Chương VII PHƯƠNG PHÁP QUỸ TÍCH NGHIỆM Tóm tắt nội dung Trong các chương trước, chúng ta đã thấy hiệu suất của hệ thống phản hồi có thể điều chỉnh được bằng cách điều chỉnh các tham số
Trang 12 ) 10 (
20 )
(
+
+
=
s s
s s G
G(s)
R(s) K C(s)
_ +
Hãy xác định khoảng giá trị K để hệ thống ổn định
Bài 6.5 Một hệ thống được biểu diễn bằng phương trình vi phân x =Ax+Bu
dt d
của vector trạng thái x, trong đó ma trận A được cho như sau:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
2 1
1 0 0
0 1 0
k A
Hãy xác định khoảng giá trị của k để hệ thống ổn định
Bài 6.6 Một hệ thống điều khiển đầu đọc ghi băng cassette có sơ đồ khối được biểu diễn trong hình vẽ dưới
2 ) 50 (
10 +
s
200 +
s
K
_ +
(a) Xác định khoảng giá trị của K để cho hệ thống ổn định
(b) Xác định giá trị của K để phần trăm quá mức của đáp ứng với tín hiệu vào
là hàm nhảy bậc đơn vị vào khoảng 5%
Bài 6.7 Hệ thống lái tự động của một tàu thủy được biểu diễn bởi phương trình
vi phân của vector trạng thái như sau:
) ( 0 0
03 , 0
2 , 0 ) ( 0 0 1 0
13 0 0 1
0 0 15 , 0 10
0 0 6 05
, 0 3
t t
dt
d
δ
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡−
+
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
x
ở đó vector trạng thái x(t) gồm bốn biến trạng thái x1, x2, x3 và x4
(a) Xác định xem hệ thống có ổn định hay không
(b) Thêm vòng phản hồi vào hệ thống, khi đó chúng ta có δ(t) = −k1x1 − k2x3
Có tồn tại các giá trị của k1 và k2 để hệ thống ổn định hay không?
Trang 2Chương VII PHƯƠNG PHÁP QUỸ TÍCH NGHIỆM
Tóm tắt nội dung
Trong các chương trước, chúng ta đã thấy hiệu suất của hệ thống phản hồi có thể điều chỉnh được bằng cách điều chỉnh các tham số của hệ thống, và chúng ta có thể mô tả hiệu suất đó bằng vị trí các nghiệm của phương trình đặc trưng trong
mặt phẳng s Vì vậy, việc xác định sự thay đổi vị trí của các nghiệm đặc trưng trong mặt phẳng s khi một tham số thay đổi là rất cần thiết
Quỹ tích của các nghiệm của phương trình đặc trưng trong mặt phẳng s có thể
xác định được bằng phương pháp sử dụng đồ thị Nội dung chương này sẽ đề cập tới các phương pháp được sử dụng để phác ra được quỹ tích của các nghiệm này Không những có thể xác định được các nghiệm dịch chuyển như thế nào khi một tham số thay đổi, chúng ta còn có thể biểu diễn được sự biến đổi của các nghiệm đó khi có nhiều hơn một tham số thay đổi Điều đó cung cấp cho chúng
ta khả năng thiết kế một hệ thống với nhiều tham số điều chỉnh được nhằm đạt được hiệu suất mong muốn
7.1 Giới thiệu
Tính ổn định tương đối và hiệu suất nhất thời của một hệ thống điều khiển vòng kín có liên quan trực tiếp tới vị trí các nghiệm vòng kín của phương trình đặc
trưng trong mặt phẳng s Thêm nữa, chúng ta thường cần phải điều chỉnh một vài
tham số của hệ thống để có được vị trí phù hợp cho các nghiệm Vì vậy, sẽ rất có giá trị nếu chúng ta xác định được các nghiệm của phương trình đặc trưng của
một hệ thống di chuyển như thế nào trong mặt phẳng s khi các tham số thay đổi, nghĩa là xác định quỹ tích của các nghiệm trong mặt phẳng s khi các tham số thay đổi Phương pháp quỹ tích nghiệm (root locus) được Evans giới thiệu vào
năm 1948 và đã được phát triển để trở thành một phương pháp được ứng dụng rất phổ biến trong kỹ thuật điều khiển Phương pháp quỹ tích nghiệm là một phương
pháp sử dụng đồ thị để thể hiện quỹ tích của các nghiệm trong mặt phẳng s khi
các tham số thay đổi Trong thực tiễn, phương pháp quỹ tích nghiệm cung cấp cho chúng ta một số đo độ nhạy của các nghiệm của phương trình đặc trưng đối với sự thay đổi của các tham số được xem xét Trong phương pháp này, điều kiện Routh-Hurwitz có thể được sử dụng để xác định khoảng biến đổi được phép cho các tham số nhằm đảm bảo hệ thống luôn ổn định khi các tham số thay đổi Mặc
dù phương pháp quỹ tích nghiệm được thiết kế để áp dụng cho các hệ thống phản hồi một vòng, phương pháp này cũng có thể áp dụng được cho các hệ thống nhiều vòng với nhiều tham số thay đổi
7.2 Khái niệm quỹ tích nghiệm
Với hệ thống điều khiển vòng kín có sơ đồ khối như trong Hình 7.1, phương trình đặc trưng của hệ thống là:
Trang 3q(s) = 1 + G(s)H(s) = 0 (7.1)
G(s)
H(s)
R(s) + C(s)
−
Hình 7.1 Hệ thống điều khiển phản hồi
Đặt F(s) = G(s)H(s), phương trình (7.1) trở thành:
Vì s là biến phức, hàm F(s) co thể biểu diễn dưới dạng:
ở đó r(s) là độ lớn và θ(s) là góc cực của F(s):
)]
( [ real
)]
( [ imag arctan )
(
) ( ) (
s F
s F s
s F s r
=
=
Thay (7.3) vào phương trình (7.2), chúng ta có được phương trình sau:
Vì vậy, điều kiện cần thiết để phương trình đặc trưng của hệ thống được thỏa
mãn là:
và
với k là một số nguyên Chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu ∠F(s) = θ(s)
Để minh họa cho khái niệm quỹ tích nghiệm, trước hết chúng ta xem xét một
hệ thống phản hồi có G(s) = 1/[s(s + a)] và H(s) = K, ở đó K là một giá trị có thể
thay đổi trong khoảng từ 0 đến +∞ Trong trường hợp này, F(s) là biểu thức sau:
) ( ) (
a s s
K s
F
+
Để thỏa mãn điều kiện (7.6), chúng ta cần phải có:
1 )
+ a s s
K
(7.9) hay:
Tiếp theo, chúng ta cần xem xét tới góc cực của hàm F(s) Để làm điều này,
Trang 4chúng ta sẽ cần tới hai quy tắc sau đây:
1 Nếu f(s) = a(s)b(s) thì ∠f(s) = ∠a(s) + ∠b(s) (7.11)
2 Nếu f(s) = a(s)/b(s) thì ∠f(s) = ∠a(s) − ∠b(s) (7.12)
Vì vậy, góc cực của hàm F(s) như ở (7.8) có thể biểu diễn được dưới dạng:
∠F(s) = −∠s − ∠(s + a) (7.13)
Thay (7.13) vào phương trình (7.7), chúng ta có được:
−∠s − ∠(s + a) = (2k + 1)π (7.14) Phương trình (7.14) chỉ có thể thỏa mãn được với k = 0 hay k = −1, nghĩa là:
−∠s − ∠(s + a) = ±π (7.15) Điều kiện (7.15) chỉ được thỏa mãn nếu nghiệm s của phương trình đặc trưng
nằm trên trục thực của mặt phẳng s hoặc nằm trên đường thẳng vuông góc với
trục thực và đi qua điểm −a/2 Điều kiện (7.10) được dùng để xác định các điểm
giới hạn của quỹ tích Khi K = 0, phương trình đặc trưng của hệ thống chính là
phương trình đặc trưng của hệ thống vòng hở với các nghiệm 0 và −a Phương
trình đặc trưng có nghiệm thực khi K ≥ 0 và K ≤ a2/4 Khi K = a2/4 thì cả hai
nghiệm của phương trình đều là −a/2 Quỹ tích của các nghiệm của phương trình
đặc trưng khi K thay đổi được biểu diễn trong Hình 7.2 Các mũi tên trong hình
vẽ thể hiện chiều dịch chuyển của các nghiệm trong mặt phẳng s khi K tăng từ 0
đến +∞
0
iω
K = 0
K = 0
−a/2
K = a2/4
s1
Hình 7.2 Quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trưng khi K thay đổi từ 0 đến +∞
Để thể hiện rõ hơn khả năng của phương pháp quỹ tích nghiệm, chúng ta sẽ
sử dụng lại ví dụ ở trên, nhưng với trường hợp K cố định, còn a thay đổi Phương
trình đặc trưng của hệ thống là:
Trang 5s2 + as + K = 0 (7.16)
Sử dụng điều kiện Routh-Hurwitz, chúng ta sẽ thấy được rằng để hệ thống ổn
định thì cần có a ≥ 0 Vì vậy, chúng ta sẽ chỉ tìm quỹ tích của các nghiệm khi a
tăng từ 0 đến +∞ Chia hai vế của phương trình (7.16) cho s2 + K, chúng ta có
được phương trình:
0
+
+
K s
as
(7.17)
Phương trình này có dạng rất giống phương trình (7.2), nghĩa là F(s) trong trường
hợp này sẽ là biểu thức sau đây:
K s
as s
F
+
= 2 )
Tương tự như trong ví dụ trên, chúng ta sẽ có được các điều kiện sau:
1
|
|
|
|
+ K s
s a
(7.19)
và
∠F(s) = ∠s − ∠(s + K i ) − ∠(s − Ki ) = ±π (7.20)
Điều kiện (7.20) chỉ được thỏa mãn nếu nghiệm s của phương trình đặc trưng
nằm trên trục thực của mặt phẳng s hoặc nằm trên đường tròn có tâm là gốc của
mặt phẳng s và có bán kính là K Khi a = 0, hai nghiệm của phương trình đặc
trưng là ±i K Phương trình có nghiệm thực khi a 2≥ K Khi a 2= K , hai
nghiệm thực của phương trình đều là − K Quỹ tích các nghiệm của phương
trình đặc trưng khi a thay đổi được biểu diễn trong Hình 7.3 Các mũi tên trong
hình vẽ thể hiện chiều dịch chuyển của các nghiệm trong mặt phẳng s khi a tăng
từ 0 đến +∞
7.3 Phương pháp quỹ tích nghiệm
Trong phương pháp quỹ tích nghiệm của Evans, tác giả sử dụng một quy trình để
phác họa nhanh quỹ tích của các nghiệm của phương trình đặc trưng của một hệ
thống phản hồi Trước hết, chúng ta có thể biểu diễn phương trình đặc trưng này
dưới dạng của phương trình (7.2) Giả sử chúng ta cần xác định quỹ tích của các
nghiệm của phương trình đặc trưng khi một tham số K của hệ thống thay đổi từ 0
đến +∞ Để sử dụng được quy trình này, F(s) cần phải biểu diễn được dưới dạng
tích của tham số K và một biểu thức: F(s) = KP(s) Bước tiếp theo là chuyển biểu
thức P(s) về dạng các điểm không và điểm cực:
∏
∏
=
=
−
−
= N
j
j
M i
i
p s
z s s
P
1
1
) (
) ( )
Trang 6Khi đó, chúng ta có thể viết lại phương trình đặc trưng của hệ thống dưới dạng
như sau:
0 ) ( )
(
1 1
=
− +
∏
=
=
M i
i N
j
p
0
K i
+
σ
iω
a = 0
Hình 7.3 Quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trưng khi a thay đổi từ 0 đến +∞
K i
−
K
−
a = 0
K
a 2=
Khi K = 0, các nghiệm của phương trình đặc trưng chính là các điểm cực của
P(s) Còn khi K tiến tới +∞ thì các nghiệm của phương trình đặc trưng tiến tới
các điểm không của P(s) Vì vậy, quỹ tích của các nghiệm của phương trình đặc
trưng sẽ bắt đầu tại các điểm cực của P(s) và kết thúc tại các điểm không cũng
của P(s) khi tham số K tăng từ 0 đến +∞ (nếu không có điểm không tương ứng
thì đường quỹ tích sẽ tiến tới vô cùng) Số đường quỹ tích, tương ứng với số
nghiệm của phương trình đặc trưng, đúng bằng số điểm cực của P(s) nếu P(s) có
số điểm cực lớn hơn hoặc bằng số điểm không Còn nếu P(s) có số điểm cực ít
hơn số điểm không thì số đường quỹ tích sẽ bằng số điểm không Chú ý rằng, đồ
thị quỹ tích các nghiệm của phương trình đặc trưng của một hệ thống luôn đối
xứng qua trục thực vì các nghiệm phức của phương trình đặc trưng luôn là các
cặp liên hợp của nhau Một điểm cần biết nữa là phần quỹ tích trên trục thực của
các nghiệm luôn nằm trong các đoạn của trục thực ngay phía bên trái của các
điểm cực hay điểm không của P(s) có thứ tự lẻ (không phân biệt điểm không và
điểm cực) tính từ phải sang trái Điều này được minh họa trong Hình 7.4
Nếu số điểm không của P(s) ít hơn số điểm cực, một số đường quỹ tích sẽ kết
thúc tại các điểm không ở vô cùng dọc theo các đường tiệm cận (asymptote) Tất
cả các đường tiệm cận này đều xuất phát từ một điểm trên trục thực có tọa độ σa
được xác định như sau:
Trang 7M N
z p
M i i N
j j
−
=
∑
∑
=
Góc của các đường tiệm cận này được tính như sau:
) 1 (
2, , 1, 0, , ) 1 2 (
−
−
=
−
+
M N
k
k
×
o
×
×
×
o − điểm không
× − điểm cực
Các đoạn của quỹ tích nghiệm
Hình 7.4 Phần quỹ tích trên trục thực của các nghiệm
Khi K có một giá trị làm phương trình đặc trưng có nghiệm kép thực, đường
quỹ tích nghiệm sẽ rời khỏi trục thực tại điểm trên trục thực có tọa độ bằng giá trị
các nghiệm kép đó Điểm này được gọi là điểm thoát (breakaway point) của quỹ
tích Một loại điểm quan trọng nữa là giao điểm của quỹ tích nghiệm với trục ảo
của mặt phẳng s Giao điểm này có thể xác định được bằng cách sử dụng điều
kiện Routh-Hurwitz để tìm giá trị của K ở đó hệ thống bắt đầu chuyển từ trạng
thái ổn định sang bất ổn định và xác định các nghiệm của phương trình đặc trưng
nằm trên trục ảo ứng với giá trị K đó Ngoài ra, sẽ rất hữu ích cho việc phác họa
quỹ tích nghiệm nếu chúng ta xác định được góc của đường quỹ tích tại điểm bắt
đầu và điểm kết thúc Các góc này có thể tính được bằng cách sử dụng điều kiện
(7.7)
Tóm lại, các bước được sử dụng để ước lượng quỹ tích của các nghiệm của
phương trình đặc trưng của hệ thống bao gồm:
1 Biến đổi phương trình đặc trưng về dạng 1 + KP(s) = 0, ở đó K là tham số
có giá trị thay đổi
2 Xác định vị trí các điểm cực và điểm không của P(s) trong mặt phẳng s
3 Xác định các đoạn của các đường quỹ tích nghiệm nằm trên trục thực
4 Xác định số đường quỹ tích
5 Xác định điểm gốc của các đường tiệm cận và góc của các đường tiệm
cận
6 Xác định điểm thoát của quỹ tích trên trục thực nếu có
7 Sử dụng điều kiện Routh-Hurwitz để xác định giao điểm của quỹ tích và
trục ảo nếu có
8 Xác định góc của các đường quỹ tích tại các điểm khởi đầu và kết thúc
Ví dụ 7.1
Xem xét một hệ thống phản hồi có phương trình đặc trưng như sau:
Trang 80 ) 4 )(
2 (
) 1 (
+ +
+ +
s s s
s K
(7.25)
Các đoạn của quỹ tích nằm trên trục thực là [−1,0], [−4,−2] và [−∞,−4], vì tại
điểm s = −4 có hai điểm cực Số đường quỹ tích trong trường hợp này sẽ bằng số
điểm cực của P(s), nghĩa là bằng bốn Quỹ tích có ba đường tiệm cận với điểm
gốc trên trục thực của các đường tiệm cận này là:
3 1
4
) 1 ( ) 4 ( 2 ) 2 ( 0
−
=
−
−
−
− +
− +
=
a
Góc của ba đường tiệm cận lần lượt là:
3
π 5 1 4 π
π 1 4 π 3
π 1 4 π
3 2 1
=
−
=
=
−
=
=
−
=
a a a
φ φ
φ
(7.27)
Để tìm điểm thoát của quỹ tích, trước hết cần biến đổi phương trình (7.25) về
dạng:
1
) 4 )(
2
+
+ +
−
=
s
s s s
Điểm thoát của quỹ tích là tại điểm trên trục thực có giá trị của s thỏa mãn điều
kiện sau đây:
0
=
ds
dK
(7.29) hay:
3s4 + 24s3 + 62s2 + 64s + 32 = 0 (7.30)
Phương trình (7.30) có bốn nghiệm, nhưng chỉ có hai nghiệm thực là s = −2,6 và
s = −4 Tuy nhiên, chúng ta có thể thấy được ngay là khi s = −4 thì K = 0, phương
trình đặc trưng bị triệt tiêu thành một đẳng thức, nên điểm s = −4 không thể là
điểm thoát của quỹ tích Vì vậy, điểm thoát của quỹ tích trên trục thực là điểm có
giá trị s = −2,6 Còn để xác định các điểm giao của quỹ tích với trục ảo, chúng ta
sử dụng điều kiện Routh-Hurwitz và tính ra được quỹ tích cắt trục ảo tại hai điểm
có các giá trị là s = ±i4,86 Từ các giá trị tính được, chúng ta có thể phác họa
được quỹ tích của các nghiệm của phương trình đặc trưng khi K thay đổi (Hình
7.5)
7.4 Thiết kế tham số bằng phương pháp quỹ tích nghiệm
Phương pháp quỹ tích nghiệm vốn được phát triển với mục đích xác định quỹ
tích của các nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống phản hồi khi hệ số
phản hồi K thay đổi từ 0 đến +∞ Tuy nhiên, như chúng ta đã thấy, ảnh hưởng
Trang 9của các tham số khác của hệ thống cũng có thể được nghiên cứu bằng cách sử
dụng phương pháp quỹ tích nghiệm Câu hỏi được đặt ra là: bằng cách nào chúng
ta có thể nghiên cứu hoạt động của hệ thống khi có nhiều tham số thay đổi chứ
không phải chỉ có một Mặc dù phương pháp quỹ tích nghiệm là phương pháp
một tham số, nó có thể được mở rộng để áp dụng cho trường hợp có hơn một
tham số thay đổi Đây là phương pháp thiết kế tham số (parameter design), sử
dụng quỹ tích nghiệm để lựa chọn giá trị cho các tham số
iω
Hình 7.5 Quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trưng trong ví dụ 7.1
×
o
×
×
−1
−2
−4 −3
o − điểm không
× − điểm cực
Giả sử chúng ta cần xem xét tác động của sự thay đổi của hai tham số α và β
của một hệ thống phản hồi Để làm điều đó, chúng ta cần thực hiện phương pháp
quỹ tích nghiệm hai lượt Trong lượt đầu tiên, đặt β = 0 và vẽ quỹ tích nghiệm
của phương trình đặc trưng với α thay đổi Sau khi đã đánh giá được tác động
của α, chọn một giá trị thích hợp cho α và thực hiện phương pháp quỹ tích
nghiệm một lần nữa với β thay đổi để chọn được giá trị phù hợp cho β Tương tự
như thế, chúng ta có thể mở rộng phương pháp quỹ tích nghiệm để áp dụng trong
các trường hợp hệ thống có nhiều hơn hai tham số thay đổi
7.5 Độ nhạy và quỹ tích nghiệm
Như chúng ta đã tìm hiểu trong Chương IV, tác động của sự biến thiên của các
tham số tới đáp ứng của hệ thống có thể mô tả được bằng số đo độ nhạy
(sensitivity) của hệ thống đối với sự thay đổi của một tham số:
K K
T T K
T
S K T
∂
∂
=
∂
∂
= ln ln
(7.31)
Trang 10trong đó T(s) là hàm chuyển của cả hệ thống và K là tham số được xem xét
Bởi vì nghiệm của phương trình đặc trưng quyết định dạng của đáp ứng nhất
thời của hệ thống, tác động của sự biến thiên của tham số tới vị trí của các
nghiệm là một số đo độ nhạy quan trọng Khái niệm độ nhạy của nghiệm (root
sensitivity) của một hệ thống được định nghĩa như sau:
K K
p K
p
∂
∂
=
∂
∂
=
ở đó p j là nghiệm thứ j của phương trình đặc trưng của T(s):
∏
∏
=
=
−
−
j
j
M i
i
p s
z s A s T
1
1
) (
) ( )
Độ nhạy S khi đó có thể khai triển được như sau: T K
∑
∑
=
∂
−
−
⋅
∂
∂ +
∂
∂
=
∂
∂
j M
i T
K
p s K
p z
s K
z K
A K
T S
1 1
1 ln
1 ln
ln
ln ln
ln
(7.34)
Do hai tham số A và K độc lập với nhau và giả thiết là các điểm không của T(s)
độc lập với tham số K, nghĩa là:
0
1 ln
0 ln ln
1
=
−
⋅
∂
∂
=
∂
∂
∑
=
M
i
z s K z K
A
(7.35)
Từ (7.34) và (7.35), chúng ta có được:
∑
∑
=
∂
−
p K N
j T
K
p s
S p
s K
p S
j
1 1
1
Độ nhạy của nghiệm p j
K
S có thể đánh giá được bằng cách xem xét đường cong tại
nghiệm s = p j của quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trưng của T(s) khi K
thay đổi
Số đo độ nhạy của nghiệm đối với sự biến thiên của một tham số rất có giá trị
trong việc so sánh độ nhạy của nhiều tham số thiết kế tại các giá trị nghiệm khác
nhau Để sử dụng được độ nhạy của nghiệm cho việc phân tích và thiết kế các hệ
thống điều khiển, một loạt phép tính toán phải được thực hiện cho các giá trị
khác nhau của các điểm không và điểm cực của hàm chuyển Vì vậy, việc sử
dụng độ nhạy của nghiệm như một kỹ thuật thiết kế phần nào bị hạn chế do khối
lượng tính toán lớn trong khi thiếu một chỉ dẫn rõ ràng cho việc điều chỉnh các
tham số để làm giảm độ nhạy Tuy nhiên, độ nhạy của nghiệm có thể sử dụng
