BĐT cần ch.
Trang 1LỜI GIẢI 14 BÀI CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG TUYỂN SINH ĐẠI HỌC
LỜI GIẢI
Áp dụng BĐT Cơsi cho 6 số dương ta cĩ:
2 = x + y + z + x + y + z ≥ 63xyz (1)
và xy + yz + zx ≥ 33x y z2 2 2 (2)
Nhân các BĐT (1) và (2) vế theo vế ta được:
2(xy + yz + zx) ≥ 18xyz (3)
Mặt khác ta cĩ: xyz(xy + yz + zx) > 0 (4)
Cộng các BĐT (3) và (4) vế theo vế ta được:
(xy + yz + zx)(2 + xyz) > 18xyz ⇒ xy + yz + zx >
+
18xyz
2 xyz (vì 2 +xyz > 0)
2.Chứng minh BĐT sau đây luơn luơn đúng với mọi số thực x, y, z bất kì khác khơng:
+ + ≥
+ +
(CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)
LỜI GIẢI
BĐT cần chứng minh ⇔ + + ÷ ÷ + + + ÷ ÷ + + + ÷÷
3 Cho 3 số a, b, c khác 0 Chứng minh: a22+b22+c22 ≥ + +a b c
b c a
(ĐH Y Dược TP HCM 1999)
LỜI GIẢI
Áp dụng BĐT Cơsi ta cĩ:
* 2+ 2 + 2 ≥ 3 2 2 2 =
* a22+ ≥1 2a
b
b ; b22+ ≥1 2b
c
c ; c22+ ≥1 2c
a a
⇒ + + ≥ + + ÷−
b c a
Kết hợp (1) và (2) ta được:
b c a
⇒ a22+b22 +c22 ≥ + +a b c
b c a
1 CMR với mọi x, y, z dương và x + y + z = 1 thì xy + yz + zx >
+
18xyz
2 xyz (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000)
Trang 24 Cho x, y, z ≥ 0 và x + y + z ≤ 3 Chứng minh rằng:
+ 2 + 2 + 2
2 1 x 1 y 1 z
(ĐH Hàng hải 1999)
Trang 3LỜI GIẢI
• Do (x – 1)2 ≥ 0 nên x2 + 1 ≥ 2x ⇔
+ 2
2x
1 x ≤ 1 Tương tự ta cũng có:
+ 2
2y
1 y ≤ 1; + 2
2z
1 z ≤ 1
Do đó:
+ 2
2x
1 x + + 2
2y
1 y + + 2
2z
1 z ≤ 3
+ 2 + 2 + 2
2
• Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số không âm ta có:
3
3
1 x 1 y 1 z
3 (1 x)(1 y)(1 z) (1 x)(1 y)(1 z)
3
+ + + + + (1 x) (1 y) (1 z)
Kết hợp (1) và (2) ta được BĐT cần chứng minh
Trang 45 Cho 3 số x, y, z thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0;1] Chứng minh rằng:
2(x3 + y3 + z3) – (x2y + y2z + z2x) ≤ 3 (*) (ĐH An ninh HN khối D 1999)
Trang 5LỜI GIẢI
Vì 0 ≤ x, y, z ≤ 1 nên x2 ≥ x3; y2 ≥ y3; z2 ≥ z3
Suy ra: 2(x3 + y3 + z3) – (x2y + y2z + z2x) ≤ 2(x2 + y2 + z2) – (x2y + y2z + z2x)
Do đó nếu ta chứng minh được:
2(x2 + y2 + z2) – (x2y + y2z + z2x) ≤ 3 (1)
thì (*) đúng
Ta có: (1 – y)(1 + y – x2) ≥ 0 ⇔ x2 + y2 – x2y – 1 ≤ 0 (2)
Dấu “=” ở (2) xảy ra ⇔
=
=
=
y 1
x 1
y 0 Tương tự ta cũng có: x2 + z2 – z2x – 1 ≤ 0 (3)
y2 + z2 – y2z – 1 ≤ 0 (4) Cộng (2), (3), (4) vế theo vế ta được:
2(x2 + y2 + z2) – (x2y + y2z + z2x) ≤ 3 Vậy (1) đúng ⇒ (*) đúng
Nhận xét: Dấu “=” ở (*) xảy ra ⇔ (x; y; z) ∈{(1;1;1),(1;1;0),(1;0;1),(0;1;1)}
Trang 66 Cho x, y, z là 3 số dương và x + y + z ≤ 1 Chứng minh rằng:
(Đại học khối A 2003)
Trang 7LỜI GIẢI
(x + y + z)2 + + +
2
1 1 1
x y z = 81(x + y + z)
2 + + +
2
1 1 1
x y z – 80(x + y + z)
2
≥ 18(x + y + z). + + ÷
1 1 1
x y z – 80(x + y + z)2 ≥ 162 – 80 = 82 Vậy P ≥ 82
Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z = 31
Trang 87 Cho x, y, z là các số dương thoả mãn : 1 1 1+ + =4
+ + + +
2x+y+z x 2y z x y 2z (Đại học khối A 2005)
Trang 9LỜI GIẢI
Với a, b > 0 ta có:
4ab ≤ (a + b)2 ⇔ ≤ +
+
a b 4ab ⇔ ≤ + ÷
a b 4 a b Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b
Áp dụng kết quả trên ta có:
≤ + ÷
+
2x+y+z 4 2x y z ≤ + + ÷
4 2x 4 y z =
+ +
8 x 2y 2z (1) Tương tự:
≤ + ÷
x 2y z 4 2y x z ≤ + + ÷
4 2y 4 x z =
+ +
8 y 2z 2x (2)
≤ + ÷
x y 2z 4 2z x y ≤ + + ÷
4 2z 4 x y =
+ +
8 z 2x 2y (3)
2x+y+z x 2y z x y 2z 4 x yz = 1
Ta thấy trong các bất đẳng thức (1), (2), (3) thì dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
x = y = z Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 3
4.
Trang 108 (Đại học khối D 2005)
Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1 Chứng minh rằng:
+ 3+ 3 + + 3+ 3 + + 3+ 3 ≥
Khi nào đẳng thức xảy ra?
Trang 11LỜI GIẢI
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có:
1 + x3 + y3 ≥ 331.x y = 3xy ⇔ 3 3 1 x+xy3+y3 ≥ 3
xy (1) Tương tự: 1 y+ 3+z3 ≥ 3
Mặt khác 3 + 3 + 3 ≥33 3 3 3
⇒ 3 + 3 + 3 ≥3 3
Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3), (4) ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra ⇔ (1), (2), (3), (4) là các đẳng thức ⇔ x = y = z = 1
Trang 129 Chứng minh rằng với mọi x ∈ R, ta có:
+ + ≥ + +
÷ ÷ ÷
Khi nào đẳng thức xảy ra?
(Đại học khối B 2005)
Trang 13LỜI GIẢI
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có:
+ ≥
÷ ÷ ÷ ÷
5 4 ≥ 2.3x (1) Tương tự ta có:
+
÷ ÷
5 3 ≥ 2.4x (2) +
÷ ÷
4 3 ≥ 2.5x (3) Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3), chia 2 vế của bất đẳng thức nhận được cho 2 ta có đpcm Đẳng thức xảy ra ⇔ (1), (2), (3) là các đẳng thức ⇔ x = 0
Trang 1410 Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 ta có: ( + ) + ÷ + ÷÷
2
Đẳng thức xảy ra khi nào?
(Đại học khối A 2005 dự bị 2)
Trang 15LỜI GIẢI
(Đại học khối A 2005 dự bị 2)
Ta có: 1 + x = 1 + + + ≥ 4 3
3
1 + y
x = 1 + + + ≥ 4 3
3 3
1 + 9
3
y y y y ⇒ + ÷÷ ≥
4 3
Vậy: ( + ) + ÷ + ÷÷
2
4
3 3 3 3
x . y .3
3 3 x y = 256
Trang 1611 Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c = 3
4 Chứng minh rằng:
+ + + + + ≤
3a 3b 3b 3c 3c 3a 3 (Đại học khối B 2005 dự bị 1)
LỜI GIẢI
Cách 1:
Ta có: 3(a 3b).1.1+ ≤a 3b 1 1 1+ + + = (a 3b 2)+ +
+ + +
3(b 3c).1.1 b 3c 1 1 1(b 3c 2)
+ + +
3(c 3a).1.1 c 3a 1 1 1(c 3a 2)
Suy ra: 3a 3b+ +3b 3c+ +3c 3a+ ≤ 1[4(a b c) 6+ + + ]
1 4.3 6
Dấu "=" xảy ra ⇔ + + =
+ = + = +
3
a b c
4
a 3b b 3c c 3a=1 ⇔ a = b = c = 41
• Cách 2:
Đặt x = 3a 3b ⇒ x+ 3 = a + 3b; y = 3b 3c ⇒ y+ 3 = b + 3c;
z = 3c 3a ⇒+ z3 = c + 3a
⇒ x3 + y3 + z3 = 4(a + b + c) = 4.3
4 = 3 BĐT cần ch minh ⇔ x + y + z ≤ 3
Ta có: x3 + 1 + 1 ≥ 33 3x 1.1 = 3x; y3 + 1 + 1 ≥ 33y 1.1 = 3y;3
z3 + 1 + 1 ≥ 33 3z 1.1 = 3z
⇒ 9 ≥ 3(x + y + z) (vì x3 + y3 + z3 = 3)
Vậy x + y + z ≤ 3
Dấu "=" xảy ra ⇔
= = =
+ + =
3
a b c
4 ⇔
+ = + = +
a 3b b 3c c 3a=1
3 a+b+c=
4
⇔ a = b = c = 14
12 Chứng minh rằng nếu 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 thì x y y x− ≤ 1
4. Đẳng thức xảy ra khi nào?
(Đại học khối B 2005 dự bị 2)
LỜI GIẢI
Ta có: 0 ≤ x ≤ 1 ⇒ x ≥ x2
− ≤ 1
x y y x
4 ⇔ x y ≤ +1 y x
Theo BĐT Côsi ta có:y x+ ≥1 yx2+ ≥1 2 yx 2 1=x y
4 Dấu "="
xảy ra ⇔
≤ ≤ ≤
=
2
2
y
yx
4
Trang 1713 Cho x, y, z là 3 số dương và xyz = 1 CMR: + + ≥
1 y 1 z 1 x 2 (Đại học khối D 2005 dự bị 2)
LỜI GIẢI
Cộng 3 bất đẳng thức trên, vế theo vế, ta cĩ:
≥ 3.3− = − =3 9 3 3
4 4 4 4 2 (vì x + y + z ≥ 33xyz = 3)
1 y 1 z 1 x 2.
14 Cho , , a b c là những số dương thỏa mãn: 2 2 2
3
a b b c c a + + ≥ a + b + c
(ĐỀ THI THI TUYỂN SINH ĐH KHỐI A,B,D NĂM 2009)
LỜI GIẢI
Áp dụng bất đẳng thức 1 1 4 ( x 0, y 0)
x + ≥ y x y > >
+
Ta Ta lại cĩ:
a b b c + ≥ a b c b c c a + ≥ a b c c a a b + ≥
Tương tự: 1 22 ; 1 22
2 b c a ≥ b 7 2 c a b ≥ c 7
Từ đĩ suy ra 1 1 1 24 24 24
a b b c c a + + ≥ a + b + c
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.