ÔN TẬP CHƯƠNG III - GIẢITÍCH 11 Phương pháp chứng minh qui nạp 1.Chứng minh rằng : a) 1 3 + 2 3 + 3 3 + …+ n 3 = b) 1 + + + + = 1 – c) (1 – )(1 – )…(1 – ) = d) 1 + 3 + 6 + 10 + + = 2.Chứng minh rằng : a) n 3 – n chia hết cho 6, ∀n > 1 b) n 3 + 11n chia hết cho 6, ∀n c) 3 n – 1 > n, ∀ n > 1 d) 3 n > 3n + 1 e) 2 n – n > f)11 n +1 + 12 2n – 1 chia hết cho 133 g) 5.2 3n – 2 + 3 3n – 1 chia hết cho 19 h) ,∀n >1 3. Chứng minh rằng = 2cos ( n dấu căn) 4. Chứng minh rằng (1 + a) n ≥ 1 + na với a > – 1 5. Cho n số thực dương x 1 ,x 2 ,…,x n thỏa mãn điều kiện x 1. x 2. …x n = 1 Chứng minh rằng: x 1 + x 2 + …+ x n ≥ n Dãy số 1. Cho dãy số (u n ) với u n = 5.4 n – 1 + 3 Chứng minh rằng: u n + 1 = 4u n – 9 ∀ n ≥ 1 2. Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau: a) u 1 = 3 ; u n +1 = u n + 4 b) u 1 = 4 ; u n +1 = 3u n + 2 3. Cho dãy số (u n ) xác định bởi u 1 = 1 và u n + 1 = u n + 7 ∀ n ≥ 1 a) Tính u 2 , u 4 và u 6 b) Chứng minh rằng: u n = 7n – 6 ∀n ≥ 1 4. Xét tính đơn điệu của các dãy số sau: a) u n = b) u n = c) u n = n – d) u n = e) u n = g) u n = h) u n = i) u n = n + cos 2 n 5. Xét tính đơn điệu của các dãy số sau : a) u n = b) u n = c) u n = d) u n = e) u n = n dấu căn f) u n = 2n + cos 6. Cho dãy số (u n ) xác định bởi u n = a là một số thực.Hãy xác định a để: a) (u n ) là dãy số giảm b) (u n ) là dãy số tăng 7. Xét tính bị chặn của các dãy số sau: a) u n = b) u n = c) u n = d) u n = e) u n = n dấu căn 8. Cho dãy số (u n ) xác định bởi công thức: u 1 = 0 và u n +1 = u n + 4 a) Chứng minh rằng u n < 8 ∀ n b) Chứng minh rằng dãy (u n ) tăng và bị chặn 9. Cho dãy số (u n ) xác định bởi u n = a) Tìm 5 số hạng đầu tiên b) Chứng minh rằng (u n ) bị chặn 10. Tìm số hạng lớn nhất của dãy số (u n ) với u n = Cấp số cộng 1.Cho cấp số cộng thoả mãn a 10 = 15 ; a 5 = 5 .Tính a 7 2. Cho cấp số cộng thoả mãn = =− 75a.a 8aa 72 37 Tính a 10 ;S 100 3. Tìm cấp số cộng biết a) =+ =−+ 26aa 10aaa 64 352 b) =+ =+ 1170aa 60aa 2 12 2 4 157 4. Một cấp số cộng có số hạng thứ nhất là 5, số hạng cuối là 45 và tổng tất cả các số hạng là 400. Hỏi cấp số cộng có mấy số hạng, xác định cấp số cộng đó 5. Cho 3 số a,b,c tạo thành 1 cấp số cộng . Chứng minh rằng : a) a 2 + 2bc = c 2 + 2ab b) 3 số a 2 + ab + b 2 ; a 2 + ac + c 2 ; b 2 + bc + c 2 cũng tạo thành 1 cấp số cộng c) a 2 + 8bc = (2b + c) 2 d) 3(a 2 + b 2 + c 2 ) = 6(a – b) 2 + (a + b + c) 2 6. Bốn số a,b,c,d tạo thành 1 cấp số cộng có tổng = 10, tích = – 56. Tìm 4 số đó 7. Năm số a,b,c,d,e tạo thành 1 cấp số cộng có tổng = 10, tích = 320.Tìm 5 số đó 8. Ba số a ,b ,c lập thành một cấp số cộng có tổng = 27 và tổng bình phương của chúng là 293. Tìm 3 số đó 9. Cho các số a,b,c > 0. Chứng minh rằng : a) các số a 2 , b 2 , c 2 lập thành 1 cấp số cộng ⇔ các số , , lập thành 1 cấp số cộng b) các số a,b,c lập thành 1 cấp số cộng ⇔ các số , , lập thành 1 cấp số cộng 10. Cho dãy số (u n ) xác định bởi: u 1 = – 2 và u n +1 = ∀n ≥ 1 a) Chứng minh rằng: u n < 0 ∀n ∈ N b) Đặt v n = . Chứng minh rằng: (v n ) là một cấp số cộng .Từ đó suy ra biểu thức của u n và v n Cấp số nhân 1.Cho cấp số nhân có u 2 = – 8; u 5 = 64.Tính u 4 ; S 5 2.Cho cấp số nhân thoả: a) =+ =+ 180aa 60aa 35 24 tìm a 6 ; S 4 b) =++ =− 91aaa 728aa 531 17 tìm a 4 ; S 5 3. Cho dãy số (u n ) xác định bởi u 1 = 2 và u n + 1 = 3.u n 2 – 10 ∀n ≥ 1. Chứng minh rằng: (u n ) vừa là cấp số cộng ,vừa là cấp số nhân 4. Tìm cấp số nhân có 4 số hạng, biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 27 và tích của hai số hạng còn lại bằng 72 5. Cho 3 số a,b,c tạo thành 1 cấp số nhân .Chứng minh rằng a) (a + b + c)(a – b + c) = a 2 + b 2 + c 2 b) 3 số ; ; tạo thành 1 cấp số cộng c) 3 số (a + b + c); ; cũng lập thành một cấp số nhân với a ,b ,c > 0 6. Tìm x để 3 số x + 1 ; x + 4 ; 5x + 2 tạo thành 1 cấp số nhân 7. Khoảng cách giữa 1 người đi xe máy và 1 người đi bộ là 1km .Vận tốc của xe máy = 10 lần vận tốc người đi bộ. Hỏi xe máy cần vượt 1 quãng đường dài bao nhiêu để đuổi kịp người đi bộ? 8. Tính các tổng: a) S = 1 + + + + …+ b) S = ( – ) + ( – ) + ( – ) + …+ ( – ) c) S = 1 + + + + …+ 9. Cho dãy số (u n ) xác định bởi u 1 = 1 ;u n + 1 = và dãy số (v n ) xác định bởi v n = u n – 2. Chứng minh rằng: (v n ) là một cấp số nhân .Từ đó suy ra biểu thức của u n và v n . ÔN TẬP CHƯƠNG III - GIẢITÍCH 11 Phương pháp chứng minh qui nạp 1.Chứng minh rằng : a) 1 3 + 2 3 + 3 3 + …+. a) n 3 – n chia hết cho 6, ∀n > 1 b) n 3 + 11n chia hết cho 6, ∀n c) 3 n – 1 > n, ∀ n > 1 d) 3 n > 3n + 1 e) 2 n – n > f )11 n +1 + 12 2n – 1 chia hết cho 133 g) 5.2 3n. c) 2 6. Bốn số a,b,c,d tạo thành 1 cấp số cộng có tổng = 10, tích = – 56. Tìm 4 số đó 7. Năm số a,b,c,d,e tạo thành 1 cấp số cộng có tổng = 10, tích = 320.Tìm 5 số đó 8. Ba số a ,b ,c lập thành một