0 A. Các vấn đề chính: 1. Véc tơ, các phép toán véc tơ trong không gian và ứng dụng. 2. Chứng minh vuông góc: đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng, đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng, 2 mặt phẳng vuông góc. 3. Các bài toán tính góc: Góc giữa 2 đờng thẳng, góc giữa đờng thẳng và mặt phẳng, góc giữa 2 mặt phẳng. 4. Các bài toán tính khoảng cách: Từ 1 điểm đến 1 đờng thẳng, đến 1 mặt phẳng, khoảng cách giữa 2 đờng thẳng chéo nhau. 5. Bài toán dựng thiết diện, tính diện tích thiết diện. B. Bài tập: Loại 1: Chứng minh đ ờng thẳng vuông góc với mặt phẳng, với đ ờng thẳng: 1. Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với (ABC) và tam giác ABC vuông ở B. a) Chứng minh BC (SAB) b) Gọi AH là đờng cao của SAB. Chứng minh: AH (SBC) 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O; gọi I, J lần lợt là trung điểm AB, BC. Biết SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng: a) SO (ABCD) b) IJ (SBD) 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA (ABCD). Gọi H, I, K lần lợt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SB, SC, SD. a) Chứng minh rằng: CD (SAD), BD (SAC) b) Chứng minh: SC (AHK) và điểm I cũng thuộc (AHK) c) Chứng minh: HK (SAC), từ đó suy ra HK AI 4. Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là 2 tam giác đều, gọi I là trung điểm BC a) Chứng minh: BC (AID) b) Vẽ đờng cao AH của tam giác AID. Chứng minh: AH (BCD) 5. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gi H là điểm thuộc mp(ABC) sao cho OH (ABC). Chứng minh rằng: a) BC (OAH) b) H là trực tâm của ABC c) 2222 1111 OCOBOAOH ++= 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC = 2a . Gọi H, K lần lợt là trung điểm của các cạnh AB, AD. a) Chứng minh: SH (ABCD) b) Chứng minh: AC SK và CK SD 7. Gọi I là 1 điểm bất kì nằm trong đờng tròn (O; R). CD là dây cung của đờng tròn (O) qua I. Trên đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa (O) tại I ta lấy điểm S với OS = R. Gọi E là điểm đối tâm của D trên (O). Chứng minh rằng: a) Tam giác SDE vuông ở S b) SD CE c) Tam giác SCD vuông. Loại 2: Chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc: 8. Cho tứ diện ABCD có 2 mặt phẳng ABC, ABD cùng vuông góc với đáy DBC. Vẽ các đờng cao BE, DF của tam giác BCD; đờng cao DK của tam giác ACD a) Chứng minh: AB (BCD) b) Chứng minh 2 mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với (ADC) c) Gọi O và H lần lợt là trực tâm của 2 tam giác BCD và ACD. CM: OH (ADC) 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a; góc BAC = 60 0 , SA (ABCD) và SA = 6a . Chứng minh: a) (SAC) (ABCD) và (SAC) (SBD) TMT b) (SBC) (SDC) 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD. a) Chứng minh: SO (ABCD); (SAC) (SBD) b) Một mặt phẳng ( ) đi qua A và song song với BD cắt SB, SC, SD lần lợt tại B, C, D. Chứng minh AC BD và 2 tam giác ABC và ADC đối xứng với nhau qua mặt phẳng (SAC) 11. Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm của BC, D là điểm đối xứng với A qua I. Dựng đoạn SD = 6 2 a vuông góc với (ABC). Chứng minh: a) Mặt phẳng (SAB) (SAC) b) Mặt phẳng (SBC) (SAD) 12. Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD với AB = a và BD = 2 3 a . Trên đờng thẳng vuông góc với (P) tại giao điểm của 2 đờng chéo của hình thoi lấy điểm S sao cho SB = a. a) Chứng minh tam giác ASC vuông b) Chứng minh: (SAB) (SAD) 13. Cho hình tứ diện ABCD có AB = BC = a; AC = b; DC = DB = x, AD = y. Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, x, y để: a) (ABC) (BCD) b) (ABC) (ACD) 14. Cho ABC vuông tại A. Vẽ BB và CC cùng vuông góc với (ABC) a) (ABB) (ACC) b) Gọi AH, AK là các đờng cao của các tam giác ABC và ABC. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (BCCB) và (ABC) cùng vuông góc với (AHK) Loại 3: Góc của 2 đ ờng thẳng: 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AD = DC = a, AB = 2a. SA vuông góc với AB và AD, SA = 2 3 3 a . Tính góc của 2 đờng thẳng: a) SB và DC (30 0 ) b) SD và BC (cos = 42 14 ) 16. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, gọi I là trung điểm cạnh AD. Tính góc giữa AB và CI (cos = 3 6 ) 17.Cho hình lập phơng ABCD.ABCD a) Tính góc giữa: AB và BC; AC và CD (60 0 và 90 0 ) b) Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm AB, BC, CD. Hãy tính góc giữa: MN và CD; BD và AD; MN và ; AP và DN. (60 0 , 45 0 , 90 0 ) Loại 4: Góc giữa đ ờng thẳng và mặt phẳng: 18.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = 6a vuông góc với đáy. Tính góc của: a) SC với (ABCD) (60 0 ) b) SC với (SAB) 7 tan 7 = ữ c) SB với (SAC) 14 sin 14 = ữ 19.Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc. Gọi I là trung điểm AB. a) Chứng minh SI (ABCD) và tính góc hợp bởi SC với (ABCD) 15 tan 5 = ữ Gv. Trần Mạnh Tùng - THPT Liễu Giai, THPT Lơng Thế Vinh - HN 2 b) Tính khoảng cách từ B đến (SAD). Suy ra góc của SC với (SAD) 3 6 ;sin 2 4 a = ữ c) Gọi J là trung điểm CD, chứng tỏ (SIJ) (ABCD). Tính góc hợp bởi SI với (SDC) 2 tan 3 = ữ 20.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a và SO vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lợt là trung điểm SA và BC. Biết góc giữa MN và (ABCD) là 60 0 a) Tính MN, SO 10 30 ; 2 2 a a MN SO = = ữ b) Tính góc của MN với mặt phẳng(SBD) 2 sin 5 = ữ Loại 5: Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng: 21.Cho tứ diện SABC có SA, SB, Sc đôi một vuông góc và SA = SB = SC. Gọi I, J lần lợt là trung điểm AB, BC. Tính góc của 2 mặt phẳng: (SAJ) và (SCI) (60 0 ) 22.Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. a) Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy (30 0 ) b) Tính góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy 2 tan 3 = ữ 23.Cho hình lăng trụ ABC.ABC có tất cả các cạnh đáy đều bằng a. Biết góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là 60 0 và hình chiếu H của đỉnh A lên (ABC) trùng với trung điểm của BC. a) Tính khoảng cách giữa 2 mặt đáy (3a/2) b) Tính góc giữa 2 đờng thẳng: BC và AC (tan = 3) c) Tính góc giữa mặt phẳng (ABBA) và mặt đáy ( ) tan 2 3 = 24.Cho hình vuông ABCD cạnh a, vẽ SA = 3a vuông góc với (ABCD). Tính góc: a) (SAB) và (ABC) (90 0 ) b) (SBD) và (ABD) ( ) tan 6 = c) (SAB) và (SCD) (30 0 ) 25.Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O; SA vuông góc với (ABCD). Tính SA theo a để góc giữa (SBC) và (SCD) bằng 60 0 (SA = a) 26.Cho hình thoi ABCD cạnh a có tâm O và OB = 3 a , vẽ SO (ABCD) và SO = 6 3 a a) Chứng minh: góc ASC = 90 0 b) Chứng minh: (SAB) (SAD) 27.Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều, DBC vuông cân tại D. Biết AB = 2a, AD = 7a . Tính góc giữa (ABC) và (DBC) (30 0 ) Loại 6: Các bài toán về khoảng cách: 28.Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác đều cạnh a, AB (BCD) và AB = a. Tính k/c: a) Từ D đến (ABC) ( 3 2 a ) b) Từ B đến (ACD) ( 21 7 a ) 29.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB vuông góc với đáy và SA = SB = b. Tính khoảng cách: a) Từ S đến (ABCD) ( 2 2 1 4 2 b a ) b) Từ trung điểm I của CD đến (SHC), H là trung điểm AB ( 5 5 a ) Gv. Trần Mạnh Tùng - THPT Liễu Giai, THPT Lơng Thế Vinh - HN 3 c) Từ AD đến (SBC) ( 2 2 4 2 a b a b ) 30.Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a. SC = SA = SB = AD = a 2 . Gọi I, J lần lợt là trung điểm của AD và BC a) Chứng minh (SIJ) (SBC) b) Tính khoảng cách giữa 2 đờng thẳng AD và SB ( 42 7 a ) 31.Cho hình lăng trụ ABC.ABC có AA (ABC) và AA = a, đáy là tam giác vuông tại A có BC = 2a, AB = a 3 . a) Tính khoảng cách từ AA đến mặt phẳng(BCCB) ( 3 2 a ) b) Tính khoảng cách từ A đến (ABC) ( 21 7 a ) c) Chứng minh rằng AB vuông góc với mặt phẳng(ACCA) và tính khoảng cách từ A đến (ABC) ( 2 2 a ) 32.Cho hình vuông ABCD cạnh a. Dựng SA = a và SA (ABCD). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của: a) SB à AD b) AB và SC ( 2 2 a ; 2 2 a ) 33.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa 2 đờng thẳng: a) SC và BD b) AC và SD ( 6 6 a ; 3 3 a ) Gv. Trần Mạnh Tùng - THPT Liễu Giai, THPT Lơng Thế Vinh - HN 4 . (SAB) và (SCD) (30 0 ) 25.Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O; SA vuông góc với (ABCD). Tính SA theo a để góc giữa (SBC) và (SCD) bằng 60 0 (SA = a) 26.Cho hình thoi ABCD cạnh a có tâm O và OB