LỜI GIẢI 14 BÀI CMBĐT LTĐH-PHẦN 3

LỜI GIẢI 14 BÀI CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG TUYỂN SINH ĐẠI HỌC LỜI GIẢI Áp dụng BĐT Cơsi cho 6 số dương ta có: 2 = x + y + z + x + y + z ≥ 6 3 xyz (1) và xy + yz + zx ≥ 3 2 2 2 3 x y z (2) Nhân các BĐT (1) và (2) vế theo vế ta được: 2(xy + yz + zx) ≥ 18xyz (3) Mặt khác ta có: xyz(xy + yz + zx) > 0 (4) Cộng các BĐT (3) và (4) vế theo vế ta được: (xy + yz + zx)(2 + xyz) > 18xyz ⇒ xy + yz + zx > + 18xyz 2 xyz (vì 2 +xyz > 0) 2.Chứng minh BĐT sau đây ln ln đúng với mọi số thực x, y, z bất kì khác khơng: + + ≥ + + 2 2 2 2 2 2 1 1 1 9 x y z x y z (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) LỜI GIẢI BĐT cần chứng minh ⇔       + + + + + + + +  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷       2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y z x z x y 1 1 1 x x y y z z ≥ 9 ⇔ 3 +       + + + + +  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷       2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y z x z x y x x y y z z ≥ 9 3. Cho 3 số a, b, c khác 0. Chứng minh: + + ≥ + + 2 2 2 2 2 2 a b c a b c b c a b c a (ĐH Y Dược TP HCM 1999) LỜI GIẢI Áp dụng BĐT Cơsi ta có: * + + ≥ = 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 a b c a b c 3 . . 3 b c a b c a (1) * + ≥ 2 2 a a 1 2 b b ; + ≥ 2 2 b b 1 2 c c ; + ≥ 2 2 c c 1 2 a a ⇒   + + ≥ + + −  ÷   2 2 2 2 2 2 a b c a b c 2 3 b c a b c a (2) Kết hợp (1) và (2) ta được:     + + ≥ + +  ÷  ÷  ÷     2 2 2 2 2 2 a b c a b c 2 2 b c a b c a ⇒ + + ≥ + + 2 2 2 2 2 2 a b c a b c b c a b c a 1. CMR với mọi x, y, z dương và x + y + z = 1 thì xy + yz + zx > + 18xyz 2 xyz (ĐH Tây Ngun khối AB 2000) 4. Cho x, y, z ≥ 0 và x + y + z ≤ 3. Chứng minh rằng: + + ≤ ≤ + + + + + + + + 2 2 2 x y z 3 1 1 1 2 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z (ĐH Hàng hải 1999) LỜI GIẢI • Do (x – 1) 2 ≥ 0 nên x 2 + 1 ≥ 2x ⇔ + 2 2x 1 x ≤ 1 Tương tự ta cũng có: + 2 2y 1 y ≤ 1; + 2 2z 1 z ≤ 1 Do đó: + 2 2x 1 x + + 2 2y 1 y + + 2 2z 1 z ≤ 3 Hay: + + ≤ + + + 2 2 2 x y z 3 2 1 x 1 y 1 z (1) • Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số không âm ta có: + + + + + ≥ = + + + + + + 3 3 1 1 1 1 1 1 x 1 y 1 z 3 (1 x)(1 y)(1 z) (1 x)(1 y)(1 z) ⇒ ≤ + + + + + + + + 3 3 (1 x)(1 y)(1 z) 1 1 1 1 x 1 y 1 z ≤ + + + + +(1 x) (1 y) (1 z) 3 ≤ 2 ⇔ ≤ + + + + + 3 1 1 1 2 1 x 1 y 1 z (2) Kết hợp (1) và (2) ta được BĐT cần chứng minh. 5. Cho 3 số x, y, z thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0;1]. Chứng minh rằng: 2(x 3 + y 3 + z 3 ) – (x 2 y + y 2 z + z 2 x) ≤ 3 (*) (ĐH An ninh HN khối D 1999) LỜI GIẢI Vì 0 ≤ x, y, z ≤ 1 nên x 2 ≥ x 3 ; y 2 ≥ y 3 ; z 2 ≥ z 3 . Suy ra: 2(x 3 + y 3 + z 3 ) – (x 2 y + y 2 z + z 2 x) ≤ 2(x 2 + y 2 + z 2 ) – (x 2 y + y 2 z + z 2 x) Do đó nếu ta chứng minh được: 2(x 2 + y 2 + z 2 ) – (x 2 y + y 2 z + z 2 x) ≤ 3 (1) thì (*) đúng. Ta có: (1 – y)(1 + y – x 2 ) ≥ 0 ⇔ x 2 + y 2 – x 2 y – 1 ≤ 0 (2) Dấu “=” ở (2) xảy ra ⇔ =   =     =   y 1 x 1 y 0 Tương tự ta cũng có: x 2 + z 2 – z 2 x – 1 ≤ 0 (3) y 2 + z 2 – y 2 z – 1 ≤ 0 (4) Cộng (2), (3), (4) vế theo vế ta được: 2(x 2 + y 2 + z 2 ) – (x 2 y + y 2 z + z 2 x) ≤ 3 Vậy (1) đúng ⇒ (*) đúng Nhận xét: Dấu “=” ở (*) xảy ra ⇔ (x; y; z) ∈ { } (1;1;1),(1;1;0),(1;0;1),(0;1;1) 6. Cho x, y, z là 3 số dương và x + y + z ≤ 1. Chứng minh rằng: + + + + + ≥ 2 2 2 2 2 2 1 1 1 x y z 82 x y z (Đại học khối A 2003) LỜI GIẢI (x + y + z) 2 +   + +  ÷   2 1 1 1 x y z = 81(x + y + z) 2 +   + +  ÷   2 1 1 1 x y z – 80(x + y + z) 2 ≥ 18(x + y + z).   + +  ÷   1 1 1 x y z – 80(x + y + z) 2 ≥ 162 – 80 = 82 Vậy P ≥ 82 Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z = 1 3 . 7. Cho x, y, z là các số dương thoả mãn : + + = 1 1 1 4 x y z . Chứng minh rằng: + + ≤ + + + + 1 1 1 1 2x+y+z x 2y z x y 2z (Đại học khối A 2005) LỜI GIẢI Với a, b > 0 ta có: 4ab ≤ (a + b) 2 ⇔ + ≤ + 1 a b a b 4ab ⇔   ≤ +  ÷ +   1 1 1 1 a b 4 a b Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b. Áp dụng kết quả trên ta có:   ≤ +  ÷ +   1 1 1 1 2x+y+z 4 2x y z ≤     + +    ÷     1 1 1 1 1 4 2x 4 y z =   + +  ÷   1 1 1 1 8 x 2y 2z (1) Tương tự:   ≤ +  ÷ + + +   1 1 1 1 x 2y z 4 2y x z ≤     + +  ÷       1 1 1 1 1 4 2y 4 x z =   + +  ÷   1 1 1 1 8 y 2z 2x (2)   ≤ +  ÷ + + +   1 1 1 1 x y 2z 4 2z x y ≤     + +    ÷     1 1 1 1 1 4 2z 4 x y =   + +  ÷   1 1 1 1 8 z 2x 2y (3) Vậy:   + + ≤ + +  ÷ + + + +   1 1 1 1 1 1 1 2x+y+z x 2y z x y 2z 4 x yz = 1 Ta thấy trong các bất đẳng thức (1), (2), (3) thì dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y = z. Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 3 4 . 8. (Đại học khối D 2005) Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng: + + + + + + + + ≥ 3 3 3 3 3 3 1 x y 1 y z 1 z x 3 3 xy yz zx Khi nào đẳng thức xảy ra? [...]... 3c + 2) 3 3 3 (c + 3a).1.1 ≤ c + 3a + 1+ 1 = 1 (c + 3a + 2) 3 3 1 3 1  3 3 3 Suy ra: a + 3b + b + 3c + c + 3a ≤ [ 4(a + b + c) + 6] ≤  4 + 6 = 3 3 4 3  3  a + b + c = 1 4 Dấu "=" xảy ra ⇔  ⇔a=b=c= 4 a + 3b = b + 3c = c + 3a=1  • Cách 2: Đặt x = 3 a + 3b ⇒ x3 = a + 3b; y = 3 b + 3c ⇒ y3 = b + 3c; 3 (a + 3b).1.1 ≤ Ta có: z= 3 3 c + 3a ⇒ z = c + 3a ⇒ x3 + y3 + z3 = 4(a + b + c) = 4 3 = 3 BĐT... 3x 3 x =1+ 3 y + 3 y + 2 3 y ≥ 44 33 y3 2  9  36 ⇒  1+ ÷ ≥ 164 3  y÷ y   x3 y3 36 y  9   Vậy: ( 1+ x )  1+ ÷ 1+ ÷ ≥ 256 4 3 3 3 3 = 256 x  3 3 x y y÷    11 Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c = 3 3 Chứng minh rằng: 4 a + 3b + 3 b + 3c + 3 c + 3a ≤ 3 (Đại học khối B 2005 dự bị 1) LỜI GIẢI Cách 1: a + 3b + 1+ 1 1 = (a + 3b + 2) 3 3 3 (b + 3c).1.1 ≤ b + 3c + 1+ 1 = 1 (b + 3c...LỜI GIẢI Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có: 1+ x 3 + y 3 ≥ xy 1 + x3 + y3 ≥ 3 3 1.x3 y3 = 3xy ⇔ Tương tự: Mặt khác 1+ y3 + z3 ≥ yz 3 xy + 3 yz + 3 yz 3 zx ≥ 33 3 xy 1+ z3 + x3 ≥ zx (2); 3 3 yz 3 zx (3) 3 xy (1) zx 3 3 3 + + 3 3 (4) xy yz zx Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3) , (4) ta có đpcm Đẳng thức xảy ra ⇔ (1), (2), (3) , (4) là các đẳng thức ⇔ x =... ≤ 3 4 Ta có: x3 + 1 + 1 ≥ 3 3 x3 1.1 = 3x; y3 + 1 + 1 ≥ 3 3 y3 1.1 = 3y; z3 + 1 + 1 ≥ 3 3 z3 1.1 = 3z ⇒ 9 ≥ 3( x + y + z) (vì x3 + y3 + z3 = 3) Vậy x + y + z ≤ 3  x 3 = y 3 = z3 = 1  Dấu "=" xảy ra ⇔  ⇔ 3 a + b + c =  4 1 ⇔a=b=c= 4 a + 3b = b + 3c = c + 3a=1   3 a+b+c= 4  12 Chứng minh rằng nếu 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 thì x y − y x ≤ 1 4 Đẳng thức xảy ra khi nào? (Đại học khối B 2005 dự bị 2) LỜI GIẢI... (3) , chia 2 vế của bất đẳng thức nhận được cho 2 ta có đpcm Đẳng thức xảy ra ⇔ (1), (2), (3) là các đẳng thức ⇔ x = 0 2 y  9   10 Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 ta có: ( 1+ x )  1+ ÷ 1+ ÷ ≥ 256  x  y÷   Đẳng thức xảy ra khi nào? (Đại học khối A 2005 dự bị 2) LỜI GIẢI (Đại học khối A 2005 dự bị 2) Ta có: 1+x=1+ 1+ 1+ 9 y x x x x3 + + ≥ 44 3 3 3 3 3 y y y y y3 =1+ + + ≥ 44 3 3 x 3x 3x 3x... ÷   x2 y2 z2 3 x+y+z 3( x + y + z) 3 + + ≥− − +x+y+z ≥ − 1 + y 1+ z 1+ x 4 4 4 4 3 3 9 3 3 ≥ 3 − = − = (vì x + y + z ≥ 3 3 xyz = 3) 4 4 4 4 2 x2 y2 z2 3 + + ≥ Vậy: 1 + y 1+ z 1+ x 2 ⇔ 14 Cho a, b, c là những số dương thỏa mãn: a 2 + b 2 + c 2 = 3 Chứng minh bất đẳng thức 1 1 1 4 4 4 + + ≥ 2 + 2 + 2 a+b b+c c+a a +7 b +7 c +7 (ÑEÀ THI THI TUYEÅN SINH ÑH KHOÁI A,B,D NAÊM 2009) LỜI GIẢI 1 1 4 ( x >... x x  5 ÷ + 4 ÷ + 3 ÷ ≥ 3 +4 +5       Khi nào đẳng thức xảy ra? (Đại học khối B 2005) LỜI GIẢI Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có: x x x  12   15   12   5 ÷ + 4 ÷ ≥ 2  5 ÷       Tương tự ta có: x x x  15   ÷ ⇒  4  x x  12   15  x  5 ÷ +  4 ÷ ≥ 2 .3     x x (1)  12   20   15   20  x x (2) (3)  5 ÷ +  3 ÷ ≥ 2.4  4 ÷ +  3 ÷ ≥ 2.5     ... 1   2 ⇔ xảy ra ⇔  x = x 1  y = 4 1   yx2 =  4 Ta có: 0 ≤ x ≤ 1 ⇒ 13 Cho x, y, z là 3 số dương và xyz = 1 CMR: x2 y2 z2 3 + + ≥ 1 + y 1+ z 1+ x 2 (Đại học khối D 2005 dự bị 2) LỜI GIẢI Ta có: 2 2 x 1+ y x 1+ y + ≥2 =x 1+ y 4 1+ y 4 y 2 1+ z y 2 1+ z + ≥2 =y 1+ z 4 1+ z 4 z2 1+ x z 2 1+ x + ≥2 =z 1+ x 4 1+ x 4 Cộng 3 bất đẳng thức trên, vế theo vế, ta có:  x2 1+ y   y 2 1 + z   z 2 1+ . cho 3 số dương ta có: 1 + x 3 + y 3 ≥ 3 3 3 3 1.x .y = 3xy ⇔ + + ≥ 3 3 1 x y 3 xy xy (1) Tương tự: + + ≥ 3 3 1 y z 3 yz yz (2); + + ≥ 3 3 1 z x 3 zx zx (3) Mặt khác + + ≥ 3 3 3 3 3 3 3 3 xy. bị 2) LỜI GIẢI (Đại học khối A 2005 dự bị 2) Ta có: 1 + x = 1 + + + ≥ 3 4 3 x x x x 4 3 3 3 3 1 + y x = 1 + + + ≥ 3 4 3 3 y y y y 4 3x 3x 3x 3 x 1 + 9 y = 1 + + + ≥ 3 4 3 3 3 3 3 4 y y. + ≤ 3 3 3 a 3b b 3c c 3a 3 (Đại học khối B 2005 dự bị 1) LỜI GIẢI Cách 1: Ta có: + + + + ≤ = + + 3 a 3b 1 1 1 (a 3b).1.1 (a 3b 2) 3 3 + + + + ≤ = + + 3 b 3c 1 1 1 (b 3c).1.1 (b 3c 2) 3 3 + +