Chương III: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH pot

Chương III : PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNHBài 1.. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH Kiến thức cần nhớ: 1 Tập xác định điều kiện của phương trình fx=gx là D D f Dg 2 Hai phương trình được gọi

Chương III : PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Bài 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH Kiến thức cần nhớ:

1) Tập xác định (điều kiện) của phương trình f(x)=g(x) là D D f Dg

2) Hai phương trình được gọi là tương đương nếu tập nghiệm của chúng bằng nhau

3) Phương trình (1) được gọi là phương trình hệ quả của phương trtình (2) nếu tập nghiệm của (2) là tập con của tập nghiệm của phương trình (1)

4) Các phép biến đổi tương đương: Cho phương trình f(x) = g(x) có TXĐ D, h(x) là hàm số xác định trên D Ta có:

+ f (x) g(x)  f (x) h(x) g(x) h(x)   + f (x) g(x)  f (x).h(x) g(x).h(x) , h(x) 0, x D    5) Khi bình phương hai vế của một phương trình, ta được phương trình hệ quả:

f (x) g(x)  [f (x)] [g(x)]

Chú ý:

- Nếu hai vế của phương trình luôn cùng dấu thì khi bình phương hai vế ta được phương trình tương đương

- Nếu phép biến đổi phương trình dẫn đến phương trình hệ quả thì phải thử lại kết quả vào phương trình đã cho

Các ví dụ và bài tập:

Bài 1: Trong các cặp phương trình sau, cặp phương trình nào là tương đương

a) 2 x 7x 2 2x 2 x và 7x2 2x b) x2 + 3 = 0 và

2

x 3

0 x



 c) x2 + x = 0 và

2

x x

0 x



 d) x 6  x và(x 6) 2 x

Bài 2: Trong các cặp phương trình sau, hãy chỉ ra cặp nào là tương đương

a) (x – 1)(x – 2) = 0 và x 1 0

x 2 0

 





 

 b) x 4 x 1 0

x 4

   



  và

x 4 0 1

x 4

 





  

  c) x 2 x 3 0   và x 2 0

x 3 0

  



 

 d) 2 x x 3 0   và 2 x 0

x 3 0

  



 



Bài 3: Tìm m để hai phương trình tương đương.

a) x – 2 = 0 và mx2 – (m + 1)x + 2m + 1 = 0 b) 2x – 1 = 0 và x2 – (a – 2)x + 2a – 1 = 0

c) x2 – 4 = 0 và x2 – (a – 2)x + 2a – 1 = 0

Bài 4: Giải các phương trình sau:

a) x x b) x 2  2 x c) 1 1 210

x 3 x 3   x  9 d) x x 3  3 x 3  e) x x  x 1 f) 2

x 2(x  3x 2) 0 

Bài 5: Tìm ngghiệm nguyên của mỗi phương trình sau:

a) 4 x 2   x x b) 3 x 2  2 x 2 2 

Bài 6: Giải các phương trình sau bằng cách bình phương hai vế:

a) 2x 3  2 x b) 3x 2 1 2x   c) 5 2x  x 1

Bài 7: Giải các phương trình:

a) (x – 1)(x2 – 3x + 2) = x2 – 3x + 2 b) (x 4) x 1   x 1 3

Bài 8: Tìm điều kiện của phương trình rồi suy ra tập nghiệm của phương trình:

x (y 1) xy (x 1)(y 1)

      

Bài 2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN

Kiến thức cần nhớ:

1) Giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0:

+ Nếu a 0 : Phương trình cĩ nghiệm duy nhất x b

a



+ Nếu a = 0 và b = 0 : Phương trình cĩ tập nghiệm là R + Nếu a = 0 và b 0 : Phương trình vơ nghiệm

2) Giải và biện luận phương trình dạng ax 2 + bx + c = 0

+ Nếu a = 0 : trở về phương trình dạng 1) ở trên + Nếu a 0:

> 0 : Phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt: x b

2a

  



= 0 : Phương trình cĩ một nghiệm (kép) x b

2a



 < 0 : Phương trình vơ nghiệm

3) Định lí Viet:

+ Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a khác 0) cĩ hai nghiệm x1 và x2 thì:

1 2

b

x x

a

  và x x1 2 c

a

 + Nếu đa thức ax2 + bx + c cĩ hai nghiệm x1 và x2 thì ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)

+ Nếu hai số cĩ tổng là S và tích là P thì chúng là nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0

+ Giả sử phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a khác 0) cĩ hai nghiệm x1 và x2 Khi đĩ:

- Nếu P < 0 thì: x1 < 0 < x2 (hai nghiệm trái dấu)

- Nếu P > 0 và S > 0 thì 0 < x1  x2 (hai nghiệm dương)

- Nếu P > 0 và S < 0 thì x1  x2 < 0 (hai nghiệm âm)

Các ví dụ và bài tập:

Bài 1: Giải và biện luận các phương trình sau:

a) (m2 – m)x = m – 1 b) (3m – 1)x + m = 2x + 1

c) m(x + m) – (4 + m)x = m2 – 4x d) (m – 2)2 x = m(1 – 4x) + 2 + 8x

Bài 2: Tìm m để phương trình sau cĩ tập nghiệm là R:

a) m(m2 x – 1) = 1 – x b) m2(x – 1) = 2(mx – 2)

Bài 3: Tìm m để phương trình sau vơ nghiệm:

a) (m – 1)2 x = 4x + m + 1 b) m2(x – 1) = 2(mx – 2)

Bài 4: Giải và biện luận mỗi phương trình sau:

a) (m – 2)x2 – 2mx + m + 1 = 0 b) x2 + (1 – m)x – m = 0

c) (m – 3)x2 – 2mx + m – 6 = 0 d) x2 – 2(m + 1)x + m2 + 2m – 4 = 0

Bài 5: Biện luận số giao điểm của hai đường sau:

a) y = mx +1 và y = x2 + (1 + m)x – m b) y = x2 + mx + 1 và y = x2 + x + m

Bài 6: Cho phương trình: x2 – 2(m – 1)x + m2 – 3m = 0 (1)

a) Tìm m để phương trình (1) cĩ 1 nghiệm x = 0 Tính nghiệm cịn lại

b) Định m để phương trình (1) cĩ hai nghiệm x1 và x2 thỏa: 2 2

1 2

x x 8

Bài 7: Cho phương trình: x2 – (2m + 3)x + m2 +2m+2 = 0 (1)

a) Định m để phương trình cĩ hai nghiệm x1 và x2

b) Tính các biểu thức sau theo m: 13 13

1 2

1 1

A x x ; B

x x

   

c) Viết phương trình bậc hai cĩ hai nghiệm là:

1 2

1 1

;

x x d) Viết phương trình bậc hai cĩ hai nghiệm là: 2 2

1 1

x ; x

Bài 8: Tìm a để hiệu hai nghiệm của phương trình sau bằng 1:

2x2 – (a + 1)x + a + 3 = 0

Bài 9: Cho phương trình: x 1 x  2 4x 1 m   0 (1)

a) Xác định m để phương trình (1) có nghiệm

b) Xác định m để (1) có ba nghiệm phân biệt

Bài 10 Cho phương trình: x2 - 2x + 3 - m = 0 (1)

a) Tìm m để (1) có nghiệm thuộc đoạn [-1 ; 2]

b) Tìm m m để (1) có đúng một nghiệm lớn hơn 2

Bài 11 Xác định m để phương trình x2 - mx + 1 = 0 có hai nghiệm và hiệu hai nghiệm đó bằng 1

Bài 12: Cho phương trình: x2 +2mx + 4 = 0 (1)

Định m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 và x2 thỏa:

3

   

   

   

Bài 3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HOẶC BẬC HAI

Kiến thức cần nhớ:

1) Phương trình ax b cx d  ax b (cx d)

2) Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức:

- Đặt điều kiện- Quy đồng, giải phương trình, tìm nghiệm - Kiểm tra điều kiện

3) Một số phương pháp cơ bản để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối:

- Dùng định nghĩa để mở dấu giá trị tuyệt đối

- Dùng phép bình phương hai vế để khử dấu GTTĐ hay dấu căn

- Đặt ẩn phụ

Các ví dụ và bài tập:

Bài 1: Giải các phương trình sau

a) 2x 1  3 x b) 3 x 2x 1 c) 2x 4 1 1 x   

Bài 2: Giải và biện luận các phương trình sau:

a) 2x m 2m 1 2x  b) 2x m  x m 1 c) mx 1 2x m 3 

Bài 3: Giải và biện luận các phương trình sau:

a) (2m 3)x m 1

m 2

x 4

 

x 1 x 1



2

x 1 x m

d) (m 2)x 2m 3

3m 1

x 3



Bài 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: x 2 x 1

x m x 1



Bài 5: Định m để phương trình sau có nghiệm:

4 x 1

  b) 2( x m 1) x  m 3

Bài 6: Định m để phương trình vô nghiệm: x m x 2

2

x 1 x 1

Bài 7: Giải các phương trình sau:

a) 3x2  9x1|x 2| b) x2 4 2 x







 2x c) (x1)(x4) 3 x2 5x2 6 d) (x 3)2 3x 22 x2  3x7

e)2x2 x 2x2  x 1 1 0

Bài 8: Giải các phương trình sau:

a) x22x x 1 1 0   b) 4x2 12 3 2x 1 2 0

2x

2 x

Bài 9: Giải các phương trình sau:

a) (x + 1)(x + 2)(x + 4)(x + 5) = 10 b) (x + 2)(x - 3)(x +1)(x + 6) = -36

Bài 10: Giải các phương trình sau

a) x4 - 4x3 + 5x2 - 4x + 1 = 0 b) x4 - 2x3 - 5x2 +2x + 1 = 0