Chứng minh vuông góc: đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng, đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng, 2 mặt phẳng vuông góc.. Các bài toán tính góc: Góc giữa 2 đờng thẳng, góc giữa đờng thẳng v
Trang 1 - -
A Các vấn đề chính:
1 Véc tơ, các phép toán véc tơ trong không gian và ứng dụng
2 Chứng minh vuông góc: đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng,
đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng, 2 mặt phẳng vuông góc
3 Các bài toán tính góc: Góc giữa 2 đờng thẳng, góc giữa đờng thẳng
và mặt phẳng, góc giữa 2 mặt phẳng
4 Các bài toán tính khoảng cách: Từ 1 điểm đến 1 đờng thẳng, đến 1
mặt phẳng, khoảng cách giữa 2 đờng thẳng chéo nhau
5 Bài toán dựng thiết diện, tính diện tích thiết diện
B Bài tập:
Loại 1: Chứng minh đ ờng thẳng vuông góc với mặt phẳng, với đ ờng thẳng:
1 Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với (ABC) và tam giác ABC vuông ở B
a) Chứng minh BC ⊥ (SAB)
b) Gọi AH là đờng cao của ∆SAB Chứng minh: AH ⊥ (SBC)
2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O; gọi I, J lần lợt là trung điểm AB,
BC Biết SA = SC, SB = SD Chứng minh rằng:
a) SO ⊥ (ABCD)
b) IJ ⊥ (SBD)
3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA ⊥ (ABCD) Gọi
H, I, K lần lợt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SB, SC, SD
a) Chứng minh rằng: CD ⊥ (SAD), BD ⊥ (SAC)
b) Chứng minh: SC ⊥ (AHK) và điểm I cũng thuộc (AHK)
c) Chứng minh: HK ⊥ (SAC), từ đó suy ra HK ⊥ AI
4 Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là 2 tam giác đều, gọi I là trung điểm BC
a) Chứng minh: BC ⊥ (AID)
b) Vẽ đờng cao AH của tam giác AID Chứng minh: AH ⊥ (BCD)
5 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau Gọi H là điểm thuộc
mp(ABC) sao cho OH ⊥ (ABC) Chứng minh rằng:
a) BC ⊥ (OAH)
b) H là trực tâm của ∆ABC
c) 1 2 12 12 1 2
OC OB
OA
OH = + +
6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều
và SC = a 2 Gọi H, K lần lợt là trung điểm của các cạnh AB, AD
a) Chứng minh: SH ⊥ (ABCD)
b) Chứng minh: AC ⊥ SK và CK ⊥ SD
7 Gọi I là 1 điểm bất kì nằm trong đờng tròn (O; R) CD là dây cung của đờng tròn (O) qua I Trên đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa (O) tại I ta lấy điểm S với OS = R Gọi E là
điểm đối tâm của D trên (O) Chứng minh rằng:
a) Tam giác SDE vuông ở S
b) SD ⊥ CE c) Tam giác SCD vuông
Loại 2: Chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc:
8 Cho tứ diện ABCD có 2 mặt phẳng ABC, ABD cùng vuông góc với đáy DBC Vẽ các đờng cao BE, DF của tam giác BCD; đờng cao DK của tam giác ACD
a) Chứng minh: AB ⊥ (BCD)
b) Chứng minh 2 mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với (ADC)
c) Gọi O và H lần lợt là trực tâm của 2 tam giác BCD và ACD CM: OH ⊥ (ADC)
9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a; góc BAC = 600, SA ⊥ (ABCD)
TMT
Trang 2b) (SBC) ⊥ (SDC)
10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD
a) Chứng minh: SO ⊥ (ABCD); (SAC) ⊥ (SBD)
b) Một mặt phẳng (α ) đi qua A và song song với BD cắt SB, SC, SD lần lợt tại B’, C’, D’. Chứng minh AC’ ⊥ B’D’ và 2 tam giác AB’C’ và AD’C’ đối xứng với nhau qua mặt phẳng (SAC)
11 Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm của BC, D là điểm đối xứng với A qua I Dựng đoạn SD = 6
2
a vuông góc với (ABC) Chứng minh:
a) Mặt phẳng (SAB) ⊥ (SAC)
b) Mặt phẳng (SBC) ⊥ (SAD)
12 Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD với AB = a và BD = 2
3
a
Trên đờng thẳng vuông góc với (P) tại giao điểm của 2 đờng chéo của hình thoi lấy điểm S sao cho SB = a
a) Chứng minh tam giác ASC vuông
b) Chứng minh: (SAB) ⊥(SAD)
13 Cho hình tứ diện ABCD có AB = BC = a; AC = b; DC = DB = x, AD = y Tìm hệ thức liên
hệ giữa a, b, x, y để:
a) (ABC) ⊥ (BCD)
b) (ABC) ⊥ (ACD)
14 Cho ∆ABC vuông tại A Vẽ BB’ và CC’ cùng vuông góc với (ABC)
a) (ABB’) ⊥ (ACC’)
b) Gọi AH, AK là các đờng cao của các tam giác ABC và AB’C’ Chứng minh rằng hai mặt phẳng (BCC’B’) và (AB’C’) cùng vuông góc với (AHK)
Loại 3: Góc của 2 đ ờng thẳng:
15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AD = DC = a, AB = 2a
SA vuông góc với AB và AD, SA = 2 3
3
a Tính góc của 2 đờng thẳng:
14 )
16 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, gọi I là trung điểm cạnh AD
6 ) 17.Cho hình lập phơng ABCD.A’B’C’D’
a) Tính góc giữa: AB’ và BC’; AC’ và CD’ (600 và 900) b) Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm AB, BC, C’D’ Hãy tính góc giữa: MN và C’D’; BD và
Loại 4: Góc giữa đ ờng thẳng và mặt phẳng:
18.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a 6 vuông góc với đáy Tính góc của:
7
α
=
14
α
=
19.Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc Gọi
I là trung điểm AB
a) Chứng minh SI ⊥ (ABCD) và tính góc hợp bởi SC với (ABCD) tanα = 15ữ
Trang 3b) Tính khoảng cách từ B đến (SAD) Suy ra góc của SC với (SAD) 3;sin 6
=
c) Gọi J là trung điểm CD, chứng tỏ (SIJ) ⊥ (ABCD)
3
α
20.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a và SO vuông góc với đáy Gọi
M, N lần lợt là trung điểm SA và BC Biết góc giữa MN và (ABCD) là 600
5
α
Loại 5: Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng:
21.Cho tứ diện SABC có SA, SB, Sc đôi một vuông góc và SA = SB = SC Gọi I, J lần lợt là trung điểm AB, BC Tính góc của 2 mặt phẳng: (SAJ) và (SCI) (600)
22.Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a
a) Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy (300)
3
α
23.Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đáy đều bằng a Biết góc tạo bởi cạnh bên
và mặt đáy là 600 và hình chiếu H của đỉnh A lên (A’B’C’) trùng với trung điểm của B’C’
b) Tính góc giữa 2 đờng thẳng: BC và AC’ (tanα = 3) c) Tính góc giữa mặt phẳng (ABB’A’) và mặt đáy (tanα =2 3) 24.Cho hình vuông ABCD cạnh a, vẽ SA = a 3 vuông góc với (ABCD) Tính góc:
25.Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O; SA vuông góc với (ABCD) Tính SA theo a để góc
26.Cho hình thoi ABCD cạnh a có tâm O và OB =
3
a
, vẽ SO ⊥ (ABCD) và SO = 6
3
a
a) Chứng minh: góc ASC = 900
b) Chứng minh: (SAB) ⊥ (SAD)
27.Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều, ∆DBC vuông cân tại D
Biết AB = 2a, AD = a 7 Tính góc giữa (ABC) và (DBC) (300)
Loại 6: Các bài toán về khoảng cách:
28.Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác đều cạnh a, AB ⊥ (BCD) và AB = a Tính k/c:
2
a )
7
a ) 29.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB vuông góc với đáy và
SA = SB = b Tính khoảng cách:
b) Từ trung điểm I của CD đến (SHC), H là trung điểm AB (a 5 )
Trang 4c) Từ AD đến (SBC) ( 4 2 2
2
a b a b
− ) 30.Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a SC = SA = SB = AD = a 2
Gọi I, J lần lợt là trung điểm của AD và BC
a) Chứng minh (SIJ) ⊥ (SBC)
b) Tính khoảng cách giữa 2 đờng thẳng AD và SB ( 42
7
a ) 31.Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AA’ ⊥ (ABC) và AA’ = a, đáy là tam giác vuông tại A có
BC = 2a, AB = a 3
a) Tính khoảng cách từ AA’ đến mặt phẳng(BCC’B’) ( 3
2
a )
7
a ) c) Chứng minh rằng AB vuông góc với mặt phẳng(ACC’A’) và tính khoảng cách từ A’
2
a ) 32.Cho hình vuông ABCD cạnh a Dựng SA = a và SA ⊥ (ABCD) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của:
2
a ; 2
2
a ) 33.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy Tính khoảng cách giữa 2 đờng thẳng:
6
a ; 3
3
a )