HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - VECTƠ potx

Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm HÌNH HOÏC 10 – Chöông I Email: tranhung18102000@yahoo.com VECTƠ A – TÓM TẮT GIÁO KHOA I. Định nghĩa: Vectơ là một đoạn thẳng có định hướng Cho AB uuur thì A: điểm gốc, B: điểm ngọn, đường thẳng AB là giá của AB uuur - Chiều đi từ A đến B là hướng của AB uuur - Độ dài của vectơ AB uuur , kí hiệu: . - Vectơ không: 0 r , vectơ đơn vị II. Quan hệ giữa hai vectơ 1. Vectơ cùng phương: Hai vectơ khác 0 r được gọi là cùng phương khi giá của chúng song song hoặc trùng nhau. 2. Vectơ bằng nhau: Hai vectơ bằng nhau khi chúng cùng hướng và cùng độ dài. 3. Vectơ đối nhau: Hai vectơ đối nhau khi chúng ngược hướng và có cùng độ dài. III. Phép cộng các vectơ: Cho 2 vectơ a,b r r . Từ điểm O bất kỳ, vẽ OA a,AB b= = uuur r uuur r thì ta có: c OB a b= = + r uuur r r - Quy tắc 3 điểm: Cho ba điểm O, A, B bất kỳ, ta luôn có: OB OA AB= + uuur uuur uuur - Quy tắc hình bình hành: Trong hình bình hành ABCD, ta co: AB AD AC+ = uuur uuur uuur IV. Phép trừ các vectơ 1) ( ) a b a b− = + − r r r r 2) Quy tắc 3 điểm đối với phép trừ: OA OB BA− = uuur uuur uuur V. Phép nhân một vectơ với một số thực: 1) Cho a 0≠ r r và k ≠ 0. Vectơ ka r là một vectơ cùng phương với a r và thỏa các tính chất sau: - Cùng hướng với a r nếu k > 0 , ngược hướng với a r nếu k < 0 - Có độ dài: ka k a= r r 2) Quy ước: k.0 0.a 0= = r r r VI. Điều kiện để hai vectơ cùng phương Hai vectơ ( ) a,b b 0≠ r r r r cùng phương k R :a k.b⇔ ∃ ∈ = r r VII. Điều kiện để 3 điểm thẳng hàng Ba điểm A, B, C thẳng hàng ⇔ AB uuur cùng phương với AC uuur k R : AB k.AC⇔ ∃ ∈ = uuur uuur VIII. Quy tắc trung điểm và quy tắc trọng tâm 1) I là trung điểm của AB IA IB 0 MA MB 2MI⇔ + = ⇔ + = uur uur r uuuur uuur uuur (M là điểm bất kỳ) 2) G là trọng tâm tam giác ABC GA GB GC 0⇔ + + = uuur uuur uuur r MA MB MC 3MG⇔ + + = uuuur uuur uuur uuuur (M là điểm bất kỳ) B – PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn đề 1. Chứng minh một đẳng thức vectơ Ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau: 1. Biến đổi vế trái thành vế phải hay ngược lại, hoặc biến đổi hai vế thành một đại lượng thứ ba. 2. Biến đổi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức hiển nhiên đúng. 3. Biến đổi một đẳng thức vectơ cho trước tới đẳng thức cần chứng minh. Lưu y: Thường áp dụng các quy tắc: ba điểm, trung điểm, trọng tâm, hình bình hành trong quá trình biến đổi. Bài 1. Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh: AB AC AD 2AC+ + = uuur uuur uuur uuur Bài 2. Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Chứng minh rằng: a) GA GB GC 0+ + = uuur uuur uuur r 1 Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm HÌNH HOÏC 10 – Chöông I Email: tranhung18102000@yahoo.com b) MA MB MC 3MG+ + = uuuur uuur uuur uuuur (M là điểm bất kỳ) Bài 3. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh: a) AB CD AD CB + = + uuur uuur uuur uuur b) AB CD AC BD − = − uuur uuur uuur uuur c) AD BE CF AE BF CD+ + = + + uuur uuur uur uuur uur uuur Bài 4. Cho tứ giác ABCD, gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF. Chứng minh rằng: a) OA OB OC OD 0+ + + = uuur uuur uuur uuur r b) MA MB MC MD 4.MO+ + + = uuuur uuur uuur uuuur uuuur Bài 5. Cho tam giác ABC, vẽ bên ngoài tam giác ABC các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng: RJ IQ PS 0+ + = uur uur uur r Bài 6. Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ lần lượt có trọng tâm là G và G’. Chứng minh rằng: AA' BB' CC' 3.GG'+ + = uuuur uuur uuur uuuur Bài 7. Cho tam giác ABC, gọi A’, C’, B’ là các điểm được định bởi: 2.A'B 3.A'C 0; 2.B'C 3.B'A 0; 2.C'A 3.C'B 0+ = + = + = uuuur uuuur r uuuur uuuur r uuuur uuuur r Chứng minh rằng: hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm Bài 8. Cho tam giác ABC có trọng tâm G, H là điểm đối xứng của B qua G. a) Chứng minh: 2 1 AH AC AB 3 3 = − uuur uuur uuur và ( ) 1 CH AB AC 3 = − + uuur uuur uuur b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: 1 5 MH AC AB 6 6 = − uuuur uuur uuur Vấn đề 2. Xác định vị trí của một điểm M thỏa một điều kiện vectơ cho trước - Khai triển hệ thức để được đẳng thức: AM u= uuuur r , trong đó A cố định, u r không đổi. Bài 9. Cho tam giác ABC. Xác định vị trí của điểm M thỏa: a) MA MB 2MC 0+ + = uuuur uuur uuur r b) MA MB MC BC+ − = uuuur uuur uuur uuur Bài 10. Cho tứ giác ABCD. Xác định vị trí của điểm O sao cho: OA OB OC OD 0+ + + = uuur uuur uuur uuur r Vấn đề 3. Chứng minh vectơ tổng, hiệu không đổi. Tính độ dài vectơ tổng, hiệu - Biến đổi vectơ tổng, hiệu thành vectơ duy nhất rồi tính độ dài vectơ dó. Bài 11. Cho hình vuông ABCD cạnh a, M là điểm bất kỳ. Chứng minh các vectơ sau không đổi và tính độ dài của nó: a) u 2MA MB MC= − − r uuuur uuur uuur b) u 4MA 3MB MC 2MD= − + − r uuuur uuur uuur uuuur Bài 12. Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết AC = a, AB = 2a. Tính độ dài vectơ: AB AC+ uuur uuur và AB AC− uuur uuur Bài 13. Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính độ dài vectơ: AB AC+ uuur uuur và AB AC− uuur uuur Bài 14. Cho tam giác ABC đều cạnh a. Gọi H là trung điềm của BC, M và N lần lượt là hai điểm thỏa: MA MB 0+ = uuuur uuur r và NA 3NC 0+ = uuur uuur r a) Tính MN uuuur thao HA uuur và HC uuur b) Tính MN uuuur Vấn đề 4. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng Chứng minh đường thẳng đi qua một điểm Bài 15. Cho tam giác ABC và 2 điểm I, F xác định bởi: IA 3IC 0 FA 2FB 3FC+ = = + + uur uur r uuur uur uuur Chứng minh I, F, B thẳng hàng 2 Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm HÌNH HOÏC 10 – Chöông I Email: tranhung18102000@yahoo.com Bài 16. Cho tam giác ABC, gọi I là trung điểm của BC, D và E là hai điểm sao cho: BD DE EC= = uuur uuur uuur a) Chứng minh: AB AC AD AE+ = + uuur uuur uuur uuur b) Tính vectơ AS AB AD AC AE= + + + uuur uuur uuur uuur uuur theo AI uur c) Suy ra 3 điểm A, I, S thẳng hàng. Bài 17. Cho hình chữ nhật ABCD tâm O, M là điểm bất kỳ. Gọi: MS MA MB MC MD= + + + uuur uuuur uuur uuur uuuur . Chứng minh rằng: MS luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi. Bài 18. Cho tam giác ABC, gọi I, J là 2 điểm xác định bởi: IA 2IB= uur uur ; 3JA 2JC 0+ = uur uur r a) Tình IJ ur theo AB uuur và AC uuur b) Chứng minh IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC Vấn đề 5. Tìm tập hợp điểm thỏa hệ thức - Nếu là hệ thức vectơ thì biến đổi về dạng: AM k.v= uuuur r , trong đó k là số thực thay đổi, v r là vectơ cho trước, A là điểm cố định. Lúc đó: tập hợp M là đường thẳng qua A và cùng phương với v r . - Nếu là hệ thức về độ dài thì rút gọn về dạng: AM l= uuuur ( l là độ dài cho sẵn). Kho đó tập hợp M là: + Đường tròn tâm A, bán kính l nếu l >0 + Điểm A nếu l = 0 + ∅ nếy l < 0 Bài 19. Cho hình bình hành ABCD. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn: MA MB MC MD 4AB+ + + = uuuur uuur uuur uuuur Bài 20. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp M thỏa: ( ) MA MB 5 MA MC+ = − uuuur uuur uuuur uuur Bài 21. Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện sau: a) MA MB= uuuur uuur b) MA MB MC 0+ + = uuuur uuur uuur r c) MA MB MA MC+ = + uuuur uuur uuuur uuur d) MA MB MC 4+ + = uuuur uuur uuur Bài 22. Chi hình bình hành ABCD. Tìm quỹ tích các điểm M thỏa: MA MB MA MD+ = − uuuur uuur uuuur uuuur Bài 23. Cho tứ giác ABCD a) Xác định điểm O sao cho: OB 4.OC 2OD+ = uuur uuur uuur b) Tìm tập hợp điểm M thỏa hệ thức: MB 4MC 2MD 3MA+ − = uuur uuur uuuur uuuur Bài 24. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Tìm tập hợp các điểm M thỏa: MA MB MC MD ME MF 3 MA MD+ + + + + = − uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuuur 3 . AB uuur - Chiều đi từ A đến B là hướng của AB uuur - Độ dài của vectơ AB uuur , kí hiệu: . - Vectơ không: 0 r , vectơ đơn vị II. Quan hệ giữa hai vectơ 1. Vectơ cùng phương: Hai vectơ khác. r Vấn đề 3. Chứng minh vectơ tổng, hiệu không đổi. Tính độ dài vectơ tổng, hiệu - Biến đổi vectơ tổng, hiệu thành vectơ duy nhất rồi tính độ dài vectơ dó. Bài 11. Cho hình vuông ABCD cạnh a,. nhau. 2. Vectơ bằng nhau: Hai vectơ bằng nhau khi chúng cùng hướng và cùng độ dài. 3. Vectơ đối nhau: Hai vectơ đối nhau khi chúng ngược hướng và có cùng độ dài. III. Phép cộng các vectơ: Cho 2 vectơ