137 hay: 0 )][arctan()][arctan( =− ω ωτ ω α ω τ d d d d (10.13) Khai triển phương trình (10.13): 0 11 22222 = + − + τ ω τ τ ω α α τ (10.14) Giải phương trình (10.14), chúng ta xác định được tần số ω m : zp m == ατ ω 1 (10.15) Như vậy, giá trị lớn nhất của góc sớm pha là: α α α α τ ατ τ ατ α ω φ φ 2 1 arctan 1 arctanarctan 1 arctan 1 arctan )( − = −= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = mm (10.16) Phương trình (10.16) được sử dụng để tính tỷ số α giữa giá trị điểm cực và giá trị điểm không của mạch bù để có được góc sớm pha mong muốn. Đồ thị của φ m theo α được thể hiện trên Hình 10.4. Theo đồ thị, góc pha của mạch bù này có giá trị khó có thể quá 70 o . Vì vậy, nếu yêu cầu đưa ra là góc sớm pha lớn nhất phải lớn hơn 70 o , chúng ta có thể phải sử dụng tới hai mạch bù nối tiếp. α φ m ( o ) Hình 10.4. Đồ thị của góc pha lớn nhất của mạch sớm pha khi α thay đổi Một dạng của mạch sớm pha được gọi là bộ điều khiển tỷ lệ-đạo hàm (proportional-derivative controller, hay PD controller), vì phương trình của nó bao gồm hai thành phần, tỷ lệ và đạo hàm, có dạng như sau: 138 dt tdu KtuKtu DP )( )()( vào vàora += (10.17) Hàm chuyển của bộ điều khiển PD có dạng: DPPD sKK sU sU sG +== )( )( )( vào ra (10.18) Sử dụng mạch bù có hàm chuyển G PD (s) này, chúng ta có thể điều chỉnh ảnh hưởng của mạch bù, qua đó điều chỉnh đáp ứng của hệ thống bằng cách thay đổi hai tham số K P và K D . Mạch sớm pha như trong Hình 10.3 có thể sử dụng để làm bộ điều khiển PD. Khi đó, chúng ta phải chọn các phần tử của mạch sao cho hệ số thời gian τ của mạch sớm pha phải rất nhỏ để có thể bỏ qua được thành phần τ s, trong khi α lại phải khá lớn để thành phần ατ s không quá nhỏ. Hàm chuyển của mạch sớm pha khi đó có thể xấp xỉ được như sau: sKK sK s sK sG c ατ α τ τ α τ 11 11 1 )1( 1 )1( )( += + ≅ + + = (10.19) Đó chính là dạng của hàm chuyển của bộ điều khiển PD. Người ta còn thường sử dụng một mạch bù nối tiếp có đặc tính chậm pha. Một mạch chậm pha (phase-lag network) được thể hiện trong Hình 10.5. Các phương trình hiệu điện thế của mạch chậm pha này là: )()()( 211 tvtvtiR − = (10.20) và: )()( 1 )( 2 0 2 tvdi C tiR t =+ ∫ ττ (10.21) v 1 (t) v 2 (t) C R 1 R 2 Hình 10.5. Một mạch chậm pha i(t) Thực hiện biến đổi Laplace cho các phương trình (10.20) và (10.21) với các điều kiện ban đầu bằng không, chúng ta có được các phương trình sau: )()()( 211 sVsVsIR − = hay 1 21 )()( )( R sVsV sI − = (10.22) và: )( )(1 )( 22 sV s sI C sIR =⋅+ (10.23) 139 Thay (10.22) vào (10.23): )()]()([ 1 221 11 2 sVsVsV CsRR R =− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + (10.24) hay: )(])(1[)()1( 22112 sVCsRRsVCsR + + = + (10.25) Hàm chuyển của mạch chậm pha là: CsRR CsR sV sV sG c )(1 1 )( )( )( 21 2 1 2 ++ + == (10.26) Đặt τ = R 2 C và 2 21 R RR + = α , phương trình (10.26) trở thành: ps zs s s sG c − − ⋅= + + = αατ τ 1 1 1 )( (10.27) ở đó z = −1/ τ và p = z/ α . Hàm chuyển của mạch chậm pha này cũng tương tự hàm chuyển của mạch sớm pha chúng ta đã xét ở trên, nhưng có |z| > |p|. Vì α > 1, điểm cực của G c (s) sẽ nằm gần với gốc của trục tọa độ trong mặt phẳng s. Kiểu mạch bù như vậy còn được gọi là mạch tích phân (integrator network). Đồ thị Bode của mạch chậm pha được biểu diễn trong Hình 10.6. Nhìn vào đồ thị, chúng ta thấy rằng đáp ứng tần số của mạch chậm pha suy giảm theo thời gian, trái với mạch sớm pha có đáp ứng t ần số tăng theo thời gian, nhưng với cùng tốc độ. Góc pha của hai mạch cũng có giá trị bằng nhau, tuy nhiên có dấu ngược nhau. Góc pha của mạch chậm pha cũng đạt được độ lớn cực đại tại tần số zp m = ω . Một dạng của mạch chậm pha được gọi là bộ điều khiển tỷ lệ-tích phân (proportional-integral controller, hay PI controller), vì phương trình của nó bao gồm hai thành phần, tỷ lệ và tích phân, có dạng như sau: ∫ += t IP duKtuKtu 0 vàovàora )()()( ττ (10.28) Hàm chuyển của bộ điều khiển PI có dạng: s K K sU sU sG I PPI +== )( )( )( vào ra (10.29) Tương tự như đối với bộ điều khiển PD, khi sử dụng mạch bù có hàm chuyển G PI (s) này, chúng ta có thể điều chỉnh ảnh hưởng của mạch bù, qua đó điều chỉnh đáp ứng của hệ thống bằng cách thay đổi hai tham số K P và K I . Chúng ta có thể sử dụng mạch chậm pha như trong Hình 10.5 để làm bộ điều khiển PI. Khi đó, các phần tử của mạch phải được chọn sao cho α rất lớn để hàm chuyển của mạch chậm pha có điểm cực gần bằng không. Hàm chuyển của mạch chậm pha khi đó có thể xấp xỉ được như sau: 140 ss s s s sG c )(11 1 11 1 1 )( α τ ατα τ αατ τ +≅ + + ⋅= + + = (10.30) Đó chính là dạng của hàm chuyển của bộ điều khiển PI. −20lo g 10 α φ ( ω ) ( o ) 20log 10 |G c | (dB) ω (rad/s) Hình 10.6. Đồ thị Bode của mạch chậm pha zp −10lo g 10 α Trong các mục tiếp sau, chúng ta sẽ áp dụng các mạch bù này vào các hệ thống để có được đáp ứng tần số hay vị trí nghiệm của phương trình đặc trưng trong mặt phẳng s như mong muốn. Mạch sớm pha được sử dụng để tạo ra một góc sớm pha, nhờ đó có được dự trữ pha như mong muốn cho hệ thống. Việc sử dụng mạch sớm pha cũ ng có thể biểu diễn được trên mặt phẳng s như một phương pháp làm thay đổi quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trưng. Còn mạch chậm pha, mặc dù có ảnh hưởng làm giảm tính ổn định của hệ thống, thường được sử dụng để cung cấp sự suy giảm nhằm làm giảm sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống. 10.4. Bù trên đồ thị Bode sử dụng mạch sớm pha Khi một mạch bù nối tiếp được sử dụng trong hệ thống, đáp ứng tần số của hệ thống được bù sẽ là tổng của đáp ứng tần số của mạch bù và đáp ứng tần số của hệ thống khi chưa được bù. Điều đó có thể biểu diễn được một cách dễ dàng trên đồ thị Bode. Vì vậy, trong các loại đồ th ị của đáp ứng tần số, đồ thị Bode thường được sử dụng nhất cho việc thiết kế mạch bù. Hàm chuyển vòng hở của hệ thống phản hồi trong Hình 10.1a là G c (i ω )G(i ω )H(i ω ). Để thiết kế mạch bù cho sơ đồ đó, trước tiên chúng ta cần vẽ đồ thị Bode cho hàm chuyển G(i ω )H(i ω ), sau đó xác định hai giá trị p và z thích 141 hợp cho G c (i ω ) để đáp ứng tần số của hệ thống có được hình dạng như mong muốn. Chọn giá trị cho tham số của G(i ω ) sao cho sai số ở trạng thái thường trực là chấp nhận được. Sau đó, kiểm tra dự trữ gia lượng và giá trị cực đại M p của đáp ứng nhất thời của hệ thống vòng kín (chưa bù) xem chúng có thỏa mãn các yêu cầu được đặt ra hay không. Nếu không, một góc sớm pha có thể được cộng vào góc pha của hệ thống bằng cách đặt một mạch bù G c (i ω ) vào một vị trí thích hợp. Để giá trị tăng thêm cho dự trữ pha là lớn nhất, chúng ta sẽ muốn đặt mạch bù sao cho tần số ω m tương ứng với giá trị góc pha lớn nhất của G c (i ω ) nằm tại điểm mà độ lớn của đáp ứng tần số của G c (i ω )G(i ω )H(i ω ) có giá trị bằng một (hay bằng không nếu tính bằng dB). Theo đồ thị trong Hình 10.2, độ lớn của đáp ứng tần số vòng hở tại tần số ω m khi được bù sẽ tăng thêm một lượng là 10log 10 α so với trước khi được bù. Giá trị của α được chọn để có được giá trị góc sớm pha lớn nhất φ m phù hợp, theo phương trình (10.16). Như vậy, để xác định mạch bù sớm pha, chúng ta cần thực hiện các bước sau đây: 1. Xác định tham số của G(i ω ) để sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống thỏa mãn được yêu cầu. 2. Ước lượng dự trữ pha của hệ thống chưa có bù. 3. Xác định giá trị thích hợp cho góc sớm pha lớn nhất φ m của mạch bù. 4. Xác định α từ φ m bằng phương trình (10.16). 5. Xác định tần số ở đó logarit độ lớn của đáp ứng tần số của hàm chuyển vòng hở khi chưa có bù G(i ω )H(i ω ) bằng −10log 10 α . Đó chính là tần số ω m tương ứng với góc sớm pha lớn nhất φ m của mạch bù. 6. Vẽ đồ thị Bode của đáp ứng tần số của G c (i ω )G(i ω )H(i ω ). Nếu đáp ứng tần số này chưa thỏa mãn được yêu cầu, lặp lại từ bước 1. Ví dụ 10.1 Xem xét một hệ thống phản hồi đơn vị âm có hàm chuyển của quá trình là: )2( )( + = ss K sG (10.31) Yêu cầu về hiệu suất đối với hệ thống là sai số ở trạng thái thường trực với tín hiệu vào là hàm dốc phải nhỏ hơn 5% độ dốc của tín hiệu vào và giá trị nhỏ nhất của dự trữ pha của hệ thống bằng 45 o . Đặt tín hiệu vào của hệ thống là hàm dốc r(t) = at và c(t) là đáp ứng theo thời gian. Sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống vòng kín được tính như sau: )]()()([lim )]()([lim )]()([lim 0 0 sTsRsRs sCsRs tctre s s t −= −= − = → → ∞→ (10.32) Thay R(s) = a/s 2 và (10.31) vào (10.32), chúng ta có được: 142 K a s K s a ss K s a e ss 2 2 lim )2( 1 1 lim 00 = + + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⋅= →→ (10.33) Yêu cầu đối với sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống là e ≤ 0,05a, nghĩa là: a K a 05,0 2 ≤ hay K ≥ 40 (10.34) Chọn K = 40, chúng ta có được hàm chuyển vòng hở của hệ thống chưa có bù như sau: )15,0( 20 )2( 40 )()( + = + = ωωωω ωω iiii iHiG (10.35) Đồ thị Bode của đáp ứng tần số của G(i ω )H(i ω ) được thể hiện trên Hình 10.7. Để xác định dự trữ pha của hệ thống, trước hết chúng ta cần xác định tần số ω c ở đó độ lớn |G(i ω )H(i ω )| = 1 bằng cách giải phương trình sau: 1 1)5,0( 20 2 = + ωω (10.36) φ ( ω ) ( o ) ω (rad/s) 20log 10 |GH| (dB) Hình 10.7. Đồ thị Bode của hàm chuyển G(i ω )H(i ω ) trong ví dụ 10.1 Phương trình (10.36) tương đương với phương trình: 143 400)125,0( 22 =+ ωω (10.37) hay: 016004 24 =−+ ωω (10.38) Giải phương trình (10.38), chúng ta xác định được tần số ω c ≅ 6,2rad/s. Góc pha của G(i ω )H(i ω ) tại tần số này là: o o 162 )5,0arctan(90 )15,0()()]()([ − ≅ −−= + ∠ − − ∠ = ∠ c cccc iiiHiG ω ω ω ω ω (10.39) Vì vậy, dự trữ pha của hệ thống chưa có bù là: φ pm = −162 o − (−180 o ) = 18 o (10.40) Như vậy, so với yêu cầu, giá trị dự trữ pha còn thiếu khoảng 45 o − 18 o = 27 o . Chúng ta sẽ bù một góc sớm pha lớn hơn khoảng còn thiếu này một chút vì tần số để xác định dự trữ pha của hệ thống với bù sẽ không phải là ω c . Chọn mạch bù có góc sớm pha lớn nhất φ m = 30 o . Thay vào phương trình (10.16), chúng ta có: o 30 2 1 arctan = − α α (10.41) hay: 3 1 30tan 2 1 == − o α α (10.42) Phương trình (10.42) có hai nghiệm, α = 3 và α = 1/3. Tuy nhiên, vì α phải lớn hơn một nên α = 3 chính là giá trị cần tìm. Để xác định tần số ω m , chúng ta tìm trên đồ thị Bode của G(i ω )H(i ω ) tần số ứng với độ lớn là −10log 10 α ≅ 4,8dB hoặc giải phương trình sau: α ωω 1 1)5,0( 20 2 = + (10.43) hay: 048004 24 =−+ ωω (10.44) Giải phương trình (10.44), chúng ta tìm được tần số ω m ≅ 8,2rad/s. Theo phương trình (10.15): 2,8 3 11 ≅== τατ ω m (10.45) từ đó tính được τ = 0,07. Điểm cực và điểm không của G c (i ω ) được tính như sau: 2,14 1 −≅−= τ p và 7,4−≅= α p z (10.46) 144 Hàm chuyển của mạch bù sớm pha là: 2,141 7,41 )( s s sG c + + = (10.47) Hàm chuyển vòng hở của hệ thống đã được bù khi đó sẽ là: )12,14)(15,0( )17,4(20 )()()( ++ + = ωωω ω ωωω iii i iHiGiG c (10.48) Góc pha của hệ thống đã được bù tại tần số ω m = 8,2rad/s: oo 1,136 2,14 arctan)5,0arctan(90 7,4 arctan)( −=−−−= m m m m ω ω ω ωφ (10.49) Dự trữ pha của hệ thống đã được bù, được xác định tại chính tần số ω m , khi đó sẽ là −136,1 o − (−180 o ) = 43,9 o (Hình 10.8). Giá trị dự trữ pha này chưa đạt được mức tối thiểu theo yêu cầu là 45 o . Vì vậy, chúng ta cần tăng giá trị góc sớm pha lớn nhất φ m của mạch bù và thực hiện lại các bước trên. φ ( ω ) ( o ) 20log 10 |G c GH| (dB) ω (rad/s) Hình 10.8. Đồ thị Bode của hàm chuyển G c (i ω )G(i ω )H(i ω ) trong ví dụ 10.1 10.5. Bù trong mặt phẳng s sử dụng mạch sớm pha Việc thiết kế mạch bù sớm pha có thể thực hiện được trong mặt phẳng s. Mục đích của phương pháp thiết kế này là làm thay đổi quỹ tích của các nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống, để làm quỹ tích đó đi qua các vị trí nghiệm thỏa mãn được yêu cầu đặt ra cho hệ thống. Như chúng ta đã biết ở Chương VII, quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống vòng kín có dạng 145 0)(1 =+ sKP khi K thay đổi được xác định từ các điểm không và điểm cực của P(s). Vì vậy, khi chúng ta sử dụng mạch bù nối tiếp như trong Hình 10.1a với hàm chuyển của mạch bù có dạng: ps zs sG c − − =)( (10.50) quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trưng 1 + G c (s)G(s)H(s) = 0 sẽ được thay đổi nhờ vào giá trị điểm cực và điểm không của G c (s). Việc đầu tiên chúng ta phải làm theo phương pháp này là xác định vị trí của cặp nghiệm trội tương ứng với các giá trị được mong muốn cho tỷ số cản ζ và tần số tự nhiên ω n , được xác định từ các yêu cầu về hiệu suất trên đáp ứng nhất thời của hệ thống. Điểm không của G c (s) thường được chọn là điểm có giá trị đúng bằng giá trị thực của cặp nghiệm trội mong muốn để tạo một góc sớm pha bằng 90 o . Để đảm bảo rằng cặp điểm được chọn sẽ nằm trên quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trương của hệ thống sau khi bù, điểm cực của G c (s) phải được chọn sao cho góc cực của G c (s)G(s)H(s) phải bằng ±180 o tại các điểm đó. Tóm lại, phương pháp bù trong mặt phẳng s sử dụng mạch sớm pha bao gồm các bước như sau: 1. Chuyển các yêu cầu về hiệu suất của hệ thống thành các giá trị tương ứng cho tỷ số cản ζ và tần số tự nhiên ω n và xác định vị trí cặp nghiệm mong muốn trong mặt phẳng s từ các giá trị này. 2. Vẽ quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống chưa có bù và xác định xem quỹ tích đó có đi qua các vị trí đã chọn hay không. Nếu câu trả lời là không, chúng ta sẽ thiết kế mạch bù trong các bước tiếp sau. 3. Đặt điểm không của mạch bù trên trục thực của mặt phẳng s sao cho giá trị của điểm không này đúng bằng giá trị phần thực của cặp nghiệm mong muốn. 4. Xác định vị trí điểm cực của mạch bù trên trục thực của mặt phẳng s sao cho góc cực của G c (s)G(s)H(s) bằng ±180 o tại vị trí cặp nghiệm mong muốn. 5. Xác định tham số của G(s) để hệ thống sau khi bù có được cặp nghiệm trội của phương trình đặc trưng như mong muốn, sau đó xác định sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống. 6. Nếu sai số không thỏa mãn yêu cầu đặt ra cho hệ thống, xác định lại vị trí cặp nghiệm mong muốn và lặp lại các bước như trên. Ví dụ 10.2 Trong ví dụ này, chúng ta lại xem xét hệ thống đã đề cập tới trong ví dụ 10.1. Giả sử yêu cầu về hiệu suất của hệ thống là phần trăm quá mức P o ≤ 20% và thời gian quá độ T s ≤ 1s với tín hiệu vào nhảy bậc. Theo phương trình (5.21), chúng ta có thể xác định được khoảng giá trị của tỷ số cản ζ tương ứng với điều kiện P o ≤ 20% là ζ ≥ 0,45. Vì tốc độ của đáp ứng nhất thời tỷ lệ nghịch với tỷ số cản ζ , chúng ta sẽ chọn giá trị mong muốn cho ζ là 0,45. 146 Thời gian quá độ T s của hệ thống bậc hai được tính theo ζ và ω n bằng công thức (5.10). Vì vậy, theo điều kiện T s ≤ 1s nêu trên chúng ta có: 1 4 ≤ n ζω hay ζω n ≥ 4 (10.51) Phần thực của cặp nghiệm tương ứng với các giá trị nói trên của ζ và ω n là − ζω n . Vì ảnh hưởng của cặp nghiệm này càng lớn nếu chúng nằm càng gần trục ảo, chúng ta sẽ chọn vị trí gần trục ảo nhất có thể mà vẫn thỏa mãn điều kiện (10.51), nghĩa là ζω n = 4 hay ω n = 9. Như vậy, vị trí được mong muốn cho cặp nghiệm trội của phương trình đặc trưng của hệ thống là cặp điểm 2 1 ζωζω −±− nn i = −4 ± i8. Khi đó, điểm không của G c (s) sẽ là z = −4. Để xác định giá trị điểm cực của G c (s), chúng ta cần giải phương trình sau đây: oo 180)824()84()84(90 −=++−∠−+−∠−+−−∠− iiip (10.52) hay: o 2704arctan2arctan 4 8 arctan −=++ +p (10.53) Giải phương trình (10.53), chúng ta xác định được giá trị điểm cực của G c (s) là .8,10−≅ p Giá trị của K để phương trình đặc trưng của hệ thống sau khi bù có được cặp nghiệm như mong muốn sẽ được tính như sau: 0 )8,1084)(284)(84( )484( 1 = ++−++−+− + + − + iii iK (10.54) hay: 8,96 )88,6)(82)(84( 8 = ++−+− = iii i K (10.55) 10.6. Phương pháp bù sử dụng mạch tích phân Với nhiều hệ thống điều khiển, mục tiêu chủ yếu là đạt được độ chính xác cao ở trạng thái thường trực. Thêm nữa, hiệu suất nhất thời của các hệ thống cũng cần được duy trì trong một giới hạn hợp lý. Như đã phân tích trong Chương IV, chúng ta có thể làm tăng độ chính xác ở trạng thái thường trực của hệ thống phản hồi bằng cách tă ng hệ số khuyếch đại trên chiều thuận của hệ thống. Tuy nhiên, cách đó có thể làm cho đáp ứng nhất thời của hệ thống trở nên không thể chấp nhận được, thậm chí không ổn định. Vì vậy, người ta thường sử dụng mạch bù trên chiều thuận của hệ thống điều khiển phản hồi nhằm đạt được độ chính xác cần thiết ở trạng thái thường trực cho hệ thống. Xem xét hệ thống phản hồi với hàm chuyển vòng hở G(s)H(s). Thay cho sai số E(s) = R(s) − C(s), chúng ta sẽ sử dụng tín hiệu sai khác E a (s), đã được định nghĩa ở Chương IV: E a (s) = R(s) − C(s)H(s) (10.56) . của bộ điều khiển PI có dạng: s K K sU sU sG I PPI +== )( )( )( vào ra (10.29) Tương tự như đối với bộ điều khiển PD, khi sử dụng mạch bù có hàm chuyển G PI (s) này, chúng ta có thể điều. của bộ điều khiển PD có dạng: DPPD sKK sU sU sG +== )( )( )( vào ra (10.18) Sử dụng mạch bù có hàm chuyển G PD (s) này, chúng ta có thể điều chỉnh ảnh hưởng của mạch bù, qua đó điều chỉnh. 0 )][arctan()][arctan( =− ω ωτ ω α ω τ d d d d (10.13) Khai triển phương trình (10.13): 0 11 22222 = + − + τ ω τ τ ω α α τ (10 .14) Giải phương trình (10 .14) , chúng ta xác định được tần số ω m : zp m == ατ ω 1