3 - . @ Trường THCS Thạnh Tân GV: Di Thanh Tuấn Chuyên đề 1: PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CHIA HẾT TRONG Z I. Kiến thức cơ bản: 1/ Định lý phép chia có dư: Với , , 0, ! , : .a b Z b q r Z a bq rÎ. c ì ï ï ï Þ í ï = ï ï î M M II. Một số phương pháp chứng minh chia hết: 1/ Phương pháp 1: Sử dụng tính chất : Trong n số nguyên liên tiếp ( ) 1n ³ có một và chỉ một số chia hết cho n ”. Chứng minh: Lấy. nhiên liên tiếp là: , 1, 2, , 26m m m m+ + + ⇒ đpcm. (Trong dãy ( ) 3 có một số tự nhiên có tổng các chữ số chia hết cho 27 ). 2/ Phương pháp 2: Muốn chứng minh ( ) A n mM ta phân tích .m