DAP AN- HINH HOC KHONG GIAN

1.Hd: 1. ThiÕt diÖn lµ h×nh thang vu«ng MNCB, vu«ng t¹i B vµ M. 1 ( ) 2 MNCB S MN CB MB= + * BM 2 =BA 2 +AM 2 ⇒BM= 2 2 a x+ * ∆SMN ®ång d¹ng ∆SAD, ⇒ . (2 ). 2 SM AD a x b MN SA a − = = VËy 2 2 2 2 1 2 . (4 ) 2 2 4 MNCB ab bx b S b a x a x a x a a −   = + + = − +     2. XÐt hµm sè 2 2 ( ) (4 ) 4 b f x a x a x a = − + (0≤x≤2a) 2 2 2 2 2 4 '( ) 4 b x ax a f x a a x   − + − =   +   f'(x)=0 ⇔ 1 (1 ) 2 1 (1 ) 2 x a x a  = +    = −   Ta cã: f(0)=ab. f(2a)= 5 1,118 2 ab ab≈ f( 1 (1 ) 2 a + )= 2 1 1 1 .(3 ) 1 (1 ) 1,134 4 2 2 ab ab− + + ≈ f( 1 (1 ) 2 a − )= 2 1 1 1 .(3 ) 1 (1 ) 0,96 4 2 2 ab ab+ + − ≈ ⇒ [ ] 2 0;2 1 1 1 ( ) . .(3 ) 1 (1 ) 4 2 2 a Max f x ab= − + + khi 1 (1 ) 2 x a= + KÕt luËn: VËy víi 1 (1 ) 2 x a= + th× diÖn tÝch cña thiÕt diÖn lín nhÊt. 3. Gäi V lµ thÓ tÝch khèi chãp S.ABCD ⇒ 2 . 1 2 . . 3 3 S ABCD ABCD a b V SA V S = = = Gäi V1 lµ thÓ tÝch khèi S.MNCB V1=V (SMBC) +V (SMNC) 1 Chóc thµnh c«ng !!! Vò phóc S A M N D C B Ta có . . 2 . . 2 SMBC SABC V SM SB SC SM a x V SA SB SC SA a = = = V SABC = 2 1 1 . ( ) .2 3 6 2 V SA dt ABC a b= = 2 2 2 (2 ) . . 2 2 2 3 6 SMBC a x V a x a b a x ab V a a = = = * Ta có: 2 2 2 . . (2 ) . . . 4 SMNC SACD V SM SN SC SM SN MN a x V SA SC SD SA SD AD a = = = = ữ V SACD = 2 2 3 V a b = V SMNC = 2 2 2 2 (2 ) (2 ) . . 4 3 12 a x a b a x b a = V 1 = V SMNCB = 2 (2 ) (2 ) 6 12 a x ab a x b + Ycbt V 1 = 2 2 3 V a b = 2 2 (2 ) (2 ) 6 12 3 a x ab a x b a b + = x 2 -6ax+4a 2 =0 (3 5) 2 ( ) (3 5) ( / ) x a a loai x a t m = + > = Kết luận: Vậy x= (3 5)x a= thì (MBC) chia khối chóp thành 2 phần tơng đơng. 2. Hd: Gọi V 1 = 1 .C MNC V ; V 1 = 1 1 1 .C MNB A V V 3 = .C MNBA V ; V 4 = 1 1 MNABB A V Gọi V là thể tích của lăng trụ. 1 1 1 . 1 2C A B C V V V= + Mặt khác: 1 1 1 1 1 . 1 1 1 . . 1 . . 4 C A B C V CM CN CC V CA CB CC = = 1 2 1 1 . ; . 4 3 12 3 12 4 V V V V V V V= = = = 1 1 1 1 1 1 3 2 3 4 1 2 3 4 5 12 C ABC CMNC CA B C CMNC V V V V V V V V V V V V V V = = = = = = Vậy V 1 : V 2 : V 3 : V 4 = 1:3:3:5 3. Hd: 2 Chúc thành công !!! Vũ phúc A B C M N A' B' C' 1. Ta có SA(ABCD) () (ABCD) SA // () ()(SAB)=MN // SA ()(SAC)=OK // SA ()(SABCD)=NH qua O ()(SCD)=KH Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác MNHK. Ta có MN// OK // SA MN (ABCD); OK (ABCD) S td =S ht MKON + S KOH = 1 1 ( ). . . 2 2 MN KO ON OK OH+ + MN=BN=x; KO=SA/2; NH= 2 2 2 2 2 2 (2 ) 2 a IN IH x a a x ax+ = + = + Std= 2 2 1 ( ). 2 2 a a x x ax+ + 2. Để thiết diện là hình thang vuông MK// MO// BC N là trung điểm AB x=a/2. V= 3 1 . . ( ) 3 3 a SA dt ABCD = V1=V SOECH +V KOE.MNB 3 3 . 1 1 . . ( ) 3 3 2 24 S OECH a a V OK dt OECH = = = ữ 2 3 . 1 . ( ) . 2 2 2 16 KOE MNB a a a V ON dt MNB = = = ữ 3 3 3 3 1 2 1 5 11 24 16 48 48 a a a a V V V V= + = = = Vậy 2 1 11 5 V V = 4. Hd: Đặt (0 1) SM x x SA = < < 3 Chúc thành công !!! Vũ phúc S A D C B M K N O H E S A D C B M K N O H S A D C B N M Gọi thể tích của hình chóp S.ABCD là V 2 . . . . . . (1) . . . . (2) . . S MNC S ABC S MCD S ACD V SM SN SC x V SA SB SC V SM SC SD x V SA SC SD = = = = Ta có CD=4AB S ADC =4.S ABC S ADC = 3 4 ABCD S . . . 3 3 . ; 4 4 4 S ADC S ABCD S ABC V V V V V= = = Ta có 2 3 . ; . 4 4 SMNC SNCD V V V x V x= = V 1 =V SMNC +V SNCD = 2 ( 3 ) 4 V x x+ 2 2 1 3 17 ( / ) 3 1 2 3 2 0 4 2 3 17 ( ) 2 x t m V x x x x V x loai + = + = = + = = KL: Vậy 3 17 2 x + = 5. Hd: 1. * Ta chứng minh đợc AH SC. * 4 2 2 2 2 . . . . . SAHK SACB V SH SH SH SC SK SB SA V SC SB SC SB SB SC = = = * V ABC = 2 2 1 1 .sin 2 ( ). .cos .sin . 3 6 3 R h dt ABC SA AB SA = = * 2 5 2 2 2 2 2 .sin 2 3( 4 )( 4 cos ) SAHK R h V h R h R = + + 2. Đặt P= 2 2 2 2 sin 2 ( 2 2 cos )h R R + + MaxP= 2 2 2 1 4 .h R h+ Dấu bằng xảy ra 4 Chúc thành công !!! Vũ phúc B C H K S 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos2 sin 2 2 1 cos ( 2 2 cos 2 ) sin 2 2 sin 2 2 cos2 0 2 R P h R R R R h R α α α α α α α = − + + = − = − < + ⇒ 2α tï ⇒α> 4 π KL: VËy α 0 = 4 π II 1. Hướng dẫn giải Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c). d[M, (OAB)] = 3 Þ z M = 3. Tương tự Þ M(1; 2; 3). pt(ABC): x y z 1 a b c + + = 1 2 3 M (ABC) 1 a b c Î Þ + + = (1). O.ABC 1 V abc 6 = (2). 3 1 2 3 1 2 3 (1) 1 3 . . a b c a b c Þ = + + ³ 1 abc 27 6 Þ ³ . (2) min 1 2 3 1 V 27 a b c 3 Þ = Û = = = . 2. Hướng dẫn giải 5 Chóc thµnh c«ng !!! Vò phóc Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: A(0; 0; 0), B(1; 3; 0), C(0; 3; 0), S(0; 0; 4) và H(1; 0; 0). mp(P) qua H vuông góc với SB tại I cắt đường thẳng SC tại K, dễ thấy [H, SB, C] = ( ) IH, IK uur uur (1). SB ( 1; 3; 4)= - - uur , SC (0; 3; 4)= - uur suy ra: ptts SB: x 1 t y 3 3t z 4t ì ï = - ï ï ï ï = - í ï ï ï = ï ï î , SC: x 0 y 3 3t z 4t ì ï = ï ï ï ï = - í ï ï ï = ï ï î và (P): x + 3y – 4z – 1 = 0. ( ) ( ) 5 15 3 51 32 I ; ; , K 0; ; 8 8 2 25 25 Þ IH.IK cos[H, SB, C] IH.IK Þ = uur uur = … Chú ý: Nếu C và H đối xứng qua AB thì C thuộc (P), khi đó ta không cần phải tìm K. 6 Chóc thµnh c«ng !!! Vò phóc Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O A; B Ox; D Oy và A' Oz Giả sử hình lập phơng ABCD A'B'C'D' có cạnh là a đơn vị A(0;0;0), B (a;0;0), D(0;a;0), A' (0;0;a) C'(1;1;1) Phơng trình đoạn chắn của mặt phẳng (A'BD): x + y + z = a hay x + y + z a = 0 Pháp tuyến của mặt phẳng (A'BC): n (A'BC) = (1;1;1) mà AC' = (1;1;1) Vậy AC' vuông góc (A'BC) III 1. Lời giải: Chọn hệ trục Oxyz sao cho O là gốc tọa độ AOx, S Oz, BC//Oy 7 Chúc thành công !!! Vũ phúc A' D' C' C B A D B' I O I' Z Y X Tọa độ các điểm: 3 ( ;0;0) 3 A ; 3 1 ( ; ;0) 6 2 B ; 3 1 ( ; ;0) 6 2 C ; 6 (0;0 ) 3 S ; 6 (0;0; ) 6 I Ta cú: (0;1;0)= uuur BC ; 3 1 6 ( ; ; ) 6 2 6 = uur IC ; 6 3 , ( ;0; ) 6 6 = uuur uur BC IC Phơng trình mặt phẳng (IBC) là: 6 3 6 ( 0) 0( 0) ( ) 0 6 6 6 + + =x y z Hay: 6 2 0 6 + =z m ta li cú: 3 6 ( ;0; ) // (1;0; 2) 3 3 = uur uur r SA SA SA u Phơng trình đờng thẳng SA: 3 ; 3 = +x t 0; 2= = y z t . + Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: 3 (1) 3 0 (2) 2 (3) 6 2 0(4) 6 = + = = + = x t y y t x z Thay (1) (2) (3) vào (4) có: 3 6 3 6 ; 0; ( ;0; ) 12 4 12 4 = = = x y z M ; 3 6 ( ;0; ) 4 12 12 = = uuur uur uuur SM SA SM M nằm trên đoạn SA và 1 4 = SM SA ( ) 1 ( ) 4 = SBCM SABC V V . 2. Do G là trọng tâm của ASC SG đi qua trung điểm N của AC GI (SNB) GI và SB đồng phẳng (1) Ta lại có tọa độ G 3 1 6 ( ; ; ) 18 6 9 3 1 6 ( ; ; ) 18 6 18 = uur GI 3 1 6 ( ; ; ) 18 6 18 = uur GI . 0 (2) = uur uur GI SB GI SB Từ (1) và (2) =GI SB H 8 Chúc thành công !!! Vũ phúc 2. Lêi gi¶i: + Chän hÖ trôc täa ®é Oxyz sao cho A ≡ O; B ∈ Oy; A 1 ∈ Oz. Khi ®ã.A(0;0;0), B(0;a;0); A 1 (0;0;2a) 1 3 ( ; ;2 ) 2 2 a a C a vµ D(0;a;a) Do M di ®éng trªn AA 1 , täa ®é M (0;0;t)víi t ∈ [0;2a] Ta cã : 1 1 1 , 2 ∆   =   uuur uuuur DC M S DC DM Ta có: 1 3 ( ; ; ) 2 2 (0; ; ) = − = − − uuur uuuur a a DC a DM a t a ,   ⇒ =   uuur uuuur DG DM ( 3 ; 3( ); 3) 2 − = − − a t a t a a 2 2 2 , ( 3 ) 3( ) 3 2   ⇒ = − + − +   uuur uuuur a DG DM t a t a a 1 2 2 2 2 4 12 15 2 1 . . 4 12 15 2 2 ∆ = − + = − + DC M a t at a a S t at a 9 Chóc thµnh c«ng !!! Vò phóc z x y I O H A C S G N z x C C 1 M A A 1 B 1 B D Gi¸ trÞ lín nhÊt hay nhá nhÊt cña 1 DC M S tïy thuéc vµo gi¸ trÞ hµm sè XÐt f(t) = 4t 2 – 12at + 15a 2 f(t) = 4t 2 – 12at + 15a 2 (t ∈[0;2a]) f'(t) = 8t – 12a 3 '( ) 0 2 = ⇔ = a f t t Lập BBT gi¸ trÞ lín nhÊt cña 1 2 15 4 = DC M a S khi t =0 hay M≡ A 10 Chóc thµnh c«ng !!! Vò phóc